2024年涼山州高三數學（理）3月二模檢測試卷附答案解析

2024年涼山州高三數學（理）3月二模檢測試卷全卷滿分150分.考試用時120分鐘.2024.03注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、座位號、準考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確．2．選擇題使用2B鉛筆涂在答題卡對應題目標號的位置上；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應框內，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．3．考試結束后，將答題卡收回．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．已知復數，則（

）A． B．1 C． D．22．已知集合，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．已知在拋物線上，則到的焦點的距離為（

）A． B． C． D．4．已知，且，則在的展開式中，的系數為（

）A．5 B．10 C．15 D．205．已知命題“，”是假命題，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．為了傳承和弘揚雷鋒精神，凝聚榜樣力量．3月5日學雷鋒紀念日來臨之際，涼山州某中學舉辦了主題為“傳承雷鋒精神，踐行時代力量”的征文比賽．此次征文共5個題目，每位參賽學生從中隨機選取一個題目準備作文，則甲、乙，丙三位同學選到互不相同題目的概率為（

）A． B． C． D．7．已知正數滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．若曲線在處的切線與圓C：交于A，B兩點，則為（

）A． B． C． D．9．若實數x，y滿足不等式，則的概率為（

）A． B． C． D．10．已知在三棱錐中，，，底面是邊長為1的正三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．11．若，，則函數的零點個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．312．已知點是曲線上任意一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．設等差數列的前n項和為，若，，則．14．設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則．15．如圖，在平行四邊形中，E，F分別是AD，CD的中點，且，，，則平行四邊形的面積為．

16．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，．點A在C上，點B在y軸．，，則C的漸近線方程為．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．（一）必考題：共60分17．設等比數列的前n項和為，，．(1)求；(2)設，求數列的前n項和．18．常言道：文史不分家，其實數學與物理也不分家．“近代物理學之父”——牛頓大約在1671年，完成了《流數法和無窮級數》這部書，標志著微積分的正式創(chuàng)立．某學校課題小組針對“高中學生物理學習成績與數學學習成績的關系”進行了一系列的研究，得到了高中學生兩學科的成績具有線性相關的結論．現從該校隨機抽取6名學生在一次考試中的物理和數學成績，如表（單位：分）物理成績x636874768590數學成績y9095110110125130(1)經過計算，得到學生的物理學習成績x與數學學習成績y滿足回歸方程．若某位學生的物理成績?yōu)?5分，請預測他的數學成績；(2)若要從抽取的這6名學生中隨機選出3名學生參加一項問卷調查，記數學成績不低于100分的學生人數為X，求X的分布列和數學期望．19．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，平面平面，，是的中點，作交于．

(1)求證：平面；(2)求二面角的正切值．20．古希臘數學家阿基米德用“逼近法”得到：橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢圓的長軸長與短軸長的積．已知是橢圓C：的左焦點，且橢圓C的面積為，離心率為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)設點，，以為直徑的圓與橢圓C在x軸上方交于M，N兩點，求的值21．已知函數．(1)若函數在R上是增函數，求a的取值范圍；(2)設，若，證明：．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數方程]22．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為，（t為參數）．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為．(1)求曲線C的普通方程與直線的直角坐標方程；(2)若與直線垂直的直線交曲線C于A，B兩點，求的最大值．[選修4-5：不等式選講]23．已知函數．(1)求不等式的解集；(2)若函數的最小值為m，且正數a，b，c滿足，求的最小值．1．B【分析】根據給定條件，利用共軛復數及復數除法運算，再求出復數的模.【詳解】復數，則，，所以.故選：B2．B【分析】求出函數值域化簡集合A，再利用給定的運算結果，借助包含關系求解即得.【詳解】集合，而，由，得，則，所以的取值范圍為.故選：B3．D【分析】由拋物線上點可求得，從而得到準線方程，結合拋物線定義可得結果.【詳解】在拋物線上，，解得：，拋物線準線方程為：，由拋物線定義知：點到的焦點的距離為.故選：D.4．B【分析】先根據正態(tài)分布的對稱性求出，在利用二項式定理求的系數.【詳解】因為，且，則，得，則，其含的項為，即的系數為.故選：B.5．B【分析】寫出原命題的否定，即為真命題，然后將有解問題轉化為最值問題求解即可.【詳解】命題“，”是假命題，則“，”是真命題，所以有解，所以，又，因為，所以，即.故選：B.6．D【分析】根據分步計算原理得到總情況數，再利用排列公式得到滿足題意的情況數，最后利用古典概率的計算公式即可.【詳解】甲同學可以選擇一個題目共有5種選法，同理，乙、丙也有5種選法，由分步乘法計數原理，3人到四個社區(qū)參加志愿服務共有種選法；若甲、乙，丙三位同學選到互不相同題目，共有種選法；則甲、乙，丙三位同學選到互不相同題目的概率為.故選：D.7．C【分析】先求出得到，然后代入，利用基本不等式求最值即可.【詳解】，則，則，當且僅當，即時等號成立.故選：C.8．D【分析】根據給定條件，利用導數的幾何意義求出切線的方程，再利用圓的弦長公式計算即得.【詳解】由，求導得，依題意，切線的斜率為，方程為，即，圓C：的圓心，半徑，點到直線的距離，所以.故選：D9．A【分析】畫出不等式表示的平面區(qū)域，同時畫出，根據面積關系求概率.【詳解】，作出其表示的平面區(qū)域如下圖陰影部分：

，則的概率為.故選：A.10．B【分析】根據給定條件，證得平面，再確定三棱錐外接球球心，并求出球半徑及表面積.【詳解】在三棱錐中，，，正的邊長為1，則，即有，同理，而平面，于是平面，令正的外心為，三棱錐外接球球心為，則平面，顯然球心在線段的中垂面上，取的中點，則，而，則四邊形是矩形，，所以球半徑，表面積.故選：B11．C【分析】求導，研究函數單調性，極值，畫圖，根據圖象得零點個數.【詳解】,當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，又，，，，則的草圖如下：由圖象可得函數的零點個數為.故選：C.12．D【分析】判斷直線與曲線的位置關系，利用式子表示的幾何意義，轉化為點與點確定的直線同直線夾角正弦最值求解即可.【詳解】依題意，，令直線，顯然過點，由，得，顯然，即直線與曲線相離，且，則曲線上的點在直線上方，過作于，則，而，因此，令過點的直線與曲線相切的切點為，由，求導得，則此切線斜率，解得，即切點為，而點在曲線的對稱軸上，曲線在過點的兩條切線所夾含原點的區(qū)域及內部，當點的坐標為時，銳角最大，最大，最大，此時，，所以的最大值為.故先：D【點睛】關鍵點點睛：涉及導數的幾何意義的問題，求解時應把握導數的幾何意義是函數圖象在切點處的切線斜率，切點未知，設出切點是解題的關鍵.13．27【分析】根據給定條件，利用等差數列性質求出公差，再求出的值.【詳解】等差數列中，由，得，解得，而，則，于是數列的公差，，所以.故答案為：2714．【分析】根據給定等式，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式計算即得.【詳解】在中，由及正弦定理得：，而，則，整理得，即，又，因此，而，所以.故答案為：15．【分析】延長與的延長線交于，求出的面積，并探討與面積的關系即可求出結果.【詳解】在中，延長與的延長線交于，連接，由E，F分別是AD，CD的中點，得，則，由，得是的中點，且，，，于是，所以的面積.故答案為：

16．【分析】先通過向量的運算得到，設，然后利用勾股定理得到，然后在直角三角形和三角形中同時表示，然后列方程求即可.【詳解】由得，即，所以，設，則由得共線，且，又，所以，在直角三角形中，，所以，解得，所以，，，所以，又，整理得，所以，即，所以，即C的漸近線方程為.故答案為：.17．(1)；(2).【分析】（1）根據給定條件，求出數列的公比即可求出通項公式.（2）由（1）求出，再利用錯位相減法求和即得.【詳解】（1）設等比數列的公比為，由，得，則，即，而，因此，解得，所以.（2）由（1）知，，則，則，于是，兩式相減得，即.18．(1)；(2)分布列見解析，2.【分析】（1）根據給定條件，求出樣本點中心，再求出并作出預測.（2）求出X的可能值及對應的概率，列出分布列并求出期望.【詳解】（1）依題意，，，于是，解得，因此，當時，，所以物理成績?yōu)?5分，預測他的數學成績?yōu)?（2）依題意，數學學習成績低于100分的有2人，數學學習成績不低于100分的有4人，因此X的可能值為1，2，3，，，所以X的分布列為123數學期望.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點，由中位線性質可得，根據線面平行的判定可得結論；（2）由面面垂直性質可得平面，以為坐標原點建立空間直角坐標系，令，結合可構造方程求得，進而得到點坐標，利用二面角的向量求法可求得余弦值，進而得到正切值.【詳解】（1）連接交于點，連接，

四邊形為正方形，為中點，又為中點，，平面，平面，平面.（2），平面平面，平面平面，平面，平面，又，以為坐標原點，正方向為軸正方向，可建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，，，，，，設，則，，，，解得：，，，，設平面的法向量，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一個法向量，由圖形可知：二面角為銳二面角，設其為，則，，即二面角的正切值為.20．(1)(2)【分析】（1）由題意可得出：，解方程求出，即可得出答案.（2）求出以為直徑的圓的方程，聯立橢圓的方程得到，表示出，將韋達定理代入即可得出答案.【詳解】（1）由題意可得出：，解得：，所以橢圓C的標準方程為：.（2）因為，，所以以為直徑的圓的方程為，即，設，則由，得：，所以，又，同理，，所以.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．21．(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據給定條件，利用導數結合單調性，列出不等式求解即得.（2）由（1）的信息可得，利用分析法推理變形，構造函數并利用導數證明即得.【詳解】（1）函數，求導得，依題意，對任意實數，恒成立，而，因此，解得：，所以的取值范圍為.（2）函數的定義域為，由，得，由（1）知，函數在上是增函數，不妨令，則，即，亦即，則，于是，則，下面證明：，即證：，即證：，令，即證：，設，求導得，則函數在上單調遞減，于是，即，所以.【點睛】思路點睛：函數不等式證明問題，將所證不等式等價轉化，構造新函數，再借助函數的單調性、極(最)值問題處理.22．(1)；(2)【分析】（1）將曲線C的參數方程中的參數消去即可得普通方程，利用可將極坐標方程轉化為直角坐標方程；（2）設直線方程為，然后與橢圓方程聯立，利用弦長公式及韋達定理求最值