高中數(shù)學(xué)選擇性必修二：5-1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義（課堂練習(xí)）

5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義

一、單選題

1.下列說(shuō)法正確的是().

A.曲線的切線和曲線有交點(diǎn)，這點(diǎn)一定是切點(diǎn)

B.過(guò)曲線上一點(diǎn)作曲線的切線，這點(diǎn)一定是切點(diǎn)

C.若/'(%)不存在，則曲線y=√(χ)在點(diǎn)&Ja))處無(wú)切線

D.若曲線y="χ)在點(diǎn)XO))處有切線，則/'(%)不一定存在

【答案】D

【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義舉例子可判斷A、B、C、D；進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【解析】對(duì)于A：曲線的切線與曲線的交點(diǎn)不一定唯一，如曲線y=Y+l在［-g,g)處的切線為:

x+—,即3x—4y+5=0,切線與y=V+1另一個(gè)交點(diǎn)為(1,2),

故選項(xiàng)A說(shuō)法錯(cuò)誤；

對(duì)于B：過(guò)曲線上一點(diǎn)作曲線的切線，這點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，如>與y=3x-2相切于點(diǎn)(1,1),同時(shí)經(jīng)過(guò)

另一點(diǎn)(。/)，可以說(shuō)過(guò)點(diǎn)(。力)的直線y=3x-2與曲線y=/相切，但切點(diǎn)是(1,1)不是(a,b),故選項(xiàng)B不

正確；

對(duì)于C：若/'&)不存在，曲線y=∕(x)在點(diǎn)(/J(Xo))處可以有切線，如y=√7在x=0時(shí)，/'(O)不存在,

但有切線x=0,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：由曲線在一點(diǎn)處有平行于V軸的切線，且在該點(diǎn)處不連續(xù)，則/'(Λ0)不一定存在，如y=√7在X=O

時(shí).，有切線x=0,但/'(O)不存在，故選項(xiàng)D正確，

故選：D.

2.函數(shù)y="x)=f在區(qū)間［χ°,χ°+M上的平均變化率為峭在區(qū)間［x°-?x,x°］上的平均變化率為則

勺與女2的大小關(guān)系為()

A.k?>hB.K<k2c.k?=k?D.不能確定

【答案】A

【分析】直接代函數(shù)平均變化率公式進(jìn)行化簡(jiǎn)得到L,&表達(dá)式，由題意知Δx>O,即可得判斷K,電大

小關(guān)系.

【解析】Qf(X0+MT(%)=(2＞與=2%+機(jī),

?xAx

k二/(r)-/(Xo-以)宕-(改)一垓『

2^Ax-?x

由題意，知?x>(),所以&

故選：A.

3.設(shè)函數(shù)"χ)存在導(dǎo)函數(shù)，且滿足也/⑴一,O-Ar)=-1,則曲線y="χ)在點(diǎn)(IJ⑴)處切線的斜率

為()

A.2B.-IC.1D.-2

【答案】D

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義及已知條件求r⑴，即可確定(ι,∕(ι))處切線的斜率.

［解析］因?yàn)镮im*)一/。3)二3㈣??^=gr(ι)i

所以∕?'(1)=-2.

故選：D.

4.函數(shù)/(x)=f在區(qū)間［0,2］上的平均變化率等于X=，”時(shí)的瞬時(shí)變化率，則機(jī)=()

A.?B.1C.2D.-

22

【答案】B

【分析】分別求出在區(qū)間［0,2］上的平均變化率和在x=，"時(shí)的瞬時(shí)變化率，利用相等求解即可.

【解析】函數(shù)/(x)=/在區(qū)間［0,2］上的平均變化率等于”［(。)=言=2,

/(x)=/在X=W7時(shí)的瞬時(shí)變化率為Iim/("?+?)_J(m)-μm(?χ+2ιn)=2m,

所以2=，解得m=?.

故選：B

5.已知廣⑺是)(x)的導(dǎo)函數(shù),5'(x)的圖象如圖所示,則F(X)的圖象只可能是()

【答案】D

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，原函數(shù)先增長(zhǎng)“迅速”，后增長(zhǎng)“緩慢”.

【解析】由題中r（x）的圖象可以看出，在（“⑼內(nèi)，/"）＞o,

且在（a,一?內(nèi)，r（x）單調(diào)遞增，

在（笠2,“內(nèi)，（（X）單調(diào)遞減，

所以函數(shù)“X）在S，。）內(nèi)單調(diào)遞增，

且其圖象在（a,彳2）內(nèi)越來(lái)越陡峭，

在（笠9,“內(nèi)越來(lái)越平緩.

故選：D.

6.自由落體運(yùn)動(dòng)的公式為s(f)=(g/(g=10m∕s2),若.=s(l+4)-s⑴,則下列說(shuō)法正確的是()

2Z

A.V是在O~Is這段時(shí)間內(nèi)的速度

B.V是IS到(l+4)s這段時(shí)間內(nèi)的速度

C.5?Z+1O是物體在r=1s這一時(shí)刻的速度

D.5'+10是物體從IS到(1+A∕)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度

【答案】D

【分析】代入解析式，化簡(jiǎn)v=s°+4)τ(l),由平均速度的概念判斷即可.

△t

【解析】由平均速度的概念可知，、，s(l+Af)-s⑴/0+加)-/1Igw，表示IS到

V=----------------------------=-----------------------=VH---EdI=IU十JAAl

Δ/M2

(1+Af)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度，故D正確.

故選：D

7.已知函數(shù)“X)在R上有導(dǎo)函數(shù),/(x)圖象如圖所示，則下列不等式正確的是()

aObcX

A.f?a)<f?b)<f?c)B.fXb)<fXc)<f?a)

C.f?a)<f?c)<f'(h)D.∕,(c)<f'(a)<f?b)

【答案】A

【分析】由題意設(shè)函數(shù)/(x)=Or晨(>0,則/(x)=2οr,α>0,則函數(shù)f(x)為增函數(shù)，再利用一次函數(shù)的

增減性即可得解.

【解析】解：設(shè)函數(shù)/(X)=加0,

則f(X)=20x,a>0,

則函數(shù)f(x)=*M>O為增函數(shù)，

5La<b<c,

貝∣Jf'(a)<∕'S)<∕'(c),

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

8.設(shè)函數(shù)/(x)=X3+(。-2)/+".若/(X)為奇函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(IJ⑴)處的切線方程為()

A.y=4x-1B.y=5x-2C.j=4x-2D.y=5x-6

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)AR的奇偶性，可得“，然后分別求得/(ι),r(ι),最后可得直線方程.

【解析】由函數(shù)/(x)=x3+(α-2)χ2+ar為奇函數(shù)

所以/(r)=~√(x)

由/(τ)=(-Xy+(a-2)(-x)^+α(-x)=-x3+(α-2)x2-ax

所以-/+(α_2)χ2_(IX=_[x。+(α-2)x"^+<zx]=≠>a=2

所以F(X)=X3+2X,則f?x)=3X2+2

所以/⑴=3J'(1)=5

所以所求切線方程為y-3=5(xT),即y=5x-2

故選：B

9.已知/(x)在x=x°處可導(dǎo)，則Iim[，(切二SM-等于()

X

→?X-XQ

2

A.Γ(?)B./(X0)C.[Γ(x0)]D.2Γ(Λ0)∕(X0)

【答案】D

【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義結(jié)合Iim=[仆"二/至】一=Iim0"一/⑷Iim]f⑺+/(%)]得出答案.

XTRXTMXT出

X-X0X-XQ

【解析】因?yàn)镮imf(X)一八.)=尸伉),

XT與X-XG

2

所以lim.=[7[1-17(/)]_[加[〃*』〃"。)]"("-""。)]

χχ

x→?%X-X0-oX-XQ

^im∕ω-∕(?),則.f(x)+"x())]

λ

→?X-X0

=∕,(?)-[∕(?)+∕(?)]=2∕,(?)∕(?).

故選：D.

10.已知函數(shù)/(X)二"一一，在區(qū)間(。,3)內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)4，巧，且X≠%,若不等式

X

/(*+∣)-∕(x+ι)<ι恒成立,則實(shí)數(shù)。的最小值為()

玉一W

A.-4B.-2C.-1D.4

【答案】A

f(x,+l]-f(x7+1)

【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為II7?J>τ恒成立,表示函數(shù)y=∕(χ+i)的圖象在(0,3)內(nèi)任意兩點(diǎn)間

連線的斜率大于-1,即y=f(χ)的圖象在(L4)內(nèi)任意兩點(diǎn)間連線的斜率大于-L求導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)行參變分離得

“Nτ-g=-(X+1)在Xe(1,4)內(nèi)恒成立.由基本不等式可求得α的最小值.

【解析】解:在區(qū)間(0,3)內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)演，XHS.xl≠x2,

不等式"w+>∕α+∣)<ι恒成立,即不等式/：上+R二-1恒成立，

XI-X2(xl+l)-(x2+l)

它表示函數(shù)y=/(χ+1)的圖象在(0,3)內(nèi)任意兩點(diǎn)間連線的斜率大于-1,

即y=∕(χ)的圖象在(1,4)內(nèi)任意兩點(diǎn)間連線的斜率大于-1.

所以尸(彳)=￡+22-1在代(1，4)內(nèi)恒成立，即“≥-x-g=-(x+g)在Xe(1,4)內(nèi)恒成立.

當(dāng)xe(l,4)時(shí)，x+^>4,則-(X+g)≤-4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立，

所以αNT,。的最小值為-4.

故選：A.

??.已知函數(shù)/(χ)=^+1)^ζsinx,其導(dǎo)函數(shù)記為F'(x),則"389)+r(389)+∕(-389)-/'(一389)=()

A.2B.-2C.3D.-3

【答案】A

【分析】函數(shù)"x)=l+筆*,分析其性質(zhì)可求/(389)+∕(-389)的值，再求/'(X)并討論其性質(zhì)即可

作答.

【解析】由已知得〃》)=1+筆*,

(2÷COSX)(X2+l)-(2x+sinx)?2x

則r(H=--------y--7√------------，顯然∕,(χ)為偶函數(shù).

(χ+ι)

令g(χ)=∕(χ)-1=專普，顯然g(x)為奇函數(shù).

又廣(X)為偶函數(shù)，所以/'(389)-r(-389)=0,/(389)+/(-389)=g(389)+1+g(-389)+1=2,

所以4389)+/'(389)+/(-389)—/(―389)=2.

故選：A.

12.己知直線/是曲線y=/與曲線y=e2*-2的一條公切線，/與曲線y=e?*-2切于點(diǎn)(。力)，且“是函數(shù)

f(x)的零點(diǎn)，則/(x)的解析式可能為

A./(x)=?A(2x+21n2-l)-l

B./(x)=e2v(2x+21n2-l)-2

C./(x)=e2λ(2x-21n2-l)-l

D.f(x)=e2x(2x-21n2-l)-2

【答案】B

【分析】首先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合題意得到關(guān)于”的等式即可確定了(x)的解析式的一個(gè)可能值.

【解析】由y=e*可得V=d，由y=∕*-2可得y=2e”,

設(shè)公切線在y=e,上的切點(diǎn)坐標(biāo)為(見√π),在y=e”-2上的切點(diǎn)坐標(biāo)為(ɑ,e?"-2),

利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)切線的性質(zhì)可得：√n=2e2a,

整理可得：m=2a+ln2,①

結(jié)合斜率公式有：2e2a=e"'~e'a+2,②

m-a

將①代入②中整理可得：e2"(2α+21n2-1)-2=0,

則f(x)的解析式可能為/(x)=e2'(2x+2∕〃2T)-2.

本題選擇8選項(xiàng).

【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程，切線的定義等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算

求解能力.

二、多選題

13.已知函數(shù)y=∕(χ),下列說(shuō)法正確的是()

A.Ay="%+?)—“X。)叫作函數(shù)值的增量

B.包=/(%+M-"x<J叫作函數(shù)在%+AV］上的平均變化率

?x?x

C./(χ)在X=%處的導(dǎo)數(shù)記為y'

D.“X)在X=XO處的導(dǎo)數(shù)記為了'(七)

【答案】ABD

【分析】由函數(shù)值的增量的意義判斷A；由平均變化率和瞬時(shí)變化率的意義判斷BCD.

【解析】A中，△)，=/(%+-)-∕(x°)叫作函數(shù)值的改變量，即函數(shù)值的增量，A正確;

B中，包=/(/+Ar)--(%)稱為函數(shù)〃χ)在占到%+Ax之間的平均變化率,B正確;

?x?x

由導(dǎo)數(shù)的定義知函數(shù)f(x)在X=Xo處的導(dǎo)數(shù)記為r(x0),故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：ABD

14.若當(dāng)Ax→O,滿足"I)-"1-AX)→7,則下列結(jié)論正確的是()

2?x

A/(1+M-"13)：4

?x

/(1+Δr)-∕(1-?A-)

o.--------------------------->一L

ΔΛ

C.曲線y=∕(χ)上點(diǎn)(1,7(1))處的切線斜率為-1

D.曲線y=∕(χ)上點(diǎn)(IJ(I))處的切線斜率為-2

【答案】AD

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【解析】由四二川二四→-l得：/(!)二"匕")一一2,即/'(1)=一2,

2?xAr

???曲線y=∕(χ)上點(diǎn)(IJ(I))處的切線斜率為-2,C錯(cuò)誤；D正確；

“l(fā)+Ay)T?(l-Ax)=2χ"l+Ax)T(l-垓)=2χ"l)-”>^>→γ,A正確；B錯(cuò)誤.

?x2?x?x

故選：AD.

15.已知過(guò)點(diǎn)A(“，0)作曲線c：y=三的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)α的值可以是()

e

A.-2B.4C.0D.6

【答案】AD

【分析】設(shè)出切點(diǎn)，寫出切線方程，將A點(diǎn)代入，化簡(jiǎn)后方程有兩根，即可得到。的取值范圍.

【解析】設(shè)切點(diǎn)為口。,￡),則兒*,=詈，所以切線方程為：丫一親=詈(X-%)，切線過(guò)點(diǎn)A(。，

0),代入得：一今=上含(α-x0),即方程片―”+〃=()有兩個(gè)解，則有A=∕-4a>0n4>4或α<0.

故選：AD.

16.若函數(shù)y=∕(χ)的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)p,Q,使得/(X)在這兩點(diǎn)處的切線重合，則稱函數(shù)y=∕(χ)

為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中是“切線重合函數(shù)''的是()

A.y=sinx+cosxB.y=sin(cosx)

C.y=x+sinxD.y=x2+sinx

【答案】ABC

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，確定切線斜率，選項(xiàng)AB,過(guò)圖象最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))處的切線是同一條直線，可判

斷，選項(xiàng)C,由導(dǎo)函數(shù)斜率相等的點(diǎn)有無(wú)數(shù)組，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，確定斜率為1的切線，可判斷結(jié)論，百選

項(xiàng)D,導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，因此不存在斜率相等的兩點(diǎn)，這樣易判斷結(jié)論.

【解析】A,7(x)=SinX+cosX=夜C^SinX+?^cosX)=>∕∑sin(x+?),

/(x)=√2cos(x+^),%=2A=+f,?∈Z時(shí),f?x)=0,/*)取得最大值

44

直線y=播是函數(shù)圖象的切線，且過(guò)點(diǎn)由+全揚(yáng)kZ,函數(shù)是“切線重合函豺；

B,/(x)=Sin(COSx),∕r(x)=-sinxcos(sinx),x=2ATr,A∈Z時(shí)，∕,(x)=0,COSX=1,-sinl≤/(x)≤sinl,

此時(shí)/O)=Sinl是函數(shù)的最大值,

直線>=sinl是函數(shù)圖象的切線，且過(guò)點(diǎn)(2々肛Sinl)次∈Z,函數(shù)是“切線重合函數(shù)”;

C,/(x)=x÷sinx,ff(x)=1÷cosx,

jrτrjr

x=2kπ+萬(wàn)，左∈Z時(shí)，f(x)=1,fQkπ+?)=2kπ+—,

過(guò)點(diǎn)(2%r+],2?+5+l)MeZ的切線方程是y-(2Qr+]+l)=x-(2k%+g,即y=x+l,因此該切線過(guò)

/(x)圖象上的兩個(gè)以上的點(diǎn)，函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；

D,f(x)=x2+sinx,/'(x)=2x+cosx,令g(x)=f'(x)=2x+cosx,

則g，(x)=2-sinx>0,所以g(x)即f(x)是R增函數(shù),因此函數(shù)圖象上不存在兩點(diǎn),它們的切線斜率相等,

也就不存在切線過(guò)圖象上的兩點(diǎn)，因此函數(shù)不是“切線重合函數(shù)

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題關(guān)鍵是理解新定義，實(shí)質(zhì)仍然是求函數(shù)圖象上的切線方程，只是

要考慮哪些切線重合，因此本題中含有三角函數(shù)，對(duì)三角函數(shù)來(lái)講，其最高點(diǎn)或最低點(diǎn)是首選，對(duì)其它與

三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)，涉及到其中三角函數(shù)的最大值或最小值點(diǎn)也是我們首選考慮的.

三、填空題

17.曲線y=f+3f+6x+4的所有切線中，斜率最小的切線的方程是.

【答案】3x-y+3=0

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由二次函數(shù)性質(zhì)求出導(dǎo)數(shù)的最小值，進(jìn)而得切線斜率與切點(diǎn)坐標(biāo)，從而即可求解.

【解析】解：由題意y'=3d+6x+6=3(x+l)2+3,

所以X-—1時(shí)，Jrnin=?*又4-1時(shí)，y=。，

所以所求切線的方程為y-0=3(x+l),即3x-y+3=0.

故答案為：3x-y+3=0.

18.若/'(Λ0)=2,則Hm/(/+〃)_"/)=____.

*→o2/?

【答案】1

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何定義即可計(jì)算.

【解析】Iim"飛十險(xiǎn)一"包)=匕而十')一/區(qū))=L3(%)=L

故答案為：1.

19.若曲線/(x)=gχ2-41nx在點(diǎn)(Ij⑴)處的切線與直線x+3y+l=0垂直，則常數(shù)α=—.

【答案】-2

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得在點(diǎn)(1，/⑴)處的切線斜率為女=1-。，再根據(jù)兩直線的位置關(guān)系，即

可求解.

【解析】由題意，函數(shù)"x)=(f-αlnx,可得/⑺=%，，所以f'(l)=l-α,

2X

即在點(diǎn)(IJ⑴)處的切線斜率為k=l-a,

又由在點(diǎn)(1√(1))處的切線與直線x+3y+1=O垂直，所以(1-α)χ(-}=-1,

解得α=-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解參數(shù)問題，其中解答中利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的

斜率，再根據(jù)兩直線的位置關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.數(shù)學(xué)中，多數(shù)方程不存在求根公式.因此求精確根非常困難，甚至不可能.從而尋找方程的近似根就顯得

特別重要.例如牛頓迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假設(shè)R是方程f(x)=0的根，

選?。プ鳛镽的初始近似值，在點(diǎn)(?,∕(?))處作曲線y=/(X)的切線4，則I1與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),稱為R

的一次近似值，在點(diǎn)Gja))處作曲線y=∕(χ)的切線.則4與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)須稱為R的二次近似值?

重復(fù)上述過(guò)程，用X“逐步逼近R.若給定方程;d+χ7=0,取A0=O,則W=.

【答案】I

O

【分析】根據(jù)牛頓迭代法的知識(shí)求得才2.

【解析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=gv+x-1J(X)=X2+1J(O)=1,/(O)=-I,

切線4的方程為y+i=iχ(χ-0),y=χT,與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為王=L

/(1)=2,/(1)=1,

所以切線I2的方程為y-g=2(x-l),y=2Λ-∣,與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X,≈∣.

33o

故答案為：I

O

四、解答題

21.己知函數(shù)/(x)=2χ2+3x-5.

(1)求當(dāng)玉=4,且Ar=I時(shí)，函數(shù)增量與和平均變化率?；

?x

⑵求當(dāng)N=4,且Ar=O.1時(shí)，函數(shù)增量Ay和平均變化率半；

?x

(3)若設(shè)W=x∣+1,分析(1)(2)問中的平均變化率的幾何意義.

【答案】⑴回=21,半=21；

?x

(2)Ay=I.92,包=19.2；

?r

(3)答案見解析.

【分析】(1)(2)由解析式展開并化簡(jiǎn)Ay=+—)-〃5),再將玉、?x代入求值即可.

(3)根據(jù)?=/(々)二/(%),結(jié)合直線斜率的兩點(diǎn)式說(shuō)明幾何意義即可.

?xx2-X1

(1)

222

?y=/(x1+ZSΛ)-∕(X1)=2(XI+?r)÷3(%1+Zlr)-5-2xl-3x1+5=4x1?x+2(?x)+3?x.

當(dāng)％=4且?x=l時(shí)，Ay=4x4x1+2+3=21,

所以平均變化率"=￥=2L

?x1

(2)

當(dāng)玉=4且?χ=0.1時(shí)，?y=4×4×0.1+0.02+0.3=1.92,

所以平均變化率孚=卓=19.2.

Ax0.1

(3)

在⑴中，"JE)一/㈤J⑸寸⑷,

?xx2-X15-4

它表示曲線上兩點(diǎn)用(4,39)與爪5,60)所在直線的斜率;

”=Z?k?l1(41)一八4)

在(2)中,

?xx2-Xx4.1-4

它表示曲線上P.(4,39)與P2(4.1,40.92)所在直線的斜率.

22.若一物體運(yùn)動(dòng)方程如下(位移單位：〃?，時(shí)間單位：S)

3r+2,/..3

=/(')=.求:

29+3”3)2,0,,t<3>

⑴物體在fe[3,5]內(nèi)的平均速度;

(2)物體的初速度％；

(3)物體在f=1時(shí)的瞬時(shí)速度.

【答案】(l)24m∕s

(2)-18m∕s

(3)-12m∕s

【分析】(I)計(jì)算時(shí)間變化量為加，其位移變化量為加，即可求出物體在“[3,5]內(nèi)的平均速度；

(2)求物體的初速度％,即求物體在Z=O時(shí)的瞬時(shí)速度，求出物體在f=0附近位移的平均變化率，再利用

極限的思想求出瞬時(shí)速度；

(3)求出物體在f=l附近位移的平均變化率，再利用極限的思想求出瞬時(shí)速度；

(1)

解：由已知在fw[3,5]時(shí)，其時(shí)間變化量為Δ∕=2,

其位移變化量為加=/⑸-"3)=3χ25+2-(3χ9+2)=48,

故所求平均速度為字=f=24m∕s；

Ar2

(2)

解：求物體的初速度%,即求物體在f=0時(shí)的瞬時(shí)速度.

因?yàn)槲矬w在f=0附近位移的平均變化率為

氐/(0+Δr)-∕(0)29+3(0+Δ∕-3)2-29-3(0-3)23

----=------------------------=------------------------------------------------=JZV-Io18

ZΔ/Δ/

Ac

所以物體在f=0處位移的瞬時(shí)變化率為limz=lim(34-18)=-18,

Δf→O?/Δ∕→0\/

即物體的初速度%=T8m∕s.

(3)

解：因?yàn)槲矬w在r=l附近位移的平均變化率為

AS/(l+Δ∕)-∕(l)29+3(1+4-3)2-29-3(1-3)2

—=----------------------=-----------------------------------------------=5Δ∕—IZ,

加4Af

故物體在/=1時(shí)的瞬時(shí)速度為Iim竺=Iim(34-12)=-12,即物體在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度為-12m∕s.

23.已知某化學(xué)物質(zhì)在溶液中反應(yīng)時(shí)的濃度隨時(shí)間變化而變化(溫度不變)，下表記錄了某溫度下該化學(xué)

物質(zhì)在溶液中反應(yīng)時(shí)不同時(shí)刻t的濃度C⑺.

t02468

c(f)0.08000.05700.04080.02950.0210

試根據(jù)上表求下列時(shí)間段內(nèi)的平均反應(yīng)速率:

(l)2≤r≤6；

⑵2≤f≤4;

⑶0≤r≤2.

【答案】(1)0.006875

(2)0.(X)81

(3)0.0115

C

【分析】根據(jù)平均速率V=—計(jì)算即可求解.

..t

(1)

240.0570-0.02950.0275

由題意，V=-------——-------=---=0.006875,

6-24

即在2≤f≤6時(shí)間段內(nèi)的平均反應(yīng)速率為0.006875.

⑵

0.0570-0.04080.0162

由題意,V=---------------------------=0.0081

4-22

即在2≤∕≤4時(shí)間段內(nèi)的平均反應(yīng)速率為0.0081.

⑶

0.0800-0.05700.0230

由題意,V=---------------------------=0.0115

2-02

即在0≤l≤2時(shí)間段內(nèi)的平均反應(yīng)速率為0.0115.

24.已知兩曲線y=Y+必和y=f+灰+°都經(jīng)過(guò)點(diǎn)p0,2),且在點(diǎn)P處有公切線.

⑴求α,b,C的值；

(2)求公切線所在的直線方程；

⑶若拋物線y=f+?r+c上的點(diǎn)"到直線y=4x-5的距離最短，求點(diǎn)M的坐標(biāo)和最短距離.

【答案】(l)a=l,b=2,C=-I

(2)4x-y-2=0

⑶M(1,2),嚕

【分析】(1)對(duì)已知兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，由公切線得斜率相等，再把P點(diǎn)坐標(biāo)代入兩個(gè)函數(shù)式，可解得a,。,。；

(2)由(2)得切線斜率，從而得公切線方程；

(3)由拋物線的導(dǎo)數(shù)值等于4可得〃點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線距離公式可得結(jié)論.

(1)

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)定義可知，兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別是

,?y,.(X+ΔX)3+<Z(Λ+ΔX)-(X3+OT)

y∣=?im—=Iim-----------------------------------------=3x+a?

-ArAETO?χ

,.Ay.(-^+?v)2+?(x+?x)+c-(x2+hx+c^

“^→oMΔ*→O??Xb

將P(l,2)分別代入兩曲線方程得到2=l+α,2=l+b+c.

2,j

Xy[=3X+a,y2=1xt-by則3+α=2+/?,解得α=l,b=2,C=-I.

(2)

由(1)知V=/+',y[=3x2÷1；當(dāng)x=l時(shí)，X=4,故切線方程

為y=4(x—1)+2,BP4x-y-2=0.

由(1)知y=12+2x-l,%=2x+2,當(dāng)x=l時(shí)，%=4,故切線方程為y=4(x—1)+2,即4x—y—2=0.

綜上所述，公切線所在的直線方程為以一丁-2=0.

(3)

要使拋物線y=X2+bx+c上的點(diǎn)M到直線y=4x-5的距離最短，則拋物線在點(diǎn)M處

的切線斜率應(yīng)該與直線y=4x-5相同，

則y,=Iim包=Iim>2Fa+詞+~(爐+如C)=2/2=4，

ArTO?XAs。?X

解得x=l.又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，解得M(1,2),

所以最短距離即d為點(diǎn)M到直線y=4x-5的距離，

,∣4-2-5∣3717?/p

代入點(diǎn)到直線的距離公式得"=廠(二#=下"?即最短距離為尊.

25.己知函數(shù)"x)=gx3-2χ2+3x(xeR)的圖象為曲線C.

(1)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線(均不與X軸垂直)，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)

的取值范圍；

(2)證明：不存在與曲線C同時(shí)切于兩個(gè)不同點(diǎn)的直線.

【答案】⑴(—2-0卜(1,3)U[2+&,可；

(2)證明見解析.

【分析】(1)利用互相垂直的切線(均不與X軸垂直)的斜率互為負(fù)倒數(shù)，

切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線的斜率，及一元二次方程有解求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍；

(2)利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線的斜率，求出兩切點(diǎn)處的兩條直線的方程，利用斜率相等和縱截距相

等求得的結(jié)果與已知矛盾，得證.

(1)

∕,(X)=X2-4X+3,由題，

設(shè)其中一條切線的斜率為火(&wθ),則另一條切線的斜率為

K

由題意得了'U)=々①與r(x)=—；②均有解，

若①有解，即/_4工+3_%=0有解，貝IJ(T)2-4(3-%)20,

解得&N-1,若②有解，即Y-4x+3+,=0有解，

K

則(-4)2-4(3+￡|20,解得女<0或左≥1.

所以T4%<0或A≥l,即一l≤χ2-4χ+3<0或χ2-4x+3Wl,

解得X[—8,2—U(L3)u[2+>∕Σ,+oo).

⑵

證明：假設(shè)存在在點(diǎn)A(AX)的切線與曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn)，

另一切點(diǎn)為3(%,丫2乂工戶馬),

則切線方程是?-[?X；-2x；+3XJ=(X；-4x,+3)(x-xl),

化簡(jiǎn)得V=儲(chǔ)-4玉+3)Λ?+(-∣M+2寸.

同理可得過(guò)B(A?,%)的切線方程是y=(x"4x2+3)x+(-∣*

由于兩切線是同一直線，故片-4%+3=考-4々+3,

2