湖北省孝感市2022-2023學年高二年級上冊1月期末考試數學試卷

湖北省孝感市2022-2023年高二上學期1月期末考試

數學試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷

上無效。

3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回。

第I卷(選擇題)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知空間向量五=(一1,2,-1),3=(尤,—l,y)者必"，貝版)

A.x—y=1B,x+y=1C.x+y=QD,x+y=—2

：m

2.設不同的直線2x-my-1=0,Z2(.~l)x-y+1=0.則=2"是的

()

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

3.將字母a,b,c分別填入標號為a,b,c的三個方格里，每格填上一個字母，則每個方格

的標號與所填的字母均不相同的概率是()

11C1

A.6-B.3-2-

4.過點4(1,—1),8(—1,1),且圓心在直線x+y—2=0上的圓的方程是()

A.(%—3)2+(y+I)2=4B.(%+3)2+(y—I)2=4

C.(x—I)2+(y-I/=4D.(x+I)2+(y+1)2=4

5.已知直三棱柱ABC-Ci中，/.ABC=y,AB=2,BC=CCX=1,則異面直線網與

BQ所成角的余弦值為()

AaB逗C-aD一逗

5555

6.已知雙曲線的漸近線方程為y=±2%,則雙曲線的離心率為()

A.苧B.V5C.g或遮D.苧或遮

7.在等差數列｛%J中，其前幾項和為無,若的>0,S8=SW,則％中最大的是()

A.S7B.S8C.SgD.Si。

8.法國數學家、化學家和物理學家加斯帕爾?蒙日被稱為“畫法幾何之父”，他創(chuàng)立的畫法

幾何學推動了空間解析幾何的發(fā)展，被廣泛應用于工程制圖當中.過橢圓C:卷+?=l(a>

b>0)外的一點作橢圓的兩條切線，若兩條切線互相垂直，則該點的軌跡是以橢圓的中心為

圓心、以，a2+爐為半徑的圓,這個圓叫做橢圓的蒙日圓.若橢圓c：3+q=l(0<m<4)的

蒙日圓為E：x2+y2=7,過圓E上的動點M作橢圓C的兩條切線，分別與圓E交于P,Q兩點，

直線PQ與橢圓C交于4B兩點，則下列結論不正確的是()

A.橢圓C的離心率為:

B.M到C的右焦點的距離的最大值為V7+1

C.若動點N在C上，記直線4V,BN的斜率分別為七，k2,則僅矽=—:

D.AMPQ面積的最大值為(

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.己知等差數列為遞減數列，且。3=1,a2a4=［，則下列結論中正確的有()

A.數列｛冊｝的公差為一:B.an=-1n+|

C.數列｛的%｝是公差為-1的等差數列D.a逆7+a4=-1

10.已知圓C:(%-I/+(y-2/=25,直線Z:(2m+l)x+(m+l)y—7m—4=0.則下列

命題中正確的有()

A.直線/恒過定點(3,1)

B.圓C被y軸截得的弦長為4

C.直線/與圓C恒相離

D.直線/被圓C截得最短弦長時，直線1的方程為2%-y-5=0

11.拋物線C:*=軌的焦點為F,直線/過點F，斜率為k(k>0),且交拋物線C于2、B兩點

(點2在久軸的下方)，拋物線的準線為7n,4411ni交zn于A1，BN11m交zn于Bi，點E(l,3),P

為拋物線C上任一點，則下列結論中正確的有()

A.若麗=3FA,則k=V3B.|PE|—|PF|的最小值為—2

C.若k=1,則|AB|=12D.^A1FB1=90°

12.如圖，在正方體力BCD—ABiGDi中，點P在線段BC］上運動，有下列判斷，其中正確的

是（）

A.平面PBi。_L平面力CD］

B.4P〃平面AC/

C.異面直線4P與力Di所成角的取值范圍是（0,芻

D.三棱錐久―HPC的體積不變

第n卷（非選擇題）

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知直線1的斜率為［且和坐標軸圍成的三角形的面積為3,則直線1的方程為.

14.圓％2-4%+y2=0與圓％2+y2+4%+3=0的公切線共有條.

15.設數列｛5｝的前幾項和為無,點eN*）均在函數y=3x-2的圖象上，則數列｛即｝

的通項公式為.

16.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點6、F2,M是它們的一個交點，且cos4&MF2=J，記

1

橢圓和雙曲線的禺心率分別為e〉e2,則/的最大值為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

已知在某次1500米體能測試中，甲、乙、丙3人各自通過測試的概率分別為工且三人是

545

否通過測試互不影響.求：

（1）3人都通過體能測試的概率；

⑵只有2人通過體能測試的概率.

18.（本小題12.0分）

已知公差大于零的等差數列｛a“｝的前n項和為%,且滿足：a3a4=117,a2+a5=22.

(1)求數列｛an｝的通項公式a.

(2)若數列｛%｝是等差數列，且垢=,，求非零常數c.

19.(本小題12.0分)

已知28為過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F的弦，M為力B的中點，［為拋物線的準線，MN

垂直于/于N,點N(—2,—3).

(1)求拋物線C的方程；

(2)求ZAOB的面積(。為坐標原點).

20.(本小題12.0分)

已知三棱柱4BC-&名6中，AC=AA1=4,BC=2,AACB=90°,

(1)求證：平面214CG1平面ABC;

(2)若N&4C=60。，在線段AC上是否存在一點P使平面B&P和平面&4CC1所成角的余弦值

為苧?若存在，確定點P的位置;若不存在，說明理由.

21.(本小題12.0分)

已知圓心在光軸上的圓C與直線1:4x+3y—6=0切于點

(1)求圓C的標準方程；

2

(2)己知N(2,l),經過原點且斜率為正數的直線4與圓C交于PO"i),Q(.x2,y2).^\PN\+

|QN『的最大值.

22.（本小題12.0分）

已知點&（一1,0）,圓尸2：（%-IT+y2=8,點Q在圓F2上運動,Q0的垂直平分線交QB于點P-

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）動點P的軌跡C與x軸交于4B兩點（4在B點左側），直線I交軌跡C于M,N兩點（M,N不在x

軸上），直線AM,BN的斜率分別為燈，k2,且七=2的，求證：直線I過定點.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查空間向量平行的坐標運算，屬于基礎題.

【解答】

解：根據題意，由日〃b，設b=t即(%,—l,y)=t^—1,2,—1)=(—力,2t,—t)解可得：t

-1

則有久=y=2，由此得x+y=l.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了兩直線平行的判定，屬于基礎題.

【解答】

解：當巾=2時，代入兩直線方程中，易知兩直線平行，即充分性成立.當I"/"時，顯然小40,

從而有2=771—1,即?。恳籘-2=0,解得m=2或m=—1,但當m=—1時，兩直線重合，不

m7l

符合要求，故必要性成立.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查古典概率的求解，排列問題，屬基礎題.

【解答】

解：將字母a,6,c填入標號為a,6,c的三個方格里有6種不同的填法，這6種情況發(fā)生的可能性

是相等的.而每個方格的標號與所填的字母均不相同只有兩種不同的填法.故所求概率P=|=1.

63

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查圓的標準方程的求法，屬于基礎題.

【解答】

解：法一設點C為圓心.「點C在直線％+y-2=0上，.?.可設點C的坐標為(a,2-a).

又,??該圓經過4B兩點，??.|C4|=\CB\.

J(a-1)2+(2-a+1)2=J(a+1)2+(2-a―1)2,解得a=1.

...圓心坐標為半徑長r=\CA\=2,故所求圓的標準方程為O-1/+(y-I)2=4.

法二排除法.根據圓心在直線x+y—2=0上，排除B,D.根據點B(-1,1)在圓上，排除4

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了異面直線所成角的大小，屬于基礎題.

【解答】

解：解法一：如圖所示，設M、N、P分別為28,和BiQ的中點，

則4位、BG夾角為MN和NP夾角或其補角(因異面直線所成角為(0,5

可知皿=同81=亭NP==壬作BC中點Q,貝(J4PQM為直角三角形;

PQ=1,MQ=^AC,AABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB?BC?cos乙48c=4+l-2x2xlx(-^)=7,.?.AC=小,MQ=

V7.

~2]

在中，MP=JMQ2+PQ2=等;

知/+加一陪：（爭+（變-（苧產

V10

在4PMN中,由余弦定理得cos/MMP=

—

2MN-NP-2X^X—

又異面直線所成角的范圍是（0,勺，4B1與BC1所成角的余弦值為孚.

乙5

解法二：如圖所示，

補成四棱柱ABCD求即可;

2222

BC\=m，BD=2+I-2x2x1xcos與=V3,C1D=甚，:.BC?+BD=CrD,：.z.DBCr=

71

2

V2V10

?'?cos乙BC、Dn—-^==5.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查雙曲線的離心率，屬基礎題.

【解答】

Jl+(J?=J1+⑵2=V5；

解：當雙曲線的焦點在無軸上時，離心率e=

當焦點在y軸上時e=J1+&）2=當

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查等差數列前n項和中基本量的運算，及利用二次函數的性質求最值，屬于中檔題。

【解答】

解：由58=S[o得a[=—由a1〉0,得到d<0.所以Sn=Tia1+史?”=g—18幾)，從

而當n=9時立有最大值.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了直線與橢圓的位置關系及其應用，屬于中檔題.

【解答】

解：對于4由題意可得4+m=7,所以m=3,e=|,正確；

對于B:記右焦點為尸2(1,0),設M(%o，yo)，則于尸2/=(x0-1)2+羽=(XO-1)2+(7-喻=8=

2%0,

而通e[-V7,V7],|“尸2『W8+2夕，從而陽尸2|<夕+1，8正確；

2

對于C:由題意易得PQ為圓E的直徑，A,B關于原點對稱，從而心心=—<=_3,正確；

1zaz4

對于D：易得SAMPQV7=7,。錯誤.

9.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題考查等差數列的通項及性質，屬中檔題.

【解答】

解：由題意知，a2+a4=2a3=2,又a2a4=|,數列｛a"為遞減數列，

13

=-f%

???公差d=%=6，故A正確；

又=g—d=2,C1n=2+(72—1)X(——)=——72+—,故B正確；

由上可知的a九=2an,則當九>2時，2a九-2&1T=2(an-。九_1)=2x(--)=-1,當九=1時，

諳=4,

二數列｛。遂九｝是首項為4,公差為-1的等差數列，故C正確；

=—13、

a^an=5—71,a^aj+ci457+—,故。錯誤.

10.【答案】AD

【解析】

【分析】

本題主要考查直線過定點問題，直線與圓的位置關系，屬于中檔題。

【解答】

解：將直線/的方程整理為Q+y—4)+zn(2x+y—7)=0,

由以二與二解得｛；■

則無論m為何值，直線/過定點D(3,l),故A正確；

令x=0,貝|(y-2)2=24,解得y=2±2乃，故圓C被y軸截得的弦長為4傷，故B不正確；

因為(3-+(1—2>=5<25,所以點。在圓C的內部，直線/與圓C相交，故C不正確；

圓心C(l,2),半徑為5,|CD|=遮，當截得的弦長最短時，11CD,kCD=

則直線/的斜率為2,此時直線/的方程為y—1=2?！?),即2x-y-5=0,故。正確.

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查了直線與拋物線位置關系及其應用，屬于中檔題.

【解答】

解：對于2:設|BF|=3\FA\=33過4做AM18當于點M,則|BM|=23\AB\=4t,易得乙4BM=

60°,從而A正確；

對于B:過P、E分別作PPi16于點Pi、％,貝內PE|一|PF||=\\PE\-\PPr\\<\EEr\=2,

從而B正確；

對于C:易得|4B|=4+久B+2=8,C錯誤;

y，（％_1）得V—%y—4=0,.?.y4yB=-4，F(xiàn)A^-=4+yAyB=0，從而

z&FBi=90°

12.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查空間中線面的位置關系，棱錐體積、異面直線夾角，屬較難題.

【解答】

解：對于4連接DB,因為正方體中，B&1平面4BCD,

ACa^-^ABCD,所以BBTAC,又因為DB14C,

DB,BB]為平面DBB/i內的兩條相交直線，所以4cl平面OBBi5,

因為叫u平面。BB/i，所以。Bi1AC,同理可得OB】1ADr,

因為ADi，AC為平面AC。1內兩條相交直線，可得DBi1平面AC4,D/u平面P%。，

從而平面PBi。1平面AC%,

故A正確；

對于B:連接AiB,&1Q,416//4（7,.1I,（平面aCD「ACu平面力CD】，

所以&G〃平面AC%,

同理BQ〃平面力CDi，又&Ci、BQ為平面BAG內兩條相交直線，

所以平面B&G〃平面AC%,

因為&Pu平面B&C1，所以&P〃平面AC/,故8正確；

對于C:因為AD//8G，所以4P與2/所成角即為&P與BG所成的角，4/=8G=4iCi，則小

B&G為等邊三角形，當P與線段BQ的兩端點重合時，4P與45所成角取最小值妥當P與線段BG

的中點重合時，&P與A必所成角取最大值》故4P與4。1所成角的范圍是有排故C不正確；

對于D：由選項B得BC]〃平面4D1C,故BC1上任意一點到平面力DiC的距離均相等，

所以以P為頂點，平面4。也為底面，則三棱錐P—4。住的體積不變，又/LAPCM/YDIC，

所以三棱錐Di-APC的體積不變，故。正確.

13.【答案】x-6y+6=0或萬一6y-6=0

【解析】

【分析】

本題主要考查直線的一般方程的求法，屬于基礎題。

【解答】

解：設直線，的方程為2+7=1,\ab\—3,且—2=1,a——6,b=1或a-6,6=—1,.,.直

a。2a6

線/的方程為5+y-1或，-y-1,即x-6y+6=?；騲-6y-6=0.

14.【答案】4

【解析】

【分析】

本題考查了圓的公共弦、公切線，屬于基礎題.

【解答】

解：x2—4%+y2=0=>(%—2)2+y2=22,圓心坐標為(2,0),半徑為2;/+V+4%+3=0=>

(x+2)2+y2=I2,

圓心坐標為(-2,0),半徑為1.兩圓圓心距為4,兩圓半徑和為3,因為4>3,所以兩圓的位置關系

是外離，

故兩圓的公切線共有4條.

15.【答案】an=6n-5(nGN*)

【解析】

【分析】

本題考查數列中與與目的關系，屬基礎題.

【解答】

解：依題意得，=3n-2,即$=3/-2n.

22

當幾>2時，an=Sn-Sn_1=(3n—2n)—[3(n—I)—2(n-1)]=6n—5,

因為a】=Si=1,滿足a九=6n—5,所以a九=6n—5(nGN*).

16.【答案】史三

15

【解析】

【分析】

本題主要考查橢圓、雙曲線的定義，利用余弦定理求解焦點三角形問題，由基本不等式求最值，

屬于難題。

【解答】

解：不妨設“為第一象限的點，a為左焦點，設橢圓的長半軸長為的，雙曲線的實半軸長為。2，

則根據橢圓及雙曲線的定義可得附京|+\MF2\=\MFX\-\MF2\=2a2?所以|MFJ=ar+a2,

\MF2\=ar-a2,|F/2l=2c,在△MF/2中，coszF1MF2=7,由余弦定理得4c2=(的++

(%—a2)?—2(的+a2)(ai—a2)cosN&MF2，化簡得3a女+5說=8c?,即1+[=8.

所以4+多=822隹，從而，w空，當且僅當e】=g02=卓時等號成立.

e彳4\eie2ele2151222

17.【答案】解：設事件a=”甲通過體能測試"，事件B="乙通過體能測試"，事件C="丙通

過體能測試”，

7Q1

則p(a)=:P(B)裳,p(c)=|

(1)設%表示“甲、乙、丙3人都通過體能測試"，即%=ABC,則由4,B,C相互獨立，可得P(Mi)=

PQ4)-P(B)P(C)=。2x*31=小1

(2)設用2表示“只有2人通過體能測試"，則“2=48^+2豆C+18C,由于事件力與B,4與C,B

與C均相互獨立，且事件48乙ABC，ZBC兩兩互斥，則

P(M2)=PQ4BCUABCUABC)=P(ABQ+P(ABC)+P(ABC)=|x^x(l-1)+jx(l-^)x

1,"2、311,1,323

E+(1-5)X5X3=5+§U+M=M-

【解析】本題考查了相互獨立事件的概率的應用，屬于基礎題.

18.【答案】解：（1）設等差數列｛%｝的公差為d,且d>0.

,,*Q3+&4=。2+。5=22,a3a4=117,

a3,CI4是方程/一22%+117=。的兩個根.又,??公差d>0,a3=9,a4=13.

產廣工解得an=4n-3.

91+3a=13Id=4

（2）由（1）知，S=nxl+x4=2n2-n,b=^-=

v7v7n2nn+cn+c

.?.&=左，=金，&=磊..?,{%}是等差數列，???2歷=瓦+為，

2c2+c=0c=—^（c=0舍去）.經檢驗，c=-2符合題意，:c=-g

【解析】本題考查等差數列的通項公式，前n項和公式，屬中檔題.

19.【答案】解：（1）依題意準線/的方程為％=—2,即一%—2,則p=4,

拋物線的方程為f=8x

（2）設4B的方程為x=ty+2

,（x=ty+2/口

由。2工得y92-8ty-16=0

依題意yi+丫2=8t則8t=-3x2,：.t=--

___________________925

22

|4B|=Jl+t21yl-y2|=y/l+t-J64t2+64=8（1+t）=8（1+而）=2

28

0到AB的距離d=-f==m，從而得SMOB=1\AB\-d=^-^--l=10

.1l-rt乙3

【解析】本題主要考查拋物線的焦點、準線，拋物線的標準方程，拋物線中的弦長公式，求解拋

物線中的面積問題，屬于中檔題。

20.【答案】解：（1）證明：在三棱柱ABC—4B1G中，四邊形44CG是平行四邊形，而2C=441，

則平行四邊形44CC1是菱形，連接&C,如圖，

則有AciaCi，因a/iaG，A1BnA1C-A1,

A±B,41cU平面41BC,于是得AC11平面力1BC,

而BCu平面&1BC,貝IMGIBC,由z_aCB=90。，得4CJ.8C,AC=A,AC,AC】u平面

AiACCi，

從而得BC_L平面&aCCi，又BCu平面4BC,所以平面所毋1平面ABC.

(2)解：在平面義力CG內過C作Cz1AC,

由(1)知平面4tAeG1平面4BC,平面Ap4CGC平面ABC=AC,

則Cz,平面4BC,以C為原點，射線C4CB,C2分別為x,y,z軸正半軸建立空間直角坐標系,

如圖，

因N&aC=60。，AC=AA1=4,BC=2,則C(0,0,0),4(4,0,0),B(0,2,0),&(2,0,2次),

假設在線段力C上存在符合要求的點P,設其坐標為尸(九0,0),(0<A<4),

貝IJ有西=(2,—2,2遮)，BP=(2,-2,0).

設平面8alp的一個法向量元=(x,y,z),則有E.吧=2x—2y+243z=0

(n-BP=Ax-2y=0

令x=2得元=(2,%等)，而平面的一個法向量沅=(0,1,0),

記〉典=4=V3

依題意，|cos<H,\n\\m\r~-a2\24

產+#+(篝)

化簡整理得：342+A—4=。而0<2<4,解得2=1,

所以在線段AC上存在一點P,且P是靠近C的四等分點，使平面B&P和平面&ZCC1所成角的余弦

值為李

【解析】本題考查了面面垂直的證明和直線與平面所成的角的計算，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由圓心在x軸上的圓C與直線Z:4x+3y—6=0切于點”(|2),設C(a,O),

直線4%+3y-6=0的斜率為—2

66

則攵?！?所以(-1)=-1.

弓一口號-aD

所以。=一1,所以C(一1,0),|CM|=J(_1_|/+C=2,即7=2,

所以圓C的標準方程為(％+I/+y2=上

(2)設直線k：y=fcx(fc>0),與圓聯(lián)立方程組可得(1+k2)x2+2%-3=0,

23

4=4+12(1+fc2)>0,由根與系數的關系得+%2=-1+*%ix2=一乙腎

222

??.|PN『+\QN\=(%i-2)2+仇-I)+(%2-2尸+(y2-I)

222

=(%i-2)+(kx1-l)+(x2-2)+(fc%2-I)?