初中數(shù)學(xué)120大招-13 三角形面積求最大值問題-鉛垂法

鉛垂法求三角形面積最值問題知識導(dǎo)航求三角形的面積是幾何題中常見問題之一，可用的方法也比較多，比如面積公式、割補(bǔ)、等積變形、三角函數(shù)甚至海倫公式，本文介紹的方法是在二次函數(shù)問題中常用的一種求面積的方法——鉛垂法．【問題描述】在平面直角坐標(biāo)系中，已知、、，求△ABC的面積．【分析】顯然對于這樣一個位置的三角形，面積公式并不太好用，割補(bǔ)倒是可以一試，比如這樣：構(gòu)造矩形ADEF，用矩形面積減去三個三角形面積即可得△ABC面積．這是在“補(bǔ)”，同樣可以采用“割”：此處AE+AF即為A、B兩點(diǎn)之間的水平距離．由題意得：AE+BF=6．下求CD：根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求得直線AB解析式為：由點(diǎn)C坐標(biāo)（4,7）可得D點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，將4代入直線AB解析式得D點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，故D點(diǎn)坐標(biāo)為（4,2），CD=5,．【方法總結(jié)】作以下定義：A、B兩點(diǎn)之間的水平距離稱為“水平寬”；過點(diǎn)C作x軸的垂線與AB交點(diǎn)為D，線段CD即為AB邊的“鉛垂高”．如圖可得：【解題步驟】（1）求A、B兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；（2）過點(diǎn)C作x軸垂線與AB交于點(diǎn)D，可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)同點(diǎn)C；（3）求直線AB解析式并代入點(diǎn)D橫坐標(biāo)，得點(diǎn)D縱坐標(biāo)；（4）根據(jù)C、D坐標(biāo)求得鉛垂高；（5）利用公式求得三角形面積．【思考】如果第3個點(diǎn)的位置不像上圖一般在兩定點(diǎn)之間，如何求面積？鉛垂法其實(shí)就是在割補(bǔ)，重點(diǎn)不在三個點(diǎn)位置，而是取兩個點(diǎn)作水平寬之后，能求出其對應(yīng)的鉛垂高！因此，動點(diǎn)若不在兩定點(diǎn)之間，方法類似：【鉛垂法大全】（1）取AB作水平寬，過點(diǎn)C作鉛垂高CD．（2）取AC作水平寬，過點(diǎn)B作BD⊥x軸交直線AC于點(diǎn)D，BD即對應(yīng)的鉛垂高，（3）取BC作水平寬，過點(diǎn)A作鉛垂高AD．甚至，還可以橫豎互換，在豎直方向作水平寬，在水平方向作鉛垂高．（4）取BC作水平寬，過點(diǎn)A作鉛垂高AD．（5）取AC作水平寬，過點(diǎn)B作鉛垂高BD．（6）取AB作水平寬，過點(diǎn)C作鉛垂高CD．方法突破例一、如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸的另一個交點(diǎn)為．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)為該拋物線上一動點(diǎn)（與點(diǎn)、不重合），設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m．當(dāng)點(diǎn)在直線的下方運(yùn)動時，求的面積的最大值．【分析】（1），（2）取BC兩點(diǎn)之間的水平距離為水平寬，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交直線BC于點(diǎn)Q，則PQ即為鉛垂高．根據(jù)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)得B、C水平距離為4，根據(jù)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線BC解析式：y=x+1，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m2+6m+5），則點(diǎn)Q（m，m+1），得PQ=-m2-5m-4，考慮到水平寬是定值，故鉛垂高最大面積就最大．當(dāng)時，△BCP面積最大，最大值為．【小結(jié)】選兩個定點(diǎn)作水平寬，設(shè)另外一個動點(diǎn)坐標(biāo)來表示鉛垂高．例二、在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖像向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），，經(jīng)過點(diǎn)的一次函數(shù)的圖像與軸正半軸交于點(diǎn)，且與拋物線的另一個交點(diǎn)為，的面積為5．（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；（2）拋物線上的動點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像下方，求面積的最大值，并求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）拋物線解析式：；一次函數(shù)解析式：．（2）顯然，當(dāng)△ACE面積最大時，點(diǎn)E并不在AC之間．已知A（-1,0）、，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為，過點(diǎn)E作EF⊥x軸交直線AD于F點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，代入一次函數(shù)解析式得可得考慮到水平寬是定值，故鉛垂高最大面積最大．既然都是固定的算法，那就可以總結(jié)一點(diǎn)小小的結(jié)論了，對坐標(biāo)系中已知三點(diǎn)、、，按鉛垂法思路，可得：如果能記住也不要直接用，可以當(dāng)做是檢驗(yàn)的方法咯．【總結(jié)】鉛垂法是求三角形面積的一種常用方法，尤其適用于二次函數(shù)大題中的三角形面積最值問題，弄明白方法原理，熟練方法步驟，加以練習(xí)，面積最值問題輕輕松松．專項(xiàng)訓(xùn)練1．已知二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．（1）分別求、和、的值；（2）點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象上一動點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，寫出的面積關(guān)于點(diǎn)的橫坐標(biāo)的函數(shù)表達(dá)式，并求的最大值．【分析】（1）把直線和曲線經(jīng)過的點(diǎn)代入得到方程組，求解即可得到答案；（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，②當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時，過點(diǎn)作軸交的延長線于點(diǎn)，分別根據(jù)三角形面積公式得到關(guān)系式，利用函數(shù)式表示三角形的面積，配方可得答案．【解答】解：（1）二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，．（2）由（1）知一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式分別為：或，①當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，則，②當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時，過點(diǎn)作軸交的延長線于點(diǎn)，則，點(diǎn)在拋物線上，設(shè)，則，，，即當(dāng)時，最大．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及一次函數(shù)、圖形面積的計(jì)算等，掌握其性質(zhì)及運(yùn)算是解決此題關(guān)鍵，2．如圖，拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線下方的拋物線上有一動點(diǎn)，使得的面積最大，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使以，，，四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；（2）由的面積，即可求解；（3）分是邊、是對角線兩種情況，利用平移的性質(zhì)和中點(diǎn)公式即可求解．【解答】解：（1）將點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得，解得，故拋物線的表達(dá)式為；（2）設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得，故直線的表達(dá)式為，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，則的面積，，故該拋物線開口向下，的面積存在最大值，此時，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）存在，理由：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則①，①當(dāng)是邊時，點(diǎn)向下平移3個單位得到點(diǎn)，則點(diǎn)向下平移3個單位得到點(diǎn)，則或②，聯(lián)立①②并解得或（不合題意的值已舍去）；②當(dāng)是對角線時，則由中點(diǎn)公式得：③，聯(lián)立①③并解得（不合題意的值已舍去）；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，或，．【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、面積的計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．3．綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于，，三點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方拋物線上的一個動點(diǎn)．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）動點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，的面積最大，求出此時點(diǎn)坐標(biāo)及面積的最大值；（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將、、坐標(biāo)代入即可求解析式；（2）設(shè)坐標(biāo)，表示出的面積，再求出最大面積和面積最大時的坐標(biāo)；（3）兩個直角頂點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，而兩直角邊的比為，只需兩直角邊比也為，兩個三角形就相似，分兩種情況列出比例式即可．【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于，，，，，，解得，，，二次函數(shù)的解析式為，故答案為：；（2）設(shè)直線解析式為，將，代入得，解得，，解析式是，如答圖1，過作軸，交于，點(diǎn)是直線下方拋物線上的一個動點(diǎn)，，，，，，，時，最大為，此時，，，故答案為：，，最大為；，，，，，點(diǎn)在軸上，，若以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，則與對應(yīng)，分兩種情況：①如答圖2，，則即，解得，或；②，則即，解得，或，綜上所述，存在軸上的點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，這樣的點(diǎn)一共4個：或，或，故答案為：存在這樣的點(diǎn)，坐標(biāo)分別是：或，或，【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)、相似三角形、面積等問題的綜合題，主要考查坐標(biāo)、線段的轉(zhuǎn)化，面積的表示，涉及方程思想，分類思想等，難度適中．4．如圖1，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)為直線上方拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)為該拋物線的頂點(diǎn)，直線軸于點(diǎn)，在直線上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求解析式；（2）過點(diǎn)作軸于，交于點(diǎn)，先求出的解析式，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，由三角形面積公式可得，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；（3）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，先求出點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)，可求解析式，可得，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由兩點(diǎn)距離公式可列，即可求解．【解答】解：（1）點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線圖象上，，解得：，拋物線解析式為：；（2）點(diǎn)，點(diǎn)，直線解析式為：，如圖，過點(diǎn)作軸于，交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，，當(dāng)時，有最大值，點(diǎn)，；（3）存在滿足條件，理由如下：拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)，，頂點(diǎn)為，點(diǎn)為，點(diǎn)，直線的解析式為：，如圖，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，點(diǎn)，，，，，，，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，，，，，，，存在點(diǎn)滿足要求，點(diǎn)坐標(biāo)為或．【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，兩點(diǎn)距離公式，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，利用參數(shù)列方程是本題的關(guān)鍵．5．如圖，拋物線過點(diǎn)和，頂點(diǎn)為，直線與拋物線的對稱軸的交點(diǎn)為，，平行于軸的直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，四邊形為平行四邊形．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，且在直線上方，當(dāng)面積最大時，求點(diǎn)的坐標(biāo)及面積的最大值；（3）在拋物線的對稱軸上取一點(diǎn)，同時在拋物線上取一點(diǎn)，使以為一邊且以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）由待定系數(shù)法求出直線的解析式為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由平行四邊形的性質(zhì)得出，求出的值，則可得出答案；（2）設(shè)，作軸交于點(diǎn)，則，得出，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；（3）聯(lián)立直線和拋物線解析式求出，，設(shè)，，分兩種情況：①當(dāng)為對角線時，②當(dāng)為對角線時，分別求出點(diǎn)和的坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，又點(diǎn)在拋物線上，，對稱軸為：，，解析式化為：，四邊形為平行四邊形．，，解得，拋物線的解析式為；（2）設(shè)，作軸交于點(diǎn)，則，，，當(dāng)時，的面積最大為，此時，．（3），或，，，設(shè)，，①當(dāng)為對角線時，，在拋物線上，，解得，，；②當(dāng)為對角線時，，在拋物線上，，解得，，，．綜上所述，，；或，，．【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想，分類討論思想是解題的關(guān)鍵．6．在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角的直角頂點(diǎn)在軸上，另兩個頂點(diǎn)，在軸上，且，拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)，如圖1所示．（1）求拋物線所表示的二次函數(shù)表達(dá)式．（2）過原點(diǎn)任作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，如圖2所示．①求面積的最小值．②已知是拋物線上一定點(diǎn)，問拋物線上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的一次函數(shù)表達(dá)式；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得、、，進(jìn)而得、、三點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；（2）①設(shè)直線的解析式為，，，，，聯(lián)立方程組求得，再由三角形的面積公式求得結(jié)果；②假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，由列出方程求得的值，再根據(jù)題意舍去不合題意的值，再求得的中點(diǎn)坐標(biāo)，便可求得直線的解析式．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，在等腰中，垂直平分，且，，，，，，解得，，拋物線的解析式為；（2）①設(shè)直線的解析式為，，，，，由，可得，，