19.4線段的垂直平分線教學設計八年級數(shù)學上冊

線段的垂直平分線教學設計單元目標1體驗幾何研究從直觀經(jīng)驗，操作實驗到演繹推理的演進過程，認識幾何直覺和演繹推理的作用；知道基本的邏輯術語，理解命題，定理，證明的意義；懂得推理過程中的因果關聯(lián)，知道證明的步驟。2理解逆命題與逆定理；掌握角的平分線，線段的垂直平分線的有關性質(zhì)；知道軌跡的意義，知道圓，角的平分線，線段的垂直平分線這三條基本軌跡。章節(jié)/課時目標1初步掌握線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理，體會分類討論思想.2能運用線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理解決簡單的幾何問題.章節(jié)/課時重難點重點:線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理難點:線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理的綜合運用教學過程（問題鏈：圍繞目標展開）過程/問題一創(chuàng)設情境，導入新課問：上海市普陀區(qū)政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)A、B、C之間修建一所學校，使得它到三個小區(qū)的距離相等．學校應建于何處？（意圖：從生活中的實際問題入手，讓學生意識到日常生活中許多問題都可以用數(shù)學思想來解決，體現(xiàn)了數(shù)學即生活。）過程/問題二二．學習新知1觀察猜想問：我們已經(jīng)知道了線段是軸對稱圖形.線段的對稱軸是什么？在直線MN上任取一點P，聯(lián)結(jié)PA,PB,線段PA和PB相等嗎？問：通過觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？我們根據(jù)線段的軸對稱性通過直觀演示驗證一下。（意圖：通過幾何畫板的動態(tài)操作，歸納得到“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等”的結(jié)論，獲得感性認識，為下面的證明提供思考）問：由此，我們是否可以用文字語言描述出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.如果一個點在一條線段的垂直平分線上，那么分別聯(lián)結(jié)這點與線段兩個端點所得的兩條線段相等（意圖:在這環(huán)節(jié)中引導學生通過觀察，大膽猜測，培養(yǎng)了學生直觀猜測能力，再通過多媒體的操作演示，激發(fā)學生學習及探究的興趣，充分調(diào)動了學生的積極性，也營造了寬松和諧的課堂氣氛）2、推理論證這個命題是否是真命題呢？還需要證明.問：如何證明一個命題是真命題？問：結(jié)合上圖，此命題的已知、求證是什么？已知：如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，垂足是點C，點P在直線MN上.求證：PA=PB.CCPBANM分析：問1：如何證明PA=PB？問2：如果點P在線段AB上，這種證明方法還行嗎？怎么辦？(意圖：引導學生利用全等三角形的性質(zhì)和判定，證明由觀察電腦總結(jié)出的命題是真命題；然后概括出線段垂直平分線的性質(zhì)定理.在命題的證明中，要注意點P是否在線段AB上，需要分類討論.)證明：∵直線MN是線段AB的垂直平分線，垂足是點C（已知）∴MN⊥AB,CA=CB（線段垂直平分線的定義）∴∠1＝∠2＝90°（垂直的定義）（1）若點P不在線段AB上在△PAC與△PBC中∴△PAC≌△PBC()∴PA=PB（全等三角形對應邊相等）（2）若點P在線段AB上，則點P與點C重合，即PA=PB（意圖：讓學生去嘗試證明，找出問題解決的辦法，鼓勵學生把他們證明過程表達出來，而表達的過程是學生展示自我的機會，教師充分利用這一機會對學生進行點評，鼓勵學生積極上進，讓學生感受發(fā)現(xiàn)的快樂，感受嘗試后收獲的快樂。教師則有針對性地引導講解，規(guī)范學生證明過程。）3、線段垂直平分線的性質(zhì)定理這個真命題可簡單說成：線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等.這就是線段垂直平分線的性質(zhì)定理.符號語言表示:∵點P在線段AB的垂直平分線上∴PA=PB（線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等）（意圖：定理的概括可由師生共同完成，從“線段相等”到“距離相等”，進一步抽象的要求，增強了定理的應用性.強調(diào)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的語言互換，為熟練運用奠定基礎）課堂練習：P105第1題4、逆定理問：我們已經(jīng)知道了任何一個命題都有逆命題，線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是什么？（意圖：獲得定理的基礎上，引導學生研究這個定理的逆命題，這是幾何研究的一種方法，并讓學生增強運用這一方法主動獲取知識的意識.線段的垂直平分線的性質(zhì)定理沒有用“如果…那么…”的形式表述，教學時讓學生說出或?qū)懗鏊哪婷}，可能會有一定的難度，教師可幫助學生分析它的題設和結(jié)論，再寫出其逆命題.）問：這個逆命題是否也是真命題，下面我們怎樣來證明它？已知：如圖，QA=QB.求證：點Q在線段AB的垂直平分線上.分析：要證明點Q在線段AB的垂直平分線上，可以先使它落在AB的垂線上（過點Q作AB的垂線），再證明這條垂線又平分AB,那么點Q就在AB的垂直平分線上.問：若點Q在線段AB上，怎么辦？證明:(1)如果點Q在線段AB上,那么點Q就是線段AB的中點,即在線段AB的垂直平分線上.(2)如果點Q不在線段AB上，過點Q作QD⊥AB，垂足為點D.∵QA=QB(已知)，QD⊥AB（已作）.∴AD=BD（等腰三角形三線合一）.∴點Q在線段AB的垂直平分線上.（意圖：通過類比法，學生自主學習，把知識的形成過程轉(zhuǎn)化為學生親自參與，發(fā)現(xiàn)探索的過程，激發(fā)學生的學習興趣。）5這樣就得到了線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理.和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.逆定理的符號語言表示：∵QA=QB(已知)∴點Q在線段AB的垂直平分線上（和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）6、適時小結(jié)用集合的思想看線段的垂直平分線任何圖形都是由點組成的，因此我們可以把圖形看成點的集合.由性質(zhì)定理和逆定理可知，線段的垂直平分線可以看作是和這條線段兩個端點的距離相等的點的集合.（意圖：學生對“集合”的認識很模糊，通過多媒體的輔助動畫，幫助學生用集合思想認識線段垂直平分線的兩個定理）過程/問題三三、綜合運用例1、已知：如圖，在△ABC中，OM、ON分別是AB、AC的垂直平分線，OM與ON相交于點O.求證：點O在BC的垂直平分線上.分析：問1：已知OM、ON分別是AB、AC的垂直平分線，想到運用什么？如何用？問2：添好輔助線后圖中得到了哪些基本圖形？問3：由圖1、2可得什么？問4：證明OB=OC的目的是什么？證明：分別聯(lián)結(jié)OB、OA、OC.∵OM是AB的垂直平分線(已知)∴OA=OB（線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等）同理，OA=OC.∴OB=OC（等量代換）∴點O在BC的垂直平分線上（和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）（意圖：在講解例題時引導學生用所學的線段垂直平分線的性質(zhì)定理以及逆定理來證明。加深對所學知識的理解。）思考：上題中，除了能得到點O在BC的垂直平分線上，還能得到哪些結(jié)論？三角形的三條邊的垂直平分線交于一點，且這點到三個頂點的距離相等.（意圖：總結(jié)三角形的三條邊的垂直平分線交于一點，且這點到三個頂點的距離相等.拓廣延伸知識內(nèi)容。）用數(shù)學思想解決實際問題（意圖：再次回到剛開始提出的問題，讓學生用學到的數(shù)學知識來解決實際問題，學以致用。）過程/問題……四、歸納小結(jié)談談這節(jié)課你有什么收獲、體會或想法?（意圖：讓學生共同歸納總結(jié)的過程中，獲得數(shù)學思考上的升華，感受成功的喜悅）過程/問題……五、布置作業(yè)1練習冊：習題19.4，2書上練習P105.（3）板書設計