微積分（第三版）課件：極限與連續(xù)

1線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分極限與連續(xù)第一節(jié)數(shù)列的極限第二節(jié)函數(shù)的極限第三節(jié)無窮小與無窮大第四節(jié)極限的運算法則第五節(jié)兩個重要極限第六節(jié)無窮小的比較第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性極限與連續(xù)第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列的概念二、數(shù)列的極限三、數(shù)列極限存在準(zhǔn)則問題導(dǎo)言——極限思想方法的歷史淵源第一節(jié)數(shù)列的極限

自然界中有很多量僅僅通過有限次的算術(shù)運算是計算不出來的,而必須通過分析一個無限變化的過程的變化趨勢才能求得結(jié)果,這正是極限思想和極限概念產(chǎn)生的客觀基礎(chǔ).

極限思想的淵遠(yuǎn)流源,早在2500年前就已產(chǎn)生.

古希臘偉大數(shù)學(xué)家阿基米德(Archimedes公元前287—212年)曾用窮竭法解決過曲邊三角形的面積.

公元三世紀(jì),我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在其所著的《九章算術(shù)》中增用割圓術(shù)解決了圓的面積.這些方法中都已滲透著極限的思想.劉徽割圓術(shù)阿基米德窮竭法xoy一、數(shù)列的概念定義按一定順序排列起來的無窮多個數(shù)稱為數(shù)列.通常稱為數(shù)列的第一項,為第二項，將第n項稱為通項或一般項.數(shù)列可以簡記為.例數(shù)列可以理解為關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，因此,數(shù)列又稱為整變量函數(shù),其定義域是正整數(shù)集.數(shù)列的幾何表示(1)用數(shù)軸上的點列表示數(shù)列.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(2)用坐標(biāo)面上的點表示數(shù)列.單調(diào)增加的.單調(diào)增加或單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.單調(diào)減少的.例定義在數(shù)軸上,單調(diào)增加的數(shù)列是自左向右依次排列的點列.單調(diào)減少的數(shù)列是自右向左依次排列的點列.

定義對于數(shù)列,若存在正數(shù)M,使得對于一切的n都有成立,則稱數(shù)列是有界的,否則稱是無界的.例為有界數(shù)列.在數(shù)軸上,對有界數(shù)列表示的點列全部落在某一區(qū)間[－M，M]之內(nèi),表示無界數(shù)列的點列,無論區(qū)間[－M，M]多么長,總有落在該區(qū)間之外的點.圓內(nèi)接正多邊形的面積數(shù)列

1.割圓術(shù)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)關(guān)于圓的面積計算中提到:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”圓內(nèi)接正六邊形的面積圓內(nèi)接正十二邊形的面積圓內(nèi)接正邊形的面積二、數(shù)列極限問題引例2.截丈問題我國古代著名的“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”的論斷,就是數(shù)列極限思想的體現(xiàn).變化趨勢觀察下列數(shù)列的變化趨勢.三、數(shù)列的極限數(shù)列的變化趨勢,可以通過平面直角坐標(biāo)系上的圖形來直觀表示.(3)當(dāng)n無限增大時，沒有確定的變化趨勢.

(2)當(dāng)n無限增大時，無限接近于0.(1)當(dāng)n無限增大時，無限接近于1.數(shù)列的變化趨勢(4)當(dāng)n無限增大時，無限增大.

定義設(shè)數(shù)列,若當(dāng)n無限地增大時,

無限趨近于某一確定常數(shù)A,則稱常數(shù)A為數(shù)列在n趨于無窮大時的極限.記為觀察幾何圖形可知下述數(shù)列的極限數(shù)列極限定義的精確化數(shù)列極限定義用邏輯語言表述為：注：正數(shù)具有任意性和給定性，它是用于衡量與A接近程度的.極限定義的幾何意義當(dāng)時，所有點全部落在區(qū)間內(nèi)，只有有限多個（最多N個）點落在區(qū)間之外.當(dāng)n無限增大時，區(qū)間向點A無限收縮，介于區(qū)間內(nèi)的點就向A無限趨近.例

證明分析

因為對于任意給定，要使，只要即即可.證明對于任意給定，取所以例

證明證明由于所以因此，要使只要即，于是對于任意給定，取四、收斂數(shù)列的性質(zhì)定理(唯一性)

若數(shù)列收斂,則其極限唯一.定理

(有界性)

收斂數(shù)列必有界.

例數(shù)列是有界的,而是發(fā)散的.說明:(1)無界數(shù)列一定是發(fā)散的.(2)數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件,但非充分條件.定理

（單調(diào)有界原理）

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.單調(diào)有界準(zhǔn)則

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.準(zhǔn)則的幾何解釋:在數(shù)軸上,對應(yīng)于單調(diào)數(shù)列的點列只能從開始向一個方向排列,所以只有兩種可能情況：或者點列沿數(shù)軸移向無窮遠(yuǎn)處(此時發(fā)散)；或者點列無限趨近于某一個定點a(常數(shù))，也就是以A為極限.因此,對有界數(shù)列必有極限.例

設(shè)

觀察數(shù)列的極限

由數(shù)據(jù)和圖形觀察數(shù)列的變化趨勢123510100100010000…22.252.372.4882.5942.7052.7172.718…可以看出，當(dāng)時，數(shù)列變化的大致趨勢是單調(diào)遞增，且可以證明

數(shù)e是一個無理數(shù)23線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分極限與連續(xù)第一節(jié)數(shù)列的極限第二節(jié)函數(shù)的極限第三節(jié)無窮小與無窮大第四節(jié)極限的運算法則第五節(jié)兩個重要極限第六節(jié)無窮小的比較第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性極限與連續(xù)第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列的概念二、數(shù)列的極限三、數(shù)列極限存在準(zhǔn)則問題導(dǎo)言——極限思想方法的歷史淵源第一節(jié)數(shù)列的極限

自然界中有很多量僅僅通過有限次的算術(shù)運算是計算不出來的,而必須通過分析一個無限變化的過程的變化趨勢才能求得結(jié)果,這正是極限思想和極限概念產(chǎn)生的客觀基礎(chǔ).

極限思想的淵遠(yuǎn)流源,早在2500年前就已產(chǎn)生.

古希臘偉大數(shù)學(xué)家阿基米德(Archimedes公元前287—212年)曾用窮竭法解決過曲邊三角形的面積.

公元三世紀(jì),我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在其所著的《九章算術(shù)》中增用割圓術(shù)解決了圓的面積.這些方法中都已滲透著極限的思想.劉徽割圓術(shù)阿基米德窮竭法xoy一、數(shù)列的概念定義按一定順序排列起來的無窮多個數(shù)稱為數(shù)列.通常稱為數(shù)列的第一項,為第二項，將第n項稱為通項或一般項.數(shù)列可以簡記為.例數(shù)列可以理解為關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，因此,數(shù)列又稱為整變量函數(shù),其定義域是正整數(shù)集.數(shù)列的幾何表示(1)用數(shù)軸上的點列表示數(shù)列.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(2)用坐標(biāo)面上的點表示數(shù)列.單調(diào)增加的.單調(diào)增加或單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.單調(diào)減少的.例定義在數(shù)軸上,單調(diào)增加的數(shù)列是自左向右依次排列的點列.單調(diào)減少的數(shù)列是自右向左依次排列的點列.

定義對于數(shù)列,若存在正數(shù)M,使得對于一切的n都有成立,則稱數(shù)列是有界的,否則稱是無界的.例為有界數(shù)列.在數(shù)軸上,對有界數(shù)列表示的點列全部落在某一區(qū)間[－M，M]之內(nèi),表示無界數(shù)列的點列,無論區(qū)間[－M，M]多么長,總有落在該區(qū)間之外的點.圓內(nèi)接正多邊形的面積數(shù)列

1.割圓術(shù)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)關(guān)于圓的面積計算中提到:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”圓內(nèi)接正六邊形的面積圓內(nèi)接正十二邊形的面積圓內(nèi)接正邊形的面積二、數(shù)列極限問題引例2.截丈問題我國古代著名的“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”的論斷,就是數(shù)列極限思想的體現(xiàn).變化趨勢觀察下列數(shù)列的變化趨勢.三、數(shù)列的極限數(shù)列的變化趨勢,可以通過平面直角坐標(biāo)系上的圖形來直觀表示.(3)當(dāng)n無限增大時，沒有確定的變化趨勢.

(2)當(dāng)n無限增大時，無限接近于0.(1)當(dāng)n無限增大時，無限接近于1.數(shù)列的變化趨勢(4)當(dāng)n無限增大時，無限增大.

定義設(shè)數(shù)列,若當(dāng)n無限地增大時,

無限趨近于某一確定常數(shù)A,則稱常數(shù)A為數(shù)列在n趨于無窮大時的極限.記為觀察幾何圖形可知下述數(shù)列的極限四、收斂數(shù)列的性質(zhì)定理(唯一性)

若數(shù)列收斂,則其極限唯一.定理

(有界性)

收斂數(shù)列必有界.

例數(shù)列是有界的,而是發(fā)散的.說明:(1)無界數(shù)列一定是發(fā)散的.(2)數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件,但非充分條件.定理

（單調(diào)有界原理）

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.例

設(shè)

觀察數(shù)列的極限

由數(shù)據(jù)和圖形觀察數(shù)列的變化趨勢123510100100010000…22.252.372.4882.5942.7052.7172.718…可以看出，當(dāng)時，數(shù)列變化的大致趨勢是單調(diào)遞增，且可以證明

數(shù)e是一個無理數(shù)極限與連續(xù)第二節(jié)函數(shù)的極限一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限三、單側(cè)極限四、函數(shù)極限的性質(zhì)在此可理解為一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限對比數(shù)列極限的定義，給出下面函數(shù)極限的定義.

自變量趨于無窮大時的幾種形式第二節(jié)函數(shù)的極限定義設(shè)函數(shù)f(x)在上有定義,A為一個常數(shù).若當(dāng)

無限增大時,函數(shù)f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱函數(shù)f(x)當(dāng)以A為極限.記為定義

極限定義的幾何意義：對任意給定的正數(shù)，在直線的上、下方各作一直線，則存在使得在區(qū)間與內(nèi)函數(shù)的圖形全部落在這兩條直線之間.xyO43例

證明證明所以對于任意給定，由于即取則當(dāng)有類似的可以定義極限定理設(shè)f(x)在內(nèi)有定義,A為常數(shù).若當(dāng)x無限增大時,函數(shù)f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱函數(shù)f(x)當(dāng)以A為極限.設(shè)f(x)在內(nèi)有定義,A為常數(shù).若當(dāng)x無限減小時,函數(shù)f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱函數(shù)f(x)當(dāng)以A為極限.由圖形可知下列基本初等函數(shù)的極限

定義

若當(dāng)（或）時，（C

為常數(shù)），即，則稱曲線有水平漸近線.例由知為曲線的水平漸近線.二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限

自變量趨于有限值時的幾種形式自變量趨向有限值分為以下幾種形式考察函數(shù)當(dāng)自變量

時的變化趨勢.2.52.12.011.991.91.5f

(x)1.51.11.010.990.90.5x函數(shù)變化數(shù)據(jù)表如下從上述圖表中可以看出,當(dāng)自變量時,再考察函數(shù)當(dāng)自變量

的變化趨勢.仿上例可以得到下表.x0.50.90.991.011.11.5g(x)1.51.91.992.012.12.5從上述圖表中可以看出,當(dāng)自變量時,上述兩例說明：處沒有定義.處有定義.而當(dāng)時，都有相同的變化趨勢.通常稱當(dāng)存在極限值2.

定義對于函數(shù)在附近有定義(在處可以有定義也可以無定義）若在的過程中,對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限趨近于確定的數(shù)值A(chǔ),則稱A

是函數(shù)當(dāng)時的極限.記為說明：由定義知極限與函數(shù)在點的狀況（是否有定義;或有定義時,是否等于A）是無關(guān)的.xy50函數(shù)極限定義的精確化定義函數(shù)極限定義可以簡述為52

極限定義的幾何意義：對任意給定的正數(shù)，在直線的上、下方各作一直線，則存在使得在區(qū)間與內(nèi)函數(shù)的圖形全部落在這兩條直線之間.xyxy53例

證明證明所以對于任意給定，當(dāng)時，為使即取則當(dāng)時，有由基本初等函數(shù)圖像可知下列極限成立.在的定義中,若只考慮x從的某一側(cè)(從小于的一側(cè)或從大于的一側(cè))趨近于時f(x)的變化趨勢,則有左極限和右極限的概念.類似可定義左極限定義設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)有定義，A為常數(shù).若當(dāng)x從的右側(cè)(大于的一側(cè))趨近于時,f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱f(x)在處的右極限為A.記為三、單側(cè)極限左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.根據(jù)時函數(shù)f(x)的極限定義、左極限和右極限的定義,可以得到下面的結(jié)論.定理y=f(x)xOyy=f(x)xOyAA左極限右極限對于分段函數(shù)在分段點處是否存在極限通常用此定理進行討論.函數(shù)f(x)在點x=0處的左、右極限都存,在但不相等.所以極限不存在.例解四、函數(shù)極限的性質(zhì)定理(唯一性)證明定理(局部有界性)證明定理（保號性）證明類似的可以證明情形定理（保序性）證明極限與連續(xù)第二節(jié)函數(shù)的極限一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限三、單側(cè)極限四、函數(shù)極限的性質(zhì)在此可理解為一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限對比數(shù)列極限的定義，給出下面函數(shù)極限的定義.

自變量趨于無窮大時的幾種形式第二節(jié)函數(shù)的極限定義設(shè)函數(shù)f(x)在上有定義,A為一個常數(shù).若當(dāng)

無限增大時,函數(shù)f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱函數(shù)f(x)當(dāng)以A為極限.記為xyO幾何意義類似的可以定義極限定理設(shè)f(x)在內(nèi)有定義,A為常數(shù).若當(dāng)x無限增大時,函數(shù)f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱函數(shù)f(x)當(dāng)以A為極限.設(shè)f(x)在內(nèi)有定義,A為常數(shù).若當(dāng)x無限減小時,函數(shù)f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱函數(shù)f(x)當(dāng)以A為極限.由圖形可知下列基本初等函數(shù)的極限

定義

若當(dāng)（或）時，（C

為常數(shù)），即，則稱曲線有水平漸近線.例由知為曲線的水平漸近線.二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限

自變量趨于有限值時的幾種形式自變量趨向有限值分為以下幾種形式考察函數(shù)當(dāng)自變量

時的變化趨勢.2.52.12.011.991.91.5f

(x)1.51.11.010.990.90.5x函數(shù)變化數(shù)據(jù)表如下從上述圖表中可以看出,當(dāng)自變量時,再考察函數(shù)當(dāng)自變量

的變化趨勢.仿上例可以得到下表.x0.50.90.991.011.11.5g(x)1.51.91.992.012.12.5從上述圖表中可以看出,當(dāng)自變量時,上述兩例說明：處沒有定義.處有定義.而當(dāng)時，都有相同的變化趨勢.通常稱當(dāng)存在極限值2.

定義對于函數(shù)在附近有定義(在處可以有定義也可以無定義）若在的過程中,對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限趨近于確定的數(shù)值A(chǔ),則稱A

是函數(shù)當(dāng)時的極限.說明：由定義知極限與函數(shù)在點的狀況（是否有定義;或有定義時,是否等于A）是無關(guān)的.xy由基本初等函數(shù)圖像可知下列極限成立.在的定義中,若只考慮x從的某一側(cè)(從小于的一側(cè)或從大于的一側(cè))趨近于時f(x)的變化趨勢,則有左極限和右極限的概念.類似可定義左極限定義設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)有定義，A為常數(shù).若當(dāng)x從的右側(cè)(大于的一側(cè))趨近于時,f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱f(x)在處的右極限為A.記為三、單側(cè)極限左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.根據(jù)時函數(shù)f(x)的極限定義、左極限和右極限的定義,可以得到下面的結(jié)論.定理y=f(x)xOyy=f(x)xOyAA左極限右極限對于分段函數(shù)在分段點處是否存在極限通常用此定理進行討論.函數(shù)f(x)在點x=0處的左、右極限都存,在但不相等.所以極限不存在.例解四、函數(shù)極限的性質(zhì)定理(唯一性)定理(局部有界性)定理（保號性）定理（保序性）極限與連續(xù)第三節(jié)無窮小與無窮大一、無窮小量二、無窮大量三、無窮小與無窮大的關(guān)系一、無窮小量第三節(jié)無窮小與無窮大注意無窮小量是在某一過程中,以零為極限的變量，而不是絕對值很小的數(shù).0是可以作為無窮小量的唯一的一個數(shù).定義若則稱

是極限過程下的無窮小量，簡稱無窮小.1.無窮小量的定義

1.要指明自變量的變化過程(如)；說明:在確定一個量是否為無窮小量應(yīng)注意2.在這個過程中,函數(shù)f(x)以0為極限.例例2.極限與無窮小量的關(guān)系證(必要性)定理

例

當(dāng)時，將函數(shù)寫成其極限值與一個無窮小量之和的形式．解所以，為所求極限值與一個無窮小量之和的形式．

無窮小與微積分無窮小量在建立微積分時具有基礎(chǔ)性的地位，早期的微積分常稱為無窮小分析.在17世紀(jì)下半葉微積分創(chuàng)立以后，微積分在解決過去無法解決的許多實際問題中顯示了巨大的威力，但由于當(dāng)時還沒有建立起嚴(yán)密的極限理論，在實際應(yīng)用中常常將無窮小時而變成0，時而又說不是0，顯得很“神秘”，難以捉摸，甚至微積分的主要創(chuàng)立者牛頓，也難以擺脫由無窮小引起的概念上的混亂，因此，微積分的“神秘性”受到了唯心主義哲學(xué)家們的猛烈攻擊，嘲笑無窮小是“逝去的鬼魂”.引起了數(shù)學(xué)史上著名的“第二次數(shù)學(xué)危機”.為了微積分的健康發(fā)展，也為了擺脫這種危機，以及克服由于沒有嚴(yán)格的極限理論而導(dǎo)致的一些混亂，許多數(shù)學(xué)家在為微積分建立嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)方面做出了許多工作.性質(zhì)1

有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小.性質(zhì)2

有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小.推論常量與無窮小之積為無窮小.性質(zhì)3

有限個無窮小之積為無窮小.3.無窮小的性質(zhì)注意:無窮多個無窮小量的代數(shù)和未必是無窮小量.注意：兩個無窮小之商未必是無窮小.解例定義設(shè)函數(shù)f(x)在的某去心鄰域內(nèi)有定義.若當(dāng)時,無限增大,則稱f(x)當(dāng)時為無窮大量，簡稱無窮大，并且記為二、無窮大

若當(dāng)時,(或)無限增大,則稱f(x)當(dāng)時為正無窮大(或負(fù)無窮大),記為

無窮大的幾點說明：

1.函數(shù)f(x)當(dāng)時為無窮大,則極限是不存在的.簡記為

2.無窮大量是一個絕對值可無限增大的變量,不是絕對值很大很大的固定數(shù).類似地可以給出x的其他趨向下的無窮大量定義.無窮大的圖形特征例三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理即無窮小與無窮大的關(guān)系為：在自變量的同一趨向下,無窮大的倒數(shù)是無窮小,無窮小(不等于0)的倒數(shù)是無窮大.需要指出的是無窮大與無窮小不同的是：在自變量的同一變化過程中，兩個無窮大的和、差與商是沒有確定結(jié)果的，需具體問題具體考慮.極限與連續(xù)第四節(jié)極限的運算法則一、極限的四則運算法則二、復(fù)合函數(shù)極限運算法則定理一、極限的四則運算第四節(jié)極限的運算法則證明定理中的(1)和(2)可以推廣到有限個函數(shù)的代數(shù)和及乘積的極限情況.結(jié)論(2)還有如下常用的推論.結(jié)論(2)還有如下常用的推論.推論1

設(shè)存在，則對于常數(shù)c，有推論2

設(shè)存在，則對于正整數(shù)n，有例解例解

多項式(有理整函數(shù))的極限則有即有理分式函數(shù)的極限例解例解例解例解有理分式函數(shù)的極限其中m，n為正整數(shù).此結(jié)論可以作為公式使用.例求極限解例解先變形再求極限.二、復(fù)合函數(shù)極限運算法則

定理設(shè)函數(shù)與的復(fù)合函數(shù)為

,若，，且在點的某一去心鄰域內(nèi)，則復(fù)合函數(shù)在點處極限存在，且特殊地，若則（變量代換）（位置互換）例求極限

解當(dāng)時分子分母極限均為零，為型未定式，不能直接用商的極限法則.作變換令，則當(dāng)時，，從而極限與連續(xù)第五節(jié)極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限一、極限存在準(zhǔn)則二、兩個重要極限第五節(jié)極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限一、極限存在準(zhǔn)則定理定理xy例證明極限證

在作圓的內(nèi)接正多邊形求圓面積時,當(dāng)邊數(shù)無限增多時弦與弧將無限接近,因此弦與弧比的極限.二、兩個重要極限問題的提出:圓的弦與弧之比的極限ABO所以xOy如圖.設(shè)圓心角過點A作圓的切線與OB的延長線交于點C，又作重要極限一

證則sinx=BC，tanx=AD，DABCO又因為和都是偶函數(shù)，所以，由函數(shù)極限夾迫準(zhǔn)則得該極限是微積分中的重要極限之一，后續(xù)內(nèi)容中有關(guān)三角函數(shù)的一些重要公式可由該公式推得，應(yīng)該熟練掌握該公式，重要極限的應(yīng)用說明

1.重要極限的一般形式

2.重要極限解決問題的特征：重要極限解決含有三角函數(shù)的型極限.

3.應(yīng)用重要極限求極限時,既要注意比值的結(jié)構(gòu)特征,又要注意極限過程.（極限變形）例解例解例解例解重要極限二觀察如下數(shù)據(jù)表1231010010001000022.252.372.5942.7052.7172.718

從表中可以看出當(dāng)x無限增大時,函數(shù)無限逼近確定的數(shù)值,此值為無理數(shù)e=2.718281828.自然界中植物、人口的增長，物體的冷卻放射元素衰變等現(xiàn)象都與指數(shù)函數(shù)及無理數(shù)e密切相關(guān).重要極限的應(yīng)用說明

1.重要極限的變形2.重要極限解決問題的特征重要極限主要解決冪指函數(shù)的型極限.3.應(yīng)用重要極限求極限時,既要注意比值的結(jié)構(gòu)特征,又要注意極限過程.例解例解

例設(shè)有本金1000元,若用連續(xù)復(fù)利計算,年利率為8%,問5年末可得本利和為多少？解設(shè)復(fù)利一年計算一次，則一年未本利和為若復(fù)利三個月為一期計算，則x年末本利和為同理，若復(fù)利一年計算n次，則x年末本利和為現(xiàn)設(shè)想n無限增大，以致復(fù)利接連不斷地計算，則

當(dāng)時，稱之為連續(xù)復(fù)利，其極限為極限與連續(xù)第五節(jié)極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限一、極限存在準(zhǔn)則二、兩個重要極限第五節(jié)極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限一、極限存在準(zhǔn)則定理定理xy定理證明例證明極限證

在作圓的內(nèi)接正多邊形求圓面積時,當(dāng)邊數(shù)無限增多時弦與弧將無限接近,因此弦與弧比的極限.二、兩個重要極限問題的提出:圓的弦與弧之比的極限ABO所以xOy如圖.設(shè)圓心角過點A作圓的切線與OB的延長線交于點C，又作重要極限一

證則sinx=BC，tanx=AD，DABCO又因為和都是偶函數(shù)，所以，由函數(shù)極限夾迫準(zhǔn)則得該極限是微積分中的重要極限之一，后續(xù)內(nèi)容中有關(guān)三角函數(shù)的一些重要公式可由該公式推得，應(yīng)該熟練掌握該公式，重要極限的應(yīng)用說明

1.重要極限的一般形式

2.重要極限解決問題的特征：重要極限解決含有三角函數(shù)的型極限.

3.應(yīng)用重要極限求極限時,既要注意比值的結(jié)構(gòu)特征,又要注意極限過程.（極限變形）例解例解例解例解重要極限二觀察如下數(shù)據(jù)表1231010010001000022.252.372.5942.7052.7172.718

從表中可以看出當(dāng)x無限增大時,函數(shù)無限逼近確定的數(shù)值,此值為無理數(shù)e=2.718281828.自然界中植物、人口的增長，物體的冷卻放射元素衰變等現(xiàn)象都與指數(shù)函數(shù)及無理數(shù)e密切相關(guān).

(1)證明數(shù)列是單調(diào)增加的,按二項式展開有證明步驟1比較與中相同位置的項,它們的第一、二項相同,從第三項起到第n+1項的每一項都大于的對應(yīng)項,并且在中還多出最后一個正項,因此故數(shù)列單調(diào)遞增.設(shè)數(shù)列極限值為e，即e=2.718281828459045.可以計算12310203040501231020304050證證明步驟2重要極限的應(yīng)用說明

1.重要極限的變形2.重要極限解決問題的特征重要極限主要解決冪指函數(shù)的型極限.3.應(yīng)用重要極限求極限時,既要注意比值的結(jié)構(gòu)特征,又要注意極限過程.例解例解

例設(shè)有本金1000元,若用連續(xù)復(fù)利計算,年利率為8%,問5年末可得本利和為多少？解設(shè)復(fù)利一年計算一次，則一年未本利和為若復(fù)利三個月為一期計算，則x年末本利和為同理，若復(fù)利一年計算n次，則x年末本利和為現(xiàn)設(shè)想n無限增大，以致復(fù)利接連不斷地計算，則

當(dāng)時，稱之為連續(xù)復(fù)利，其極限為極限與連續(xù)第六節(jié)無窮小的比較一、無窮小的比較二、等價無窮小的性質(zhì)第六節(jié)無窮小的比較

一、無窮小的比較兩個無窮小的和、差、積都是無窮小.但兩個無窮小的商確會出現(xiàn)不同情況.例這些情形表明,同為無窮小,但它們趨于0的速度有快有慢.為了比較不同的無窮小趨于0的速度,引入無窮小量階的概念.這些無窮小的商為定義

同階無窮小.例二、等價無窮小的性質(zhì)定理證明因為即由極限與無窮小之間的關(guān)系知其中即所以無窮小等價代換定理證用此定理求兩個無窮小之比的極限時,若極限難求,可用分子、分母各自的等價無窮小來代替,以簡化運算.應(yīng)用無窮小等價代換定理求極限，需要預(yù)先知道一些等價無窮小.常用等價無窮小的有：例解例解例解所以例解所以例解

注意：相乘(除)的無窮小都可用各自的等價無窮小代換,但是相加(減)的無窮小的項不能作等價代換.極限與連續(xù)第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)與間斷的直觀描述二、函數(shù)連續(xù)與間斷概念三、連續(xù)函數(shù)的運算四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)問題導(dǎo)言——連續(xù)與間斷第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化、河水的流動、植物的生長等都是隨時間連續(xù)地變化的.這種現(xiàn)象在反映在函數(shù)關(guān)系上就是函數(shù)的連續(xù)性.連續(xù)性描述了自然界的漸變現(xiàn)象.除了漸變現(xiàn)象，自然界還存在突變現(xiàn)象，突變現(xiàn)象則反映的是函數(shù)的間斷特征.連續(xù)與間斷問題舉例

在此，從函數(shù)連續(xù)與間斷的矛盾關(guān)系出發(fā)，展開對函數(shù)連續(xù)與間斷特征的研究.放射性元素鈾的衰變的數(shù)學(xué)模型火箭飛行中的質(zhì)量變化函數(shù)圖形一、連續(xù)與間斷舉例與描述連續(xù)與間斷點特征分析間斷點特征連續(xù)點特征定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量趨向于零時，相應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù).定義1.連續(xù)函數(shù)的概念二、連續(xù)與間斷概念函數(shù)連續(xù)性的判別函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)的幾何意義是：f(x)的圖形在點(x0,f(x0))處是聯(lián)結(jié)在一起的，沒有斷隙.函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，其圖形是一條連接不斷的曲線.函數(shù)的單側(cè)連續(xù)若則稱函數(shù)f(x)在點x0左連續(xù).若則稱函數(shù)f(x)在點x0右連續(xù).

定理函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)的充分必要條件是f(x)在點x0處既左連續(xù)又右連續(xù).即函數(shù)的單側(cè)連續(xù)主要用于分段函數(shù)分?jǐn)帱c及區(qū)間端點處函數(shù)連續(xù)特征的討論.若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點都連續(xù),則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且稱它是開區(qū)間(a,b)上的連續(xù)函數(shù).若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),并且在左端點a處右連續(xù)，右端點b處左連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).且稱它是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù).區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)結(jié)論

基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)為連續(xù)函數(shù).例解因此f(x)在x=0點連續(xù).例設(shè)函數(shù)，問當(dāng)a為何值時，在處連續(xù)？解函數(shù)在處有定義，且因為要使在處連續(xù)，應(yīng)滿足即當(dāng)時，在處連續(xù).2、函數(shù)的間斷點定義但是極限不存在，所以x=0是函數(shù)f(x)的間斷點.例例函數(shù)在x=1處無定義，因此x=1是該函數(shù)的間斷點.間斷點分類震蕩間斷無窮間斷第二類間斷點跳躍間斷可去間斷第一類間斷點各類間斷點圖形特征震蕩間斷點無窮間斷點跳躍間斷點可去間斷點解即x=0是函數(shù)f(x)的可去間斷點.函數(shù)f(x)的間斷點.例在x=0是否為故x=0是函數(shù)f(x)的跳躍間斷點.在x=0處的連續(xù)性.例解故x=0是函數(shù)f(x)的無窮間斷點.在x=0處的連續(xù)性.例解三、連續(xù)函數(shù)運算與初等函數(shù)的連續(xù)性定理（連續(xù)函數(shù)的四則運算）

定理（復(fù)合函數(shù)連續(xù)性）設(shè)函數(shù)y=f(u)在點u0處連續(xù),函數(shù)在x0處連續(xù),且,則復(fù)合函數(shù)在點x=x0處連續(xù).且1.連續(xù)函數(shù)的運算此定理表明：在求復(fù)合函數(shù)的極限時，函數(shù)符號與極限符號可以交換順序.

定理設(shè)函數(shù)y=f(u)在點u0處連續(xù)，函數(shù)