易錯(cuò)點(diǎn)12 圓錐曲線-2022年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（新高考專用）（教師版含解析）

易錯(cuò)點(diǎn)12圓錐曲線

易錯(cuò)題［oil求離心率考慮不全面致誤

(1)當(dāng)橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上時(shí)求離心率要分兩種情況分別求

解；

(2)求橢圓的離心率范圍要注意ee(0,1);

⑶求雙曲線的離心率范圍要注意ee(l,+8),

(4)若把離心率表示成某一變量的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求離心率范圍，要注意自變量范圍的

限制；

(5)根據(jù)幾何圖形求離心率或離心率范圍要注意驗(yàn)證某些特殊點(diǎn)或特殊圖形是否符合條件.

易錯(cuò)題［02］忽略判別式致誤

根據(jù)直線與圓錐曲線有2個(gè)公共點(diǎn)求解問題，把直線方程與圓錐曲線聯(lián)立整理成關(guān)于x或y

的一元二次方程后不要忽略A>0這一條件，若圓錐曲線為雙曲線還有保證二次項(xiàng)系數(shù)不能

為零.

易錯(cuò)題【03】忽略橢圓中x或y的取值范圍致誤

■>2

求解與橢圓5+方=1(。>0,6>0)上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的距離范圍問題，或求某一式子的范圍，

要注意-aWa,-64”。的限制.

易錯(cuò)題(04］設(shè)直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程忽略判斷斜率是否存在

利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求解解析幾何問題，是高考解答題中的常見題型，當(dāng)直線為

動(dòng)直線時(shí)，常設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程或斜截式方程，注意在設(shè)方程式要判斷是否存在，若斜

率有可能不存在，要分2種情況討論.

易錯(cuò)題01

雙曲線，爺=1(必)力>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為外、心若P為雙曲線上一點(diǎn)，且|嗎

=2|尸民］,則雙曲線離心率的取值范圍為

【警示】本題錯(cuò)誤解法是：如圖，設(shè)|P&k皿NQP尸2=。(0<*兀),

由條件得|PK|=2m,

|FiF2I2=w2+(2ni)2—4/n2cos"

且||尸川一|尸外||=m=2〃.

所以e=1^=q5—4cos6.

又一kcos6kl，所以e￡（l,3）.

【問診】漏掉了尸在入軸上的情況，即/尸/尸2=兀時(shí)的情況.

【答案】設(shè)|尸&|=〃7,/尸|尸尸2=。（0〈光兀），

當(dāng)點(diǎn)P在右頂點(diǎn)處時(shí),6=兀.

c2c3m-

一=丁=—

6=a2am=3.

當(dāng)偽”由條件，得|P尸i|=2m,|尸總產(chǎn)二二+0加）?一4二2cos8,

且||PR|-|PB||=m=2a

所以6=含=、5—4cos8.

又一l＜cos，＜1,所以eW（1,3）?

綜上,e￡（l,3].

【叮囑】對(duì)圓錐曲線上點(diǎn)的特殊位置（如頂點(diǎn)）不能忽略,綜合考慮所有可能情況求離心率范

變式練可

22

1.（2022屆重慶市高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)）橢圓C:4=1（"＞方＞0）的左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)、上頂

a~b

點(diǎn)分別為若坐標(biāo)原點(diǎn)。關(guān)于直線8尸的對(duì)稱點(diǎn)恰好在直線A8上，則橢圓C的離心

率ee（）

a-H）C.

【答案】B

【解析】依題意可知3尸是Z43O的角平分線,

由角平分線性質(zhì)可知它運(yùn)=紋￡,代入從="2_02可得"W

bca~-cc

故2W=J2：+e-02e3-2/-2e+l=0,

l-e2e2

構(gòu)造函數(shù)/(x)=2x3-2X2-2x+l,0<x<l,/(x)=6x2-4x-2

=2(3X2-2X-1)=2(3X+1)(X-1),所以f(x)在區(qū)間(0,1)上遞減.

由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理可知ee.故選B

2.(2021.山西省陽泉市高三上學(xué)期期末)兩數(shù)1、9的等差中項(xiàng)是劣等比中項(xiàng)是4則曲線

2—+上—=1的離心率為()

ab

A.巫或亞B,亞或&C.1D.叵

555555

【答案】A

1+9,——龍22

【解析】由題意。=^=54=±，兩=±3,若8=3,曲線方程為亍+1=1,表示橢圓,

離心率為e=與3=叵力=-3時(shí)，曲線方程為-

=1,表示雙曲線，離心率為

石553

故選A.

易錯(cuò)題02

已知雙曲線/一￡=1,過點(diǎn)8(1,1)能否作直線犯使機(jī)與已知雙曲線交于Q1,Q兩點(diǎn)，且B是線

段0。2的中點(diǎn)？這樣的直線機(jī)如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由.

【警示】本題錯(cuò)誤解法是：設(shè)。(月》),。2。2)2),

才①

2

.

代入雙曲線方程得②

2

①-②化簡(jiǎn)得仁津2XI+X2

yi+”

中點(diǎn)8(1,1),，XI+也=2,yI+戶=2,.3=2.

二滿足題設(shè)的直線存在，且方程為＞-1=2(x—1),

即2A—y-1=0.

【問診】錯(cuò)解中沒有判斷直線2x—y—1=0和雙曲線/一5=1是否相交.

【答案】設(shè)QG1/1),。2(孫”),

7

4①

-V2I-

代入雙曲線方程得出

京②

-2-

①一②得(由+X2)(X1一注)=5()，1+丁2)。1一)'2).

???8(1,1)為。Q的中點(diǎn)，二左=彳%=2.

直線方程為y—1=2(x—1),即2x-y—1=0.

y—2x~\,

聯(lián)立，，—消去y得*-4x+3=0.

2=1

/=(-4)2—4x2x3——8<0,所求直線不存在.

【叮囑】用點(diǎn)差法求直線方程時(shí),只是承認(rèn)了直線與曲線相交，而事實(shí)上,存在不相交的可能,

所以在求出直線方程后,應(yīng)利用判別式判斷直線與曲線是否相交.當(dāng)然，就本題來講，也可以不

用點(diǎn)差法求解.直接設(shè)直線的方程，利用待定系數(shù)法求解.遇見直接用直線與曲線方程聯(lián)立

解方程組的問題，就比較容易聯(lián)想用判別式求解.

變式練習(xí)

(2022屆湖南省長(zhǎng)沙市高三上學(xué)期月考)過點(diǎn)A(0,l)作圓/+產(chǎn)=；的切線，兩切線分別與x軸

交于點(diǎn)耳，尸式”在"的左邊)，以月，用為焦點(diǎn)的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若經(jīng)過點(diǎn)(-2,0)的直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)5MN的面積取得最大值時(shí)，求

直線/的方程.

【解析】(1)設(shè)切線方程為>=-+1，則|0-0+1|=*,解得*=±1,

所以切線方程為卜=±》+1,它們與工軸的交點(diǎn)為(-L0)和(L0)，

設(shè)橢圓方程為￡+方=1,橢圓過點(diǎn)A(O,I),則b=i,4=7^17=辰K=及，

所以橢圓方程為蘭+丁=1；

2

(2)由(1)知瑪(1,0),

直線MN斜率一定存在,設(shè)其方程為y=?*+2)且�,設(shè)M孫丫2)，記尸(-2,0),

顯然M，為同號(hào)，

y=k(x+2)

由Id,，得(1+2公》2+8公》+2(4公-1)=0，

一+y-=1

2-

A=64k4-8(1+2kDW-1)=8(1-2r)>0,一旦<k〈旦且2w0,

22

8k22(4k2-l)

[33/

S!/?M=BF\PM-S\-y2|=1-|^(Xl-X2)|=~|^|7^I+X2)3~4XIX2

二一=3"jy

21W(l+2Z2)21+2KV(1+2女)

k~(1—2k~)、江,?2tn-\

-&y=,；-,設(shè)1+2AT=M,則機(jī)G(1,2),k2=——

(1+，K)2.

所以尸Tm-nr+3/刀-2132

-------------------o——=-TO——+—)

2m~2inm

再設(shè)，=f,則re("l),

m2

所以y=-『+]f-；=-Q-'),+]，所以t=,,即z=±9時(shí)，ynm=,

2241b46lo

所以s.取得最大值為3&X由=乎.

此時(shí)直線方程為丫=±器(》+2),即y邛X+曰或y=_骼X。

易錯(cuò)題0工

已知點(diǎn)尸是橢圓C?+y2=l上的動(dòng)點(diǎn),A(a,O),求|酬的最小值〃a).

【警示】本題錯(cuò)誤解法是：設(shè)P(x,y),則|幺|=/7彳行=J(x—4+4-；龍2

=-2ax+a2+4=+4-4/>>j4-4a2=2>J\-a2,

所以/(a)=2jl—a2.

【問診】忽略一2WxW2

22

［答案］設(shè)P(x,y)，則1PAi=J(x_a『+y2=-fl)+4-1x

=J^x2-2ax+a2+4=^(x-4a)2+4-4a2，因?yàn)橐?WxW2,所以當(dāng)

-2S4a?2,一；4aW；時(shí)x=4?時(shí)/(a)=2yjl-a2，當(dāng)4a〉2,a>；時(shí)x=2時(shí)

/（a）=a-2,當(dāng)4a<-2,a<-萬時(shí)％=-2時(shí)/（“）=一4-2.

【叮囑】橢圓?+}=1（a>。>0）中一aWxWa,-/?WyWh.

變式練習(xí)

22

1.（2021年高考全國乙卷理科）設(shè)B是橢圓。：:+二=13〉人〉0）的上頂點(diǎn)，若。上的

ab

任意一點(diǎn)。都滿足IPB\<2b,則C的離心率的取值范圍是（）

A.—,1^1B.C.fo,—D.fo,-

L2JL2）I2JI2」

【答案】C

r22

【解析】設(shè)P（%,%），由8（0力），因?yàn)榕c+4=1,儲(chǔ)=k+。2,所以

a~b~

2

?,（v2\,r2（,i\.4

\PB\=a2+（%-。）~=-77y（>+~+~2+C,2+ly2,

Ih）bkC）C

因?yàn)椤缶?lt;6,當(dāng)-彳4-b,即〃*2時(shí)，|?；豛=4從，Hp|PB|nm=2h,符合題

意，由b22c2可得a222c2,即o<e〈也；

2

當(dāng)一4>—。，即/<。2時(shí)，\pBf=%+“2+凡即與+4+644/，化簡(jiǎn)得，

2

CI%穌C2C2

(C2-/?2)2<0,顯然該不等式不成立.故選C.

2.(2022屆廣西南寧市高三12月月考)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為1,

離心率為3.

2

(1)求橢圓C的方程；

(2)若過尸(/,0)的直線/與橢圓交于相異兩點(diǎn)A,B,且AP=2PB，求實(shí)數(shù)2的范圍.

I1

2Z￡h7-=3

Q2

【解析】(1)由題意知2=

〃

從

解得4=1,V，橢圓方程為'2+寧=1；

2

4

(2)設(shè)8(%,%),A(3，x),由AP=2尸8得(/一毛，一,)=2(%一/,%),從而：西=3/-2%,

X=-2%,則A(3/-2x0,-2y0),

因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓丁+”2=1上，故(3/-2%)2+4(-2%)2=1,

即9尸一⑵x0+4(x；+4y；)_l=0,

2

又片°+4y：,=l,所以%=士3/上4-I，

4/

由橢圓定義知W1,故_14①士41,解得/

4/L3」|_3」

又由題設(shè)知九工±1,故D；』)，

所以實(shí)數(shù)兀的取值范圍是,i,-gUg,l]

易錯(cuò)題04

設(shè)橢圓C：忌店=1(“>6>0)的離心率6=坐，左頂點(diǎn)M到直線的距離d=^Q為

"U乙C4'lyJ

坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線/與橢圓C相交于A,8兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),證明：點(diǎn)。到直線

A8的距離為定值.

解關(guān)于x的不等式加一（a+l）x+l<0.

【警示】本題錯(cuò)誤解法是：（1）解由0=坐，得C52,又b2=a2—c2,

所以即a=2b.

由左頂點(diǎn)M（一〃,0）到直線?1,

即到直線bx+ay-ab=0的距離d=喏,

z（I2ab=4必

yjcr+b25，

把a(bǔ)=2b代入上式，得卷=?，解得b=1.

所以a=2h=2,c=y]3.

所以橢圓C的方程為]+y2=l.

（2）證明設(shè)A（X\m）,8（及,”）,

設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,

(y=kx+mf

與橢圓方程聯(lián)立有[j+/=l,

消去y,得(1+4F)f+8kjnx+4m2—4=0,

8km4m2-4

所以加+12]+43/㈠2=1+4斤.

因?yàn)橐訟B為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O,

所以O(shè)ALOB.

所以況?訪=即工2+力丫2=0.

所以（1+必）x42+k/n（xi+*）+/w2=0.

所以（1+6?黃屋一性會(huì)+加=0.

整理得5病=4（3+1）,

所以點(diǎn)O到直線AB的距離粵==羋

綜上所述，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值￥.

【問診】忽略直線AB斜率不存在的情況

【答案】（1）由e=^，得。=冬，又〃="2一02,

所以即a=2b.

由左頂點(diǎn)M（—4,0）到直線?1,

即到直線bx+ay-ab^0的距離4=平，

得,曰L2ab告4小

把a(bǔ)=2b代入上式，得卷=羊，解得b=\.

所以〃=2Z?=2,c=小.

所以橢圓C的方程為9+y2=l.

⑵證明設(shè)4（xi沙）,8（X2,”），

①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性,

可知xi=x2,yi=一處

因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，

故次.彷=0,

即加及+%），2=0,也就是后一式=0,

又點(diǎn)A在橢圓C上,所以3+^=1,

解得刈=IW=乎.

此時(shí)點(diǎn)O到直線AB的距離&=|為|=￥.

②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,

y=kx+m,

x21

{了+9?=1,

消去y,得(1+4F)/+8h〃x+4"2—4=0,

8癡4/712—4

所以X1+尤2]+43內(nèi)尤2=1+務(wù)+

因?yàn)橐訟B為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O,

所以O(shè)ALOB.

所以次?彷=為％2+>1”=0.

所以(1+tc)x\xi+km(xi+X2)+m2=0.

所以4m2—4爵83”7?+浮=o.

整理得5，層=4（儲(chǔ)+1）,

\'n\2小

所以點(diǎn)O到直線42的距禺d\—

lc+\5-

綜上所述，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值羋

【叮囑1設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程或斜截式方程要先判斷斜率是否存在，若有可能不存在，要討論.

支式練可

1.（2021年高考全國甲卷理科）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O.焦點(diǎn)在x軸上，直線/：x=l

交C于尸，。兩點(diǎn)，且OPLOQ.已知點(diǎn)M（2,0）,且O"與/相切.

⑴求C,一例的方程;

⑵設(shè)是c上的三個(gè)點(diǎn)，直線44，44均與（/相切.判斷直線44與（乂

的位置關(guān)系，并說明理由.

【解析】⑴依題意設(shè)拋物線C：y2=2px（p>0）,P（l,%）,Q（l,-%）,

OP_LOQ,r.0POQ=l—y；=l—2p=O,.?.2p=l,

所以拋物線C的方程為y2=x,

M（0,2）,：M與x=l相切，所以半徑為1，

所以M的方程為（x—2>+y2=l；

⑵設(shè)4（不%），452，%），4（工，為）

若44斜率不存在，則44方程為X=1或x=3,

若A4方程為X=1,根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)A（1,1），

則過A與圓M相切的另一條直線方程為y=1,

此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在43,不合題意；

若44方程為x=3,根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)4（3,73）,4（3,->/3）,

則過4與圓A/相切的直線為y—Ji=Y3（x—3），

又女A%=乂―%=]—=4，二%=0，

玉-&X+%J3+%3

X3=O,A3（O,O）,此時(shí)直線AA3,44關(guān)于x軸對(duì)稱，

所以直線A2A3與圓〃相切;

若直線A4,A4,4A3斜率均存在,

貝1」以公，k

'+y[+y3^y2+y3

所以宜線44方程為y-y

X+%

整理得x-(y+%),+必%=0,

同理直線4A3的方程為彳一（%+為“+%%=0，

直線44的方程為x-（%+%））'+必必=o，

|2+yy".

Ma與圓"相切'71+（…廣

整理得（弁-1應(yīng)+2yM+3-y：=o，

44與圓M相切，同理（4T）貨+2%%+3-y；=0

所以＞2,%為方程（褚-1）/+2yly+3-y；=0的兩根,

2M3-弁

%+必=--廣，

必一1MT

M到直線44的距離為：

|2+^L|

4+「（_^L）2

V褚-1

I）T+1I-K+1-1

y；+1

所以直線44與圓M相切；

綜上若直線4&，443與圓加相切，則直線44與圓加相切.

丈2

2.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷I（理））（12分）設(shè)橢圓C：—+y2=\的右焦點(diǎn)為尸，過尸的

直線/與C交于AB兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,0）.

（1）當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，求直線AV的方程；

（2）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：ZOMA=ZOMB.

【解析】（1）由已知得尸（1,0）,/的方程為x=L

由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,芋）或（1，一三）?

所以AM的方程為、=一當(dāng)x+&或y=

⑵當(dāng)/與x軸重合時(shí)，NOM4=NOMB=0°.

當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，為AB的垂直平分線，所以NOM4=NQWfi.

當(dāng)/與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)/的方程為丁=左。一1）（女w0）,4%,州）,5（/,當(dāng)），

X?%

則%,<V2,X2<V2,直線MA,MB的斜率之和為kMA+kMB

X1—2%—2

2kxx-3Z(X]+/)+4Z

由％=3一鼠％=如一氏得&M4+&M8i2

(%—2)(X2—2)

222

將y=攵(x-1)代入5+丁=1得(2/+1)X-4kx+2k-2=0.

4公2k2-2

所以玉+々2r+1"也一2/+1?

4公—412/+8%3+4%

則2kxx-3A(X]+/)+4%=0.

t22k2+1

從而￡”A+&B=O,故M4,MB的傾斜角互補(bǔ)，所以NOM4=NOMB.

綜上，ZOMA=ZOMB.

易錯(cuò)題通關(guān)

1.（2022屆華大新高考聯(lián)盟高三上學(xué)期質(zhì)量測(cè)評(píng)）已知雙曲線0鳥-[=1（。>0力>0）,若雙曲

ab~

線不存在以點(diǎn)（2a,。）為中點(diǎn)的弦，則雙曲線離心率e的取值范圍是（）

【答案】B

【解析】由題意知點(diǎn)（2ma）必在雙曲線外部，則皿_￡?1，得

2n/7a

假設(shè)以（2a,a）為中點(diǎn)存在弦，設(shè)弦與雙曲線交于A&，X），鞏電，%），

耳-五=1

￡b：,兩式作差得,G+xJ(X|-xj(x+yj(x-乃)

則

21

々％_1ab

2(2

b-2xt+x2)2b，???不存在該中點(diǎn)弦，直線AB與雙曲線無交點(diǎn)，則竺

即kAB

/■2(y+%)a-a~a

得/。綜上，可得;名斗乂.?.離心率戶,樣,???尼泠尼,即

—<e<—,故選B

23

2.（2022屆陜西省西安市高三上學(xué)期月考）已知雙曲線C：m-1=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)

erlr

分別是耳，心，若雙曲線C上存在點(diǎn)P使得尸/【穌=-3",則雙曲線C的離心率的取值范

圍為（）

A.[g,+oo）B.[2,-KO）C.（1,2]D.（1,73]

【答案】B

【解析】設(shè)尸（xM則,￡=1,y2=^-b2,H>a,

片(-c,O)，E(c,O),

22222222

PFX-PF2=(-c-x,-y)(c-x,-y)=(-c-x)(c-x)+(-y)=x-c+y=x-b-c--3a

,所以爐=4(一3/+/+。2)2/,所以c224a2,e=->2.故選B

ca

3.(多選題)(2022屆江蘇省南京市高三上學(xué)期12月月考)在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知

A(l,l),￡(-l,0),5(1,0),若動(dòng)點(diǎn)P滿足|尸制+|尸閭=4,貝?。?)

A.存在點(diǎn)尸，使得|「周=1B.面積的最大值為石

C.對(duì)任意的點(diǎn)P,都有|以|+|尸用>3D.有且僅有3個(gè)點(diǎn)尸，使得VH3的面積為:

【答案】ABD

【解析】由題知，點(diǎn)尸的軌跡是a=2,c=l,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，

則人=6，橢圓方程為三+二=1，

43

當(dāng)點(diǎn)P為橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，|P周=a-c=l,故A正確；

當(dāng)點(diǎn)P為橢圓上、下頂點(diǎn)時(shí)，△尸耳鳥面積的取最大值，為;片名為=6,故B正確；

PA+PF2=PA+lci-PF,>2a-AF.=^~+=4-^,

因4-故C錯(cuò)誤；

設(shè)使得VPAf；的面積為|的p點(diǎn)坐標(biāo)為(x。,%),

由A4坐標(biāo)知，A耳=石，直線前的方程為x-2y+1=0,

則;x/xk,-》+"=],解得%-2%-2=0或％—2%+4=0,

2yJ52

%-2%-2=0

聯(lián)立區(qū)+式=1，化筒得2)，：-3%=0,

,T+T-

則A=9>0,因此存在兩個(gè)交點(diǎn)；

同理可得直線X。-2%+4=0與橢圓僅有一個(gè)交點(diǎn)；

3

綜上，有且僅有3個(gè)點(diǎn)P,使得VP4K的面積為故D正確;

故選ABD

4.（2022屆山東省青島市高三上學(xué)期12月月考）已知點(diǎn)P是橢圓三+匯=1上一點(diǎn)，F(xiàn)2

95

是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若N6P鳥=6（）。，則下列說法正確的是（）

A.△耳尸鳥的面積為也

3

B.若點(diǎn)M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則岬的最大值為9

C.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為述

6

D.△耳P耳內(nèi)切圓的面積為?

【答案】AD

【解析】對(duì)A,根據(jù)橢圓定義可得|P制+|尸閭=6,則歸耳『+|尸用2+2|P制療用=36①,

在△耳尸鳥中，由余弦定理|6g「=歸用2+p用2—2歸與H/7訃cos60。②，

由①②可得歸用療入卜弓，所以△片尸心的面積為之「用忖用7E60。=二衛(wèi)、1=迫,

322323

故A正確；對(duì)B,設(shè)〃（毛,%）,則丘+瓦=1,-34與43,

MFl-MF2=(-2-x0,-y0)\2-x0,-y0)=x^+y^-4

“A茅+1，

則當(dāng)*=±3時(shí)，ME取得最大值為5,故B錯(cuò)誤;

對(duì)C,由A,△月P用的面積為竽，則;x2cx|y」=2|%|=孚，解得力=士乎，故C

錯(cuò)誤：對(duì)D,設(shè)△片尸心內(nèi)切圓的半徑為，，因?yàn)椤髌玫拿娣e為亞，

3

所以?|「用+歸用+|耳閭）.「=孚，即：（6+4）〃=半，解得「=,，

所以aKP心內(nèi)、切圓的面積為；=p故D正確.故選AD.

5.（2021屆上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)）已知耳居是橢圓E：f+￡=l的

42

兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上任一點(diǎn)，則片尸尸產(chǎn)的取值范圍是

【答案】[0,2]

【解析】由/=4，〃=2,解得：c2=/_〃=2,所以c=0，不妨令耳（一夜，。），血，。,

22

因?yàn)镻是橢圓￡上任一設(shè)點(diǎn)，設(shè)后)，則(+5=1,即療=4_2〃2,

其中耳P=加2-2+”2=2-"2,因?yàn)?04〃WJ5，所以04442,

0<2-?2<2,所以耳P3P的取值范圍是[0,2].

6.(2022屆甘肅省金昌市高三上學(xué)期12月月考)拋物線C：V=4x,F是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F

的直線/與C相交于A、8兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)設(shè)I的斜率為1,求以4B為直徑的圓的方程；

⑵若%1=2絆，求直線I的方程.

【解析】(1)由題意可知，F(xiàn)(l,0).

?.?直線/的斜率為1,.?.直線/的方程為y=x-l,

y2=4x

聯(lián)立『?,消去y得一-61+1=0,

y=x-\

設(shè)4a1,yi),3(X2,丁2),

則XI+X2=6,yi+y2=xi+x2-2=4,

，所求圓的圓心坐標(biāo)為(3,2),

求得弦長(zhǎng)|陰=芭+&+〃=8,半徑r=%愛+1=4,

所以圓的方程為(》一3)2+。-2)2=16

(2)由題意可知直線/的斜率必存在，設(shè)為k,則直線I的方程為y=Z(x—1).

y2=4x

得外2.4y—4女=0設(shè)4%I，y]),5(X2,y2)，

y=%(xT)

4

則…7，

由E4=26F，仔(XLI,yi)=2(l—X2,一%),

.".yi=_2y2,

；?&2=8,k=±2A/2，

???直線，的方程為y=±2及(x-1),

即直線方程為2岳-)，-2a=0或2vir+y-2&=0

7.已知橢圓氏三+)2=1的右焦點(diǎn)為凡過尸作互相垂直的兩條直線分別與E相交于A，

C和B,Z)四點(diǎn).

(1)四邊形ABC。能否成為平行四邊形，請(qǐng)說明理由;

(2)求IACI+IB0的最小值.

【解析】(1)設(shè)點(diǎn)A(x“y),C(w，%),

若四邊形ABCD是平行四邊形，則四邊形ABCD是菱形，

于是有線段AC與BD在點(diǎn)F處互相平分，而點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,0),

則,+%=0,由橢圓的對(duì)稱性知，AC垂直于x軸，8。垂直于y軸，顯然這時(shí)四邊形ABCD

不是平行四邊形，

所以四邊形ABCD不可能成為平行四邊形.

(2)當(dāng)直線AC的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線AC的方程為y=Mx-l)(Z#0),

由423;消去)，并整理得,物+1*-4人+2公_2=0,則由⑴所設(shè)坐標(biāo)得：

x+2y=2

4k22kI2-2

“+、2=汨7'52=壽丁

1AC|=網(wǎng).{Hx2=卡.J(蕓產(chǎn)4.舒=2職：)'

而直線BD的斜率為-1,同理得，|BD\=2也9+D，于是得14C|+18。|=呼二？)？

kk-+2(2k2+\](k2+2)

令公+l=f>l，則IACI+1町=2；巴］672、80

I1,9一，.「目.僅“'"=2'即火

-(-------)2+—'

t24

當(dāng)宜線AC的斜率不存在時(shí)，|AC|=&,|BD|=20,則有|AC|+|8。|=3&,

當(dāng)直線AC的斜率為零時(shí)，|AC|=2攻，|8。|=友，則有|AC|+18。|=3夜，而3夜>還,

3

所以IACI+IB0的最小值是辿.

3

8.已知橢圓E:5+"=l(a>6>0)經(jīng)過點(diǎn)P(-G，3,橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為(萬,0).

ab2

(1)求橢圓上的方程；

(2)若直線/過點(diǎn)M(0,a)且與橢圓E交于AB兩點(diǎn).求|AB|的最大值.

【解析】(1)依題意，設(shè)橢圓E的左,右焦點(diǎn)分別為邛-GO),F式底0).

則I尸耳I+1PF?|=4=2。，/.。=2,c=G從=1,

.二橢圓E的方程為二+y2=1.

4

(2)當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/:y=H+血，4芭，y),Ba?,y2).

y=kx+6

由If、得（1+4公）/+80入+4=0.

—+y2=l

4

由△＞（）得4^＞1.

由x+x=一龍絲，

121+4公

占芻=彳號(hào)"AB卜，1+—＞/（再+1）2-4*也=2^-6（Y^-）2+--^+1.

設(shè)，=[+1人/’則0＜，＜；,?'-IAB|=2\l-6r+/+1=2^-6（/--^）