平面向量的基本性質(zhì)

#平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示第一部分知識(shí)梳理、平面向量的基本定理：如果e,e是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)九,九，使得a二九e+九e。我們把不共線(xiàn)的向量e,e叫做表12示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。對(duì)于兩個(gè)非零向量a與b，通過(guò)平移使他們的起點(diǎn)重合，比如oA=a，oB=b，則ZAOB=eC。<0<180。)叫做向量a與b的夾角。二、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示(1)向量的分解：一個(gè)平面向量a用一組基底e,e表示成a二九e+九e,(九,九eR)的形12式，我們稱(chēng)之為向量的分解(2)向量的正交分解：把一個(gè)向量分解成兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解，這兩個(gè)互相垂直的向量稱(chēng)為正交基底。(3)平面向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別去與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底，對(duì)于平面捏的任一向量a，由平面向量基本定理可以知，有且只有一對(duì)實(shí)、-數(shù)x,y，使得a二xi+yj，這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可以由x,y唯一確定，我們把有序的實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a二(x,y)，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，a二(x,y)叫做向量的坐標(biāo)表示。三、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：三、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：(1)兩個(gè)向量和、差的坐標(biāo)運(yùn)算。已知a二(x,y),b二(x,y)則a+b二(x+x,y+y)，a-b二(x-x,y-y)(2)平面向量數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算。已知a=yheR，則九a=(x,九y)一■一和(、(3)已知A、B的坐標(biāo)，求AB的坐標(biāo)。設(shè)A(x,y),B(x,y)，則AB=G-x,y—y丿1122四、平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示：()/)(I四、平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示：()/)(I)r已知a=vx,y丿，b=(x,y)b豐07，a與b共線(xiàn)oxy一xy=01221五、足：線(xiàn)段定比分點(diǎn)坐標(biāo)若點(diǎn)PG,y),P2(111P(x,y)x2P(x,y)，P(x,y)，九為實(shí)數(shù)，且PPP=XPP，則點(diǎn)P的坐標(biāo)x,y滿(mǎn)22212第二部分精講點(diǎn)撥第二部分精講點(diǎn)撥考點(diǎn)1平面向量基本定理設(shè)e,e是不共線(xiàn)的兩個(gè)向量，給出下列四組向量:e+ee+e②e-2e與e-2e；③e-2e與4e-2e其中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底是(寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的序號(hào))Lex.1」已知e，e是平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，a二3e—2e,b=-2e+e,c二7ei-4e2，試用a,b表示c考點(diǎn)2向量夾角的計(jì)算已知a=b|，且a與b的夾角為120。，求a+b與a的夾角，a-b與a的夾角?？键c(diǎn)3向量的正交分解及坐標(biāo)表示3?已知向量i二(1,0),j二(0,1)，對(duì)坐標(biāo)平面的任一向量a，給出下列四個(gè)結(jié)論①存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x,y，使得a二(x,y)；②若X1，X2,y1,y2￡R'③若x,ygR，a=(x,y)且a豐0，則a的始點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y),則a=(x,y)。其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4Lex.1］已知o是直角坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，OA-4勺3，厶oA=60。，求向量OA量OA的坐標(biāo)?？键c(diǎn)4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算4.已知A.(2,—4),B(—1,3),C(3,4)，若CM二2CA+3CB，求點(diǎn)M的坐標(biāo)?？键c(diǎn)5利用向量坐標(biāo)證明三點(diǎn)共線(xiàn)5.①已知OA二(3,4),OB二(7,12),OC二(9,16)，求證：點(diǎn)A.B.C共線(xiàn)②設(shè)向量OA二(k,12),OB二(4,5),OC二(10,k②設(shè)向量OA二(k,12),OB二(4,5),考點(diǎn)6定比分點(diǎn)的坐標(biāo)的計(jì)算方法(6)若過(guò)點(diǎn)P(2,3),P(6,-1)的直線(xiàn)上一點(diǎn)P，使PP:|PP］二3，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。121|2|第三部分檢測(cè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.若A(x，－1)、B(1，3)、C(2，5)三點(diǎn)共線(xiàn)，則x的值為()A.－3B.－1C.1D.3已知AB=(5,-3),C(—1,3),CD=2AB，則點(diǎn)D坐標(biāo)()A.(11,9)B.(4,0)C.(9,3)D.(9,-3)34.設(shè)a=(-,2sina),b=(cosa1,-),且a〃b，則銳角a為()3A.30oB.600C.450D.7505.若向量a=(1,-2)，1b|—fc1—fc1—r—fc1=4|a且a,b共線(xiàn)，則b可能是()A.(4,8)B.(-4,8)C.(-4，-8)D.(8，4)6?平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A(-2,1)、B(-1,3)、C(3,4),則點(diǎn)D的坐標(biāo)是()A.(2,1)B.(2,2)C.(1,2)D.(2,3)7.己知P(2,-1)、P(0,5)且點(diǎn)P在PP的延長(zhǎng)線(xiàn)上，丨PPl=21PF"I,則P點(diǎn)坐標(biāo)為()1212A.(-2,11)4B.(3,3)C.(—,3)D.(2,—7)8.已知a=(2,3),b=(-4,7)，則a在b上的投影值為()A.丫―B、5C、廂5D、<6?二、填空題1.設(shè)a=(4,—3),b=(x,5),c=(—1,y)，若a+b=c,則((x,y)=TOC\o"1-5"\h\z2?若a=(-1,x)與b=(—x,2)共線(xiàn)且方向相同，則x=.若A(—1,—1),B(1,3),C(x,5)三點(diǎn)共線(xiàn)，則x=.已知a=(3,2),b=(—2,1),若入a+b與a+入b(入WR)平行，貝U入=.已知|a|=10,b=(4,—3),且a〃b，則向量a的坐標(biāo)是.若向量a=(—1,x),b=(—x,2),且a與b同向，則a—2b=.7?已知點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，AD=(2,5),AB=(-2,3),則CD坐標(biāo)為,DO坐標(biāo)為,CO的坐標(biāo)為8?已知OA=(x,y),OB=(x,y),線(xiàn)段AB中點(diǎn)為C,則oC的坐標(biāo)為1122三、解答題1.已知向量a=(1,2),b=(x,1),e=a+2b,e=2a—b且e〃e，求x.2?已知向量a=(3,2),b=(-1,1),向