求概率的公式

關(guān)于求概率的公式

條件概率拋擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)A={出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)}＝｛１，３，５｝B={出現(xiàn)的點數(shù)不超過3}＝｛１，２，３｝

若已知出現(xiàn)的點數(shù)不超過3，求出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)的概率

即事件B已發(fā)生，求事件A

的概率Ｐ（Ａ｜Ｂ）

AB都發(fā)生，但樣本空間縮小到只包含Ｂ的樣本點第2頁,共21頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)Ａ，Ｂ為同一個隨機試驗中的兩個隨機事件,且Ｐ（Ｂ）＞０，則稱為在事件Ｂ發(fā)生的條件下，事件Ａ發(fā)生的條件概率．

定義第3頁,共21頁，2024年2月25日，星期天概率

P(A|B)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系：事件A，B都發(fā)生了區(qū)別：（1）在P(A|B)中，事件A，B發(fā)生有時間上的差異，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同時發(fā)生。（2）樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P（AB）中，樣本空間仍為。因而有第4頁,共21頁，2024年2月25日，星期天例

設(shè)100件產(chǎn)品中有70件一等品，25件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品．從中任取1件，求(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．解設(shè)Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，則

（1）因為100件產(chǎn)品中有70件一等品，所以（2）方法1：方法2：

因為95件合格品中有70件一等品，所以第5頁,共21頁，2024年2月25日，星期天例

考慮恰有兩個小孩的家庭.若已知某一家有男孩，求這家有兩個男孩的概率；若已知某家第一個是男孩，求這家有兩個男孩（相當(dāng)于第二個也是男孩）的概率.（假定生男生女為等可能）Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}解于是得

={(男,男),(男,女)}

則Ｂ={(男,男),(男,女),(女,男)}Ａ={(男,男)}，設(shè)Ｂ=“有男孩”，=“第一個是男孩”Ａ=“有兩個男孩”，第6頁,共21頁，2024年2月25日，星期天乘法公式

推廣第7頁,共21頁，2024年2月25日，星期天例一批產(chǎn)品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%.從這批產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是一等品的概率．

設(shè)Ａ表示取到的產(chǎn)品是一等品，Ｂ表示取出的產(chǎn)品是合格品，則于是

所以

解第8頁,共21頁，2024年2月25日，星期天解

例

一個盒子中有６只白球、４只黑球，從中不放回地每次任?。敝唬B?。泊?，求(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．設(shè)Ａ表示第一次取得白球,Ｂ表示第二次取得白球,則（2）（3）（1）第9頁,共21頁，2024年2月25日，星期天

全概率公式和貝葉斯公式第10頁,共21頁，2024年2月25日，星期天解

全概率公式

因為Ｂ＝ＡＢ∪

，且ＡＢ與互不相容，所以＝0.6

一個盒子中有６只白球、４只黑球，從中不放回地每次任?。敝唬B?。泊?，求第二次取到白球的概率例A={第一次取到白球}第11頁,共21頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)Ａ1

，Ａ2

，...，Ａn

構(gòu)成一個完備事件組，且Ｐ(Ａi)＞0 ，i＝1，2，...，n，則對任一隨機事件Ｂ，有全概率公式第12頁,共21頁，2024年2月25日，星期天例設(shè)播種用麥種中混有一等，二等，三等，四等四個等級的種子，分別各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率．解

設(shè)從這批種子中任選一顆是一等，二等，三等，四等種子的事件分別是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，則它們構(gòu)成完備事件組，又設(shè)Ｂ表示任選一顆種子所結(jié)的穗含有50粒以上麥粒這一事件，則由全概率公式：＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05＝0.4825第13頁,共21頁，2024年2月25日，星期天后驗概率第14頁,共21頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)A1，A2，…,An構(gòu)成完備事件組，且諸P（Ai）>0)B為樣本空間的任意事件，P（B）>0,則有(k=1,2,…,n)證明

貝葉斯公式第15頁,共21頁，2024年2月25日，星期天

例

設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25%，35%，40%，而且各車間的次品率依次為5%，4%，2%．現(xiàn)從待出廠的產(chǎn)品中檢查出一個次品，試判斷它是由甲車間生產(chǎn)的概率．解

設(shè)Ａ1

，Ａ2

，Ａ3

分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車間生產(chǎn)，Ｂ表示產(chǎn)品為次品．顯然，Ａ1，Ａ2

，Ａ3

構(gòu)成完備事件組．依題意，有Ｐ(Ａ1)＝25%,Ｐ(Ａ2)=35%,Ｐ(Ａ3)＝40%,Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝5%,Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4%,Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝2%Ｐ(Ａ1|Ｂ)＝

第16頁,共21頁，2024年2月25日，星期天例某工廠由甲,乙,丙三臺機器生產(chǎn)同一型號的產(chǎn)品,它們的產(chǎn)量各占30%,35%,35%,廢品率分別為5%,4%,3%.產(chǎn)品混在一起.(1)從該廠的產(chǎn)品任取一件,求它是廢品的概率.(2)若取出產(chǎn)品是廢品,求它是由甲,乙,丙三臺機器生產(chǎn)的概率各是多少?第17頁,共21頁，2024年2月25日，星期天第18頁,共21頁，2024年2月25日，星期天EX：甲箱中有3個白球，2個黑球，乙箱中有1個白球，3個黑球。現(xiàn)從甲箱中任取一球放入乙箱中，再從乙箱任意取出一球。問從乙箱中取出白球的概率是多少？解設(shè)B=“從乙箱中取出白球”，A=“