初中數(shù)學(xué)120大招-39 四邊形的存在性問題

四邊形的存在性問題例題精講【例1】如圖1，四邊形中，，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動．其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．設(shè)運(yùn)動時間為秒．（1），．（用含的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)四邊形為平行四邊形時，求的值（3）如圖2，將沿翻折，得，是否存在某時刻，①使四邊形為為菱形，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由②使四邊形為正方形，則．【解答】解：（1）如圖1．，．在直角梯形中，，，于點(diǎn)，四邊形為矩形，，；故答案為：，．（2）四邊形為平行四邊形時，，，解得：，（3）①存在時刻，使四邊形為菱形．理由如下：，，當(dāng)時有四邊形為菱形，，解得，②要使四邊形為正方形．，．四邊形為正方形，則，，，．故答案為：．【變式訓(xùn)練1】在矩形中，，，、是對角線上的兩個動點(diǎn)，分別從，同時出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個單位長度，運(yùn)動時間為秒，其中．（1）若，分別是，中點(diǎn)，求證：四邊形是平行四邊形、相遇時除外）．（2）在（1）條件下，若四邊形為矩形，求的值．（3）若，分別是折線，上的動點(diǎn)，與，相同的速度同時出發(fā)，若四邊形為菱形，求的值．【解答】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，，，分別是，中點(diǎn)，，，，，，在和中，，，，同理：，四邊形是平行四邊形；（2）解：由（1）得：，，四邊形是平行四邊形，，當(dāng)時，平行四邊形是矩形，分兩種情況：①，，解得：；②，，解得：；綜上所述：當(dāng)為或時，四邊形為矩形；（3）解：連接、，如圖所示：四邊形為菱形，，，，，，四邊形是菱形，，設(shè)，則，由勾股定理得：，即，解得，，，，為時，四邊形為菱形．【變式訓(xùn)練2】在矩形中，，，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，且，連接，為的中點(diǎn)，有一動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒1個單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動，運(yùn)動時間為秒．（1）如圖1，連接、，則（用含的式子表示）；（2）如圖2，、分別為、的中點(diǎn)，當(dāng)為何值時，四邊形為平行四邊形？請說明理由；【解答】解：（1）四邊形是矩形，，，，，為的中點(diǎn)，，故答案為：（2）當(dāng)時，四邊形為平行四邊形，理由如下：、分別為、的中點(diǎn)，，，時，，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形最新模擬題如圖，在矩形中，，，連接，并過點(diǎn)作，垂足為，直線垂直，分別交、于點(diǎn)、．直線從出發(fā)，以每秒的速度沿方向勻速運(yùn)動到為止；點(diǎn)沿線段以每秒的速度由點(diǎn)向點(diǎn)勻速運(yùn)動，到點(diǎn)為止，直線1與點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為秒．（1）線段；（2）連接和，當(dāng)四邊形為平行四邊形時，求的值；（3）在整個運(yùn)動過程中，當(dāng)為何值時的面積取得最大值，最大值是多少？【解答】解：（1）四邊形是矩形，，，故答案為：（2）在中，四邊形為平行四邊形時，且，即（3），如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)，，當(dāng)時，有最大值，且最大值為，當(dāng)時，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)不構(gòu)成三角形；當(dāng)時，如圖，當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，最大值為，綜上所述：時，的面積取得最大值，最大值為．如圖，平行四邊形中，，，，是的中點(diǎn)，是邊上的動點(diǎn)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）①時，四邊形是矩形，請寫出判定矩形的依據(jù)（一條即可）；②時，四邊形是菱形，請寫出判定菱形的依據(jù)（一條即可）．【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，．是的中點(diǎn)，，在和中，，．．，四邊形是平行四邊形．（2）解：①當(dāng)時，四邊形是矩形．理由如下：作于，如圖所示：，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，在和中，，，，平行四邊形是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形），故當(dāng)時，四邊形是矩形；故答案為：8．②當(dāng)時，四邊形是菱形．理由如下：，．．，．是等邊三角形．．平行四邊形是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．故當(dāng)時，四邊形是菱形；故答案為：4．如圖，在中，點(diǎn)是邊上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線分別交、外角的平分線于點(diǎn)、．（1）猜想與證明，試猜想線段與的關(guān)系，并說明理由．（2）連接、．問：當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動到什么位置時，四邊形是矩形？并說明理由．（3）若邊上存在一點(diǎn)，使四邊形是正方形，猜想的形狀并證明你的結(jié)論．【解答】（1）證明：平分，平分，，，，，，，，，，；（2）解：如圖，當(dāng)在的中點(diǎn)時，四邊形是矩形，理由如下：當(dāng)為中點(diǎn)時，則有，四邊形為平行四邊形，，四邊形為矩形．（3）解：當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動到中點(diǎn)時，使四邊形是正方形，是直角三角形．理由如下：由（2）可得點(diǎn)在邊上運(yùn)動到中點(diǎn)時，平行四邊形是矩形，，平行四邊形是矩形，，，，，四邊形是正方形．如圖，矩形中，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的延長線交于．（1）求證：；（2）若，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速