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福建省武夷山市2023-2024學(xué)年中考考前最后一卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1.如圖,下列各三角形中的三個(gè)數(shù)之間均具有相同的規(guī)律,根據(jù)此規(guī)律,最后一個(gè)三角形中y與n之間的關(guān)系是()A.y=2n+1 B.y=2n+n C.y=2n+1+n D.y=2n+n+12.下面的幾何體中,主(正)視圖為三角形的是()A. B. C. D.3.一小組8位同學(xué)一分鐘跳繩的次數(shù)如下:150,176,168,183,172,164,168,185,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為()A.172 B.171 C.170 D.1684.如圖,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)P是三角形內(nèi)的任意一點(diǎn),PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,若△ABC的周長(zhǎng)為12,則PD+PE+PF=()A.12 B.8 C.4 D.35.對(duì)于任意實(shí)數(shù)k,關(guān)于x的方程的根的情況為A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B.沒(méi)有實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D.無(wú)法確定6.如圖,在矩形ABCD中,AB=,AD=2,以點(diǎn)A為圓心,AD的長(zhǎng)為半徑的圓交BC邊于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積為()A. B. C. D.7.如圖,在△ABC中,∠B=46°,∠C=54°,AD平分∠BAC,交BC于D,DE∥AB,交AC于E,則∠CDE的大小是()A.40° B.43° C.46° D.54°8.下列幾何體中,其三視圖都是全等圖形的是()A.圓柱 B.圓錐 C.三棱錐 D.球9.下列運(yùn)算,結(jié)果正確的是()A.m2+m2=m4 B.2m2n÷mn=4mC.(3mn2)2=6m2n4 D.(m+2)2=m2+410.如圖,一束平行太陽(yáng)光線FA、GB照射到正五邊形ABCDE上,∠ABG=46°,則∠FAE的度數(shù)是()A.26°. B.44°. C.46°. D.72°二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.分式方程=1的解為_________.12.如圖,若正五邊形和正六邊形有一邊重合,則∠BAC=_____.13.已知x+y=8,xy=2,則x2y+xy2=_____.14.如圖,長(zhǎng)方形內(nèi)有兩個(gè)相鄰的正方形,面積分別為3和9,那么陰影部分的面積為_____.15.如圖,在△ABC中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若AD=1,BD=2,BC=4,則EF=________.16.在直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)軸上到點(diǎn)P(﹣3,﹣4)的距離等于5的點(diǎn)的坐標(biāo)是.17.的系數(shù)是_____,次數(shù)是_____.三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂,維修人員為更換管道,需確定管道圓形截面的半徑,如圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1)請(qǐng)你用直尺和圓規(guī)作出這個(gè)輸水管道的圓形截面的圓心(保留作圖痕跡);(2)若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB=8cm,水面最深地方的高度為2cm,求這個(gè)圓形截面的半徑.19.(5分)草莓是云南多地盛產(chǎn)的一種水果,今年某水果銷售店在草莓銷售旺季,試銷售成本為每千克20元的草莓,規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià),也不高于每千克40元,經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn),銷售量y(千克)與銷售單價(jià)x(元)符合一次函數(shù)關(guān)系,如圖是y與x的函數(shù)關(guān)系圖象.(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)直接寫出自變量x的取值范圍.20.(8分)某市政府大力支持大學(xué)生創(chuàng)業(yè).李明在政府的扶持下投資銷售一種進(jìn)價(jià)為20元的護(hù)眼臺(tái)燈.銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn),每月銷售量Y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù):y=﹣10x+1.設(shè)李明每月獲得利潤(rùn)為W(元),當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí),每月獲得利潤(rùn)最大?根據(jù)物價(jià)部門規(guī)定,這種護(hù)眼臺(tái)燈不得高于32元,如果李明想要每月獲得的利潤(rùn)2000元,那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元?21.(10分)兩個(gè)全等的等腰直角三角形按如圖方式放置在平面直角坐標(biāo)系中,OA在x軸上,已知∠COD=∠OAB=90°,OC=,反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.求k的值.把△OCD沿射線OB移動(dòng),當(dāng)點(diǎn)D落在y=圖象上時(shí),求點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).22.(10分)經(jīng)過(guò)江漢平原的滬蓉(上海﹣成都)高速鐵路即將動(dòng)工.工程需要測(cè)量漢江某一段的寬度.如圖①,一測(cè)量員在江岸邊的A處測(cè)得對(duì)岸岸邊的一根標(biāo)桿B在它的正北方向,測(cè)量員從A點(diǎn)開始沿岸邊向正東方向前進(jìn)100米到達(dá)點(diǎn)C處,測(cè)得∠ACB=68°.(1)求所測(cè)之處江的寬度(sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.1.);(2)除(1)的測(cè)量方案外,請(qǐng)你再設(shè)計(jì)一種測(cè)量江寬的方案,并在圖②中畫出圖形.(不用考慮計(jì)算問(wèn)題,敘述清楚即可)23.(12分)如圖,?ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是BC和AD邊上的點(diǎn),AE垂直平分BF,交BF于點(diǎn)P,連接EF,PD.求證:平行四邊形ABEF是菱形;若AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求tan∠ADP的值.24.(14分)為了豐富校園文化,促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.我市某區(qū)教育局在全區(qū)中小學(xué)開展“書法、武術(shù)、黃梅戲進(jìn)校園”活動(dòng).今年3月份,該區(qū)某校舉行了“黃梅戲”演唱比賽,比賽成績(jī)?cè)u(píng)定為A,B,C,D,E五個(gè)等級(jí),該校部分學(xué)生參加了學(xué)校的比賽,并將比賽結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖中信息,解答下列問(wèn)題.(1)求該校參加本次“黃梅戲”演唱比賽的學(xué)生人數(shù);(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖B等級(jí)所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù);(3)已知A等級(jí)的4名學(xué)生中有1名男生,3名女生,現(xiàn)從中任意選取2名學(xué)生作為全校訓(xùn)練的示范者,請(qǐng)你用列表法或畫樹狀圖的方法,求出恰好選1名男生和1名女生的概率.
參考答案一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1、B【解析】
∵觀察可知:左邊三角形的數(shù)字規(guī)律為:1,2,…,n,右邊三角形的數(shù)字規(guī)律為:2,22,…,2下邊三角形的數(shù)字規(guī)律為:1+2,2+22,…,∴最后一個(gè)三角形中y與n之間的關(guān)系式是y=2n+n.故選B.【點(diǎn)睛】考點(diǎn):規(guī)律型:數(shù)字的變化類.2、C【解析】
解:圓柱的主視圖是矩形,正方體的主視圖是正方形,圓錐的主視圖是三角形,三棱柱的主視圖是寬相等兩個(gè)相連的矩形.故選C.3、C【解析】
先把所給數(shù)據(jù)從小到大排列,然后根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可.【詳解】從小到大排列:150,164,168,168,,172,176,183,185,∴中位數(shù)為:(168+172)÷2=170.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù),如果一組數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè),那么把這組數(shù)據(jù)從小到大排列后,排在中間位置的數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果一組數(shù)據(jù)有偶數(shù)個(gè),那么把這組數(shù)據(jù)從小到大排列后,排在中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).4、C【解析】
過(guò)點(diǎn)P作平行四邊形PGBD,EPHC,進(jìn)而利用平行四邊形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)即可.【詳解】延長(zhǎng)EP、FP分別交AB、BC于G、H,則由PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,可得,四邊形PGBD,EPHC是平行四邊形,∴PG=BD,PE=HC,又△ABC是等邊三角形,又有PF∥AC,PD∥AB可得△PFG,△PDH是等邊三角形,∴PF=PG=BD,PD=DH,又△ABC的周長(zhǎng)為12,∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=×12=4,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定及性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì):等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等,且都等于60°.5、C【解析】判斷一元二次方程的根的情況,只要看根的判別式的值的符號(hào)即可:∵a=1,b=,c=,∴.∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選C.6、B【解析】
先利用三角函數(shù)求出∠BAE=45°,則BE=AB=,∠DAE=45°,然后根據(jù)扇形面積公式,利用圖中陰影部分的面積=S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解:∵AE=AD=2,而AB=,∴cos∠BAE==,∴∠BAE=45°,∴BE=AB=,∠BEA=45°.∵AD∥BC,∴∠DAE=∠BEA=45°,∴圖中陰影部分的面積=S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD=2×﹣××﹣=2﹣1﹣.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算.陰影面積常用的方法:直接用公式法;和差法;割補(bǔ)法.求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.7、C【解析】
根據(jù)DE∥AB可求得∠CDE=∠B解答即可.【詳解】解:∵DE∥AB,∴∠CDE=∠B=46°,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì):兩直線平行,同位角相等.快速解題的關(guān)鍵是牢記平行線的性質(zhì).8、D【解析】分析:任意方向上的視圖都是全等圖形的幾何體只有球,在任意方向上的視圖都是圓,其他的幾何體的視圖都有不同的.詳解:圓柱,圓錐,三棱錐,球中,三視圖都是全等圖形的幾何體只有球,在任意方向上的視圖都是圓,故選D.點(diǎn)睛:本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖,本題解題的關(guān)鍵是看出各個(gè)圖形的在任意方向上的視圖.9、B【解析】
直接利用積的乘方運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)法則和單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.【詳解】A.m2+m2=2m2,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.2m2n÷mn=4m,正確;C.(3mn2)2=9m2n4,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;D.(m+2)2=m2+4m+4,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.故答案選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了乘方運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)法則和單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則,解題的關(guān)鍵是熟練的掌握乘方運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)法則和單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則.10、A【解析】
先根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出∠EAB的度數(shù),再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】解:∵圖中是正五邊形.∴∠EAB=108°.∵太陽(yáng)光線互相平行,∠ABG=46°,∴∠FAE=180°﹣∠ABG﹣∠EAB=180°﹣46°﹣108°=26°.故選A.【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì),多邊形內(nèi)角與外角,解題關(guān)鍵在于求出∠EAB.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、x=1【解析】分析:分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解得到x的值,經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.詳解:兩邊都乘以x+4,得:3x=x+4,解得:x=1,檢驗(yàn):x=1時(shí),x+4=6≠0,所以分式方程的解為x=1,故答案為:x=1.點(diǎn)睛:此題考查了解分式方程,利用了轉(zhuǎn)化的思想,解分式方程注意要檢驗(yàn).12、132°【解析】解:∵正五邊形的內(nèi)角=180°-360°÷5=108°,正六邊形的內(nèi)角=180°-360°÷6=120°,∴∠BAC=360°-108°-120°=132°.故答案為132°.13、1【解析】
將所求式子提取xy分解因式后,把x+y與xy的值代入計(jì)算,即可得到所求式子的值.【詳解】∵x+y=8,xy=2,
∴x2y+xy2=xy(x+y)=2×8=1.
故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是因式分解的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是將所求式子分解因式.14、1-1【解析】
設(shè)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是x、y(x<y),得出方程x2=1,y2=9,求出x=,y=1,代入陰影部分的面積是(y﹣x)x求出即可.【詳解】設(shè)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是x、y(x<y),則x2=1,y2=9,x,y=1,則陰影部分的面積是(y﹣x)x=(11.故答案為11.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的計(jì)算能力.15、【解析】
由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答即可.【詳解】∵DE∥BC,∴∠F=∠FBC,∵BF平分∠ABC,∴∠DBF=∠FBC,∴∠F=∠DBF,∴DB=DF,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,即,解得:DE=,∵DF=DB=2,∴EF=DF-DE=2-=,故答案為.【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì),關(guān)鍵是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC.16、(0,0)或(0,﹣8)或(﹣6,0)【解析】
由P(﹣3,﹣4)可知,P到原點(diǎn)距離為5,而以P點(diǎn)為圓心,5為半徑畫圓,圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)分別與x軸、y軸交于另外一點(diǎn),共有三個(gè).【詳解】解:∵P(﹣3,﹣4)到原點(diǎn)距離為5,而以P點(diǎn)為圓心,5為半徑畫圓,圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且分別交x軸、y軸于另外兩點(diǎn)(如圖所示),∴故坐標(biāo)軸上到P點(diǎn)距離等于5的點(diǎn)有三個(gè):(0,0)或(0,﹣8)或(﹣6,0).故答案是:(0,0)或(0,﹣8)或(﹣6,0).17、1【解析】
根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)及次數(shù)的定義進(jìn)行解答即可.【詳解】根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)和次數(shù)的定義可知,﹣的系數(shù)是,次數(shù)是1.【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式,熟知單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù),一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)是解題的關(guān)鍵.三、解答題(共7小題,滿分69分)18、(1)詳見(jiàn)解析;(2)這個(gè)圓形截面的半徑是5cm.【解析】
(1)根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟和方法做出圖即可;(2)先過(guò)圓心作半徑,交于點(diǎn),設(shè)半徑為,得出、的長(zhǎng),在中,根據(jù)勾股定理求出這個(gè)圓形截面的半徑.【詳解】(1)如圖,作線段AB的垂直平分線l,與弧AB交于點(diǎn)C,作線段AC的垂直平分線l′與直線l交于點(diǎn)O,點(diǎn)O即為所求作的圓心.(2)如圖,過(guò)圓心O作半徑CO⊥AB,交AB于點(diǎn)D,設(shè)半徑為r,則AD=AB=4,OD=r-2,在Rt△AOD中,r2=42+(r-2)2,解得r=5,答:這個(gè)圓形截面的半徑是5cm.【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理和勾股定理,關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形,再根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解.19、(1)y=-2x+31,(2)20≤x≤1【解析】試題分析:(1)根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(20,300)和點(diǎn)(30,280),利用待定系數(shù)法即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià),也不高于每千克1元,結(jié)合草莓的成本價(jià)即可得出x的取值范圍.試題解析:(1)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,根據(jù)題意,得:解得:∴y與x的函數(shù)解析式為y=-2x+31,(2)∵試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià),也不高于每千克1元,且草莓的成本為每千克20元,
∴自變量x的取值范圍是20≤x≤1.20、(1)35元;(2)30元.【解析】
(1)由題意得,每月銷售量與銷售單價(jià)之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù),利潤(rùn)=(定價(jià)-進(jìn)價(jià))×銷售量,從而列出關(guān)系式,利用配方法得出最值;(2)令w=2000,然后解一元二次方程,從而求出銷售單價(jià).【詳解】解:(1)由題意,得:W=(x-20)×y=(x-20)(-10x+1)=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250當(dāng)x=35時(shí),W取得最大值,最大值為2250,答:當(dāng)銷售單價(jià)定為35元時(shí),每月可獲得最大利潤(rùn)為2250元;(2)由題意,得:,解得:,,銷售單價(jià)不得高于32元,銷售單價(jià)應(yīng)定為30元.答:李明想要每月獲得2000元的利潤(rùn),銷售單價(jià)應(yīng)定為30元.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用,還考查拋物線的基本性質(zhì),另外將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題,從而來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.21、(1)k=2;(2)點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為.【解析】
(1)根據(jù)題意求得點(diǎn)B的坐標(biāo),再代入求得k值即可;(2)設(shè)平移后與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)為D′,由平移性質(zhì)可知DD′∥OB,過(guò)D′作D′E⊥x軸于點(diǎn)E,交DC于點(diǎn)F,設(shè)CD交y軸于點(diǎn)M(如圖),根據(jù)已知條件可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1,1),設(shè)D′橫坐標(biāo)為t,則OE=MF=t,即可得D′(t,t+2),由此可得t(t+2)=2,解方程求得t值,利用勾股定理求得DD′的長(zhǎng),即可得點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).【詳解】(1)∵△AOB和△COD為全等三的等腰直角三角形,OC=,∴AB=OA=OC=OD=,∴點(diǎn)B坐標(biāo)為(,),代入得k=2;(2)設(shè)平移后與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)為D′,由平移性質(zhì)可知DD′∥OB,過(guò)D′作D′E⊥x軸于點(diǎn)E,交DC于點(diǎn)F,設(shè)CD交y軸于點(diǎn)M,如圖,∵OC=OD=,∠AOB=∠COM=45°,∴OM=MC=MD=1,∴D坐標(biāo)為(﹣1,1),設(shè)D′橫坐標(biāo)為t,則OE=MF=t,∴D′F=DF=t+1,∴D′E=D′F+EF=t+2,∴D′(t,t+2),∵D′在反比例函數(shù)圖象上,∴t(t+2)=2,解得t=或t=﹣﹣1(舍去),∴D′(﹣1,+1),∴DD′=,即點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與幾何的綜合題,求得點(diǎn)D′的坐標(biāo)是解決第(2)問(wèn)的關(guān)鍵.22、(1)21米(2)見(jiàn)解析【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意易發(fā)現(xiàn),直角三角形ABC中,已知AC的長(zhǎng)度,又知道了∠ACB的度數(shù),那么AB的長(zhǎng)就不難求出了.(2)從所畫出的圖形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的.解:(1)在Rt△BAC中,∠ACB=68°,∴AB=AC?tan68°≈100×2.1=21(米)答:所測(cè)之處江的寬度約為21米.(2)①延長(zhǎng)BA至C,測(cè)得AC做記錄;②從C沿平行于河岸的方向走到D,測(cè)得CD,做記錄;③測(cè)AE,做記錄.根據(jù)△BAE∽△BCD,得到比例線段,從而解答23、(1)詳見(jiàn)解析;(2)tan∠ADP=35【解析】
(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;(2)作PH⊥AD于H,根據(jù)四邊形ABEF是菱形,∠ABC=60°,AB=4,得到AB=AF=4,∠ABF=∠ADB=
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