遼寧省撫順市2023學年高一年級下冊期末考試數(shù)學試卷

高一數(shù)學

考試時間：120分鐘試卷滿分：150分

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，每題四個選項只有一個符合題目要

4-i2

I.已知i為虛數(shù)單位若復數(shù)2—i,則2虛部是（）

答案：B

z=2-i

所以虛部為T,

故選：B.

7T

2.若扇形的面積為彳，半徑為4,則該扇形的圓心角為（）

2

71?7T?n

A.—B.—C.一

468

答案：D

解析：由扇形面積公式可得：S=:ar2=!ax42=E，解得&=當.

22216

故選：D

ab

3.設a,￡是非零向量，“R=M”是“a=夕的（

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案：B

解析：由R=M表示單位向量相等，則〃同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出a=b,

--ab

由a=6表示a,〃同向且模相等，則而=耐，

ab

所以"Hn=U\bJ\"是"a=)”的必要而不充分條件?

故選：B

4.下列命題正確的是()

(I)已知平面a和直線，小〃，若加a,〃ua,則6〃“；

(2)已知平面a,戶和直線，"，n,且"?，〃為異面直線，,n工0.若直線/滿足/_1_加，

/<za,lap,則a與尸相交，且交線平行于/；

(3)已知平面a,戶和直線相，n,若用ua,〃ua,〃？/?,n尸，則a〃/?；

(4)在三棱錐P—ABC中，PA1PB，PB1PC,PC±PA,垂足都為P,則尸在底面上的射影

是三角形ABC的垂心

A.(2)(4)B.(2)(3)(4)C.(3)(4)D.(1)(2)

答案：A

解析：對于(1)：在正方體ABCD-ABC。中，45〃平面ABC。，A￡>u平面A5C。，顯然3耳與AO

異面，故(1)錯誤;

對于(2)：假設a//〃，因為機，2,所以〃Z_L4，又〃，夕，所以相〃〃(矛盾)，故a與尸相交，記

交線為

過直線機上點A作〃'//〃，記加,“'所在平面為7,

因為機_La,nvp,/'ua,/'u尸，所以m_L,

又〃'〃"，所以〃

因為，篦c〃'=uuy,所以

因為/所以/_]_〃'，

又I_Lm,mc"'=A,〃zu/,〃'u/,

所以/J_/,所以///I',(2)正確;

對于（3）：由面面平行判定定理可知（3）錯誤;

對于（4）：作P。/平面ABC,因為3Cu平面ABC,所以PO_ZBC,

因為批1PB，PC±PA,PBPC=P,P民PCu平面P8C,

所以241平面PBC.

又5Cu平面PBC,所以P4_LBC

因為P4PO=P,P4,POu平面PAO，

所以平面PAO,

因為AOu平面PAO,所以AO1BC,即點。在..A8C的8c邊的高上.

同理，點。在AABC的A8邊和AC邊的高上，

所以點。為,43。高的交點，即。為43c的垂心，（4）正確.

5.已知函數(shù)/(無)=cos4X-2sin無cosx—sin,尤，則/(x)的最小正周期為()

一7C71

A.27cB.1C.—D.—

24

答案：B

解析：由題設，/(x)=(cos4x—sin4x)—2sinxcosx=cos2x—sin2x=V2cos(2x+—),

4

27r

所以最小正周期為7==1=%.

2

故選：B

6.已知函數(shù)y=2-”"2（〃＞（）,且a0l）的圖象過定點尸，O為坐標原點，射線OP是角夕的終邊,

sin。-2cos8

則)

2sE開cos。的值為

3

2

答案：c

解析：根據(jù)題意，定點。的坐標為（2,1）,結合三角函數(shù)的定義得到tane=g,

「sin。-2cosetan0—23

乂--------------=----------=—.

2sin6+cose2tan0+14

故選：C.

7.設￡d0,弓，若sina=3sin(a+2夕)，則tan(a+2/)的最小值為().

\2)

AOB6c五D夜

4422

答案：A

解析：因為sina=3sin(a+2/3),則sin[(a+2/3)—2/3]=3sin(a4-2/3),

所以sin(a+2")cos24—cos(a+24)sin2/3=3sin(a+2/7),

即sin(a+2/7)(cos2/?-3)=cos(a+2/?)sin2/7,

sin2/9

于是有tan(a+2/7)=

cos2/7-3

2sin/7cos^

所以tan(a+277)=

cos23P-sin2p-3cos2p-3sin2p

2sin/?cos/?_tan/?_1

222*1

-2cosyff-4sin/72tany0+l2tan/7+

tan/

因為Aef0,~所以tan#>0,于是有2tan4+—二N2、2tan/7?—二=2夜,

tanp\tan/?

1R

當且僅當2tan￡=一^即tan/?='時，等號成立，

tan夕"2

所以tan（tz+26）的最小值---7==,

2V24

故選：A.

8.在《九章算術》中，底面為矩形的棱臺被稱為“芻童已知棱臺ABCD—是一個側棱相等、

高為1的“芻童”，其中AB=2A'9=2，BC=2B'C'=26，則該“芻童”外接球的表面積為（）

A.20兀B.v兀C.如叵7tD.5屈

33

答案：A

如圖，連接AC、BD、A'。'、8rl,設ACCBO=",A1。'CRD=N,連接MN.

?.?棱臺ABCD—A'B'C'Z)'側棱相等，易知其外接球球心在線段MN所在直線上，設外接球球心為0,

如圖當球心在線段MN延長線上時，

22

易得4。=（鈣2+3。2=,4+12=4,MC=2,A'C'=ylA'B'+B'C'=yfl+3=2-NC'=1,

MN=l,

由OC=OC得，NC'2+ON1=OM2+MC1,即

1+（0例+例N）2=O“+4=1+（QM+1）2=O用2+4=OM=I,

故"=oc=爐方=折

...外接球表面積為4兀?（石了=20兀.

如圖當球心在線段MN上時，

由OC=OC得，NC/ON。=OM°+MC，,即

1+（"N—=QA/2+4=I+（I-QM）2=Q河2+4=0加=-1舍去,

故選：A

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，計20分.在每小題給出的選項中，有多個選

項是符合題目要求的，全部選對得5分，有選錯的得零分，部分選對得2分.

兀7t

9.已知復數(shù)z=sin—+icos—，貝I]()

66

A

A.Z的虛部為YliB.Z在復平面內對應的點在第四象限

2

c.z+z=|z|D.Z是關于x的方程》2-》+1=0的一個根

答案：BCD

解析：依題意，復數(shù)z=L+Y3i，復數(shù)z的虛部為X3,A錯誤；

222

Z=在復平面內對應的點(；，-走)在第四象限，B正確；

Iz|=J(\)2+=1,z+z=(g+*i)+(；-*i)=l，則z+z=|z],C正確：

2[1/I6.、[7161V3.八

z-z+l=z(—I-----i)—(—I------i)+1=(-----1-----i)-----------i+1=0>

22222222

即z是關于x的方程/一x+i=o的一個根，D正確.

故選：BCD

10.在△ABC中，角4B,C所對的邊分別為。，b,c,}=4且sinA:sinB:sinC=i：2：、/7,下列說法

正確的是()

A.AABC為鈍角三角形B.AB邊的中線長為3

C.△ABC周長為6+2J7□.△ABC的外接圓面積為普

答案：ACD

解析:對于選項A,：sin4:sinB:sinC=l:2:J7,???Q:〃：C=1:2:J7，

可知a=3b=2k,c=y/lk(*為比例系數(shù))，

t?c>b>a,A判斷最長邊所對應的角是否為鈍角即可，

由余弦定理得：7/=Y+4R2—4/cosC，解得cosC=-1,

27r

又???0vCv兀，???。=3-,???△ABC為鈍角三角形，則選項A正確；

對于選項BZ=2,〃=2,c=2幣,

2_277所

由正弦定理得一j=-J,即嬴彳一二下，解得sinA=4，

sinAsinCsin——14

3

?.?角A為銳角，AcosA=Vl-sin2.

14

設AB的中點為￡），在△A￡>C中，

Sly

由余弦定理得：C￡）2=AC2+AZ）2—2AC-ArrcosA=16+7—2x4x/x工=3,

14

則?！辏?g，即A8邊的中線長為6,則選項B錯誤；

對于選項ABC周長為a+b+c=2+4+2，7=6+26，則選項C正確;

2V21

對于選項D，由正弦定理得:H=」一

2sinA3

則△ABC外接圓的面積為兀及2=亍，則選項口正確,

故選：ACD.

II.已知平面四邊形ABCO，O是ABCO所在平面內任意一點，則下列命題正確的是（）

A.若A3=￡>C，則ABC。是平行四邊形

B.若|A8+A4=|A8—A4，則ABC。是矩形

C.若—0司=|。4+08—2。［,則二A3C為直角三角形

D.若動點尸滿足0P=Q4+陽?一i---------+i一,——1------（加>0）,則動點P的軌跡一定通過

\AB\sinZABC\AC\sinZACB

.A3C的重心

答案：ACD

解析：由A3=OC,可得AB//CD,且A6=CO,故ABC。是平行四邊形，所以A正確；

由卜8+44=卜3-4。|,平方可得AB,AD=0,即M1AZ），但488不一定是矩形，所以B錯誤；

由—O耳=3+05—20。，可得怛H=|OA-OC+O3—OCj,HP|CA-Cfi|=|CA+Cfi|,因此

CA±CB,所以「.ABC為直角三角形，所以C正確；

作A￡1BC于石，由于k8卜皿5=卜。卜皿。=卜目，所以

\

AHACm/

OP=OA+m?~j-------------+；~；--------------=。4+-AB+AC即”=向（"+4,），

jAB|sinZABC|AC|sinZACB)|AE|V

故P的軌跡一定通過ABC的重心，所以D正確.

故選：ACD.

12.我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文

件時代表身份的信物，后因其獨特的文化內涵，也被作為裝飾物來使用.圖1是明清時期的一個金屬印章

擺件，除去頂部的環(huán)可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐組成的幾何體；如圖2,已知正四棱柱和正四

棱錐的高相等，且底面邊長均為2,若該幾何體的所有頂點都在球。的表面上，則（）

圖1圖2

A.正四棱柱和正四棱錐的高均為:

B.正四棱柱和正四棱錐組成幾何體的表面積為12+40

C.球。的表面積為9兀

D,正四棱錐的側面、側棱與其底面所成的角分別為。則

答案：BC

解析：設正四棱柱和正四棱錐的高為力，球。的半徑為，

根據(jù)正四棱柱和球的對稱性可知：該幾何體的外接球的球心為正四棱柱的中心，

球的直徑2r即為正四棱柱的體對角線，

且正四棱柱的體心到正四棱錐的頂點的距離:力=r,

根據(jù)正四棱柱的體對角線公式得（2r）2=2?+2?+〃2n4戶=8+1戶nr=T,

19

因此力=1,所求球的表面積為4兀/=4兀?二=9兀，故選項A不正確，C正確；

4

在直角三角形EFG中，EG=J/+（；x2）2=近，

所以正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體的表面積為:

4xlx2x>72+2x2+4x2xl=12+4V2,所以選項B正確，

2

如圖所示：tancr=tan?EGF1=1,

]^/2

tan

B-tan/FHE--1?〔~,顯然有tana>tan/?=a>分,

-xV22+22

2

所以選項D不正確，

故選：BC

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.i是虛數(shù)單位，己知儂―1|=|①一『寫出一個滿足條件的復數(shù)。.

答案：a)=l+i(答案不唯一，滿足<y=a+?i(awR)均可)

解析：設物=a+歷(a,beR),因為|。一1|=|①-i],

所以,一1+歷|=|a+g_l)i|,即1(a-l)2+方=7?2+0-1)2，

整理得。=匕，取。=。=1得力=l+i.

故答案為：刃=l+i(答案不唯一，滿足a=a+ai(aeR)均可)

14.已知d45C1中，。為邊上的點，且2BD=0C,若4￡>=/九鉆+〃4。(根,〃€氏)，則

m-n=.

答案：§

1[.n1

解析：依題意AO=A5+8O=A5+—5C=A8+-(AC-A5)=—A5+-AC,

33V733

…211

片「以〃2=一,〃=一,—〃=-?

333

故答案為:

3

BD

15.由華裔建筑師貝聿銘設計的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個正四棱錐，其側面三角形底邊上的高與

底面正方形邊長的比值為叵比，則以該四棱錐的高為邊長的正方形面積與該四棱錐的側面積之比為

4

答案:：

解析：如圖,

設正四棱錐的底面邊長為，高為力，斜高為"，石為CD的中點,

則由題意得：四=且±1,所以/=好士!

a44

則設以該四棱錐的高為邊長的正方形面積為S],5=〃2=*一一￡=耳1。2,

V5+1

設該四棱錐側面積為邑=4=2a------a

42

I

s-1

0

所

以-=-=-

sn4

^0

故答案為：!

cox兀

16.若函數(shù)/(x)=4sin<yxsin2----1■—+COS2妙_1(/>0)在內有且僅有一個最大值點,

24；

則3的取值范圍是.

9

答案：

冗

22

解析：/(冗)=2sins[l—cos(5H——)]—2sin69x=2sincox(\+sinct)x)-2s\nGX=2sincoxf

JIJI37c一,(D7t

而切>0,貝卜式4-----<cox<----,

3232

71,CD7T5乃

——<---<---l<^y<5

2-229

依題意得〈解得9，即IK69V—，

CD713萬co<—2

下>一52

9

所以①的取值范圍是口，5).

9

故答案為：U,5)

四、解答題(17題10分，18題?22題每題12分，合計70分)

17.已知〃=(—1,2),/?=(1,-4).

(1)若Ra+b與a—b垂直，求實數(shù)%的值；

(2)若J為4a+力與4+)夾角，求COS。的值.

13

答案：(1)k=y

(2)--

5

(1)

因為a=(-l,2),。=(1,-4),所以

|?|=V(-02+22=>/5,|&|=Vl2+(-4)2=V17,a-b=—\—8=—9?

又女”+人與垂直，所以

(版+力).("/?)=版+(1-攵=5攵-9(1--17=0,

解得左=113；

(2)

因為4a+0=4(-l,2)+(l,-4)=(_3,4),。+0=(-1,2)+(1,-4)=(0,-2)

(〃

44+/?)?(+Z?)0—84

所以COS。=

|4<7+/?|-|d+Z?|7(-3)2+42X25

7T

18.已知cosac°s(a—0=且0v/?vaV,.

7

（1）求tan2a的值;

(2)求/?.

答案：（1）—迪；（2）-

473

解析：(1)*.*cosa=,且0v/?vav5，

??.siiEK迪

7

.sina入伍

??tanci——4,3,

COS6Z

2tana873

tanla-

1-tan2a萬

jr

(2),**0</?<<—f

jr

0<.cc-/3,

八13

又cos(a—p)——,

14

sin(a-/7)=Jl-coTg-g)=--,

cosp—cos[6z—{a—尸)]=cosacos(a—/?)+sinasin(a—/?)

13+4后x3石一1

-7x14-5’

rr

所以4=1.

19.三棱柱ABC-的棱長都為2,o和E分別是84和AG的中點.

(1)求證：直線。石//平面ABC”

⑵若NAAC=60。，點8到平面ACC|A的距離為百，求三棱錐。-ABC1的體積.

答案：(1)證明見解析

(1)

在三棱柱ABC-AB]。中，ABHA\B[,取4G中點居連接。凡EF,

v。和E分別是BB]和&G的中點，

:.DF/IBC[,EF11必[,.,.EF//AB,

又OFz面ABC1，BQu面ABC]，且斯0面A8C「ABu面ABC1，

〃面ABC],EF//面ABC],又DFEF=F,DE,EFu面DEF，

面DEF〃平面A8C1,而DEu面DEF,故直線DE〃平面ABC1.

法二，連接CE交AC】于點G,連接C￡＞交8G于點H,連接，G,如圖，

在三棱柱ABC-Age［中，A|C|//AC,BB】UCC「

.EGEC{\DH=BD=\

''~GC~~AC_5，HCCCX~2'

，嘗=怨，則。E//HG,又OEz面ABCr"Gu面AB。，

GCHC

直線OE//平面ABC1.

?.?直線OE//平面ABC1,

VD-ABC,=VE-ABC,>又幺AC=6()。，

所以平行四邊形ACC/,邊AC上的高”=2sin60°=G，

由B到面ACGA的高4=G，則/-ABC,=%_AEG=：SAg/B=gx；xlx石X6=g.

20.在銳角中，角A、B、C的對邊分別為“、4c,其面積為5,且S—a)3+a)+accos8=￥s.

(1)求角4的大小；

(2)若。=2g，求S的取值范圍.

7T

答案：(1)A=-;

（2）（263同

（1）

在銳角..ABC中，（。一。）（。+a）+accos6=殛S，由余弦定理cosB=*+匚k,

3lac

，曰，22a~+c2-2>/3Rr./?~+—礦2^3-na'i?A->2八，

得力一。“+----------=----S，即-----------=----S，又s=-Z?csinA,人2+。~-?2=2Z?CCOSA,

23232

因此bccosA=3g,』/?csinA，有tanA=#，而。<A<[,解得A=1,

3223

所以A=5.

（2）

由（1）知，A=—B=——C,

393

b_c_a_2G_

由正弦定理得：sinBsinCsinA，即b=4sin8,c=4sinC,

~2

則S=-Z?csinA=--4sinB-4sinC-sinA=4百sinBsinC=4>/3sin（——C）sinC

223

=46（?cosC+；sinC）sinC=4\/3（^y-cosCsinC+^-sin2C）

0<C<-

2cin兀-兀工一口d兀c兀57c

又.ABC是銳角三角形，則有《即一<Cv—,亦即一v2c---v—,

八2加八n62666

0<----C<—

32

于是]<sin（2C_g）41,28Vs436，

2o

所以S的取值范圍是(2%,3%].

21.如圖（1）,平面四邊形A8DC中，ZA5C=NO=90°,AB=BC=2,CD=1,將，.ABC沿5c邊

折起如圖(2),使點板，N分別為AC,AO中點.在題目橫線上選擇下述其中一個條件，然后

解答此題.①AO=J7?②AC為四面體ABDC外接球的直徑.③平面ABC1平面BCD.

圖⑴圖⑵

（1）判斷直線MN與平面題是否垂直，并說明理由；

（2）求直線DM和所成的角的余弦值.

答案：條件選擇見解析，（1）垂直，理由見解析；（2）注.

4

解析：（1）若選①：垂直.

因為A0=J7,在RtBCD中，BC=2,8=1,可得BD=6，

又由AB=2，所以+=AD?，所以A81BO，

因為A318C,且3CBD=B,3GBeu平面C5。，所以AB工平面C&）,

又因為COu平面C8D,所以ABLCD,

又由CDIM,AB8且A3,8Ou平面施），所以CD1平面砌），

又因為A7,N分別為AC,AO中點，所以MNHCD,所以MNL平面碰.

若選②：垂直.

由AC為四面體A80C外接球的直徑，則NADC=90°,CD1AD,

因為0180,可證得平面做），

又反，N分別為AC，AD中點，MN//CD,所以腦V，平面械）.

若選③：垂直.

由平面A3C1平面BCD,平面ABCc平面8CD=6C,

因為A513C,且ABu平面ABC,所以AB/平面CB。，

又由CDu平面CBO,所以A3_LCD,

因為CD1BO,ABFO=B且A3,3Ou平面砌），所以COl平面ABD，

又因為“，N分別為AC,A。中點，MNIICD,所以MN_L平面砌）.

（2）取AB中點E，連接“￡,。陽,￡>￡,

因為分別為AC,A3邊中點，所以ME〃BC,

所以/EW或其補角為直線DM和8C所成的角.

在AADC中，CO=1,AD=&，AD1CD,所以AC=26=2DMDM=6.

又ME=LDE=yjBD2+BE2=用1=2,

1+2-4J2

由余弦定理可得：cosNEMD=———

2V24

所以直線DM和3c所成的角的余弦值為也.

22.已知函數(shù)/（力=忌m（8+0）-2以）S2您普+1?>0,0<°<兀）為奇函數(shù)，且圖象的相