數(shù)學(xué)競賽專題講座七年級第6講-話說同類項(含答案)

第六講話說同類項俗話說“物以類聚，人以群分”．在數(shù)學(xué)中，我們把整式中那些含相同的字母、并且相同字母的次數(shù)也分別相同的單項式看作一類——稱為同類項，一個多項式中的同類項可以合聚在一起——稱為合并同類項．整式的加減實質(zhì)就是去括號合并同類項．整式的加減這一章涉及到許多概念，準(zhǔn)確地掌握這些概念并注意它們的區(qū)別與聯(lián)系是解相關(guān)問題的根底，歸納起來就是要注意以下幾點：理解“三式”〔單項式、多項式、整式〕和“四數(shù)”〔底數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、常數(shù)〕的概念，熟悉“兩種排列”〔升冪、降冪〕，掌握三個法那么．解與整式加減相關(guān)問題時，有括號先去括號，有同類項先合并同類項，這樣能使解題過程大為簡化．“實際上，數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，是一門通過開展概念和技巧以使人們更為輕快地前進(jìn)，從而防止蠻力計算的藝術(shù)．”——M．阿蒂亞例題講解【例1】當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀闀r，式子的值恒為一個常數(shù)，這個值是．(北京市“迎春杯”競賽題)思路點撥去掉絕對值符號、合并同類項后，式子應(yīng)不再含“”的項，由此得出的取值范圍．鏈接：數(shù)學(xué)概念是內(nèi)容的根底．是數(shù)學(xué)推理和論證的根底．科學(xué)研究說明，概念的形成過程中，人們的心理活動經(jīng)歷著以下階段：(1)區(qū)分不同的事物；(2)抽象一類事物的共同屬性；(3)用簡潔的語言符號給概念下定義、定名稱．在概念學(xué)習(xí)中，應(yīng)注意以下策略：(1)關(guān)鍵字詞理解的策略；(2)正、反例比照策略；(3)相似概念比擬策略；(4)概念系統(tǒng)化策略．【例2】那么化簡得()．A．B．C．2D．(江蘇省競賽題)思路點撥由條件可推得多個關(guān)系式，這是解本例的關(guān)鍵．【例3】x＝2，y=一4時，代數(shù)式，求當(dāng)時，代數(shù)式的值．思路點撥一般的想法是先求出，的值，這是不可能的(為什么?)解本例的關(guān)鍵是：將給定的、值分別代入對應(yīng)的代數(shù)式，尋找式與待求式之間的聯(lián)系，整體代人求值．【例4】關(guān)于的二次多項式，當(dāng)x=2時多項式的值為，求當(dāng)時，該多項式的值．(“希望杯”邀請賽培訓(xùn)題)思路點撥設(shè)法求出a，b的值，解題的突破口是根據(jù)多項式降冪排列、多項式次數(shù)等概念挖掘隱含的關(guān)于a，b的等式．【例5】(1)：5∣(x+9y)(x，y為整數(shù))，求證：5∣(8x十7y)．(2)試證：每個大于6的自然數(shù)n都可表示為兩個大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和．(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)思路點撥(1)嘗試把8x+7y寫成x+9y的倍數(shù)與5的倍數(shù)的代數(shù)和的形式，(2)逆用整式的加減，將每一類自然數(shù)表示為兩個式子的和，并證明它們互質(zhì)，注意分類討論．鏈接：解代數(shù)式化簡求值問題的根本方法有：將字母的值代入或字母間的關(guān)系整體代入等．關(guān)鍵是對代數(shù)式進(jìn)行恰當(dāng)變形，其中去括號、添括號能改變代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，是變形求簡的一種常用工具．“回到定義中去”，這是美國著名數(shù)學(xué)家玻利亞稱為的一種解題方法，在解題遇到困難的時候，請記住“回到定義中去”這個重要的思考提示．欲證明一個多項式能被某數(shù)整除，常需對該多項式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，或?qū)ψ帜高M(jìn)行代換，充分利用巳知條件及整除的有關(guān)性質(zhì)解決問題．?dāng)?shù)學(xué)中有許多可以類比的對象，如數(shù)與式，整數(shù)與整式．教學(xué)中的許多結(jié)論就是通過類比得到的，同時類比也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的一種有效方法．【例6】如果代數(shù)式的值為2，那么代數(shù)式的值等于______．思路點撥觀察代數(shù)式變換的形式，從整體上入手來解題．鏈接：在解數(shù)學(xué)題時，我們既要能從局部入手，又要善于著眼于整體，即突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，把一些彼此孤立實質(zhì)上緊密聯(lián)系的量作為一個整體來考慮．【例7】設(shè)和均不為零，和是同類項，那么=_________．〔華杯賽試題〕思路點撥由同類項的概念建立、的關(guān)系式，運用這一關(guān)系式求原式的值．【例8】當(dāng)時，代數(shù)式的值為18，這時，代數(shù)式〔〕．A．B．C．D．(希望杯邀請賽試題)根底訓(xùn)練1．是同類項，那么=．(江蘇省競賽題)2．代數(shù)式．(1)當(dāng)=，=時，此代數(shù)式的值與字母的取值無關(guān)；(2)在(1)的條件下，多項式的值為．3．=1999，那么=．4．當(dāng)時，代數(shù)式的值為6，那么當(dāng)時，代數(shù)式的值是．(安徽省中考題)5．火車站和機場都為旅客提供打包效勞，如果長、寬、高分別為、、的箱子按如圖的方式打包，那么打包帶的長至少為()．A．B．C．D．(太原市中考題)6．同時都含有字母，且系數(shù)為1的7次單項式共有()．A．4個B．12個C．15個D．25個(北京市競賽題)7．有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如下圖：那么代數(shù)式化簡后的結(jié)果是()．A．B．C．D．8．，那么的值為〔〕．A．80S．10C．210D．409．把一個正方體的六個面分別標(biāo)上字母A、B、C、D、E、F并展開如下圖，：，，，，假設(shè)正方體相對的兩個面上的多項式的和都相等，求D、F．10．單項式與單項式的和為，求的值．11．對于整式，給定的一個數(shù)值后，如果小穎按四那么運算的規(guī)那么計算該整式的值，需算15次乘法和5次加法．小明說：“有另外一種算法，只要適當(dāng)添加括號，可以做到加法次數(shù)不變，而乘法只算5次”．小明同學(xué)的說法是的．(填“對”或“錯”)〔希望杯邀請賽試題〕12．假設(shè)，那么＝．13．當(dāng)時，代數(shù)式的值等于，那么當(dāng)時，代數(shù)式的值等于．(北京市“迎春杯”競賽題)14．將1，2，3，……，100這100個自然數(shù)，任意分為50組，每組兩個數(shù)，現(xiàn)將每組的兩個數(shù)中任一數(shù)值記作，另一個記作，代入代數(shù)式中進(jìn)行計算，求出其結(jié)果，50組數(shù)代人后可求得50個值，那么這50個值的和的最大值是．15．計算，最后結(jié)果是()．A．0B．C．1999D．16．，那么等于()．A．B．C．D．17．代數(shù)式，當(dāng)＝l時，值為l，那么該代數(shù)式當(dāng)時的值是()．A．1B．C．0D．2〔希望杯邀請賽試題〕18．如果對于某一特定范圍內(nèi)的任意允許值的值恒為一常數(shù)，那么此值為()A．2B．3C．4D．5(安徽省競賽題)19．(1)、為整數(shù)，且，如果，請你證明：．(2)一個三位數(shù)，它的百位數(shù)字加上個位數(shù)字再減去十位數(shù)字所得的數(shù)是11的倍數(shù)．證明：這個三位數(shù)也是11的倍數(shù)．20．在一次游戲中，魔術(shù)師請一個人隨意想一個三位數(shù)(依次是這個數(shù)的百位、十位、個位數(shù)字)，并請這個人算出5個數(shù)、、、與的和N，把N告訴魔術(shù)師，于是魔術(shù)師就可以說出這個人所想的數(shù)．現(xiàn)在設(shè)N=3194，請你當(dāng)魔術(shù)師，求出數(shù)而來．21．、、均為整數(shù)，且，求證：．(北京市競賽題)22．計算多項式的值時有以下3種算法，分別統(tǒng)計3種算法中的乘法次數(shù)．①直接計算：時共有＝6(次)乘法；②利用已有冪運算結(jié)果：，計算時共有(次)乘法；③逐項迭代：，其中等式右端運算中含有3次乘法．請問：(1)分別使用以上3種算法，統(tǒng)計算式中乘法的次數(shù)，并比擬3種算法的優(yōu)劣．(2)對次多項式〔其中為系數(shù)，〕，分別使用以上3種算法統(tǒng)計其中乘法的次數(shù)，并比擬3種算法的優(yōu)劣．答案：1.12.(1)-3,1(2)8.3.40000004.-45.C6.C7.A8.A9.D=3x2-7y+4y2,F=9x2-11xy+2y210.12提示:由題意得b=m-1=n,c=2n-1=m,0.625a=0.25+(-0.125).11.對12.-13.2214.3775提示:不妨設(shè)a>b,原式=a,由此知每組數(shù)的兩個數(shù)代入代數(shù)式運算后的結(jié)果為兩個數(shù)中較大的一個,從整體考慮,只要將51,52,53,…,100這50個數(shù)依次代入每一組中,便可得50個值的和的最大值.15.D16.D17.B18.B提示:2+3+…+9+10=54,而8+9+10=27.19.(1)提示:n=10a+b=10a-50b+51b=10(a-5b)+51b;(2)略20.提示:將abc也加到和N上,由于a、b、c在每一位上都恰好出現(xiàn)兩次,所以abc+N=222(a+b+c)①從而1000+3194>222(a+b+c)>3194,于是15≤a+b+c≤18.因為222×15-3194=136,222×16-3184=358,222×17-3194=580,222×18-3194=802.其中只有3+5+8=16滿足要求,即能使①成立,故abc=358.21.提示:4(3x-7y+12z)=11(3x-2y+3z)-3(7y+2y-5z).22.(1)3種算法中乘法的次數(shù)分別為:①10+9+8+…+2+1=55(次);②2×9+1=19(次);③10次.(2)乘法次數(shù)分別為:①n+(n-1)+…+3+2+1=(次);②2(n-1)+1=2n-1(次);提高訓(xùn)練1．觀察以下等式：，，，，…，這些等式反映了自然數(shù)之間的某種規(guī)律．設(shè)表示自然數(shù)，用關(guān)于的等式表示這個規(guī)律為_____________．〔萊陽市中考題〕2．以下圖案均是用長度相同的小木棒按一定規(guī)律拼搭而成：拼搭第1個圖案需4根小木棒，拼搭第2個圖案需10根小木棒，…．依此規(guī)律，拼搭第8個圖案需要小木棒_______根．〔武漢市中考題〕3．，，，那么___________．〔華杯賽試題〕4．根據(jù)如下圖的〔1〕，〔2〕，〔3〕三個圖所表示的規(guī)律，依次下去第個圖中平行四邊形的個數(shù)是〔〕．A．B．C．D．(貴陽市中考題)5．多項式和的差的值與字母的取值無關(guān)，求代數(shù)式的值．6．假設(shè)代數(shù)式同時滿足條件：〔1〕含字母，；〔2〕含有關(guān)于字母，的加、減、乘、除和乘方運算；〔3〕當(dāng)時，該代數(shù)式的值為．請寫出一個這樣的代數(shù)式____________________．(首屆江蘇省數(shù)學(xué)文化節(jié)根底闖關(guān)題)12．如果，那么=______．(希望杯邀請賽試題)13．，其中、、、、為常數(shù)，當(dāng)，；當(dāng)時，，那么的