巴氏、歐式、馬氏距離

歐氏距離：（工（Xi-Yi）2）,即兩項間的差是每個變量值差的平方和再平方根，目的是計算其間的整體距離即不相似性。我們熟悉的歐氏距離雖然很有用，但也有明顯的缺點。它將樣品的不同屬性（即各指標(biāo)或各變量）之間的差別等同看待，這一點有時不能滿足實際要求。例如，在教育研究中，經(jīng)常遇到對人的分析和判別，個體的不同屬性對于區(qū)分個體有著不同的重要性。因此，有時需要采用不同的距離函數(shù)。如果用dij表示第i個樣品和第j個樣品之間的距離，那么對一切i，j和k,dij應(yīng)該滿足如下四個條件：當(dāng)且僅當(dāng)i=j時，dij=0dij>0dij=dji（對稱性）dijWdik+dkj（三角不等式）顯然，歐氏距離滿足以上四個條件。滿足以上條件的函數(shù)有多種，本節(jié)將要用到的馬氏距離也是其中的一種。第i個樣品與第j個樣品的馬氏距離dij用下式計算：dij=（xi一xj）'S-l（xi—xj）其中，xi和xj分別為第i個和第j個樣品的m個指標(biāo)所組成的向量，S為樣本協(xié)方差矩陣。巴氏距離Instatistics,theBhattacharyyadistancemeasuresthesimilarityoftwodiscreteprobabilitydistributions.Itisnormallyusedtomeasuretheseparabilityofclassesinclassification.FordiscreteprobabilitydistributionspandqoverthesamedomainX,itisdefinedas:DbAq）=-Inwhere:BC{p,q）=刀Jp（咖（￡）sexistheBhattacharyyacoefficient.Forcontinuousdistributions,theBhattacharyyacoefficientisdefinedas:Ineithercase,0<BC<1and0WDrWX.DBneednotobeythetriangleinequality,butVI-BCdoesobeythetriangleinequality.FormultivariateGaussiandistributionspi=N(mi,Pi),wheremiandPiarethemeansandcovariancesofthedistributions,andNotethatthefirsttermintheBhattacharyyadistanceisrelatedtotheMahalanobisdistance.（巴式距離和馬氏距離之間的關(guān)系）馬氏距離：馬氏距離有很多優(yōu)點。它不受量綱的影響，兩點之間的馬氏距離與原始數(shù)據(jù)的測量單位無關(guān)；由標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)和中心化數(shù)據(jù)（即原始數(shù)據(jù)與均值之差）計算出的二點之間的馬氏距離相同。馬氏距離還可以排除變量之間的相關(guān)性的干擾。它的缺點是夸大了變化微小的變量的作用。概念:馬氏距離是由印度統(tǒng)計學(xué)家馬哈拉諾比斯提出的，表示數(shù)據(jù)的協(xié)方差距離。它是一種有效的計算兩個未知樣本集的相似度的方法。與歐氏距離不同的是它考慮到各種特性之間的聯(lián)系，即獨立于測量尺度。馬氏足巨海定乂:設(shè)總體G為"2維總體（考察加個指標(biāo)），均值向量為P=（P1，P2，...,?）,協(xié)方差陣為滬（勺），貝u樣品X=（xhx2,...,xm）'與總體G的馬氏距離定義為〃2（X,G）二（X-“）才（X-“）當(dāng)心時,護（兀,G）=D嚴(yán)）=匕理acrZ=cov(x,y)=E〔(X-EX)(Y-EY)〕cov(x1,y1)cov(x2,y1)cov(x1,y2)???cov(x1,yp)cov(x2,y2)?…cov(x2,yp)cov(xp,y1)cov(xp,y2)?…cov(xp,yp)Cov(x,y)二0時，x與y不相關(guān)。馬氏距離的其它定義：馬氏距離也可以定義