第六章3向心加速度

3向心加速度[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解向心加速度的概念(重點(diǎn))。2.掌握向心加速度和線速度、角速度的關(guān)系，能夠運(yùn)用向心加速度公式求解有關(guān)問(wèn)題(重點(diǎn))。3.會(huì)應(yīng)用動(dòng)力學(xué)方法分析勻速圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題(重難點(diǎn))。一、對(duì)向心加速度的理解如圖甲所示，地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(近似的)；如圖乙所示，光滑水平桌面上一個(gè)小球在細(xì)線的牽引下繞桌面上的圖釘做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(1)分析地球和小球的受力情況，說(shuō)明地球和小球的加速度方向；(2)地球和小球加速度的作用是什么？(3)地球和小球的加速度方向變化嗎？勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種什么性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)呢？答案(1)地球只受到太陽(yáng)引力作用，方向指向圓心，加速度方向指向圓心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圓心，故加速度的方向指向圓心。(2)由于速度大小沒(méi)有發(fā)生變化，故加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。(3)由于地球和小球的加速度總是沿半徑指向圓心，故加速度方向是變化的。勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種變加速曲線運(yùn)動(dòng)。1．定義：物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度總指向圓心，這個(gè)加速度叫作向心加速度。常用an表示。2．方向：始終指向圓心。3．作用：改變速度的方向，不改變速度的大小。4．物理意義：描述速度方向變化的快慢。5．說(shuō)明：勻速圓周運(yùn)動(dòng)加速度的方向時(shí)刻改變，所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)不是勻變速運(yùn)動(dòng)，而是變加速曲線運(yùn)動(dòng)。6．變速圓周運(yùn)動(dòng)：變速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度不指向圓心；可分解為向心加速度和切向加速度分析。向心加速度改變速度方向，切向加速度改變速度大小。(1)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其向心加速度是恒定的。(×)(2)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，在相等時(shí)間內(nèi)速度變化量是相同的。(×)(3)圓周運(yùn)動(dòng)的加速度一定指向圓心。(×)(4)向心加速度的方向始終與速度方向垂直。(√)二、向心加速度的大小1．向心加速度公式(1)an＝eq\f(v2,r)＝ω2r。(2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以寫成an＝ωv。(3)由于ω＝eq\f(2π,T)＝2πf，所以向心加速度也可以寫成an＝eq\f(4π2,T2)r＝4π2f2r。2．向心加速度與半徑的關(guān)系(如圖所示)3．向心加速度公式不僅適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也適用于非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，v為某位置的線速度，且無(wú)論物體做的是勻速圓周運(yùn)動(dòng)還是非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心加速度的方向都指向圓心。(1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度的方向時(shí)刻指向圓心，大小不變。(√)(2)由an＝eq\f(4π2,T2)r知，向心加速度an與半徑r成正比。(×)例1自行車靠一條鏈子將兩個(gè)齒輪連接起來(lái)，一輛自行車的齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)示意圖如圖所示，O1、O2是自行車的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)齒輪1和2的中心，A和B分別是齒輪1和齒輪2邊緣上一點(diǎn)，其中齒輪1上有一點(diǎn)C，C點(diǎn)到齒輪1中心O1的距離為齒輪1半徑的一半，則()A．A點(diǎn)和B點(diǎn)的線速度相同B．B點(diǎn)和C點(diǎn)的向心加速度相等C．B點(diǎn)和C點(diǎn)的向心加速度之比為4∶1D．B點(diǎn)和C點(diǎn)的線速度大小之比為2∶1答案D解析A點(diǎn)和B點(diǎn)是鏈條傳動(dòng)，線速度大小相等，方向不同，故A錯(cuò)誤；A點(diǎn)和C點(diǎn)是同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相同，即ωA＝ωC，根據(jù)v＝ωr，可得eq\f(vA,vC)＝eq\f(rω,\f(1,2)rω)＝eq\f(2,1)，因?yàn)関A＝vB，所以vB：vC＝2∶1，故D正確；因?yàn)閮升X輪的半徑關(guān)系未知，無(wú)法比較B、C兩點(diǎn)向心加速度的大小，故B、C錯(cuò)誤。例2(2022·揚(yáng)州市邵伯高級(jí)中學(xué)高一月考)2022年2月，北京冬奧會(huì)上，中國(guó)選手奪得雙人花樣滑冰運(yùn)動(dòng)冠軍。如圖所示，男運(yùn)動(dòng)員以自身為轉(zhuǎn)動(dòng)軸拉著女運(yùn)動(dòng)員做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。若運(yùn)動(dòng)員的轉(zhuǎn)速為0.5r/s，女運(yùn)動(dòng)員觸地冰鞋的線速度為1.5πm/s，(設(shè)π2＝10)求：(1)女運(yùn)動(dòng)員做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω；(2)觸地冰鞋做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r；(3)觸地冰鞋向心加速度a向的大小。答案(1)πrad/s(2)1.5m(3)15m/s2解析(1)女運(yùn)動(dòng)員做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω＝2πn＝2π×0.5rad/s＝πrad/s(2)根據(jù)v＝ωr得r＝eq\f(v,ω)＝eq\f(1.5π,π)m＝1.5m(3)根據(jù)向心加速度公式得a向＝ω2r＝π2×1.5m/s2＝15m/s2。三、圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題分析例3長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線，下端拴一質(zhì)量為m的小球，上端固定，讓小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，細(xì)線與豎直方向成θ角時(shí)，求：(重力加速度為g)(1)細(xì)線上的拉力大小；(2)小球運(yùn)動(dòng)的線速度的大小和角速度的大小。答案(1)eq\f(mg,cosθ)(2)eq\r(gLsinθtanθ)eq\r(\f(g,Lcosθ))解析(1)小球受重力及細(xì)線的拉力的作用，如圖所示，由平衡條件可知，豎直方向：FTcosθ＝mg，故拉力FT＝eq\f(mg,cosθ)。(2)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝Lsinθ，向心力Fn＝FTsinθ＝mgtanθ，又Fn＝meq\f(v2,r)，故小球的線速度大小v＝eq\r(gLsinθtanθ)。由Fn＝mrω2聯(lián)立解得ω＝eq\r(\f(g,Lcosθ))。思考：從上面角速度大小的結(jié)果中我們可以看出做圓錐擺運(yùn)動(dòng)的小球的角速度ω與什么因素有關(guān)？答案與圓心到繩上端的高度有關(guān)。例4甲圖是兩個(gè)圓錐擺，兩擺球運(yùn)動(dòng)軌道在同一個(gè)水平面內(nèi)，乙圖是完全相同的兩個(gè)小球在內(nèi)壁光滑的倒圓錐內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。下列說(shuō)法正確的是()A．甲圖中兩小球的運(yùn)動(dòng)周期相等B．甲圖中兩小球的線速度大小相等C．乙圖中兩個(gè)小球的線速度大小相等D．乙圖中兩個(gè)小球的角速度大小相等答案A解析設(shè)題圖甲中做圓錐擺運(yùn)動(dòng)的其中一個(gè)小球?qū)?yīng)擺繩與豎直方向的夾角為θ，擺球與懸點(diǎn)的高度差為h，線速度大小為v，周期為T，根據(jù)牛頓第二定律有mgtanθ＝meq\f(v2,htanθ)＝meq\f(4π2,T2)htanθ解得v＝tanθeq\r(gh)T＝2πeq\r(\f(h,g))由此可知題圖甲中兩小球的線速度大小不相等，周期相等，A正確，B錯(cuò)誤；設(shè)題圖乙中倒圓錐母線與豎直方向夾角為α，由牛頓第二定律可得eq\f(mg,tanα)＝meq\f(v′2,r)＝mrω′2解得v′＝eq\r(\f(gr,tanα))，ω′＝eq\r(\f(g,rtanα))兩球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑不同，故線速度、角速度大小均不同，C、D錯(cuò)誤。分析勻速圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本步驟1．明確研究對(duì)象，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，畫出受力示意圖。2．確定物體做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道平面、圓心、半徑。3．找出向心力的來(lái)源，利用平行四邊形定則或正交分解法，計(jì)算出沿半徑方向的合力F合。4．利用牛頓第二定律列方程F合＝Fn＝mω2r＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r。5．解方程求出待求物理量。拓展學(xué)習(xí)：用運(yùn)動(dòng)學(xué)方法分析勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度1．向心加速度的方向第一步，畫出物體經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)時(shí)的速度方向，如圖甲所示。第二步，平移vA至B點(diǎn)，如圖乙所示。第三步，作出物體由A點(diǎn)到B點(diǎn)的速度變化量Δv，如圖丙所示。第四步，假設(shè)由A到B的時(shí)間極短，A到B的距離將非常小，作出此時(shí)的Δv，如圖丁所示。從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度分析也可以發(fā)現(xiàn)：物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度指向圓心。2．向心加速度的大小由圖丁可知，當(dāng)Δt足夠小時(shí)，θ就足夠小，θ角所對(duì)的弦和弧的長(zhǎng)度就近似相等。因此，θ＝eq\f(Δv,v)，由角速度定義知：θ＝ωΔt，可得：Δv＝vωΔt根據(jù)加速度定義式a＝eq\f(Δv,Δt)，由v＝ωr向心加速度大小的表達(dá)式為an＝ω2r，an＝eq\f(v2,r)。課時(shí)對(duì)點(diǎn)練考點(diǎn)一對(duì)向心加速度的理解1．(2023·江蘇省高二學(xué)業(yè)考試)下列關(guān)于向心加速度的說(shuō)法中正確的是()A．向心加速度表示做圓周運(yùn)動(dòng)的物體速率改變的快慢B．向心加速度的方向不一定指向圓心C．向心加速度描述線速度方向變化的快慢D．勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度不變答案C解析向心加速度是描述做圓周運(yùn)動(dòng)的物體速度方向變化快慢的物理量，故A錯(cuò)誤；向心加速度的方向總是沿著圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑指向圓心，故B錯(cuò)誤；勻速圓周運(yùn)動(dòng)中線速度的變化只表現(xiàn)為線速度方向的變化，作為反映速度變化快慢的物理量，向心加速度只描述線速度方向變化的快慢，故C正確；向心加速度的方向是變化的，故D錯(cuò)誤。2．兩物體都在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是()A．它們的線速度大小相等時(shí)，半徑小的向心加速度大B．它們的周期相等時(shí)，半徑小的向心加速度大C．它們的角速度相等時(shí)，半徑小的向心加速度大D．它們的轉(zhuǎn)速相等時(shí)，半徑小的向心加速度大答案A解析根據(jù)a＝eq\f(v2,r)可知線速度大小相等時(shí)，半徑小的向心加速度大，A正確；根據(jù)a＝eq\f(4π2,T2)r可知周期相等時(shí)，半徑大的向心加速度大，B錯(cuò)誤；根據(jù)a＝ω2r可知角速度相等時(shí)，半徑小的向心加速度小，C錯(cuò)誤；根據(jù)a＝4π2n2r可知轉(zhuǎn)速相等時(shí)，半徑小的向心加速度小，D錯(cuò)誤。3.光滑的水平面上固定著一個(gè)螺旋形光滑水平軌道，俯視如圖所示。一小球以一定速度沿軌道切線方向進(jìn)入軌道，運(yùn)動(dòng)到螺旋形中央，下列關(guān)于該小球運(yùn)動(dòng)的說(shuō)法正確的是()A．線速度增大，角速度不變B．線速度不變，角速度減小C．線速度減小，向心加速度增大D．角速度增大，向心加速度增大答案D解析水平軌道光滑，所以小球的線速度大小不變，但是轉(zhuǎn)動(dòng)半徑變小，根據(jù)ω＝eq\f(v,r)可知角速度增大，根據(jù)a＝eq\f(v2,r)可知向心加速度變大，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤。考點(diǎn)二向心加速度的計(jì)算4．(2023·江蘇省響水中學(xué)高一?？计谥?如圖所示的自行車，大、小輪半徑之比為4∶1，A為小輪邊緣上的點(diǎn)，B為大輪邊緣上的點(diǎn)，則自行車行駛時(shí)，A、B兩點(diǎn)的向心加速度大小之比為()A．4∶1B．1∶2C．1∶4D．2∶1答案A解析兩輪均在地面上滾動(dòng)，可知A、B兩點(diǎn)線速度相等，根據(jù)公式an＝eq\f(v2,r)，有eq\f(aA,aB)＝eq\f(rB,rA)＝4。故選A。5.如圖所示，皮帶傳動(dòng)裝置中，右邊兩輪連在一起同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圖中三輪半徑分別為r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三點(diǎn)為三個(gè)輪邊緣上的點(diǎn)，向心加速度大小分別為a1、a2、a3，皮帶不打滑，則下列比例關(guān)系正確的是()A.eq\f(a1,a2)＝eq\f(3,2) B.eq\f(a1,a2)＝eq\f(3,4)C.eq\f(a2,a3)＝2 D.eq\f(a2,a3)＝eq\f(1,2)答案D解析由于皮帶不打滑，故v1＝v2，由an＝eq\f(v2,r)可得eq\f(a1,a2)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(2,3)，A、B錯(cuò)誤；由于右邊兩輪同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故ω2＝ω3，由an＝rω2可得eq\f(a2,a3)＝eq\f(r2,r3)＝eq\f(1,2)，C錯(cuò)誤，D正確?？键c(diǎn)三勻速圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題6.如圖所示，質(zhì)量相等的A、B兩物體緊貼在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓筒的豎直內(nèi)壁上，隨圓筒一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列關(guān)系式正確的是()A．線速度vA＝vBB．角速度ωA>ωBC．它們受到合力FA合>FB合D．它們受到的摩擦力FfA>FfB答案C解析A、B同軸運(yùn)動(dòng)，兩者角速度相等，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)v＝ωr可知，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由F合＝mrω2可知，選項(xiàng)C正確；在豎直方向，它們所受的靜摩擦力等于重力，由于二者質(zhì)量相等，重力相等，所以它們受到的靜摩擦力相等，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。7.質(zhì)量為m的飛機(jī)以速率v在水平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，重力加速度為g，則空氣對(duì)飛機(jī)的作用力大小為()A.eq\f(mv2,R) B．meq\r(g2＋\f(v2,R)2)C．mg D.eq\r(\f(v2,R)2－g2)答案B解析飛機(jī)受到豎直向下的重力和空氣給的作用力，兩力之和提供向心力，如圖所示，故有F＝eq\r(mg2＋m\f(v2,R)2)＝meq\r(g2＋\f(v2,R)2)，故選B。8.一質(zhì)量為m的物體，沿半徑為R的半圓形軌道滑行，如圖所示，經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度為v，物體與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，則它在最低點(diǎn)時(shí)受到的摩擦力大小為()A．μmg B.eq\f(μmv2,R)C．μm(g＋eq\f(v2,R)) D．μm(g－eq\f(v2,R))答案C解析在最低點(diǎn)有：FN－mg＝meq\f(v2,R)，得FN＝mg＋meq\f(v2,R)，又由滑動(dòng)摩擦力公式有Ff＝μFN＝μ(mg＋meq\f(v2,R))＝μm(g＋eq\f(v2,R))，C選項(xiàng)正確。9.(2023·淮安市高一聯(lián)考期中)有一種雜技表演叫“飛車走壁”。由雜技演員駕駛摩托車沿圓臺(tái)形表演臺(tái)的側(cè)壁，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。圖中圓弧表示摩托車的行駛軌跡，軌跡離地面的高度為h。下列說(shuō)法中正確的是()A．h越高，摩托車對(duì)側(cè)壁的壓力將越大B．h越高，摩托車做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力將越大C．h越高，摩托車做圓周運(yùn)動(dòng)的周期將越小D．h越高，摩托車做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度將越大答案D解析雜技演員以及摩托車所受的重力和支持力的合力提供向心力，向心力F＝mgtanθ，對(duì)側(cè)壁的壓力FN′＝FN＝eq\f(mg,cosθ)，其中θ是表演臺(tái)的側(cè)壁與地面的夾角，可以看出，向心力和對(duì)側(cè)壁的壓力均與h無(wú)關(guān)，故A、B錯(cuò)誤；向心力F＝meq\f(4π2,T2)r，由于F為定值，則T2與r成正比，當(dāng)h越大時(shí)，r越大，所以周期T也越大，故C錯(cuò)誤；向心力F＝meq\f(v2,r)，由于F為定值，則v2與r成正比，當(dāng)h越大時(shí)，r越大，所以線速度v也越大，故D正確。10．(2023·無(wú)錫市江陰高級(jí)中學(xué)高一期末)如圖甲，一半徑為r＝0.2m的滾筒洗衣機(jī)內(nèi)有一件質(zhì)量為m＝0.5kg的衣服(示意圖如圖乙)，衣服貼著內(nèi)壁跟著圓筒以角速度ω＝20rad/s繞中心軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度g＝10m/s2，若此時(shí)衣服恰好不下滑，求：(1)衣服對(duì)桶壁的壓力大小；(2)衣服與桶壁之間的動(dòng)摩擦因數(shù)。答案(1)40N(2)eq\f(1,8)解析(1)衣服所受彈力F＝mω2r＝40N由牛頓第三定律知，衣服對(duì)桶壁壓力為F′＝F＝40N(2)衣服豎直方向受力平衡，F(xiàn)f＝mg＝5N而Ff＝μF解得μ＝eq\f(1,8)。11．(2023·揚(yáng)州市高一統(tǒng)考期中)在一次抗洪救災(zāi)工作中，一架直升機(jī)A用長(zhǎng)H＝25m的懸索(重力可忽略不計(jì))系住一質(zhì)量m＝60kg的被困人員B，直升機(jī)A和被困人員B一起沿水平方向勻速運(yùn)動(dòng)，