中考數學總復習《直角三角形》專項測試卷(附答案)

第第頁中考數學總復習《直角三角形》專項測試卷(附答案)（考試時間：90分鐘；試卷滿分：100分）學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1.了解直角三角形的概念；2.證明并掌握直角三角形的性質定理：直角三角形的兩個銳角互余(無需證明)；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；3.掌握直角三角形的判定定理：有兩個角互余的三角形是直角三角形；4.掌握勾股定理；會運用勾股定理解決簡單問題；會用勾股定理的逆定理判定直角三角形；5.掌握直角三角形全等的判定定理：斜邊和一組直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；考點1：直角三角形的性質與判定直角三角形性質1.兩銳角之和等于90°2.斜邊上的中線等于斜邊的一半3.30°角所對的直角邊等于斜邊的一半若有一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對的銳角等于30°（應用時需先證明）勾股定理：若直角三角形的兩直角邊分別為a，b,斜邊為c,則判定1.有一個角為90°的三角形時直角三角形2.有兩個角的和時90°的三角形是直角三角形一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長分別為a,b,c若滿足，那么這個三角形為直角三角形。面積公式，其中a是底邊常，hs是底邊上的高考點2：勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.（3）勾股數：像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數。勾股數滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數【題型1：直角三角形的性質與判定】【典例1】（2022?紹興）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點B放在直線EF上，∠C＝30°，AC∥EF，則∠1＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°1．（2022?岳陽）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點D，若∠C＝40°，則∠1的度數是（）A．30° B．40° C．50° D．60°2．（2023?貴州）5月26日，“2023中國國際大數據產業(yè)博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120°，腰長為12m，則底邊上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m【題型2：勾股定理及逆定理】【典例2】（2023?恩施州）《九章算術》被稱為人類科學史上應用數學的“算經之首”．書中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少（如圖）？答：門高、寬和對角線的長分別是尺．1．（2023?天津）如圖，在△ABC中分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑作弧（弧所在圓的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點，直線MN分別與邊BC，AC相交于點D，E，連接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，則AB的長為（）A．9 B．8 C．7 D．62．（2023?東營）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為km．3．（2023?安徽）清初數學家梅文鼎在著作《平三角舉要》中對南宋數學家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設計直角三角形，得出了一個結論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD＝（BC+）．當AB＝7，BC＝6，AC＝5時，CD＝．4．（2023?廣安）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm，底面周長為16cm，在杯內壁離杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對的點B處，則螞蟻從外壁B處到內壁A處所走的最短路程為cm．（杯壁厚度不計）【題型3：勾股定理與弦圖、拼圖】【典例3】（2020?隨州）勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．（1）①請敘述勾股定理；②勾股定理的證明，人們已經找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理；（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）（2）①如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足S1+S2＝S3的有個；②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，請判斷S1，S2，S3的關系并證明；（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”．在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中設大正方形M的邊長為定值m，四個小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，則當∠α變化時，回答下列問題：（結果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝；②b與c的關系為，a與d的關系為．1．（2022?湘潭）中國古代數學家趙爽在為《周髀算經》作注解時，用4個全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中小正方形面積與每個直角三角形面積均為1，α為直角三角形中的一個銳角，則tanα＝（）A．2 B． C． D．2．（2022?永州）我國古代數學家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識地給出了勾股定理的證明．如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則AE＝．一．選擇題（共7小題）1．在Rt△ABC中若一個銳角等于40°，則另一個銳角的度數為（）A．40° B．45° C．50° D．60°2．如圖，在△ABC中∠ACB＝90°，點D在AB上，沿CD折疊，使A點落在BC邊上的E點，若∠B＝26°，則∠CDE的度數為（）A．52° B．71° C．72° D．81°3．如圖，在△ABC中∠C＝90°，∠A＝15°，點D是AC上一點，連接BD，∠DBC＝60°，BC＝2，則AD長是（）A．4 B．5 C．6 D．84．以2，3為直角邊的直角三角形斜邊長為（）A． B． C．4 D．55．下列各組數據是勾股數的是（）A．，， B．4，5，6 C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，416．如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，則需要添加的條件是（）A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD7．如圖所示，已知在△ABC中∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于點E，若∠B＝28°，則∠AEC＝（）A．28° B．59° C．60° D．62°二．填空題（共6小題）8．如圖，在△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝40°，D為線段AB的中點，則∠BCD＝°．9．我國古代數學著作《九章算術》記載了這樣一個有趣的問題：“有一個水池，水面是邊長為10尺的正方形，在水池中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果將這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端剛好達到岸邊的水面”，則水池的深度為尺．10．如圖△ABC中∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，則∠D＝．11．如圖，在一個三角形的紙片（△ABC）中∠C＝90°，則圖中∠1+∠2的度數為°．12．如圖，在Rt△ACB中∠ACB＝90°，以AC為邊向外作正方形ADEC，若圖中陰影部分的面積為9cm2，BC＝4cm，則AB＝cm．13．如圖，D為△ABC內一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，則AC的長為．三．解答題（共4小題）14．如圖，在△ABC中D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F，且DE＝DF．求證：Rt△BDE≌Rt△CDF．15．如圖，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．（1）證明：△ABC是直角三角形．（2）請求圖中陰影部分的面積．16．如圖1，蕩秋千是中國古代北方少數民族創(chuàng)造的一種運動．有一天，小明在公園里游玩，如圖2，他發(fā)現秋千靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送6m（水平距離BC＝6m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝CE＝3m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度？17．一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？一．選擇題（共5小題）1．如圖，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，點D是AC上一點，將△ABD沿線段BD翻折，使得點A落在A'處，若∠A'BC＝20°，則∠CBD＝（）A．5° B．10° C．15° D．20°2．如圖，Rt△ABC中∠C＝90°，∠ABC＝60°，以頂點B為圓心、適當長為半徑作弧，在邊BC、BA上截取BE、BD；然后分別以點D、E為圓心、以大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠CBA內交于點F；作射線BF交AC于點G．若AC＝6，P為邊AB上一動點，則GP的最小值為（）A．3 B．2 C．1 D．無法確定3．如圖，△ABC中∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，動點P在斜邊AB所在的直線m上運動，連接PC，那點P在直線m上運動時，能使圖中出現等腰三角形的點P的位置有（）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個4．如圖，線段OP＝1，過點P作PP1⊥OP且PP1＝1，連結OP1；過點P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，連結OP2；過點P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，連結OP3，則OP3的長為（）A．1 B． C． D．25．如圖，以Rt△ABC的三條邊作三個正三角形，則S1、S2、S3、S4的關系為（）A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能確定二．填空題（共3小題）6．如圖，在△ABC，∠ACB＝90°，分別以三邊為直徑向上作三個半圓．若AB＝5，AC＝4，則陰影部分圖形的面積為．7．如圖，在一個長方形草坪ABCD上，放著一根長方體的木塊．已知AD＝12米，AB＝8米，該木塊的較長邊與AD平行，橫截面是邊長為1米的正方形，一只螞蟻從點A爬過木塊到達C處需要走的最短路程是米．如圖①，四個全等的直角三角形與一個小正方形，恰好拼成一個大正方形，這個圖形是由我國漢代數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．如果圖①中的直角三角形的長直角邊為7cm，短直角邊為3cm，連結圖②中四條線段得到如圖③的新圖案，則圖③中陰影部分的周長為cm．三．解答題（共4小題）9．如圖，在△ABC中∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點同時停止運動，設點P的運動時間為ts．（1）當t為何值時，△PBQ為等邊三角形？（2）當t為何值時，△PBQ為直角三角形？10．如圖，等腰直角三角板如圖放置．直角頂點B在直線CD上，分別過點A、E作AC⊥直線CD于點C，ED⊥直線CD于點D．（1）求證：CD＝AC+ED．（2）若設△ABC三邊長分別為a、b、c，利用此圖證明勾股定理．11．如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，現在要在鐵路AB上建一個土特產品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等．問：（1）在離A站多少km處？（2）判定三角形DEC的形狀．12．今年第6號臺風“煙花”登陸我國沿海地區(qū)，風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上的兩點A、B的距離分別為AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，經測量，距離臺風中心260km及以內的地區(qū)會受到影響．（1）海港C受臺風影響嗎？為什么？（2）若臺風中心的移動速度為28千米/時，則臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？1．（2023?株洲）一技術人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A、B對應的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm2．（2022?永州）如圖，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，∠C＝60°，點D為邊AC的中點，BD＝2，則BC的長為（）A． B．2 C．2 D．43．（2020?河北）如圖是用三塊正方形紙片以頂點相連的方式設計的“畢達哥拉斯”圖案．現有五種正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三塊（可重復選?。┌慈鐖D的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，44．（2022?陜西）如圖，是一個棱長為1的正方體紙盒．若一只螞蟻要沿著正方體紙盒的表面，從頂點A爬到頂點B去覓食，則需要爬行的最短路程是（）A． B．2 C． D．35．（2023?攀枝花）如圖，在△ABC中∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，則∠EBC＝．6．（2023?郴州）如圖，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點M是AB的中點，求CM＝．7．（2023?大連）如圖，在平面直角坐標系中點A，B的坐標分別為（1，0）和（0，2），連接AB，以點A為圓心、AB的長為半徑畫弧，與x軸正半軸相交于點C，則點C的橫坐標是．8．（2023?隨州）如圖，在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D為AC上一點，若BD是∠ABC的角平分線，則AD＝．9．（2023?揚州）我國漢代數學家趙爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，若b﹣a＝4，c＝20，則每個直角三角形的面積為．10．（2021?杭州）如圖，在△ABC中∠ABC的平分線BD交AC邊于點D，AE⊥BC于點E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．（1）求證：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面積．參考答案與解析1.了解直角三角形的概念；2.證明并掌握直角三角形的性質定理：直角三角形的兩個銳角互余(無需證明)；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；3.掌握直角三角形的判定定理：有兩個角互余的三角形是直角三角形；4.掌握勾股定理；會運用勾股定理解決簡單問題；會用勾股定理的逆定理判定直角三角形；5.掌握直角三角形全等的判定定理：斜邊和一組直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；考點1：直角三角形的性質與判定直角三角形性質1.兩銳角之和等于90°2.斜邊上的中線等于斜邊的一半3.30°角所對的直角邊等于斜邊的一半若有一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對的銳角等于30°（應用時需先證明）勾股定理：若直角三角形的兩直角邊分別為a，b,斜邊為c,則判定1.有一個角為90°的三角形時直角三角形2.有兩個角的和時90°的三角形是直角三角形一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長分別為a,b,c若滿足，那么這個三角形為直角三角形。面積公式，其中a是底邊常，hs是底邊上的高考點2：勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.（3）勾股數：像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數。勾股數滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數【題型1：直角三角形的性質與判定】【典例1】（2022?紹興）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點B放在直線EF上，∠C＝30°，AC∥EF，則∠1＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°∴∠C＝∠CBF＝30°∵∠ABC＝90°∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°故選：C．1．（2022?岳陽）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點D，若∠C＝40°，則∠1的度數是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【解答】解：在Rt△CDE中∠CDE＝90°，∠DCE＝40°則∠CED＝90°﹣40°＝50°∵l∥AB∴∠1＝∠CED＝50°故選：C．2．（2023?貴州）5月26日，“2023中國國際大數據產業(yè)博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120°，腰長為12m，則底邊上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m【答案】B【解答】解：如圖，作AD⊥BC于點D在△ABC中∠BAC＝120°，AB＝AC∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°又∵AD⊥BC∴AD＝AB＝12＝6（m）故選：B【題型2：勾股定理及逆定理】【典例2】（2023?恩施州）《九章算術》被稱為人類科學史上應用數學的“算經之首”．書中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少（如圖）？答：門高、寬和對角線的長分別是8，6，10尺．【答案】8，6，10．【解答】解：設門對角線的長為x尺，則門高為（x﹣2）尺，門寬為（x﹣4）尺根據勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4解得：x1＝2（不合題意舍去），x2＝1010﹣2＝8（尺）10﹣4＝6（尺）．答：門高8尺，門寬6尺，對角線長10尺．故答案為：8，6，10．1．（2023?天津）如圖，在△ABC中分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點，直線MN分別與邊BC，AC相交于點D，E，連接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，則AB的長為（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】D【解答】解：由題意得：MN是AC的垂直平分線∴AC＝2AE＝8，DA＝DC∴∠DAC＝∠C∵BD＝CD∴BD＝AD∴∠B＝∠BAD∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°∴2∠BAD+2∠DAC＝180°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠BAC＝90°在Rt△ABC中BC＝BD+CD＝2AD＝10∴AB＝＝＝6故選：D．2．（2023?東營）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為50km．【答案】50．【解答】解：如圖：由題意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF∴∠DAB＝∠ABE＝60°∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°在Rt△ABC中AB＝30km，BC＝40kmAC＝＝＝50（km）∴A，C兩港之間的距離為50km故答案為：503．（2023?安徽）清初數學家梅文鼎在著作《平三角舉要》中對南宋數學家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設計直角三角形，得出了一個結論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD＝（BC+）．當AB＝7，BC＝6，AC＝5時，CD＝1．【答案】1．【解答】解：∵BD＝（BC+），AB＝7，BC＝6，AC＝5∴BD＝（6+）＝5∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1故答案為：1．4．（2023?廣安）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm，底面周長為16cm，在杯內壁離杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對的點B處，則螞蟻從外壁B處到內壁A處所走的最短路程為10cm．（杯壁厚度不計）【答案】10．【解答】解：如圖：將杯子側面展開，作B關于EF的對稱點B′連接B′A，則B′A即為最短距離B′A＝＝＝10（cm）．故答案為：10．【題型3：勾股定理與弦圖、拼圖】【典例3】（2020?隨州）勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．（1）①請敘述勾股定理；②勾股定理的證明，人們已經找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理；（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）（2）①如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足S1+S2＝S3的有3個；②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，請判斷S1，S2，S3的關系并證明；（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”．在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中設大正方形M的邊長為定值m，四個小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，則當∠α變化時，回答下列問題：（結果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b與c的關系為b＝c，a與d的關系為a+d＝m．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）①如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2＝c2．（或者：在直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．）②證明：在圖1中大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即c2＝ab×4+（b﹣a）2化簡得：a2+b2＝c2．在圖2中大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即（a+b）2＝c2+ab×4化簡得：a2+b2＝c2．在圖3中梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和．即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2化簡得：a2+b2＝c2．（2）①三個圖形中面積關系滿足S1+S2＝S3的有3個；故答案為3；②結論：S1+S2＝S3．∵S1+S2＝（）2+（）2+S3﹣（）2∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3∴a2+b2＝c2．∴S1+S2＝S3．（3）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b與c的關系為b＝c，a與d的關系為a+d＝m．故答案為：m2；b＝c，a+d＝m．1．（2022?湘潭）中國古代數學家趙爽在為《周髀算經》作注解時，用4個全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中小正方形面積與每個直角三角形面積均為1，α為直角三角形中的一個銳角，則tanα＝（）A．2 B． C． D．【答案】A【解答】解：由已知可得大正方形的面積為1×4+1＝5設直角三角形的長直角邊為a，短直角邊為b則a2+b2＝5，a﹣b＝1解得a＝2，b＝1或a＝1，b＝﹣2（不合題意，舍去）∴tanα＝＝＝2故選：A．2．（2022?永州）我國古代數學家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識地給出了勾股定理的證明．如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則AE＝3．【答案】3．【解答】解：∵大正方形的面積是25，小正方形的面積是1∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1根據題意，設AF＝DE＝CH＝BG＝x則AE＝x﹣1在Rt△AED中AE2+ED2＝AD2∴（x﹣1）2+x2＝52解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去）∴x﹣1＝3故答案為：3．一．選擇題（共7小題）1．在Rt△ABC中若一個銳角等于40°，則另一個銳角的度數為（）A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】C【解答】解：∵直角三角形中一個銳角等于40°∴另一個銳角的度數＝90°﹣40°＝50°．故選：C．2．如圖，在△ABC中∠ACB＝90°，點D在AB上，沿CD折疊，使A點落在BC邊上的E點，若∠B＝26°，則∠CDE的度數為（）A．52° B．71° C．72° D．81°【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝26°∴∠A＝90°﹣26°＝64°根據折疊，∠CDE＝∠ADC，∠ACD＝∠BCD＝45°∴∠ADC＝180°﹣45°﹣64°＝71°∴∠CDE＝∠ADC＝71°故選：B．3．如圖，在△ABC中∠C＝90°，∠A＝15°，點D是AC上一點，連接BD，∠DBC＝60°，BC＝2，則AD長是（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°∴BD＝2BC＝4∵∠A＝15°∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°∴∠A＝∠ABD＝15°∴AD＝BD＝4故選：A．4．以2，3為直角邊的直角三角形斜邊長為（）A． B． C．4 D．5【答案】B【解答】解：以2，3為直角邊的直角三角形斜邊長＝＝故選：B．5．下列各組數據是勾股數的是（）A．，， B．4，5，6 C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，41【答案】D【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能構成直角三角形，故不符合題意；B、42+52≠62，不能構成直角三角形，故不符合題意；C、0.32+0.42＝0.52，能構成直角三角形，但不是整數，故不符合題意；D、92+402＝412，能構成直角三角形，且9，40，41是正整數，故符合題意．故選：D．6．如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，則需要添加的條件是（）A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD【答案】A【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD∴∠ABD＝∠CDB＝90°A．AD＝CB，BD＝DB，符合兩直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本選項符合題意；B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合兩直角三角形全等的判定定理AAS，不是兩直角三角形全等的判定定理HL，故本選項不符合題意；C．∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，不符合兩直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本選項不符合題意；D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合兩直角三角形全等的判定定理SAS，不是兩直角三角形全等的判定定理HL，故本選項不符合題意；故選：A．7．如圖所示，已知在△ABC中∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于點E，若∠B＝28°，則∠AEC＝（）A．28° B．59° C．60° D．62°【答案】B【解答】解：在△ABC中∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于點E，且AE＝AE∴△CAE≌△DAE（HL）∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°∴∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．故選：B．二．填空題（共6小題）8．如圖，在△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝40°，D為線段AB的中點，則∠BCD＝50°．【答案】50．【解答】解：∵在△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝40°∴∠B＝50°．∵D為線段AB的中點∴CD＝BD∴∠BCD＝∠B＝50°．故答案為：50．9．我國古代數學著作《九章算術》記載了這樣一個有趣的問題：“有一個水池，水面是邊長為10尺的正方形，在水池中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果將這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端剛好達到岸邊的水面”，則水池的深度為12尺．【答案】見試題解答內容【解答】解：設水池的深度為x尺，由題意得：x2+（10÷2）2＝（x+1）2解得：x＝12答：水的深度是12尺．故答案為：12．10．如圖△ABC中∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，則∠D＝40°．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵∠FCD＝75°∴∠A+∠B＝75°∵∠A：∠B＝1：2∴∠A＝×75°＝25°∵DE⊥AB于E∴∠AFE＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°∴∠CFD＝∠AFE＝65°∵∠FCD＝75°∴∠D＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣65°﹣75°＝40°．故答案為：40°11．如圖，在一個三角形的紙片（△ABC）中∠C＝90°，則圖中∠1+∠2的度數為270°．【答案】270．【解答】解：∵∠C＝90°∴∠A+∠B＝90°∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°故答案為：270．12．如圖，在Rt△ACB中∠ACB＝90°，以AC為邊向外作正方形ADEC，若圖中陰影部分的面積為9cm2，BC＝4cm，則AB＝5cm．【答案】5．【解答】解：∵正方形ADEC的面積為9∴AC2＝9在Rt△ABC中由勾股定理得AB＝＝＝5（cm）故答案為：5．13．如圖，D為△ABC內一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，則AC的長為5．【答案】5．【解答】解：延長BD與AC交于點E∵∠A＝∠ABD∴BE＝AE∵BD⊥CD∴BE⊥CD∵CD平分∠ACB∴∠BCD＝∠ECD∴∠EBC＝∠BEC∴BC＝CE∵BE⊥CD∴2BD＝BE∵BD＝1，BC＝3∴CE＝3∴AE＝BE＝2∴AC＝AE+EC＝2+3＝5．故答案為：5．三．解答題（共4小題）14．如圖，在△ABC中D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F，且DE＝DF．求證：Rt△BDE≌Rt△CDF．【答案】見解析．【解答】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠DEB＝∠DFC＝90°∵D是BC的中點∴BD＝CD在Rt△BDE與Rt△CDF中∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．15．如圖，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．（1）證明：△ABC是直角三角形．（2）請求圖中陰影部分的面積．【答案】見試題解答內容【解答】（1）證明：∵在Rt△ADC中∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100∴AC＝10（取正值）．在△ABC中∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676∴AC2+BC2＝AB2∴△ABC為直角三角形；（2）解：S陰影＝SRt△ABC﹣SRt△ACD＝×10×24﹣×8×6＝96．16．如圖1，蕩秋千是中國古代北方少數民族創(chuàng)造的一種運動．有一天，小明在公園里游玩，如圖2，他發(fā)現秋千靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送6m（水平距離BC＝6m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝CE＝3m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度？【答案】10m．【解答】解：由題意得：∠ACB＝90°在Rt△ACB中由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2設繩索AD的長度為xm，則AC＝（x﹣2）m∴x2＝62+（x﹣2）2解得：x＝10答：繩索AD的長度是10m．17．一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）根據勾股定理：梯子距離地面的高度為：＝24（米）；（2）梯子下滑了4米即梯子距離地面的高度為A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米）根據勾股定理得：25＝解得CC′＝8．即梯子的底端在水平方向滑動了8米．一．選擇題（共5小題）1．如圖，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，點D是AC上一點，將△ABD沿線段BD翻折，使得點A落在A'處，若∠A'BC＝20°，則∠CBD＝（）A．5° B．10° C．15° D．20°【答案】D【解答】解：由折疊得∠ABD＝∠A'BD∵在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°∴∠ABC＝60°∵∠A'BC＝20°∴∠ABA'＝80°∴∠ABD＝∠A'BD＝40°∴∠CBD＝∠A'BD﹣∠A'BC＝20°故選：D．2．如圖，Rt△ABC中∠C＝90°，∠ABC＝60°，以頂點B為圓心、適當長為半徑作弧，在邊BC、BA上截取BE、BD；然后分別以點D、E為圓心、以大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠CBA內交于點F；作射線BF交AC于點G．若AC＝6，P為邊AB上一動點，則GP的最小值為（）A．3 B．2 C．1 D．無法確定【答案】B【解答】解：由尺規(guī)作圖步驟可得，BG平分∠ABC∵∠C＝90°，∠ABC＝60°∴∠CBG＝∠ABG＝30°，∠A＝30°∴AB＝2BC，而AC＝6∴（2BC）2﹣BC2＝62解得：BC2＝12同理可得：BG＝2GC∴（2GC）2﹣GC2＝BC2＝12∴GC＝2當GP⊥AB時，GP最短，此時根據角平分線的性質可得GP＝GC＝2故選：B．3．如圖，△ABC中∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，動點P在斜邊AB所在的直線m上運動，連接PC，那點P在直線m上運動時，能使圖中出現等腰三角形的點P的位置有（）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【答案】C【解答】解：如圖所示：以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交直線m于點P4，P2以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交直線m于點P1，P3邊AC和BC的垂直平分線都交于點P3位置因此出現等腰三角形的點P的位置有4個故選：C．4．如圖，線段OP＝1，過點P作PP1⊥OP且PP1＝1，連結OP1；過點P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，連結OP2；過點P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，連結OP3，則OP3的長為（）A．1 B． C． D．2【答案】D【解答】解：由勾股定理得：＝OP2+＝2＝+＝3OP3＝＝2．故選：D．5．如圖，以Rt△ABC的三條邊作三個正三角形，則S1、S2、S3、S4的關系為（）A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能確定【答案】C【解答】解：如圖，設Rt△ABC的三條邊AB＝c，AC＝b，BC＝a∵△ACG，△BCH，△ABF是等邊三角形∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6∵c2＝a2+b2∴S1+S3＝S2+S4故選：C．二．填空題（共3小題）6．如圖，在△ABC，∠ACB＝90°，分別以三邊為直徑向上作三個半圓．若AB＝5，AC＝4，則陰影部分圖形的面積為6．【答案】6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4∴BC2+AC2＝AB2，BC＝＝＝3∴S△ABC＝BC?AC＝×3×4＝6設以BC為直徑的半圓的面積為S1，以AB為直徑的半圓的面積為S3，以AC為直徑的半圓的面積為S2∵S1＝π?（BC）2＝BC2，S2＝π?（AC）2＝AC2，S3＝π?（AB）2＝AB2∴S陰影＝S2+S1+S△ABC﹣S3＝（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABC＝6故答案為：6．7．如圖，在一個長方形草坪ABCD上，放著一根長方體的木塊．已知AD＝12米，AB＝8米，該木塊的較長邊與AD平行，橫截面是邊長為1米的正方形，一只螞蟻從點A爬過木塊到達C處需要走的最短路程是2米．【答案】見試題解答內容【解答】解：把立體圖形展開為平面圖形得：展開后AB方向上線段長度變長，長度為AB+1+1＝8+2＝10米，BC＝AD＝12米，AB⊥BC∴AC＝＝2（米）故答案為：2．8．如圖①，四個全等的直角三角形與一個小正方形，恰好拼成一個大正方形，這個圖形是由我國漢代數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．如果圖①中的直角三角形的長直角邊為7cm，短直角邊為3cm，連結圖②中四條線段得到如圖③的新圖案，則圖③中陰影部分的周長為32cm．【答案】32．【解答】解：由題意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm∴BC＝7﹣3＝4（cm）由勾股定理得：AC＝＝5（cm）∴陰影的周長＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案為：32．三．解答題（共4小題）9．如圖，在△ABC中∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點同時停止運動，設點P的運動時間為ts．（1）當t為何值時，△PBQ為等邊三角形？（2）當t為何值時，△PBQ為直角三角形？【答案】（1）；（2）或t＝1．【解答】解：在△ABC中∵∠C＝90°，∠A＝30°∴∠B＝60°．∵4÷2＝2∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）當BP＝BQ時，△PBQ為等邊三角形．即4﹣2t＝t．∴．當時，△PBQ為等邊三角形；（2）若△PBQ為直角三角形①當∠BQP＝90°時，BP＝2BQ即4﹣2t＝2t∴t＝1．②當∠BPQ＝90°時，BQ＝2BP即t＝2（4﹣2t）∴．即當或t＝1時，△PBQ為直角三角形．10．如圖，等腰直角三角板如圖放置．直角頂點B在直線CD上，分別過點A、E作AC⊥直線CD于點C，ED⊥直線CD于點D．（1）求證：CD＝AC+ED．（2）若設△ABC三邊長分別為a、b、c，利用此圖證明勾股定理．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解答】證明：（1）∵∠ABC+∠EBD＝90°∠ABC+∠BAC＝90°∴∠BAC＝∠EBD∵△ABE是等腰直角三角形∴AB＝BE在△ABC與△BED中∴△ABC≌△BED（AAS）∴BC＝DE，BD＝AC∴CD＝BC+BD＝AC+ED；（2）由（1）知，DE＝BC＝a，BD＝AC＝b∴S梯形ACDE＝又∵S梯形ACDE＝S△ABC+S△ABE+S△BDE＝ab++＝ab+∴∴a2+b2＝c2．11．如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，現在要在鐵路AB上建一個土特產品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等．問：（1）在離A站多少km處？（2）判定三角形DEC的形狀．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵使得C，D兩村到E站的距離相等．∴DE＝CE∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B∴∠A＝∠B＝90°∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2∴AE2+AD2＝BE2+BC2設AE＝x，則BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）∵DA＝15km，CB＝10km∴x2+152＝（25﹣x）2+102解得：x＝10∴AE＝10km；（2）△DEC是直角三角形，理由如下：∵△DAE≌△EBC∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB∠DEA+∠D＝90°∴∠DEA+∠CEB＝90°∴∠DEC＝90°即△DEC是直角三角形．12．今年第6號臺風“煙花”登陸我國沿海地區(qū)，風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上的兩點A、B的距離分別為AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，經測量，距離臺風中心260km及以內的地區(qū)會受到影響．（1）海港C受臺風影響嗎？為什么？（2）若臺風中心的移動速度為28千米/時，則臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？【答案】（1）海港C受臺風影響，理由見解答過程；（2）臺風影響該海港持續(xù)的時間為小時．【解答】解：（1）海港C受臺風影響，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km∴AC2+BC2＝AB2∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；過點C作CD⊥AB于D∵△ABC是直角三角形∴AC×BC＝CD×AB∴300×400＝500×CD∴CD＝240（km）∵以臺風中心為圓心周圍260km以內為受影響區(qū)域∴海港C受臺風影響；（2）當EC＝260km，FC＝260km時，正好影響C港口∵ED＝（km）∴EF＝2ED＝200km∵臺風的速度為28千米/小時∴200÷28＝（小時）．答：臺風影響該海港持續(xù)的時間為小時．1．（2023?株洲）一技術人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A、B對應的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【答案】B【解答】解：由圖可得∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），點D為線段AB的中點∴CD＝AB＝3cm故選：B．2．（2022?永州）如圖，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，∠C＝60°，