初中數(shù)學(xué)120大招-35 幾何模型菱形的存在性問(wèn)題

菱形的存在性問(wèn)題一、方法突破作為一種特殊的平行四邊形，我們已經(jīng)知道可以從以下幾種方式得到菱形：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊都相等的四邊形是菱形．坐標(biāo)系中的菱形存在性問(wèn)題也是依據(jù)以上去得到方法．和平行四邊形相比，菱形多一個(gè)“對(duì)角線互相垂直”或“鄰邊相等”，但這兩者其實(shí)是等價(jià)的，故若四邊形ABCD是菱形，則其4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)需滿足：考慮到互相垂直的兩條直線斜率之積為1在初中并不適合直接用，故取兩鄰邊相等．即根據(jù)菱形的圖形性質(zhì)，我們可以列出關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的3個(gè)等式，故菱形存在性問(wèn)題點(diǎn)坐標(biāo)最多可以有3個(gè)未知量，與矩形相同．因此就常規(guī)題型而言，菱形存在性至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則有3個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可細(xì)分如下兩大類題型：（1）2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)（2）1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn)解決問(wèn)題的方法也可有如下兩種：思路1：先平四，再菱形設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD為對(duì)角線），再結(jié)合一組鄰邊相等，得到方程組．思路2：先等腰，再菱形在構(gòu)成菱形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3個(gè)點(diǎn)，再確定第4個(gè)點(diǎn)．

看個(gè)例子：如圖，在坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)（1,1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（5,4），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在平面中，求D點(diǎn)坐標(biāo)，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．思路1：先平四，再菱形設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（p，q）．（1）當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，由題意得：（AB和CD互相平分及AC=BC），解得：（2）當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，由題意得：（AC和BD互相平分及BA=BC），解得：或（3）當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，由題意得：，解得：或思路2：先等腰，再菱形先求點(diǎn)C，點(diǎn)C滿足由A、B、C構(gòu)成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性問(wèn)題的方法先確定C，再確定D點(diǎn)．（1）當(dāng)AB=AC時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為；C點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）當(dāng)BA=BC時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3）；C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-3）．（3）AC=BC時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為，D點(diǎn)坐標(biāo)為．以上只是兩種簡(jiǎn)單的處理方法，對(duì)于一些較復(fù)雜的題目，還需具體問(wèn)題具體分析，或許有更為簡(jiǎn)便的方法．二、典例精析例一：綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，OA=2，OC=6，連接AC和BC．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）拋物線：；（2）先考慮M點(diǎn)位置，即由A、C、M三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形：①當(dāng)CA=CM時(shí)，即CM=CA=，M點(diǎn)坐標(biāo)為、，對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)為、．②當(dāng)AC=AM時(shí)，即AM=AC=，M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．③當(dāng)MA=MC時(shí)，勾股定理可求得M點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)為．綜上，N點(diǎn)坐標(biāo)為、、（2，0）、．如下圖依次從左到右．例二：綜合與探究如圖1所示，直線y=x+c與x軸交于點(diǎn)A（-4,0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C．（1）求拋物線的解析式（2）如圖2所示，M是線段OA的上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點(diǎn)P、N．若點(diǎn)P恰好是線段MN的中點(diǎn)，點(diǎn)F是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)D，F(xiàn)，P，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）拋物線解析式：；（2）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0）（-4<m<0），則N點(diǎn)坐標(biāo)為，P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m+4），若P是MN中點(diǎn)，則，解得：，（舍）故P（-1，3）、M（-1，0）考慮到F點(diǎn)在直線AC上，故可先確定F點(diǎn)位置，再求得D點(diǎn)坐標(biāo)．當(dāng)PM=PF時(shí)，PF=3，可得、，對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)分別為、．當(dāng)MP=MF時(shí)，MP=MF，可得，對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)FP=FM時(shí)，F(xiàn)P=FM，F(xiàn)點(diǎn)在PM垂直平分線上，可得，對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為．綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)有、、、．例三：如圖，已知直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D．（1）若拋物線的解析式為，設(shè)其頂點(diǎn)為M，其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N．①求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；②是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說(shuō)明理由．【分析】（1）①M(fèi)點(diǎn)坐標(biāo)為，N點(diǎn)坐標(biāo)為．②由題意可知MN∥PD，故四邊形MNPD若是菱形，首先MN=PD考慮到M、N是定點(diǎn)，可先求得，設(shè)，則，，令，即，解得：，．故P點(diǎn)坐標(biāo)為，D點(diǎn)坐標(biāo)為．但此時(shí)僅僅滿足四邊形MNPD是平行四邊形，本題要求的是菱形，故還需加鄰邊相等．但此時(shí)P、D已定，因此接下來(lái)要做的只是驗(yàn)證鄰邊是否相等．由兩點(diǎn)間距離公式得：，PN≠M(fèi)N，故不存在點(diǎn)P使四邊形MNPD是菱形．【小結(jié)】為什么此題會(huì)不存在，表面上看是不滿足鄰邊相等，究其原因，是因?yàn)镸、N是定點(diǎn)，P、D雖為動(dòng)點(diǎn)但僅僅是半動(dòng)點(diǎn)，且P、D橫坐標(biāo)相同，故本題只需一個(gè)字母便可表示出4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)于菱形四個(gè)點(diǎn)滿足：若只有1個(gè)未知數(shù)或2個(gè)未知數(shù)，便出現(xiàn)方程個(gè)數(shù)＞未知量個(gè)數(shù)的情況，就有可能會(huì)無(wú)解．方程個(gè)數(shù)<未知數(shù)個(gè)量，可能無(wú)法確定有限組解；方程個(gè)數(shù)>未知數(shù)個(gè)量，可能會(huì)無(wú)解．特殊圖形的存在性，其動(dòng)點(diǎn)是在線上還是在平面上，是有1個(gè)動(dòng)點(diǎn)還是有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，都是由其圖形本身決定，矩形和菱形相比起平行四邊形，均多一個(gè)等式，故對(duì)動(dòng)點(diǎn)位置的要求可以有3個(gè)半動(dòng)點(diǎn)或者1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)，若減少未知量的個(gè)數(shù)，反而可能會(huì)產(chǎn)生無(wú)解的情況．不難想象，對(duì)于正方形來(lái)說(shuō)，可以有4個(gè)未知量，比如在坐標(biāo)系中已知兩定點(diǎn)，若要作正方形，只能在平面中再取另外兩動(dòng)點(diǎn)，即2個(gè)全動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)然，也有可能是1全動(dòng)+2半動(dòng)，甚至是4個(gè)半動(dòng)點(diǎn)．三、中考真題對(duì)決1．（2021?湘潭）如圖，一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)、，二次函數(shù)圖象過(guò)、兩點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）在中，令得，令得，，，二次函數(shù)圖象過(guò)、兩點(diǎn)，，解得，二次函數(shù)解析式為；（2）存在，理由如下：由二次函數(shù)可得其對(duì)稱軸為直線，設(shè)，，而，與關(guān)于直線對(duì)稱，，①當(dāng)、為對(duì)角線時(shí)，如圖：此時(shí)的中點(diǎn)即是的中點(diǎn)，即，解得，當(dāng)，時(shí)，四邊形是平行四邊形，由，，可得，，四邊形是菱形，此時(shí)；②、為對(duì)角線時(shí)，如圖：同理、中點(diǎn)重合，可得，解得，當(dāng)，時(shí)，四邊形是平行四邊形，由，，可得，四邊形是菱形，此時(shí)；③以、為對(duì)角線，如圖：、中點(diǎn)重合，可得，解得，，時(shí)，四邊形是平行四邊形，由，，可得，四邊形是菱形，此時(shí)；綜上所述，的坐標(biāo)為：或或．2．（2021?鄂爾多斯）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．（1）求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）在中，令，得，解得：，，，，令，得，；（3）存在，如圖2，，拋物線對(duì)稱軸為直線，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，分三種情況：對(duì)角線或?yàn)閷?duì)角線或?yàn)閷?duì)角線，①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，，點(diǎn)為直線與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即，，，，；②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，，設(shè)，則，，，解得：，，③當(dāng)對(duì)角線時(shí)，與互相垂直平分，設(shè)，則，，在直線上，，，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，，．3．（2021?通遼）如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上．（1）求拋物線的解析式；（3）若點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）拋物線交軸于，兩點(diǎn)，，解得：，該拋物線的解析式為；（2）在中，令，得，，的周長(zhǎng)為：，是定值，當(dāng)最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小．如圖1，點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)為所求的點(diǎn)．，周長(zhǎng)的最小值是：．，，，，．周長(zhǎng)的最小值是：．拋物線對(duì)稱軸為直線，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得：，解得：，直線的解析式為，；（3）存在．設(shè)，，，則，，，四邊形是菱形，分三種情況：以為對(duì)角線或以為對(duì)角線或以為對(duì)角線，①當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖2，，解得：，，，，，②以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖3，，解得：，，，③當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖4，，解得：，，，，，綜上所述，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，，，．4．（2021?婁底）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求、的值；（2）點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交直線于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)的值；②是否存在，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出的值．解：（1）由二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，得：，解得：，，，．（2）①點(diǎn)在拋物線上，，，過(guò)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，直線是一三象限的角平分線，，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的值為．②拋物線與軸交于點(diǎn)，時(shí)，，，，且以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，，又，，，解得：，，，，當(dāng)時(shí)，與重合，菱形不成立，舍去；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，四邊形是平行四邊形，，，平行四邊形不是菱形，舍去；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，四邊形是平行四邊形，，，平行四邊形不是菱形，舍去；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，四邊形是平行四邊形，，，平行四邊形不是菱形，舍去；綜上所述：不存在，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．5．（2021?恩施州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為正方形，點(diǎn)，在軸上，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，且與直線交于另一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形．若存在，請(qǐng)求出