利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性和極值講義-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性

導(dǎo)數(shù)可以用來(lái)求函數(shù)在某一點(diǎn)的切線斜率，而切線斜率的正負(fù)可以反映函數(shù)的單調(diào)性，因此

我們可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的主要考點(diǎn)有：利用導(dǎo)數(shù)

對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論(含參函數(shù)或不含參函數(shù))和利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性的參數(shù)范圍.

一、討論單調(diào)性

1、不含參

例1、已知函數(shù)〃x)=smx+：°sxT.(1)求函數(shù)/(x)在(0/)內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間;

解：由題意知，廣(x)=I"：-》,xe(O,?),

ex

所以當(dāng)/'(x)〉0時(shí)，解得xe

即/(x)在(0")的單調(diào)遞增區(qū)間是10,3已?。?/p>

例2、已知函數(shù)/(x)=3。-1)-2xInx.求“X)單調(diào)增區(qū)間；

解：/(X)=1-21nx,

令廣(x)〉0,解得x(0,1

所以“X)單調(diào)增區(qū)間為.0,一

2、含參類(lèi)

例3、(導(dǎo)函數(shù)只有一個(gè)根)已知函數(shù)/(x)=+“(。€尺).討論了比)的單調(diào)區(qū)間.

X

解：(1)由題意，函數(shù)/'(jOu@ULSeR),可得/(x)的定義域?yàn)?0,+。)

尤

且,(x)=l—"Inx

X

由/<x)>0,即1—q—lnx〉o,解得o<x<e-

由/<x)<0,即1—q—lnx<0,解得

故/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e?)，單調(diào)遞減區(qū)間為(ej,+8).

例4、(導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)根之能因式分解)已知函數(shù)/(x)=e、-2ae—x—(2+a)x(aeR).討

論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

到〃、,.e2x-(2+a)ex+2a(ex-2)(ex-a)

解：/(x)=e+2ae-(2+6/)=-----——------=--------------

ee

若QWO,由e”-2=0，得x=ln2

由/，(x)<0得x<ln2；由/'(x)〉0得x>ln2

所以/(x)在(-叫In2)上單調(diào)遞減，在(In2,+8)上單調(diào)遞增；

若a>0,由/'(x)=0,得x=ln2或x=lna.

當(dāng)0<a<2時(shí)，由/'(x)<0,得lna<x<ln2；

由/'(x)〉0,得x>ln2或x<lna,

所以/(x)在(lna/n2)上單調(diào)遞減，在(―oo,lna),(in2,+oo)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a=2時(shí)，/'(x)20在R上恒成立，所以/(x)在(-*+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>2時(shí)，由/'(x)<0,得ln2<x<lna；

由/'(x)〉0,得x>lna或x<ln2,

所以/(x)在(ln2,Ina)上單調(diào)遞減，在(-oo,ln2),(ina,+oo)上單調(diào)遞增.

例5、(導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)根之不能因式分解)已知函數(shù)/(x)=1x2+mln(l-x),其中用eR.

求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

2

解：函數(shù)/(X)定義域?yàn)?—8,1),且/?'(*)=x—F=_x—加,l-x>0

令+%_加=o,判別式A=1-4m

當(dāng)A<0,即加2—時(shí)，--+x-m<0恒成立

4

所以/'(x)<0.../(X)在(-叫1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)A>O,切<，時(shí)，由——冽=o,解得項(xiàng)=匕匹亞，i+VEfE,

4122

若0<加<；,則須<》2<1

二xe(—oo,xj時(shí)，/,(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

%?演戶(hù)2)時(shí)，/'(x)〉0，/(x)單調(diào)遞增；

■re"/)時(shí)，/'(%)<0,/(X)單調(diào)遞減；

若打40,則石<1?々，；.xe(—oo,xj時(shí)，/'(%)<0,/(x)單調(diào)遞減;

xe(X1,l)時(shí)，/,(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

綜上所述：加W0時(shí)，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為—加,單調(diào)遞增區(qū)間為

1-J1-4加

2J；

1/、(1—ji—4加、r1+ji—4加

0<7〃〈一時(shí)，/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為-00,---------,---------,1,單調(diào)遞

4\Jv>

__IAI_fl-yjl-4m1+J1-4加、

增區(qū)間為-----------,-----------；

\227

加時(shí)，/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,1).

注：含參類(lèi)問(wèn)題求解單調(diào)性的重難點(diǎn)是如何對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，討論的關(guān)鍵在于導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)和

定義域的位置關(guān)系.

分類(lèi)討論的思路步驟：

第一步、求函數(shù)的定義域、求導(dǎo)，并求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)；

第二步、以導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)存在性進(jìn)行討論：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)存在多個(gè)零點(diǎn)時(shí)，討論它們的大小關(guān)系

及與區(qū)間的位置關(guān)系(分類(lèi)討論)；

第三步、畫(huà)出導(dǎo)函數(shù)的同號(hào)函數(shù)的草圖，從而判斷其導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)(畫(huà)導(dǎo)圖、標(biāo)正

負(fù)、截定義域)；

第四步、(列表)根據(jù)第三步的草圖列出函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)隨X的變化情況表，并寫(xiě)出

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

第五步、綜合上述討論的情形，完整地寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，寫(xiě)出極值點(diǎn)、極值

與區(qū)間端點(diǎn).

二、求參數(shù)范圍

（1）/（X）在區(qū)間D上存在遞增（減）區(qū)間：

方法1：轉(zhuǎn)化為'/（X）的導(dǎo)函數(shù)大于零（小于零）在區(qū)間D上有解"

方法2：轉(zhuǎn)化為'存在區(qū)間D的一個(gè)子區(qū)間使/（X）的導(dǎo)函數(shù)大于零（小于零），.

（2）/（X）在區(qū)間D上單調(diào)遞增（減）：

方法1：轉(zhuǎn)化為'/（X）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上恒大于等于零（恒小于等于零）'；

方法2：轉(zhuǎn)化為區(qū)間D是/（X）的單調(diào)遞增（減）區(qū)間的子區(qū)間.

例6、（20112012石景山一模文18）已知函數(shù)/（x）=x+2aInx.

若函數(shù)g（x）=f+/（x）在［1,2］上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2

解：g（X）q+x2+2aInx

g'（x）=4+2x3

XLX

由已知：函數(shù)g（x）為［1,2］上的單調(diào)

減函數(shù)

則g'（x）W0在［1,2］上恒成立，

即在［1,2］上恒成立

X

令h（x）」x2

X

則h'（x）=-（-4+2X）

可知〃（x）單調(diào)遞減，最小值為：

h（2）=簫a<\.

1…*.

例7、已知/(x)=lnx,g(x)=-ax2+2x(辦0),若〃(x)=f(x)g(x)存在

單調(diào)遞減區(qū)間，則。的取值范圍為(1,0)U(0,+oo)

解：h(x)=Inx-|ax2-2x

求導(dǎo)得(x)=--ax—2

X

由題意知：h(X)存在單調(diào)遞減區(qū)間

則1(x)<0在(0,+OO)上有解

即工—ax一2<0在(0,+oo)有解

X

解得一l<a<0或a>0

注：對(duì)于導(dǎo)函數(shù)中關(guān)于函數(shù)單調(diào)性與參數(shù)的綜合問(wèn)題，首先是要區(qū)分好是恒成立問(wèn)題還是存

在性問(wèn)題，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，進(jìn)而得到答案.

利用導(dǎo)數(shù)求極值、最值

與單調(diào)性并列，極值與極值點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的第二個(gè)運(yùn)用.與單調(diào)性類(lèi)似，導(dǎo)數(shù)與極值、極值點(diǎn)也

主要有兩種考查方式:第一種是求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)(多個(gè)極值比較大小，最大即為最值),

第二種是知道了極值或極值點(diǎn)求參數(shù)范圍.

注：極值點(diǎn)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為零時(shí)的橫坐標(biāo)，而不是真正的一個(gè)點(diǎn).

一、求極值(點(diǎn))、最值

例1、已知函數(shù)/(力=)+：—1.求函數(shù)手=/(x)的極值.

解：-//，3=-(弋(7)又d>o,

由/'(x)=0得了=—1或x=2,

當(dāng)》€(wěn)(-00,-1)和(2,+8)時(shí)，/，(X)<O,此時(shí)/(X)為減函數(shù)；

當(dāng)xe(—1,2)時(shí)，/,(x)>0,此時(shí)/(%)為增函數(shù),

由f(x)的單調(diào)性知函數(shù)的極小值為/(-1)=-e,極大值為/(2)=5e-2=4.

例2、已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+2在l=-1處取得極值7.

(1)求的值；

(2)求函數(shù)/(%)在區(qū)間[-2,2]上的最大值

解：(1)因?yàn)?(x)=%3+樂(lè)+2,所以/'(')=312+2ax+b,

又函數(shù)f(x)=x3+ax2+&r+2在％=-1處取得極值7,

f(—1)——b—la=—3

[/'(—1)=3—2。+6=0'解得]6=—9；'

所以/(x)=3x3-6x-9=3(x-3)(x+1),

由/''(x)>0得x>3或x<-l；由/'(x)<0得T<無(wú)<3；滿(mǎn)足題意；

(2)又xe[-2,2],

由(1)得〃x)在xe(-2,-l)上單調(diào)遞增，在xe(-1,2)上單調(diào)遞減，

因此/(x)1mx=/(T)=7?

二、已知極值(點(diǎn))求參數(shù)范圍

1、根據(jù)極值點(diǎn)特點(diǎn)求參數(shù)范圍

例3、已知函數(shù)/(x)=alnx-x2+(tz-2)x--.

求函數(shù)/(x)的極值，并求當(dāng)/(x)有極大值且極大值為正數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)。的取值范圍.

._/、a—(2x—ci\(x+1)

解：/'(x)=——21+。-2=---------------?

XX

⑴當(dāng)aVO時(shí)，/'(x)<0,所以，/(x)在(0,+“)遞減,/(x)無(wú)極值.

(2)當(dāng)a>0時(shí)，由/'(x)=0得x=；

隨x的變化/'(X)、/(x)的變化情況如下:

a

X

2

/'(X)+0

/(X)/極大值

故/(X)有極大值，無(wú)極小值;

a2aa2ia°

/(x)極大=aln]_I+(?-2)x-----=aIn——a,

2242

a

由/(x)極大=aIn,一a>0,丁q〉0,q>2e.

所以，當(dāng)/(x)的極大值為正數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(2e,+8).

2、根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)時(shí)忘檢驗(yàn)致錯(cuò)

例4、已知/(x)=|^3+|(M)x2+b2x(b為常數(shù))在x=l處取得極值，則6=0

解：f\x)=x2+(61)x+b2

因?yàn)樵趚=l處取得極值

則/(1)=1+(Z?l)+b2=0

得b=0或6=-1

當(dāng)/?=-1時(shí)，f\x)=x2-2x+l>0,無(wú)極值

故b=0.

注：/'(%o尸0是/(%)在％三V。處取得極值的比要不充分條件.

三、已知最值求參數(shù)范圍

已知最值求范圍主要有兩種情況，第一種是定區(qū)間加最值求函數(shù)參數(shù)；第二種是動(dòng)區(qū)間加最

值求動(dòng)