人教版八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題期中必刷真題03(解答易錯60道提升練)(原卷版+解析)

【拔尖特訓】2023-2024學年八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題【人教版】期中必刷真題03（解答易錯60道提升練，八下人教）一．解答題（共60小題）1．(2023春?安寧市校級期中）若x，y是實數(shù)，且y＝++3，求3的值．2．(2023春?澄城縣期中）高空拋物極其危險，是我們必須杜絕的行為．據(jù)研究，高空拋出的物體下落的時間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足（不考慮風速的影響）．（1）從200m高空拋物到落地所需時間t是多少？（2）從高空拋物經(jīng)過3s落地，該物體下落的高度是多少？3．(2023春?渝水區(qū)校級期中）已知：，．求下列各式的值．（1）xy；（2）x2﹣xy+y2．4．(2023春?伊川縣期中）計算：（1）；（2）．5．(2023春?江海區(qū)期中）閱讀理解材料．把分母中的根子去掉叫做分母有理化，例如：①；②﹣1．等運算都是分母有理化．根據(jù)上述材料，（1）化簡：；（2）計算：．6．(2023春?柘城縣期中）閱讀材料：小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方．如3+2＝（1+）2.善于思考的小明進行了以下探索：設(shè)a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n均為整數(shù)），則有a+b＝m2+2n2+2mn．故a＝m2+2n2，b＝2mn，這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當a，b，m，n均為正整數(shù)時，若a+b＝（m+n）2，用含m，n的式子分別表示a，b，得a＝，b＝；（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：+＝（+）2；（3）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．7．(2023春?賓陽縣期中）【閱讀材料】賓賓在學習二次根式時，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以化成另一個式子的平方，如：；．【類比歸納】（1）請你仿照賓賓的方法將化成另一個式子的平方；（2）請運用賓賓的方法化簡；．【變式探究】（3）若，且a，m，n均為正整數(shù)，則a＝．8．(2023秋?欒城區(qū)校級期中）課堂上，李老師出了這樣一個題目：求代數(shù)式a+的值，其中a＝2021．小亮和小芳的解答過程如下：小亮：解：原式＝a+＝a+1﹣a＝1，所以不論a為何值時，原式＝1；小芳：解：原式＝a+＝a+a﹣1＝2a﹣1，當a＝2021時，原式＝2×2021﹣1＝4041（1）的解法是錯誤的；錯誤的原因在于未能正確地運用二次根式的性質(zhì)：（a＜0）．（2）請根據(jù)以上信息，獨立完成下面的題目：先化簡，再求值：，其中a＝﹣2021．9．(2023秋?裕華區(qū)校級期中）定義：若兩個二次根式a，b滿足a?b＝c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的共軛二次根式．（1）若a與是關(guān)于4的共軛二次根式，則a＝；（2）若與是關(guān)于12的共軛二次根式，求m的值．10．(2023秋?駐馬店期中）計算（1）（﹣）÷；（2）（﹣2）×﹣6；（3）+5；（4）（﹣）2+（+2）×（﹣2）．11．(2023秋?郫都區(qū)校級期中）解答下列各題：（1）已知2b+1的平方根為3，3a+2b﹣1的立方根為2，求3a+2b的平方根．（2）如果最簡二次根式與同類二次根式，且+＝0，求x，y的值．12．(2023秋?南山區(qū)校級期中）著名數(shù)學教育家G?波利亞，有句名言：“發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要”，這句話啟發(fā)我們：要想學會數(shù)學，就需要觀察，發(fā)現(xiàn)問題，探索問題的規(guī)律性東西，要有一雙敏銳的眼睛．請先閱讀下列材料，再解決問題：數(shù)學上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化去里面的一層根號．例如：＝＝＝＝1+．解決問題：（1）在括號內(nèi)填上適當?shù)臄?shù)：＝＝③①：，②：，③．（2）根據(jù)上述思路，化簡并求出+的值．13．(2023秋?農(nóng)安縣期中）已知，如圖所示，實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置．化簡：．14．(2023春?黃石期中）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點A的位置如圖所示，b＝|a﹣|+|2﹣a|．（1）求b的值；（2）已知b+2的小數(shù)部分是m，8﹣b的小數(shù)部分是n，求2m+2n+1的平方根．15．(2023春?海淀區(qū)校級期中）我們規(guī)定用（a，b）表示一對數(shù)對，給出如下定義：記m＝，n＝（其中a＞0，b＞0），將（m，n）與（n，m）稱為數(shù)對（a，b）的一對“和諧數(shù)對”．例如：（4，1）的一對“和諧數(shù)對”為（，1）和（1，）．（1）數(shù)對（16，5）的一對“和諧數(shù)對”是；（2）若數(shù)對（3，m）的一對“和諧數(shù)對”相同，則m的值為；（3）若數(shù)對（x，y）的一個“和諧數(shù)對”是（，1），則xy的值為．16．(2023秋?蓮湖區(qū)期中）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點A，B，C恰好在格點（網(wǎng)格線的交點）上．（1）求△ABC的周長．（2）求△ABC的面積．17．(2023秋?新城區(qū)期中）圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡化結(jié)構(gòu)示意圖．根據(jù)安全標準需滿足BC⊥CD，現(xiàn)測得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB與BD之間由一個固定為90°的零件連接（即∠ABD＝90°），通過計算說明該車是否符合安全標準．18．(2023秋?市中區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）求證：CD⊥AD；（2）求四邊形ABCD的面積．19．(2023秋?錫山區(qū)期中）新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識，很多地方的宣講車開起來了，大喇叭響起來了，宣傳橫幅掛起來了，電子屏亮起來了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標語、宣傳金句頻出，這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅定決心．如圖，在一條筆直公路MN的一側(cè)點A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離AB為800米，若宣講車周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車在公路MN上沿MN方向行駛．（1）請問村莊A能否聽到宣傳？請說明理由；（2）如果能聽到，已知宣講車的速度是300米/分鐘，那么村莊A總共能聽到多長時間的宣傳？20．(2023春?合川區(qū)校級期中）筆直的河流一側(cè)有一營地C，河邊有兩個漂流點A，B、其中AB＝AC，由于周邊施工，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客，在河邊新建一個漂流點H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路CH，測得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．（1）判斷△BCH的形狀，并說明理由；（2）求原路線AC的長．21．(2023秋?成都期中）臺風是一種自然災(zāi)害，它以臺風中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，有一臺風中心沿AB由點A向點B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為300km和400km，又AB＝500km，以臺風中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）海港C受臺風影響嗎？為什么？（2）若臺風的速度為25km/h，臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？22．(2023秋?吳興區(qū)校級期中）如圖1，紙上有五個邊長為1的小正方形組成的圖形紙，我們可以把它剪開拼成一個正方形．（1）拼成的正方形的面積為，邊長為．（2）如圖2，以數(shù)軸的單位長度的線段為邊作一個直角三角形，以數(shù)軸上表示的﹣1點為圓心，直角三角形的最大邊為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點A，那么點A表示的數(shù)是．（3）如圖3，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，若把陰影部分剪拼成一個正方形，那么新正方形的邊長是．23．(2023春?克州期中）已知，如圖1是一塊四邊形草地ABCD．已知AB⊥C，AB＝4，BC＝3，CD＝13．DA＝12．（1）求四邊形草地ABCD；（2）如圖2，其他條件不變，直接寫出圖2四邊形草地ABCD的面積．24．(2023秋?平和縣期中）如圖是三國時期的數(shù)學家趙爽用四個兩直角邊分別為a、b（a≤b）．斜邊為c的直角三角形拼成的正方形圖形，并用此圖證明勾股定理，請你用此“弦圖”寫出證明勾股定理的過程．25．(2023秋?寶豐縣期中）在學習勾股定理時，我們學會運用圖（I）驗證它的正確性：圖中大正方形的面積可表示為：（a+b）2，也可表示為：c2+4?（ab），即（a+b）2＝c2+4?（ab）由此推出勾股定理a2+b2＝c2，這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法，簡稱“無字證明”．（1）請你用圖（Ⅱ）（2002年國際數(shù)字家大會會標）的面積表達式驗證勾股定理（其中四個直角三角形全等）；（2）請你用（Ⅲ）提供的圖形進行組合，用組合圖形的面積表達式驗證（x+y）2＝x2+2xy+y2．26．(2023秋?榕城區(qū)期中）知識探究：如圖1是兩直角邊長分別為m，n（m＞n）的直角三角形，如果用四個與圖1完全一樣的直角三角形可以拼成如圖2和圖3的幾何圖形．其中圖2和圖3的四邊形ABCD、四邊形EFGH都是正方形．請你根據(jù)幾何圖形部分與整體的關(guān)系完成第（1）（2）題．請選擇（m+n）2，（m﹣n）2，mn中的有關(guān)代數(shù)式表示：圖2中正方形ABCD的面積：．圖3中正方形ABCD的面積：．（2）請你根據(jù)題（1），寫出下列三個代數(shù)式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系．知識應(yīng)用：（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；②已知：a＞0，a﹣＝，求：a+的值．27．(2023春?廣漢市期中）勾股定理是一條古老的數(shù)學定理，它有很多種證明方法．（1）請你根據(jù)圖1填空；勾股定理成立的條件是三角形，結(jié)論是（三邊關(guān)系）（2）以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理；28．(2023春?西湖區(qū)期中）如圖，點E、F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點，BE∥DF．（1）求證：AF＝CE；（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四邊形ABCD的面積．29．(2023春?鐵嶺縣期中）如圖．點B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，連接AD．求證：（1）△ABC≌△DEF；（2）四邊形ABED是平行四邊形．30．(2023春?云夢縣期中）如圖：△ABD，△APE和△BPC均為直線AB同側(cè)的等邊三角形，點P在△ABD內(nèi)．（1）求證：四邊形PEDC為平行四邊形；（2）當點P同時滿足條件：①PA＝PB和②∠APB＝150°時，猜想四邊形PEDC是什么特殊的四邊形，并說明理由；（3）若△APB中，，求四邊形PEDC的面積．31．(2023春?應(yīng)城市期中）如圖，已知平行四邊形ABCD，點P為BC的中點，連接PA，PD，PA⊥PD．（1）求證：DP平分∠ADC；（2）過點C作CE⊥CD交PD于點E，∠PCE＝∠B，PE＝3，求?ABCD的周長；（3）在（2）的條件下，點F為AD上一點，PF＝8，G為AB上一點，∠FPG＝60°，求△AGF的周長．32．(2023春?撫遠市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點，連接DE，DF，EF，∠ADF的度數(shù)為53°．（1）求∠C的度數(shù)；（2）求四邊形ADEF的周長．33．(2023春?鶴城區(qū)校級期中）如圖，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，動點M從點D出發(fā)，按折線DCBAD方向以2cm/s的速度運動，動點N從點D出發(fā)，按折線DABCD方向以1cm/s的速度運動．（1）若動點M，N同時出發(fā)，t秒時，N走過cm，M走過cm；（2）若動點M，N同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘兩點第一次相遇？（3）若點E在線段BC上，且BE＝3cm，若動點M，N同時出發(fā)，相遇時停止運動，經(jīng)過幾秒鐘，點A，E，M，N組成平行四邊形？34．(2023春?鐵鋒區(qū)期中）如圖，直角坐標系中的網(wǎng)格由單位正方形構(gòu)成，△ABC中，A點坐標為（2，3），B點坐標為（﹣2，0），C點坐標為（0，﹣1）．（1）AC的長為；（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）若以A、B、C及點D為頂點的四邊形ABCD為平行四邊形，則D點的坐標為．35．(2023春?黔東南州期中）如圖，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點E，F(xiàn)．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）連接CE，AF，求證：四邊形AECF是平行四邊形；【拓展延伸】（2）若AB＝25，AE＝15，AD＝39，求四邊形AECF的面積．36．(2023秋?安溪縣期中）在四邊形ABCD中，AB＝CD，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點．（1）如圖1，點P為對角線BD的中點，連接PE，PF，若∠PEF＝26°，則∠EPF＝度；（2）如圖2，直線EF分別與BA，CD的延長線交于點M，N．求證：∠BMF＝∠CNF．37．(2023秋?李滄區(qū)期中）如圖，在?ABCD中，AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點．（1）求證：BE＝DF；（2）連接DE，BF，已知（從以下兩個條件中任選一個作為已知，填寫序號），請判斷四邊形DEBF的形狀，并證明你的結(jié)論．條件①：AC＝2BD；條件②：AB＝BC．（注：如果選擇條件①條件②分別進行解容，按第一個解答計分）38．(2023春?成華區(qū)校級期中）如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為點E，CE＝CD，點F為CE的中點，點G是CD上的一點，連接DF、EG、AG．（1）若CF＝4，AE＝6，求BE的長；（2）若∠CEG＝∠AGE，那么：①判斷線段AG和EG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②求證：∠1＝∠2．39．(2023春?東莞市校級期中）如圖，平行四邊形ABCD中，點E是AB邊上一點，CE＝AB，DF⊥BC，交CE于點G，連接DE，EF．（1）求證：∠AED＝90°﹣∠DCE；（2）若點E是AB邊的中點，求證：∠DEF＝2∠EFB．40．(2023春?思明區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC的中點，過點O作OE⊥BC交BC于點E．過點O作FG⊥AB交AB、CD于點F、G．（1）如圖1，若BC＝5，OE＝3，求平行四邊形ABCD的面積；（2）如圖2，若∠ACB＝45°，試探究AF，F(xiàn)O，EG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．41．(2023春?武進區(qū)期中）如圖，點E是菱形ABCD的邊BC延長線上一點，AC是對角線，∠BAC：∠ACE＝2：7，求∠B的度數(shù)．42．(2023春?濱江區(qū)校級期中）如圖，菱形AECF的對角線AC和EF交于點O，分別延長OE、OF至點B、點D，且BE＝DF，連接AB，AD，CB，CD．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若BD＝8，AC＝4，BE＝3，求．43．(2023秋?岐山縣期中）如圖，?ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，點G是CD的中點，點E是邊AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線交于點F，連接CE，DF．（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）①直接寫出：當AE＝cm時，四邊形CEDF是菱形（不需要說明理由）；②當AE＝cm時，四邊形CEDF是矩形，請說明理由．44．(2023秋?錦江區(qū)校級期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，BE∥AC，AE∥BD，OE與AB交于點F，OE＝5，AC＝8．（1）求AB的長；（2）求菱形ABCD的高．45．(2023春?贊皇縣期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D在斜邊AB上，E、F分別在直角邊CA、BC上，且DE⊥AC，DF∥AC．（1）求證：四邊形CEDF是矩形；（2）連接EF，若C到AB的距離是5，求EF的最小值．46．(2023春?鄖陽區(qū)期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD交于點O，分別過點C、作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于點E（1）求證：四邊形ODEC是矩形；（2）當∠ADB＝60°，AD＝10時，求CE和AE的長．47．(2023春?市南區(qū)期中）已知：如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC上一點，過點E作對角線AC的平行線，交AB于F，交DA和DC的延長線于點G，H．（1）求證：△AFG≌△CHE；（2）若∠G＝∠BAC，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．48．(2023秋?碑林區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中線，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于F，連接CF，求證：四邊形ADCF是菱形．49．(2023春?通道縣期中）如圖，在正方形ABCD中，M是AD上異于A、D的點，作∠NMB＝∠AMB交CD于N，連結(jié)BN，作BE⊥MN于E．（1）求∠MBN的度數(shù)；（2）求△DMN的周長與正方形邊長的數(shù)量關(guān)系；（3）若AM＝2，N是CD的中點，求AB的長．50．(2023春?隆陽區(qū)期中）如圖，點B，C，F(xiàn)在同一條直線上，AC⊥BF于點C，且AC＝BC，連接AB，取AB的中點D，連接CD，過點A作CE的垂線，垂足為E，已知點E到直線AC和CF的距離相等．求證：四邊形ADCE是正方形．51．(2023春?連山區(qū)期中）如圖，以△ABC的邊AB，AC為邊在△ABC的外部作正方形ABEF與正方形ACGD，連接BD，CF，DF，CF交BD于O，交AD于H．（1）寫出CF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AB＝2，AC＝4，直接寫出BC2+DF2的值．52．(2023春?煙臺期中）如圖，點E為矩形ABCD外一點，DE⊥BD，DE＝CE，BD的垂直平分線FG分別與AD，BD相交于點F，G，連接EF與BD相交于點H，連接GE．（1）求證：H是EF的中點；（2）若AB＝6，BD＝10，求GE的長．53．(2023春?乳山市期中）如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點，AP⊥BP于點P，CE⊥BP于點E，BP＝EC．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）連接AC，延長EC到點F，使CF＝BE，連接PF交BC的延長線于點G，求∠BGP的度數(shù)．54．(2023春?沂水縣期中）（1）將矩形紙片ABCD沿過點D的直線折疊，使點A落在CD上的點A'處，得到折痕DE，如圖1．求證：四邊形AEA'D是正方形；（2）將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點E的直線折疊，點C恰好落在AD上的點C'處，點B落在點B'處，得到折痕EF，B'C'交AB于點M，如圖2．線段MC'與ME是否相等？若相等，請給出證明；若不等，請說明理由．55．(2023秋?岳麓區(qū)校級期中）如圖①，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．（1）連接MN，△BMN是等邊三角形嗎？為什么？（2）求證：△AMB≌△ENB；（3）①當M點在何處時，AM+CM的值最小；②如圖②，當M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，請你畫出圖形，并說明理由．56．(2023春?杭州期中）已知：如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，AE、BF相交于點P，并且AE＝BF．（1）如圖1，判斷AE和BF的位置關(guān)系？并說明理由；（2）若AB＝8，BE＝6，求BP的長度；（3）如圖2，F(xiàn)M⊥DN，DN⊥AE，點F在線段CD上運動時（點F不與C、D重合），四邊形FMNP是否能否成為正方形？請說明理由．57．(2023秋?南海區(qū)期中）如圖1，在正方形ABCD中，點E在邊AD上，連接BE交對角線AC于M，過點M作FM⊥BE交CD于F．（1）如圖1，求證：BM＝MF；（2）如圖2，連接BF，當AB＝6且E為AD中點時，試求CF的長．58．(2023秋?南海區(qū)校級期中）如圖，正方形ABCD中，E是對角線BD上一點，連接AE，過點E作EF⊥AE，交邊BC于點F．（1）求證：EA＝EF；（2）寫出線段FC，DE的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）若AB＝4，F(xiàn)E＝FC，求DE的長．59．(2023春?高青縣期中）已知正方形ABCD，點F是射線DC上一動點（不與C、D重合），連接AF并延長交直線BC于點E，交BD于點H，連接CH，過點C作CG⊥HC交AE于點G．（1）若點F在邊CD上，如圖1．①證明：∠DAH＝∠DCH；②猜想線段CG與EF的關(guān)系并說明理由；（2）取DF中點M，連結(jié)MG，若MG＝4，正方形邊長為6，求BE的長．60．(2023春?岳池縣期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點D出發(fā)向點A運動，運動到點A停止，同時，點Q從點B出發(fā)向點C運動，運動到點C即停止，點P、Q的速度都是1cm/s．連接PQ、AQ、CP．設(shè)點P、Q運動的時間為ts．（1）當t為何值時，四邊形ABQP是矩形；（2）當t為何值時，四邊形AQCP是菱形；（3）分別求出（2）中菱形AQCP的周長和面積．【拔尖特訓】2023-2024學年八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題【人教版】期中必刷真題03（解答易錯60道提升練，八下人教）一．解答題（共60小題）1．(2023春?安寧市校級期中）若x，y是實數(shù)，且y＝++3，求3的值．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式求出x、y的值，根據(jù)二次根式的性質(zhì)計算即可．【解答】解：由題意得，4x﹣1≥0，1﹣4x≥0，解得，x＝，則y＝3，則3＝3×＝．【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．(2023春?澄城縣期中）高空拋物極其危險，是我們必須杜絕的行為．據(jù)研究，高空拋出的物體下落的時間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足（不考慮風速的影響）．（1）從200m高空拋物到落地所需時間t是多少？（2）從高空拋物經(jīng)過3s落地，該物體下落的高度是多少？【分析】（1）把h＝200代入公式求解，可得結(jié)論；（2）把t＝3代入公式求解，可得結(jié)論．【解答】解：（1）當h＝200時，t＝＝5（秒）．答：從200m高空拋物到落地所需時間t是5秒；（2）當t＝3秒時，3＝，∴h＝45，答：從高空拋物經(jīng)過3s落地，該物體下落的高度是45m．【點評】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，二次根式的應(yīng)用主要是在解決實際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運算的方法3．(2023春?渝水區(qū)校級期中）已知：，．求下列各式的值．（1）xy；（2）x2﹣xy+y2．【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法法則進行計算即可；（2）根據(jù)二次根式的加法法則求出x+y的值，先根據(jù)完全平方公式進行變形，再代入，最后根據(jù)二次根式的運算法則進行計算即可．【解答】解：（1）∵x＝+，y＝﹣，∴xy＝（+）×（﹣）＝（）2﹣（）2＝7﹣5＝2；（2）∵x＝+，y＝﹣，∴x+y＝（+）+（﹣）＝2，∵xy＝2，∴x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝（2）2﹣3×2＝28﹣6＝22．【點評】本題考查了二次根式的化簡求值和完全平方公式，能正確根據(jù)二次根式的運算法則進行計算是解此題的關(guān)鍵．4．(2023春?伊川縣期中）計算：（1）；（2）．【分析】（1）先計算二次根式的除法和乘法，再合并同類二次根式即可；（2）先利用平方差和完全平方公式展開，再計算減法即可；【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝＝＝．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．5．(2023春?江海區(qū)期中）閱讀理解材料．把分母中的根子去掉叫做分母有理化，例如：①；②﹣1．等運算都是分母有理化．根據(jù)上述材料，（1）化簡：；（2）計算：．【分析】（1）仿照閱讀資料中的②化簡即可；（2）仿照閱讀資料中的②化簡即可．【解答】解：（1）＝；（2）＝＝．【點評】本題考查了二次根式的分母有理數(shù)，熟練掌握新方法是解題的關(guān)鍵．6．(2023春?柘城縣期中）閱讀材料：小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方．如3+2＝（1+）2.善于思考的小明進行了以下探索：設(shè)a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n均為整數(shù)），則有a+b＝m2+2n2+2mn．故a＝m2+2n2，b＝2mn，這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當a，b，m，n均為正整數(shù)時，若a+b＝（m+n）2，用含m，n的式子分別表示a，b，得a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：28+16＝（4+2）2；（3）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式展開，再得出a、b的值即可；（2）設(shè)a+＝（m+）2，根據(jù)完全平方公式求出（m+）2＝m2+3+2m，得出2m＝1，a＝m2+3，再求出答案即可；（3）根據(jù)完全平方公式求出（m+n）2＝m2+3n2+2mn，求出2mn＝4，a＝m2+3n2，求出mn＝2，根據(jù)m、n為正整數(shù)得出m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，再求出a即可．【解答】解：（1）∵（m+n）2＝m2+3n2+2mn，又∵a+b＝（m+n）2，∴a＝m2+3n2，b＝2mn，故答案為：m2+3n2，2mn；（2）設(shè)a+b＝（m+n）2，∵（m+n）2＝m2+3n2+2mn，∴2mn＝b，a＝m2+3n2，取n＝2，m＝4，則b＝16，a＝16+12＝28，故答案為：28，16，4，2；（3）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，∵a+4＝（m+n）2，∴2mn＝4，a＝m2+3n2，∴mn＝2，∵m、n都為正整數(shù)，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，當m＝2，n＝1時，a＝22+3×12＝4+3＝7；當m＝1，n＝2時，a＝12+3×22＝1+12＝13，所以a的值是7或13．【點評】本題考查了二次根式的混合運算和完全平方公式，能根據(jù)完全平方公式展開是解此題的關(guān)鍵．7．(2023春?賓陽縣期中）【閱讀材料】賓賓在學習二次根式時，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以化成另一個式子的平方，如：；．【類比歸納】（1）請你仿照賓賓的方法將化成另一個式子的平方；（2）請運用賓賓的方法化簡；．【變式探究】（3）若，且a，m，n均為正整數(shù)，則a＝22或10．【分析】（1）根據(jù)完全平方式的結(jié)構(gòu)特征a2+b2±2ab解決此題．（2）根據(jù)完全平方式的結(jié)構(gòu)特征a2+b2±2ab解決此題．（3）根據(jù)完全平方式的結(jié)構(gòu)特征a2+b2±2ab解決此題．【解答】解：（1）＝（5+2）+＝＝．（2）＝＝＝＝．（3）∵，且a，m，n均為正整數(shù)，∴．∴mn＝21，m+n＝a．∴當m＝1，則n＝21，此時a＝22；當m＝3，則n＝7，此時a＝10；當m＝7，則n＝3，此時a＝10；當m＝21，則n＝1，此時a＝22．綜上：a＝22或10．故答案為：22或10．【點評】本題主要考查完全平方式、二次根式的性質(zhì)，熟練掌握完全平方式的結(jié)構(gòu)特征是解決本題的關(guān)鍵．8．(2023秋?欒城區(qū)校級期中）課堂上，李老師出了這樣一個題目：求代數(shù)式a+的值，其中a＝2021．小亮和小芳的解答過程如下：小亮：解：原式＝a+＝a+1﹣a＝1，所以不論a為何值時，原式＝1；小芳：解：原式＝a+＝a+a﹣1＝2a﹣1，當a＝2021時，原式＝2×2021﹣1＝4041（1）小亮的解法是錯誤的；錯誤的原因在于未能正確地運用二次根式的性質(zhì)：（a＜0）．（2）請根據(jù)以上信息，獨立完成下面的題目：先化簡，再求值：，其中a＝﹣2021．【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡，然后將a的值代入，即可求出答案；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡，然后將a的值代入，即可求出答案．【解答】解：（1）小亮的解法正確，理由是：∵a＝2021，∴a+＝a+|1﹣a|＝a+a﹣1＝2a﹣1，＝2×2021﹣1＝4041，即小芳的是正確的，小亮的解法是錯誤的，故答案為：小亮；（2）∵a＝﹣2021，∴a﹣2+6＝a﹣2+6＝a﹣2（3﹣a）+6＝a﹣6+2a+6＝3a＝3×（﹣2021）＝﹣6063．【點評】本題考查了整式的加減和二次根式的性質(zhì)與化簡，能正確根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡是解此題的關(guān)鍵．9．(2023秋?裕華區(qū)校級期中）定義：若兩個二次根式a，b滿足a?b＝c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的共軛二次根式．（1）若a與是關(guān)于4的共軛二次根式，則a＝2；（2）若與是關(guān)于12的共軛二次根式，求m的值．【分析】（1）根據(jù)共軛二次根式的定義，先列出關(guān)于a的等式，再求出a；（2）根據(jù)共軛二次根式的定義，先列出關(guān)于m的方程，求解即可．【解答】解：（1）∵a與是關(guān)于4的共軛二次根式，∴＝4．∴a＝＝2；故答案為：2；（2））∵與是關(guān)于12的共軛二次根式，∴．∴18+6+3m+3m＝12．∴m（3+3）＝﹣6﹣6．∴m＝﹣2．【點評】本題主要考查了二次根式的計算，掌握二次根式的運算法則，理解共軛二次根式的定義是解決本題的關(guān)鍵．10．(2023秋?駐馬店期中）計算（1）（﹣）÷；（2）（﹣2）×﹣6；（3）+5；（4）（﹣）2+（+2）×（﹣2）．【分析】（1）可利用多項式除以單項式法則計算，亦可通過分母有理化求解；（2）利用乘法的分配律計算×，利用分數(shù)的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)化簡6；（3）可利用多項式除以單項式法則計算，亦可通過分母有理化求解；（4）先利用完全平方公式、平方差公式，再求和．【解答】解：（1）（﹣）÷＝÷﹣＝﹣1；（2）（﹣2）×﹣6＝×﹣2×﹣6＝﹣2﹣6＝3﹣6﹣3＝﹣6；（3）+5＝（÷+÷）+5＝（+）+5＝2+6+5＝13；（4）（﹣）2+（+2）×（﹣2）＝（）2﹣2×+（）2+（）2﹣22＝2﹣2+3+3﹣4＝4﹣2．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的運算法則是解決本題的關(guān)鍵．11．(2023秋?郫都區(qū)校級期中）解答下列各題：（1）已知2b+1的平方根為3，3a+2b﹣1的立方根為2，求3a+2b的平方根．（2）如果最簡二次根式與同類二次根式，且+＝0，求x，y的值．【分析】（1）根據(jù)平方根、立方根的定義進行計算即可；（2）根據(jù)同類二次根式的定義求出a的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的非負性求出x、y的值即可．【解答】解：（1）∵2b+1的平方根為3，∴2b+1＝9，解得b＝4，又∵3a+2b﹣1的立方根為2，∴3a+2b﹣1＝8，∵b＝4，∴a＝，∴3a+2b＝1+8＝9，∴9的平方根為＝±3，即3a+2b的平方根為±3；（2）∵最簡二次根式與同類二次根式，∴3a+4＝19﹣2a，解得a＝3，當a＝3時，+＝0，即+＝0，∴12﹣3x＝0，y﹣3＝0，解得x＝4，y＝3，答：x＝4，y＝3．【點評】本題考查同類二次根式，平方根、立方根以及算術(shù)平方根的非負性，理解同類二次根式，平方根、立方根的定義，掌握算術(shù)平方根的非負性是正確解答的前提．12．(2023秋?南山區(qū)校級期中）著名數(shù)學教育家G?波利亞，有句名言：“發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要”，這句話啟發(fā)我們：要想學會數(shù)學，就需要觀察，發(fā)現(xiàn)問題，探索問題的規(guī)律性東西，要有一雙敏銳的眼睛．請先閱讀下列材料，再解決問題：數(shù)學上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化去里面的一層根號．例如：＝＝＝＝1+．解決問題：（1）在括號內(nèi)填上適當?shù)臄?shù)：＝＝③①：5，②：，③3+．（2）根據(jù)上述思路，化簡并求出+的值．【分析】（1）模仿樣例進行解答便可；（2）把28看成，7看成，借助完全平方公式將每個根號內(nèi)化成完全平方數(shù)的形式，便可開方計算得結(jié)果．【解答】解：（1）由題意得，＝＝3+，則①＝5，②＝，③＝3+，故答案為：①5；②；③3+；（2）+＝＝＝5﹣＝7．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)，完全平方式的應(yīng)用，關(guān)鍵是把被開方數(shù)化成完全平方數(shù)．13．(2023秋?農(nóng)安縣期中）已知，如圖所示，實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置．化簡：．【分析】先根據(jù)數(shù)軸判斷a，b，c的正負數(shù)，再根據(jù)絕對值的意義化簡求解．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可得：c＜b＜0＜a，∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b+c＜0，∴＝a﹣（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（b+c）＝a﹣a+b﹣c+a﹣b﹣c＝a﹣2c．【點評】本題考查了二次根式的化簡與求值，絕對值的化簡是解題的關(guān)鍵．14．(2023春?黃石期中）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點A的位置如圖所示，b＝|a﹣|+|2﹣a|．（1）求b的值；（2）已知b+2的小數(shù)部分是m，8﹣b的小數(shù)部分是n，求2m+2n+1的平方根．【分析】（1）根據(jù)A點在數(shù)軸上的位置，可以知道2＜a＜3，根據(jù)a的范圍去絕對值化簡即可；（2）先求出b+2，得到它的整數(shù)部分，用b+2減去整數(shù)部分就是小數(shù)部分，從而求出m；同理可求出n．然后求出2m+2n+1，再求平方根．【解答】解：（1）由圖可知：2＜a＜3，∴a﹣＜0，2﹣a＜0，∴b＝|a﹣|+|2﹣a|＝＝；（2）∵b+2＝，，∴b+2的小數(shù)部分是﹣3，∴m＝﹣3，∵8﹣b＝8﹣（﹣2）＝10﹣，6＜10﹣＜7，∴8﹣b的小數(shù)部分是10﹣﹣6＝4﹣，∴n＝4﹣，∴2m+2n+1＝2﹣6+8﹣2+1＝3，∴2m+2n+1的平方根為±．【點評】本題主要考查了無理數(shù)的估算，考核學生的運算能力，解題時注意一個正數(shù)的平方根有兩個．15．(2023春?海淀區(qū)校級期中）我們規(guī)定用（a，b）表示一對數(shù)對，給出如下定義：記m＝，n＝（其中a＞0，b＞0），將（m，n）與（n，m）稱為數(shù)對（a，b）的一對“和諧數(shù)對”．例如：（4，1）的一對“和諧數(shù)對”為（，1）和（1，）．（1）數(shù)對（16，5）的一對“和諧數(shù)對”是（，）和（，）；（2）若數(shù)對（3，m）的一對“和諧數(shù)對”相同，則m的值為；（3）若數(shù)對（x，y）的一個“和諧數(shù)對”是（，1），則xy的值為或2．【分析】（1）根據(jù)新定義即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)新定義，列等式＝，解方程進而得出結(jié)論；（4）根據(jù)新定義，列方程組，解出進而得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵m＝＝，n＝，∴數(shù)對（16，5）的一對“和諧數(shù)對”是（，）和（，），故答案為：（，）和（，）；（2）∵數(shù)對（3，m）的一對“和諧數(shù)對”相同，∴＝∴m＝；故答案為：；（3）∵數(shù)對（x，y）的一個“和諧數(shù)對”是（，1），∴或，解得或，∴xy＝或2．故答案為：或2．【點評】此題主要考查了新定義，解方程組，解方程，理解和應(yīng)用新定義是解本題的關(guān)鍵．16．(2023秋?蓮湖區(qū)期中）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點A，B，C恰好在格點（網(wǎng)格線的交點）上．（1）求△ABC的周長．（2）求△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)勾股定理，分別求出AB、BC、AC的長，進而可得△ABC的周長；（2）由（1）AB、BC、AC的長可得，BC2＝AB2+AC2，則△ABC是直角三角形，S△ABC＝AC?AB，進而可得△ABC的面積．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，AB＝＝＝2，AC＝＝，BC＝＝＝5，AB+AC+BC＝2++5＝5+3，∴△ABC的周長為5+3；（2）∵AB＝2，AC＝，BC＝5，∴BC2＝25，AB2+AC2＝20+5＝25，∴BC2＝AB2+AC2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AC?AB＝××＝5，∴△ABC的面積為5．【點評】本題考查了勾股定理知識點，結(jié)合圖形熟練應(yīng)用勾股定理三角形三邊的值，并應(yīng)用其逆定理判定三角形的形狀是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度適中．17．(2023秋?新城區(qū)期中）圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡化結(jié)構(gòu)示意圖．根據(jù)安全標準需滿足BC⊥CD，現(xiàn)測得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB與BD之間由一個固定為90°的零件連接（即∠ABD＝90°），通過計算說明該車是否符合安全標準．【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD，在△BCD中，通過計算，根據(jù)勾股定理逆定理判斷即可．【解答】解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45，∴BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴BC⊥CD．故該車符合安全標準．【點評】本題主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，熟練掌握勾股定理逆定理的應(yīng)用是解決問題的關(guān)鍵．18．(2023秋?市中區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）求證：CD⊥AD；（2）求四邊形ABCD的面積．【分析】（1）連接AC，根據(jù)勾股定理可知AC2＝BA2+BC2，再根據(jù)AC2＝DA2+DC2即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：連接AC，∵∠B＝90°，∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，∵DA2+CD2＝242+72＝625，∴AC2＝DA2+DC2，∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角，∴CD⊥AD；（2）解：S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝AB?BC+AD?CD＝×20×15+×24×7＝234．【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．19．(2023秋?錫山區(qū)期中）新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識，很多地方的宣講車開起來了，大喇叭響起來了，宣傳橫幅掛起來了，電子屏亮起來了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標語、宣傳金句頻出，這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅定決心．如圖，在一條筆直公路MN的一側(cè)點A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離AB為800米，若宣講車周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車在公路MN上沿MN方向行駛．（1）請問村莊A能否聽到宣傳？請說明理由；（2）如果能聽到，已知宣講車的速度是300米/分鐘，那么村莊A總共能聽到多長時間的宣傳？【分析】（1）根據(jù)村莊A到公路MN的距離為800米＜1000米，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理得到BP＝BQ＝600米，求得PQ＝1200米，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）村莊能聽到宣傳，理由：∵村莊A到公路MN的距離為800米＜1000米，∴村莊能聽到宣傳；（2）如圖：假設(shè)當宣講車行駛到P點開始影響村莊，行駛Q點結(jié)束對村莊的影響，則AP＝AQ＝1000米，AB＝800米，∴BP＝BQ＝＝600（米），∴PQ＝1200米，∴影響村莊的時間為：1200÷300＝4（分鐘），∴村莊總共能聽到4分鐘的宣傳．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題時結(jié)合生活實際，便于更好的理解題意．20．(2023春?合川區(qū)校級期中）筆直的河流一側(cè)有一營地C，河邊有兩個漂流點A，B、其中AB＝AC，由于周邊施工，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客，在河邊新建一個漂流點H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路CH，測得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．（1）判斷△BCH的形狀，并說明理由；（2）求原路線AC的長．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理解答即可．【解答】解：（1）△BCH是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝82+62＝100，BC2＝100，∴CH2+BH2＝BC2，∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；（2）設(shè)AC＝AB＝x千米，則AH＝AB﹣BH＝（x﹣6）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣6，CH＝8，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，∴x2＝（x﹣6）2+82解這個方程，得x＝8，答：原來的路線AC的長為8千米．【點評】此題考查勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理和定理．21．(2023秋?成都期中）臺風是一種自然災(zāi)害，它以臺風中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，有一臺風中心沿AB由點A向點B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為300km和400km，又AB＝500km，以臺風中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）海港C受臺風影響嗎？為什么？（2）若臺風的速度為25km/h，臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進而利用三角形面積得出CD的長，進而得出海港C是否受臺風影響；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進而得出臺風影響該海港持續(xù)的時間．【解答】解：（1）海港C受臺風影響．理由：如圖，過點C作CD⊥AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB∴300×400＝500×CD∴CD＝＝240（km）∵以臺風中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C受到臺風影響．（2）當EC＝250km，F(xiàn)C＝250km時，正好影響C港口，∵ED＝＝70（km），∴EF＝140km∵臺風的速度為25km/h，∴140÷25＝5.6（小時）即臺風影響該海港持續(xù)的時間為5.6小時．【點評】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．22．(2023秋?吳興區(qū)校級期中）如圖1，紙上有五個邊長為1的小正方形組成的圖形紙，我們可以把它剪開拼成一個正方形．（1）拼成的正方形的面積為5，邊長為．（2）如圖2，以數(shù)軸的單位長度的線段為邊作一個直角三角形，以數(shù)軸上表示的﹣1點為圓心，直角三角形的最大邊為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點A，那么點A表示的數(shù)是﹣1．（3）如圖3，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，若把陰影部分剪拼成一個正方形，那么新正方形的邊長是．【分析】（1）設(shè)拼成的正方形的邊長為a，根據(jù)總面積列方程可解答；（2）根據(jù)勾股定理計算，并根據(jù)圓中半徑相等，結(jié)合數(shù)軸上點的特點可解答；（3）根據(jù)圖形求出陰影部分的面積，即為新正方形的面積，開方即可求出邊長．【解答】解：（1）設(shè)拼成的正方形的邊長為a，則a2＝5，a＝，即拼成的正方形的邊長為，故答案為：；（2）由勾股定理得：，∴點A表示的數(shù)為﹣1，故答案為：﹣1；（3）根據(jù)圖形得：S陰影＝2×2×2×+2×2×＝4+2＝6，即新的正方形的面積為6，新正方形的邊長為．故答案為：【點評】此題考查了實數(shù)、數(shù)軸、幾何圖形及算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解本題的關(guān)鍵．23．(2023春?克州期中）已知，如圖1是一塊四邊形草地ABCD．已知AB⊥C，AB＝4，BC＝3，CD＝13．DA＝12．（1）求四邊形草地ABCD；（2）如圖2，其他條件不變，直接寫出圖2四邊形草地ABCD的面積．【分析】（1）連接AC，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)勾股定理的逆定理求出△CAD是直角三角形，分別求出△ABC和△CAD的面積，即可得出答案；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，連接AC，在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∴S△ABC＝AB?BC＝＝6，在△ACD中，∵AD＝12，AC＝5，CD＝13，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴S△ACD＝，∴四邊形ABCD的面積＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36；（2）如圖2，連接AC，四邊形ABCD的面積＝S△ACD﹣S△ABC＝30﹣6＝24．【點評】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能求出△ABC和△CAD的面積，注意：如果一個三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．24．(2023秋?平和縣期中）如圖是三國時期的數(shù)學家趙爽用四個兩直角邊分別為a、b（a≤b）．斜邊為c的直角三角形拼成的正方形圖形，并用此圖證明勾股定理，請你用此“弦圖”寫出證明勾股定理的過程．【分析】利用大正方形的面積等于4個三角形的面積加上中間小正方形的面積，進而證明問題．【解答】解：由圖可知：S正方形＝4×ab+（b﹣a）2＝2ab+b2+a2﹣2ab＝a2+b2．S正方形＝c2，所以a2+b2＝c2．【點評】此題主要考查了勾股定理的證明，利用圖形面積得出是解題關(guān)鍵．25．(2023秋?寶豐縣期中）在學習勾股定理時，我們學會運用圖（I）驗證它的正確性：圖中大正方形的面積可表示為：（a+b）2，也可表示為：c2+4?（ab），即（a+b）2＝c2+4?（ab）由此推出勾股定理a2+b2＝c2，這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法，簡稱“無字證明”．（1）請你用圖（Ⅱ）（2002年國際數(shù)字家大會會標）的面積表達式驗證勾股定理（其中四個直角三角形全等）；（2）請你用（Ⅲ）提供的圖形進行組合，用組合圖形的面積表達式驗證（x+y）2＝x2+2xy+y2．【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積＝小正方形的面積+4個直角三角形的面積，即可證明；（2）可以拼成一個邊長是x+y的正方形，它由兩個邊長分別是x、y的正方形和兩個長、寬分別是x、y的長方形組成；【解答】解：（1）由圖可得：大正方形的面積為：c2，中間小正方形面積為：（b﹣a）2，四個直角三角形面積和為：4×ab，由圖形關(guān)系可知：大正方形面積＝小正方形面積+四直角三角形面積，則有：c2＝（b﹣a）2+4×ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b2，即：c2＝a2+b2．（2）如圖示：大正方形邊長為（x+y）所以面積為：（x+y）2，因為它的面積也等于兩個邊長分別為x，y和兩個長為x寬為y的矩形面積之和，即x2+2xy+y2，所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立．【點評】此題考查勾股定理的證明，掌握通過不同的方法計算同一個圖形的面積來證明一些公式的方法是解題的關(guān)鍵．26．(2023秋?榕城區(qū)期中）知識探究：如圖1是兩直角邊長分別為m，n（m＞n）的直角三角形，如果用四個與圖1完全一樣的直角三角形可以拼成如圖2和圖3的幾何圖形．其中圖2和圖3的四邊形ABCD、四邊形EFGH都是正方形．請你根據(jù)幾何圖形部分與整體的關(guān)系完成第（1）（2）題．請選擇（m+n）2，（m﹣n）2，mn中的有關(guān)代數(shù)式表示：圖2中正方形ABCD的面積：（m﹣n）2+2mn．圖3中正方形ABCD的面積：（m+n）2﹣2mn．（2）請你根據(jù)題（1），寫出下列三個代數(shù)式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn或者（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．．知識應(yīng)用：（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；②已知：a＞0，a﹣＝，求：a+的值．【分析】（1）圖2中正方形ABCD面積可以表示為中間正方形EFGH面積加上外面4個全等的小直角三角形面積；圖3中正方形ABCD面積可以表示為正方形EFGH面積減去外面4個全等的小直角三角形面積．（2）抓住圖2與圖3中正方形ABCD的邊長都是圖1中直角三角形的斜邊，因此面積相等，在（1）基礎(chǔ)上，即可得到關(guān)系式．（3）由（2）中等量關(guān)系變形求解即可．【解答】解：（1）圖2中，正方形ABCD面積為AB2，由圖1得AB2＝m2+n2，∴由圖中正方形EFGH面積加上四個直角三角形面積等于正方形ABCD的面積可得：m2+n2＝（m﹣n）2+2mn；圖3中正方形ABCD的面積為AB2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn．故答案為：（m﹣n）2+2mn；（m+n）2﹣2mn．（2）∵圖2中正方形EFGH的面積為（m﹣n）2，而S△ABG＝S△DAF＝S△CDE＝S△BCH＝．∴圖2中正方形ABCD的面積＝（m﹣n）2+4×＝（m﹣n）2+2mn．又∵圖3中正方形ABCD的面積＝（m+n）2﹣2mn，圖2與圖3中正方形ABCD的邊長都是圖1中直角三角形的斜邊，∴圖1中正方形ABCD的面積＝圖2中正方形ABCD的面積．故（m﹣n）2+2mn＝（m+n）2﹣2mn．∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn或者（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．故答案為：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn或者（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．（3）由（1）可得：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝52+4×（﹣6）＝25﹣24＝1；，∴，又a＞0，∴．【點評】本題考查了完全平方公式及其不同形式之間的轉(zhuǎn)換，完全平方公式的幾何運用，三角形，正方形面積計算方法等知識，還有分式的混合運算，屬于中檔題．27．(2023春?廣漢市期中）勾股定理是一條古老的數(shù)學定理，它有很多種證明方法．（1）請你根據(jù)圖1填空；勾股定理成立的條件是直角三角形，結(jié)論是a2+b2＝c2（三邊關(guān)系）（2）以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理；【分析】（1）根據(jù)圖示直接填空；（2）利用S梯形ABCD＝SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED進行解答．【解答】解：（1）勾股定理指的是在直角三角形中，兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方．故答案是：直角；a2+b2＝c2；（2）∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC，又∵∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°．∵S梯形ABCD＝SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，∴．整理，得a2+b2＝c2．【點評】本題考查了勾股定理的證明．解答該題時，利用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想．28．(2023春?西湖區(qū)期中）如圖，點E、F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點，BE∥DF．（1）求證：AF＝CE；（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四邊形ABCD的面積．【分析】（1）先證∠ACB＝∠CAD，再證出△BEC≌△DFA，從而得出CE＝AF．（2）過A點作AG⊥BC，交CB的延長線于G，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AG，進而利用平行四邊形的面積解答即可．【解答】（1）證明：平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴∠ACB＝∠CAD．又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，∴△BEC≌△DFA（AAS），∴CE＝AF．（2）解：過A點作AG⊥BC，交CB的延長線于G，在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°，∴AG＝4，∴平行四邊形ABCD的面積＝BC?AG＝4×6＝24．【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是利用AAS證出△BEC≌△DFA解答．29．(2023春?鐵嶺縣期中）如圖．點B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，連接AD．求證：（1）△ABC≌△DEF；（2）四邊形ABED是平行四邊形．【分析】（1）由AB∥DE、AC∥DF利用平行線的性質(zhì)可得出∠B＝∠DEF、∠ACB＝∠F，由BE＝CF可得出BC＝EF，進而可證出△ABC≌△DEF（ASA），（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出AB＝DE，再結(jié)合AB∥DE，即可證出四邊形ABED是平行四邊形．【解答】證明：（1）∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠DEF，∠ACE＝∠F，∴△ABC≌△DEF（ASA）；（2）由（1）可知：△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∵AB∥DE，∴四邊形ABED是平行四邊形．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)，利用全等三角形的性質(zhì)找出AB＝DE是解題的關(guān)鍵．30．(2023春?云夢縣期中）如圖：△ABD，△APE和△BPC均為直線AB同側(cè)的等邊三角形，點P在△ABD內(nèi)．（1）求證：四邊形PEDC為平行四邊形；（2）當點P同時滿足條件：①PA＝PB和②∠APB＝150°時，猜想四邊形PEDC是什么特殊的四邊形，并說明理由；（3）若△APB中，，求四邊形PEDC的面積．【分析】（1）證明DE＝PC，PE＝CD即可；（2）根據(jù)正方形的判定解決問題即可；（3）過C作CH垂直EP的延長線于H，依據(jù)ED＝CP，EP＝DC，即可得出四邊形PCDE是平行四邊形，由勾股定理的逆命定理證得∠APB＝90°，求出∠EPC＝150°，再由30°的直角三角形性質(zhì)求出CH的長，最后根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可．【解答】（1）證明：∵△AEP，△DAB是等邊三角形，∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，∴∠EAD＝∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴DE＝BP，∵PC＝PB，∴DE＝PC，同理PE＝CD，∴四邊形PEDC是平行四邊形；（2）解：此時四邊形PEDC為正方形．理由：當PA＝PB時，∵PE＝PA，PC＝PB，∴PE＝PC，∵四邊形PEDC是平行四邊形，∴四邊形PEDC是菱形．當∠APB＝150°時，∵∠APE＝∠BPC＝60°，∴∠EPC＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，又∵四邊形PEDC是菱形，∴四邊形PEDC是正方形．（3）解；如圖所示，過C作CH垂直EP的延長線于H，∵AB＝3，PA＝，PB＝2，∴PA2+PB2＝AB2，∴∠APB＝90°又∵∠APE＝∠BPC＝60°，∴∠EPC＝150°，∴∠CPH＝30°，∵∠PHC＝90°，∴CH＝CP＝PB＝1，又PE＝PA＝，∴S平行四邊形PEDC＝CH×EP＝1×＝．【點評】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會作輔助線構(gòu)造平行四邊形的高線解決問題，屬于中考壓軸題．31．(2023春?應(yīng)城市期中）如圖，已知平行四邊形ABCD，點P為BC的中點，連接PA，PD，PA⊥PD．（1）求證：DP平分∠ADC；（2）過點C作CE⊥CD交PD于點E，∠PCE＝∠B，PE＝3，求?ABCD的周長；（3）在（2）的條件下，點F為AD上一點，PF＝8，G為AB上一點，∠FPG＝60°，求△AGF的周長．【分析】（1）取AD的中點H，連接PH，證明四邊形PCDH是菱形即可得出結(jié)論；（2）證明∠CPD＝∠PCE＝∠CDP＝30°，求得DE＝6，進一步求出CD＝9，BC＝18，從而可得出結(jié)論；（3）證明△ABP是等邊三角形，可得出∠FAP＝∠B＝60°，再證△PFA≌△PGB，可得出△PGF是等邊三角形，從而可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：取AD的中點H，連接PH．∵PA⊥PD，H為AD中點，∴PH＝DH＝AH．∵ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC．∵P為BC中點，H為AD中點，∴DH＝PC．又∵DH∥PC，∴四邊形PCDH是平行四邊形．又∵PH＝DH，∴四邊形PCDH是菱形．∴DP平分∠ADC；（2）解：∵四邊形PCDH是菱形，∴∠HDP＝∠CDP＝∠CPD＝∠HPD．∵ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD．∵PCDH是菱形，∴PH∥CD．∵AB∥PH，∴∠B＝∠HPC．∵∠PCE＝∠B，∴∠PCE＝∠CPD＝∠CDP．在△CPD中，∠CPD+∠CDP+∠PCE+∠DCE＝180°，∴∠CPD＝∠PCE＝∠CDP＝30°．∴CE＝PE＝3，DE＝6．在Rt△CDE中，CD＝＝9．∴BC＝2CD＝18∴?ABCD的周長為2（BC+CD）＝2（18+9）＝54．（3）解：由（2）知∠B＝∠HPC＝60°．又AB＝CD＝CP＝BP，∴△ABP是等邊三角形．∴∠BPA＝60°，BP＝AP．又∵∠FPG＝60°，∴∠FPA＝∠GPB．又∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠BPA＝60°．∴∠FAP＝∠B＝60°，∴△PFA≌△PGB（ASA）∴AF＝BG，F(xiàn)P＝PG．∴△PGF是等邊三角形．∴GF＝PF＝8．AF+AG＝AG+GB＝AB＝9．∴△AGF的周長為AG+AF+GF＝17．【點評】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．32．(2023春?撫遠市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點，連接DE，DF，EF，∠ADF的度數(shù)為53°．（1）求∠C的度數(shù)；（2）求四邊形ADEF的周長．【分析】（1）根據(jù)D，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點，得到DF∥BC，進而得出∠B＝∠ADF＝53°，再由三角形內(nèi)角和180°，即可得到∠C的度數(shù)．（2）根據(jù)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點，得到DE∥AC，，EF∥AB，，結(jié)合AB＝3，AC＝4，可求出DF，EF的長，進而得到四邊形ADEF的周長．【解答】解：（1）∵D，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點，∴DF∥BC，∵∠ADF＝53°，∴∠B＝∠ADF＝53°，∵∠A＝90°，∴∠C＝180°﹣90°﹣53°＝37°．（2）∵D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點，∴DE∥AC，，EF∥AB，，AF＝AC，AD＝AB，∵AB＝3，AC＝4，∴AF＝DE＝2，，∴四邊形ADEF的周長＝．【點評】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形中位線定理，四邊形周長等知識，掌握三角形中位線平行且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．33．(2023春?鶴城區(qū)校級期中）如圖，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，動點M從點D出發(fā)，按折線DCBAD方向以2cm/s的速度運動，動點N從點D出發(fā)，按折線DABCD方向以1cm/s的速度運動．（1）若動點M，N同時出發(fā)，t秒時，N走過tcm，M走過2tcm；（2）若動點M，N同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘兩點第一次相遇？（3）若點E在線段BC上，且BE＝3cm，若動點M，N同時出發(fā)，相遇時停止運動，經(jīng)過幾秒鐘，點A，E，M，N組成平行四邊形？【分析】（1）根據(jù)路程＝時間×速度的等量關(guān)系，可直接寫出N和M的路程（2）根據(jù)相遇問題的等量關(guān)系列出方程求解即可，M的路程+N的路程＝矩形的周長；（3）分點M在點E的左邊和右邊兩種情況，根據(jù)平行四邊形對邊相等，利用AN＝ME列出方程求解即可．【解答】解：（1）路程＝時間×速度，時間為t，N的速度為1cm/s，所以其路程為t，M的速度2cm/s，所以其路程為2t；故答案為：t，2t；（2）設(shè)t秒時兩點相遇，根據(jù)題意得t+2t＝2×（4+8）＝24，解得t＝8，即經(jīng)過8秒鐘兩點第一次相遇；（3）①如圖1，點M在BC上且在E點右側(cè)時，當AN＝ME時，四邊形AEMN為平行四邊形，得8﹣t＝9﹣2t，解得t＝1，此時點M在DC，所以舍去；②如圖2，點M在BC上且在E點左側(cè)時，當AN＝ME時，四邊形AEMN為平行四邊形，得8﹣t＝2t﹣9，解得，符合題意，所以經(jīng)過秒鐘，點A，E，M，N組成平行四邊形．【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)及平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．34．(2023春?鐵鋒區(qū)期中）如圖，直角坐標系中的網(wǎng)格由單位正方形構(gòu)成，△ABC中，A點坐標為（2，3），B點坐標為（﹣2，0），C點坐標為（0，﹣1）．（1）AC的長為2；（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）若以A、B、C及點D為頂點的四邊形ABCD為平行四邊形，則D點的坐標為（4，2）或（0，4）或（﹣4，﹣4）．【分析】（1）根據(jù)點A和點C的坐標，利用勾股定理可以求得AC的長；（2）先判斷△ABC的形狀，然后根據(jù)勾股定理求得AB、BC和AC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△ABC的形狀即可；（3）根據(jù)題意畫出點D所在的位置，然后寫出點D的坐標即可．【解答】解：（1）∵A點坐標為（2，3），C點坐標為（0，﹣1），∴AC的長為：＝2，故答案為：2；（2）△ABC是直角三角形，理由：∵A點坐標為（2，3），B點坐標為（﹣2，0），C點坐標為（0，﹣1），∴AB＝＝5，BC＝＝，AC＝2，∴AB2＝52＝25，BC2+AC2＝25，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC是直角三角形；（3）如右圖所示，以A、B、C及點D為頂點的四邊形ABCD為平行四邊形，則D點的坐標為（4，2）或（0，4）或（﹣4，﹣4），故答案為：（4，2）或（0，4）或（﹣4，﹣4），【點評】本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理、平行四邊形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．35．(2023春?黔東南州期中）如圖，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點E，F(xiàn)．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）連接CE，AF，求證：四邊形AECF是平行四邊形；【拓展延伸】（2）若AB＝25，AE＝15，AD＝39，求四邊形AECF的面積．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD，AB＝CD，再證AE∥CF，然后證△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理得BE＝20，DE＝36，再由全等三角形的性質(zhì)得BE＝DF＝20，則EF＝DE﹣DF＝16，然后由平行四邊形面積公式即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，AE∥CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴四邊形AECF為平行四邊形；（2）解：∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∴BE＝＝＝20，DE＝＝＝36，由（1）可知，四邊形AECF是平行四邊形，△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝20，∴EF＝DE﹣DF＝36﹣20＝16，∵AE⊥BD，∴S平行四邊形AECF＝AE?EF＝15×16＝240．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．36．(2023秋?安溪縣期中）在四邊形ABCD中，AB＝CD，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點．（1）如圖1，點P為對角線BD的中點，連接PE，PF，若∠PEF＝26°，則∠EPF＝128度；（2）如圖2，直線EF分別與BA，CD的延長線交于點M，N．求證：∠BMF＝∠CNF．【分析】（1）由三角形中位線定理得PE＝AB，PF＝CD，再證PE＝PF，則∠PFE＝∠PEF＝26°，然后由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；（2）連接BD，取BD的中點P，連接PE、PF，由三角形中位線定理得PE∥AB，PF∥CD，PE＝AB，PF＝CD，再由平行線的性質(zhì)得∠PEF＝∠BMF，∠PFE＝∠CNF，然后證PE＝PF，得∠PFE＝∠PEF，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：∵點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，點P為對角線BD的中點，∴PE為△ABD的中位線，PF為△BCD的中位線，∴PE＝AB，PF＝CD，∵AB＝CD，∴PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF＝26°，∴∠EPF＝180°﹣∠PFE﹣∠PEF＝180°﹣26°﹣26°＝128°，故答案為：128；（2）證明：連接BD，取BD的中點P，連接PE、PF，同（1）得：PE為△ABD的中位線，PF為△BCD的中位線，∴PE∥AB，PF∥CD，PE＝AB，PF＝CD，∴∠PEF＝∠BMF，∠PFE＝∠CNF，∵AB＝CD，∴PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF，∴∠BMF＝∠CNF．【點評】本題考查了三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．37．(2023秋?李滄區(qū)期中）如圖，在?ABCD中，AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點．（1）求證：BE＝DF；（2）連接DE，BF，已知①②（從以下兩個條件中任選一個作為已知，填寫序號），請判斷四邊形DEBF的形狀，并證明你的結(jié)論．條件①：AC＝2BD；條件②：AB＝BC．（注：如果選擇條件①條件②分別進行解容，按第一個解答計分）【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AB＝CD，OA＝OC，由平行線的性質(zhì)得∠BAE＝∠DCF，從而利用SAS證明△ABE≌△CDF；（2）若選擇①，由（1）可說明AF∥CE，則四邊形AECF是平行四邊形，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得AE＝BF，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)得AF＝BF，則AE＝AF，從而?AECF是菱形；若選擇②連接AC交BD于點O，同理可得四邊形AECF是平行四邊形，利用等腰三角形的性質(zhì)可得BO⊥AC，即EF⊥AC，從而證明結(jié)論．【解答】證明：（1）方法一：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，∴∠BAE＝∠DCF，∵E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點，∴AE＝CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF；方法二：連接DE，F(xiàn)B，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OD＝OB，OA＝OC，∵E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點，∴OE＝OA，OF＝OC，∴OE＝OF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴BE＝DF；（2）選擇條件①，連接DE、BF，∵OA＝OC，OE＝OA＝AC，OF＝OC＝AC，AC＝2BD，∴EF＝BD，又∵四邊形DEBF是平行四邊形，∴四邊形DEBF是矩形；選擇條件②，∵AB＝BC，四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形DEBF是菱形，∴AC⊥BD，∵四邊形DEBF是平行四邊形，∴四邊形DEBF是菱形，故答案為：①②．【點評】此題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)