初中數(shù)學120大招-117 歸納推理

歸納推理【規(guī)律總結(jié)】歸納推理是一種由個別到一般的推理。由一定程度的關于個別事物的觀點過渡到范圍較大的觀點，由特殊具體的事例推導出一般原理、原則的解釋方法。自然界和社會中的一般，都存在于個別、特殊之中，并通過個別而存在。一般都存在于具體的對象和現(xiàn)象之中，因此，只有通過認識個別，才能認識一般。人們在解釋一個較大事物時，從個別、特殊的事物總結(jié)、概括出各種各樣的帶有一般性的原理或原則，然后才可能從這些原理、原則出發(fā)，再得出關于個別事物的結(jié)論。這種認識秩序貫穿于人們的解釋活動中，不斷從個別上升到一般，即從對個別事物的認識上升到對事物的一般規(guī)律性的認識。例如，根據(jù)各個地區(qū)、各個歷史時期生產(chǎn)力不發(fā)展所導致的社會生活面貌落后，可以得出結(jié)論說，生產(chǎn)力發(fā)展是社會進步的動力，這正是從對于個別事物的研究得出一般性結(jié)論的推理過程，即歸納推理。顯然，歸納推理是從認識研究個別事物到總結(jié)、概括一般性規(guī)律的推斷過程。在進行歸納和概括的時候，解釋者不單純運用歸納推理，同時也運用演繹法。在人們的解釋思維中，歸納和演繹是互相聯(lián)系、互相補充、不可分割的?！镜淅治觥坷?、等邊△ABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A，C對應的數(shù)分別為0和-1，若△ABC繞著頂點順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點B所對應的數(shù)為1；則翻轉(zhuǎn)2019次后，點B所對應的數(shù)是(????)

A.2018 B.2019 C.2018.5 D.2021【答案】C【解析】【分析】

本題考查了數(shù)軸，根據(jù)翻轉(zhuǎn)的變化規(guī)律確定出每3次翻轉(zhuǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關鍵．是一道找規(guī)律的題目，要求學生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．注意翻折的時候，點B對應的數(shù)字的規(guī)律：只要是3n+1和3n+2次翻折的對應的數(shù)字是3n+2．結(jié)合數(shù)軸發(fā)現(xiàn)根據(jù)翻折的次數(shù)，發(fā)現(xiàn)對應的數(shù)字依次是：1，1，2.5；4，4，5.5；7，7，8.5…即第1次和第二次對應的都是1，第四次和第五次對應的都是4，第7次和第8次對應的都是7.根據(jù)這一規(guī)律：因為2019=673×3，所以翻轉(zhuǎn)2019次后，點B所對應的數(shù)是2.5+(673-1)×3，求出即可．

【解答】

解：因為2019=673×3，

2.5+(673-1)×3=2018.5，

所以2019次翻折后B點對應的數(shù)字是2018.5，

故選C．

例2、有一個正六面體骰子，放在桌面上，將骰子按如圖所示的順時針方向滾動，每滾動90°算一次，則滾動第2017次后，骰子朝下一面的點數(shù)是________．【答案】2.【解析】【分析】

觀察圖象知道點數(shù)三和點數(shù)四相對，點數(shù)二和點數(shù)五相對且四次一循環(huán)，從而確定答案。

【解答】

觀察圖象知道點數(shù)三和點數(shù)四相對，點數(shù)二和點數(shù)五相對且四次一循環(huán)，

∵2017÷4=504…1，

∴滾動第2017次后與第一次相同，

∴朝下的點數(shù)為2，

故答案為2．

例3、棱長為a的小正方體，按照如圖所示的方法一直維續(xù)擺放，自上而下分別叫第1層、第2層、……第n(n>0)層，第n層的小正方體的個數(shù)記為S．

(1)完成下表：n1234…S13__________…(2)通過上表可以發(fā)現(xiàn)S隨n的變化而變化，且有一定的規(guī)律，請你用式子來表示S與n的關系，并計算當n=10時S的值．【答案】解：(1)6；10；

(2)S隨n的變化而變化，n是自變量，S是因變量第n層時，

S=1+2+3+…+n=12n(n+1)，

當n=10【解析】【分析】

本題考查圖形規(guī)律性的變化；得到第n層正方體的個數(shù)的規(guī)律是解決本題的關鍵．

(1)第1個圖有1層，共1個小正方體，第2個圖有2層，第2層正方體的個數(shù)為1+2，根據(jù)相應規(guī)律可得第3層，第4層正方體的個數(shù)；

(2)根據(jù)自變量與因變量的意義，可得答案；

(3)依據(jù)(1)得到的規(guī)律可得第n層正方體的個數(shù)，進而得到n=10時S的值．

【解答】

解：(1)∵第1個圖有1層，共1個小正方體，

第2個圖有2層，第2層正方體的個數(shù)為1+2=3，

第3個圖有3層，第3層正方體的個數(shù)為1+2+3=6，

∴n=4時，即第4層正方體的個數(shù)為：1+2+3+4=10，

故答案為：6，10；

(2)S隨n的變化而變化，n是自變量，S是因變量

第n層時，S=1+2+3+…+n=12n(n+1)，

當n=10時，【好題演練】一、選擇題設S1=1，S2=1+3，S3=1+3+5，…，Sn=1+3+5+…+(2n-1)，S=SA.n B.n2n-12 C.n2【答案】D【解析】【分析】

本題考查了二次根式的化簡求值，求出S1，S2，S3，…的值，代入后根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出每一部分的值，再求出最后結(jié)果即可

【解答】

解：∵S1=1，S2=1+3=4=22，S3=1+3+5=9=32，…，Sn=1+3+5+…+(2n-1)=1+(2n-1)n2=觀察如圖，尋找規(guī)律，在“？”處應填上的數(shù)字是A.128

B.136

C.164

D.188【答案】C【解析】【分析】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．主要是能夠認真觀察發(fā)現(xiàn)圓圈中數(shù)字之間的規(guī)律．觀察發(fā)現(xiàn)：第n個圓圈里的數(shù)正好是前面3個圓圈中的數(shù)字的和．【解答】解：27+49+88=164．

故選C．

下列圖案是用長度相同的火柴按一定規(guī)律拼搭而成，第一個圖案需8根火柴，第二個圖案需15根火柴，…，按此規(guī)律，第n個圖案需幾根火柴棒(????)A.2+7n B.8+7n C.4+7n D.7n+1【答案】D【解析】【分析】

此題主要考查了圖形的變化類，關鍵是根據(jù)題目中給出的圖形，通過觀察思考，歸納總結(jié)出規(guī)律，再利用規(guī)律解決問題．根據(jù)第1個圖案需8根火柴，8=7×1+1，第2個圖案需15根火柴，15=7×2+1，第3個圖案需22根火柴，22=7×3+1，…得出規(guī)律第n個圖案需7n+1根火柴，求出答案．【解答】解：第1個圖案需8根火柴，8=7×1+1，第2個圖案需15根火柴，15=7×2+1，第3個圖案需22根火柴，22=7×3+1，…得出規(guī)律第n個圖案需7n+1根火柴，故選D．

如圖，圓周上均勻分布著5個分點，將圓周分成5份，每份為一個單位．現(xiàn)有兩顆棋子，甲棋子從A處起跳沿逆時針方向跳動，每秒跳2個單位，乙棋子從E處起跳沿順時針方向跳動，每秒跳1個單位，若甲、乙同時起跳，則經(jīng)過2018秒，它們在分點上相遇(????)A.401次 B.402次 C.403次 D.404次【答案】D【解析】【分析】

本題考查歸納推理找出規(guī)律，解題時要審題，仔細求解．

根據(jù)題意，通過分析可得規(guī)律：兩顆棋子五秒一個循環(huán)，其中一個循環(huán)里有一次相遇，即可求出經(jīng)過2018秒，它們在分點上相遇多少次．

【解答】

由題意知，

第1秒甲跳到C處，乙跳到D處;

第2秒甲跳到E處，乙跳到C處;

第3秒甲跳到B處，乙跳到B處，相遇;

第4秒甲跳到D處，乙跳到A處;

第5秒甲跳到A處，乙跳到E處，回到出發(fā)點;

依此類推可得兩顆棋子5秒一個循環(huán)，其中一個循環(huán)里在第3秒時有一次相遇，

故經(jīng)過2018秒即2018s=403×5s+3s，則它們在分點上相遇了404次．

故選D．

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，過點C作CD1⊥AB于D1，過點D1作D1D2⊥BC于D2，過點D2作DA.(12)n+1 B.(32【答案】D【解析】【分析】

本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．

在本題中，大大小小的三角形全部是30°、60°、90°的特殊三角形．

因為AC=1，在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，據(jù)此即可解答．

【解答】

解：根據(jù)題意得：在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，則CD1=32；

進而在△CD1D2中，有D1D2=32C一個點在數(shù)軸上移動時，它所對應的數(shù)，也會相應的變化．若點A先從原點開始，第一次向右移動3個單位長度，第二次向左移動5個單位長度，第三次向右移動3個單位長度，第四次向左移動5個單位長度，如此往復，經(jīng)過2019次運動后點A所對應的實數(shù)為(????)A.-2015 B.-2017 C.-2019 D.-2021【答案】A【解析】【分析】

本題考查的知識點是數(shù)軸，首先根據(jù)題意找出第一次到第六次所對應的數(shù)，找到規(guī)律，得到第2018次到達-2018，那么第2019次應向右移動3個單位，即可得到答案．

【解答】

解：依題意得，點A每兩次移動的結(jié)果是向左移動兩個單位，

而2019除以2得1009余數(shù)是1，

則此時點A對應的實數(shù)為：

1009×(-2)?+3=-2015，

故選A．

二、填空題如圖，用黑白兩種顏色的正方形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸增加1的規(guī)律拼成下列圖案，若第n個圖案中有2017個白色紙片，則n的值為_________．【答案】672【解析】【分析】本題考查圖形規(guī)律問題．解題的關鍵是注意發(fā)現(xiàn)前后圖形中的數(shù)量之間的關系，得出規(guī)律．觀察圖形，發(fā)現(xiàn)：白色紙片個數(shù)的規(guī)律，用字母表示即可；再根據(jù)其中的規(guī)律，再由第n個圖案中有2017個白色紙片，列方程求解即可．【解答】解：第1個圖案中有白色紙片3×1+1=4=3×1+1(張)，

第2個圖案中有白色紙片3×2+1=7=3×2+1(張)，

第3圖案中有白色紙片3×3+1=10=3×3+1(張)，第4圖案中有白色紙片3×4+1=13=3×4+1(張)，

…

第n個圖案中有白色紙片=(3n+1)張．∴3n+1=2017，解得：n=672．故答案為672．

觀察下列一組由★排列的“星陣”，按圖中規(guī)律，第n個“星陣”中的★的個數(shù)是______．【答案】n【解析】【分析】

本題考查規(guī)律型中的圖形變化問題，解決此類探究性問題，關鍵在觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之間的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律．排列組成的圖形都是三角形．第一個圖形中有2+1×2=4個★，第二個圖形中有2+2×3=8個★，第三個圖形中有2+3×4=14個★，…，繼而可求出第n個圖形中★的個數(shù)．

【解答】

解：∵第一個圖形有2+1×2=4個，

第二個圖形有2+2×3=8個，

第三個圖形有2+3×4=14個，

第四個圖形有2+4×5=22個，

…

∴第n個圖形共有：2+n×(n+1)=n2+n+2．

故答案為：在平面直角坐標系中，直線l:y=x-1與x軸交于點A1，如圖所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1，?、正方形AnBnCnCn-1，使得點A1、A2、【答案】(【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及規(guī)律型中點的坐標的變化，根據(jù)點的坐標的變化找出變化規(guī)律“An(2n-1,2n-1-1)(n為正整數(shù))”是解題的關鍵．根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征找出A1、A2、

【解答】解：當y=0時，x=1，∴A1(1,0)，易知l與y軸成45°夾角，

∴B1(1,1)，B2(2,2+1)，B3(22,22+2+1)，?

如圖(1)，(2)，(3)，(4)，…，是用圍棋棋子按照某種規(guī)律擺成的一行“廣”字，按照這種規(guī)律，第n個“廣”字中的棋子個數(shù)是_______個．【答案】(5+2n)【解析】略

如圖所示一個質(zhì)點在第一象限內(nèi)及x軸、y軸上運動，在第一秒內(nèi)它由原點移動到(0,1)點，而后接著按圖所示在x軸，y軸平行的方向運動，且每秒移動一個單位長度，那么質(zhì)點運動到點(n,n)(n為正整數(shù))的位置時，用代數(shù)式表示所用的時間為________秒．【答案】n(n+1)【解析】【分析】

本題考查的是點坐標，歸納推理有關知識，歸納走到(n,n)處時，移動的長度單位及方向．

【解答】

解：質(zhì)點到達(1,1)處，走過的長度單位是2；

質(zhì)點到達(2,2)處，走過的長度單位是6=2+4；

質(zhì)點到達(3,3)處，走過的長度單位是12=2+4+6；

質(zhì)點到達(4,4)處，走過的長度單位是20=2+4+6+8；

…

猜想：質(zhì)點到達(n,n)處，走過的長度單位是2+4+6+…+2n=n(n+1)．

故答案為n(n+1)將1、2、3、6按下圖所示的方式排列，若規(guī)定m,n表示第m排從左到右第n個數(shù)，則4,2與21,2表示的兩數(shù)的積是________．【答案】6【解析】【分析】

此題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律以及二次根式的乘除，對于找規(guī)律的題目找準變化規(guī)律是關鍵．

根據(jù)數(shù)的排列方法可知，第一排：1個數(shù)，第二排2個數(shù)．第三排3個數(shù)，第四排4個數(shù)，…第m-1排有(m-1)個數(shù)，從第一排到(m-1)排共有：1+2+3+4+…+(m-1)個數(shù)，根據(jù)數(shù)的排列方法，每四個數(shù)一個輪回，根據(jù)題目意思找出第m排第n個數(shù)到底是哪個數(shù)后再計算．

【解答】

解：由題意可知，每4個數(shù)一個輪回，(21,2)表示第21排從左向右第2個數(shù)，

因為第1排到第20排的數(shù)的總數(shù)為1+2+3+……+20=210，

再加上第21排第2個數(shù)，共有210+2=212個數(shù)，

因為212÷4=53，

所以(21,2)表示的數(shù)是6，

同理，可求得(4,2)表示的數(shù)為6，

所以表示(4,2)和(21,2)的數(shù)的乘積為6×6=6．

故答案為三、解答題用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：(1)第5個圖形有________顆黑色棋子，第n個圖形有________顆黑色棋子；(2)是否存在第n個圖形有2018顆黑色棋子？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．【答案】解：(1)18；3n+3；

(2)解：不存在第n個圖形有2018顆黑色棋子．理由如下：假設第n個圖形有2017顆黑色棋子，

根據(jù)題意，得3(n+1)=2018，解得n=67223∵n的值不是整數(shù)，

∴不存在第n個圖形有2018顆黑色棋子．【解析】【分析】本題考查了列代數(shù)式以及圖形規(guī)律問題，一元一次方程的應用的有關知識．(1)觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)，每個圖形中的黑色棋子的個數(shù)都是3的倍數(shù)，進而得到第5個圖形的黑色棋子的個數(shù)，再根據(jù)找到的規(guī)律可得第n的圖形的黑色棋子的個數(shù)為3(n+1)；(2)可令3(n+1)=2017，解這個方程即可．【解答】解：(1)第1個圖形需棋子6顆，第2個圖形需棋子9顆，

第3個圖形需棋子12顆，

第4個圖形需棋子15顆，

第5個圖形需棋子18顆.

......第n個圖形需棋子(3n+3)顆．故答案為18；3n+3；(2)見答案．

觀察如圖所示的圖形，并閱讀相關文字信息后回答下列問題：

2條直線相交，最多有1個交點，3條直線相交，最多有3個交點，4條直線相交，最多有6個交點．(1)8條直線相交，最多有幾個交點？(2)設有n條直線相交，最多有y個交點，請用含n的代數(shù)式表示y，并指出這個代數(shù)式中的常量和變量．(3)當最多交點個數(shù)為4950時，此時直線有幾條？【答案】解：(1)2條直線相交有1個交點；

3條直線相交有1+2個交點；

4條直線相交有1+2+3個交點；

5條直線相交有1+2+3+4個交點；

6條直線相交有1+2+3+4+5個交點；

7條直線相交有1+2+3+4+5+6=21個交點，

8條直線相交有1+2+3+4+5+6+7=28個交點．

(2)根據(jù)題意可得y=12n2-12n，在這個代數(shù)式中，常量是12，-12，變量是y和n．

(3)當交點為4950時，則有4950=12n【解析】本題主要考查了規(guī)律型的問題與函數(shù)、方程的綜合，關鍵是根據(jù)所給的直線條數(shù)與交點個數(shù)總結(jié)出規(guī)律．

(1)分析數(shù)據(jù)的交點與直線的關系進行歸納；

(2)由(1)進行歸納規(guī)律，利用函數(shù)中的量進行判斷即可；

(3)根據(jù)(2)中的代數(shù)式可得關于n的方程，解方程得出滿足要求的解即可．

閱讀下面一段話：關于x的方程x+-1x=c+-1cx+1x=c+1cx+2x=c+2cx+3x=c+3c……(1)寫出方程x+1x=(2)猜想方程x+m(3)由上述的觀察、比較、猜想、驗證，請用這個結(jié)論解關于x的方程：x+2【答案】解：(1)x=2或x=12

；

(2)猜想x+mx=c+mc(m≠0)的解是x1=c，x2=mc.

驗證：當x=c時，方程左邊=c+mc，方程右邊=c+mc，

∴方程成立；

當x=mc時，方程左邊=mc+c，方程右邊=c+mc，

∴方程成立；

【解析】【分析】

本題主要考查了分式方程的解法，分式方程的解，歸納推理，正確理解題意，能夠把x-1當作一個整體并能歸納推理是關鍵．

(1)x+1x=52=2+12，據(jù)此即可寫出該方程的解．

(2)根據(jù)已知方程的特點與解的關系即可寫出方程的解，然后將每個解分別代入原方程檢驗即可；

(3)原方程可以變形為：x-1+2x-1=a-1+2a-1，把x-1當作一個整體，即可求解．

【解答】

解：(1)x+1x=52=2+12，閱讀理解：李華是一個勤奮好學的學生，他常常通過書籍、網(wǎng)絡等渠道主動學習各種知識．下面是他從網(wǎng)絡上搜到的兩位數(shù)乘11的速算法，其口訣是：“頭尾一拉，中間相加，滿十進一”.例如：①24×11=264.計算過程：24兩數(shù)分開，中間相加，即2+4=6，最后結(jié)果為264；②68×11=748.計算過程：68兩數(shù)分開，中間相加，即6+8=14，滿十進一，最后結(jié)果為748．(1)計算：①32×11=________，②78×11=________；(2)若某一個兩位數(shù)十位數(shù)是a，個位數(shù)是b(a+b<10)，將這個兩位數(shù)乘11，得到一個三位數(shù)，則根據(jù)上述的方法可得，該三位數(shù)的百位數(shù)字是________，十位數(shù)字是，個位數(shù)字是________；(用含a，b的式子表示)(3)請你結(jié)合(2)利用所學的知識解釋其中原理．【答案】解：(1)①352，②858；

(2)a，a+b，b．(3)兩位數(shù)乘11可以看成這個兩位數(shù)乘以10再加上這個數(shù)，

若兩位數(shù)十位數(shù)為a，個位數(shù)為b，

則11(10a+b)

=10(10a+b)+(10a+b)

=100a+10b+10a+b

=100a+10(a+b)+b

根據(jù)上述代數(shù)式，可以總結(jié)出規(guī)律口訣為：

“頭尾一拉，中間相加，滿十進一”．【解析】【分析】

本題考查了有理數(shù)的乘法，解決本題的關鍵是理解閱讀材料的口訣，并運用．

(1)根據(jù)口訣：“頭尾一拉，中間相加，滿十進一”即可求解；

(2)由(1)兩位數(shù)十位數(shù)字是a，個位數(shù)字是b，將這個兩位數(shù)乘11，得到一個三位數(shù)即可得結(jié)果；

(3)結(jié)合(2)可得11(10a+b)=10(10a+b)+(10a+b)=100a+10b+10a+b=100a+10(a+b)+b．

【解答】

解：(1)①∵3+2=5

∴32×11=352

②∵7+8=15

∴78×11=858

(2)兩位數(shù)十位數(shù)字是a，個位數(shù)字是b(a+b<10)，這個兩位數(shù)乘11，

∴三位數(shù)百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是a+b，個位數(shù)字是b．

(3)見答案．

故答案為：(1)①352，②858；(2)a，a+b，b．

用棋子擺成的“T”字形圖如圖所示：

(1)填寫表格．圖形序號①②③④…⑩每個圖中棋子數(shù)58…(2)直接寫出第n個“T”字形圖案中棋子的個數(shù)(用含n的代數(shù)式表示)；

(3)計算第20個“T”字形圖案共有棋子多少個？

(4)計算前20個“T”字形圖案中棋子的總個數(shù)．【答案】解：(1)由圖可得：

擺成第一個“T”字需要5個棋子；

第二個圖案需8個棋子；第三個圖案需11個棋子；第四個圖案需14個棋子；...，第十個圖案需32個棋子．

表格如下：圖形序號①②③④...⑩每個圖案中棋子的個數(shù)581114...32

(2)由(1)得：

擺成第1個“T”字需要5