高一年級上冊數(shù)學(xué)人教版（2019）必修第一冊-對數(shù)函數(shù)能力探究+講義

《對數(shù)函數(shù)》能力探究

概括理解能力、分析計算能力對數(shù)型函數(shù)的定義域的求解策略

對數(shù)型函數(shù)是考查定義域問題的重點(diǎn)函數(shù)，求對數(shù)型函數(shù)的定義域主要從以下幾方面考慮:

(1)真數(shù)大于0.

(2)底數(shù)大于0,且不等于1.

(3)分式中的分母不等于0.

(4)偶次根式中被開方數(shù)大于或等于0.

(5)指數(shù)為0的幕的底數(shù)不等于0.

(6)根據(jù)底數(shù)的取值確定函數(shù)的單調(diào)性.

典例1[數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理]函數(shù)/。)=屈司+吆江二型2的定義域?yàn)?)

x-3

A.(2,3)

B.(2,4]

C.(2,3)u(3,4]

D.(-1,3)53,6]

解析:求給定函數(shù)的定義域往往需轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，進(jìn)行推理、運(yùn)算.本題根據(jù)偶次根

式下被開方數(shù)非負(fù)、對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0,分式中的分母不等于0列不等式，解不等式得函數(shù)

定義域.具體解題過程如下:由/_51+6得1~-5故函數(shù)的定義域?yàn)?2,3)53,4].

--------------->0x>2且x。3,

I%-3

答案:C

分析計算能力對數(shù)型函數(shù)的值域與最值的求解策略

1.求對數(shù)函數(shù)或與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域(最值),一般是根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行求解，若

需要換元，需考慮新元的取值范圍.

2.對于形如y=log,,/(%)(?>0,且aN1)的復(fù)合函數(shù)，其值域的求解步驟如下：

(1)分解成丁=108“",〃=/0)兩個函數(shù)；

(2)求/(x)的定義域;

(3)求“的取值范圍；

(4)利用y=log“u的單調(diào)性求解即可.

典例2［邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算］設(shè)20,且x+2y=L求函數(shù)z=log］(8肛+4y2+1)的最大

22

值與最小值.

解析:求函數(shù)的最值時，注意定義域?qū)λ挠绊懀俳Y(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析、計算和邏輯推理,

具體解題過程如下：

111門、(］Y5

x+2y=—y=------x,設(shè)p=8xy+4y2+1=4x——x+——x+1=-3x2+x+--

-2-42(2J(2J4

+—,X^>0,y>0,x+2y=—-x=2y>0,BPx<—,0<x<—,1<.又因

(6)322223

為z=log〕p是關(guān)于p的減函數(shù)，因此，函數(shù)z=log1(8孫+4/+1)的最大值是log?1=0,最小值

222

是1明~?

23

分析計算能力、推測解釋能力對數(shù)式的比較方法

1.單調(diào)性法:比較同底數(shù)(是具體的數(shù)值)的對數(shù)大小,構(gòu)造對數(shù)函數(shù)，明確所給的兩個值是哪

個對數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值,底數(shù)與1的大小關(guān)系,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

2.中間量法:比較不同底數(shù)對數(shù)的大小，常借助于中間值0進(jìn)行比較，利用口訣“同大異小”判

斷對數(shù)的符號;對于對數(shù)bg“x和x均與1比較大小，當(dāng)。和x都同大于(小于)1時』og“x>0,否則

log“x<0.

3.分類討論法:比較同底數(shù)(不是具體的數(shù)值)的對數(shù)大小,構(gòu)造對數(shù)函數(shù)，分類討論對數(shù)函數(shù)

的底數(shù)與1的大小關(guān)系,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

4.比較多個對數(shù)式的大小,則應(yīng)先根據(jù)每個對數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，以及它們與中間量“0”和T

的大小情況進(jìn)行分組，再比較各組內(nèi)的對數(shù)式的大小即可.

5.比較含參數(shù)的兩個對數(shù)式的大小，要注意對底數(shù)是否大于1進(jìn)行分類討論，有時也要注意

挖掘所給對數(shù)式的隱含條件.

典例3［邏輯推理］(1)(2018黑龍江哈爾濱三中高一檢測)已知/(x)=log3X,則下列函數(shù)值的大

小關(guān)系是()

AJ(小d撲/⑵

信上/⑵

(2)(2019山東青島二中期末)三個數(shù)a=703,b=0.37,c=In0.3的大小關(guān)系是()

A.a>b>c

B.a>c>h

C.b>a>c

D.c>a>b

一<1V

(3)(2019山東曲阜期末考試)已知實(shí)數(shù)。=k)g23/=—,c=k)go.32的大小關(guān)系是()

k.b<c<a

B.b<a<c

C.c<a<b

D.c<h<a

解析:本題主要運(yùn)用邏輯推理、分析計算和對數(shù)式的比較方法解題,具體解題過程如下：

(1)7函數(shù)/(X)=log,x的圖象單調(diào)遞增,二(g)</⑵.

(2)Va=703>1,0</?=0.37<l,c=ln0.3<0,

?.(iY

(3):a=log23>log22=l,Z?=l—I=l,c=log032<log03l=0,:.c<b<a.

答案:(1)B(2)A(3)D

分析計算能力對數(shù)不等式的三種考查類型及求解方法

1.形如logflX>logwb的不等式，借助y=log“x的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分

a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論.

2.形如log“x>b的不等式,應(yīng)將力化為以。為底數(shù)的對數(shù)式的形式僅=log〃a"),再借助

y=log“無的單調(diào)性求解.

3.形如log/⑴a>log產(chǎn)?(/(%),g(x)>0,且均不等于1,?>0)的不等式,可利用換底公式化為

同底的對數(shù)進(jìn)行求解，或利用函數(shù)圖象進(jìn)行求解.

典例4[數(shù)學(xué)運(yùn)算]解不等式:log2(2，-l”og2(2，M-2)<2.

解析:解對數(shù)不等式的關(guān)鍵在于不等式變形，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解運(yùn)算.具體解題過

程如下：

原不等式可化為Iog2(2=l){log2(2x-1)+1]<2,即

2

[log2(2'-l)]+log2(2'-l)-2<0,.\-2<log(2'—1)<1,即；<2、一1<2,.弓<2*<3,.\原不等

式的解為1|log2<X<log231.

綜合問題解決能力對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求解策略

1.對數(shù)型復(fù)合函數(shù)一般可分兩類:一類是對數(shù)函數(shù)為外函數(shù)，即y=log〃/(x)(a>0且。聲1)

型;另一類是對數(shù)函數(shù)為內(nèi)函數(shù)，即y=〃log“x)(a>0月.arl)型.

2.對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求解策略

(1)確定函數(shù)的定義域.

(2)判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性.

(3)結(jié)合底數(shù)a>1或0<a<1確定函數(shù)的單調(diào)性.

函數(shù)y=k>g/(a>0,且a。1)的單調(diào)性函數(shù)y=log"/(x)(a>0,且a聲1)的單調(diào)性

f=/(x)在O,")上單調(diào)遞增，則y=log“/(x)

當(dāng)a>1時，函數(shù)y=log?t在(0,+oo)上單調(diào)

在(加,〃)上單調(diào)遞增;f=/(x)在(p,q)上單調(diào)

遞增

遞減，則y=logJ(x)在(p,q)上單調(diào)遞減

當(dāng)0<a<1時，函數(shù)y=log。t在(0,+oo)上f=/(x)在(加,〃)上單調(diào)遞增，則y=log“/(x)

單調(diào)遞減在(加,〃)上單調(diào)遞減"=/(x)在(p,q)上單調(diào)

遞減，則丁=108“/*)在(〃，4)上單調(diào)遞增

典例5［數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理］(1)(2019山西陽泉統(tǒng)考)已知函數(shù)/(x)=alog2X+Rog3X+2,且

/［薪J=4,則.”2019)的值為()

A.-4

B.-2

C.0

D.2

(2)設(shè)函數(shù)/(%)=111(1+；0-111(1-幻,則/(幻是()

A.奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)

B.奇函數(shù)，月.在(0,1)上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)

D.偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

解析:本題綜合了對數(shù)函數(shù)、其他常用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等知識，進(jìn)行綜合運(yùn)算和步步推理.

具體解題過程如下:

(1)/W+/lUlog2x+Mog3x+2+?log2l+Mog3l+2=4,.../(2019)+/m=4

=4,.'./(2019)=0.

⑵由題意得，函數(shù)/(%)定義域?yàn)?