2022-2023學(xué)年上海市毓秀學(xué)校九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試卷含詳解

毓秀學(xué)校2022學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)期中練習(xí)數(shù)學(xué)

一、選擇題：（本大題共6題，每小題4分，滿分24分）

1.某零件長40厘米，若該零件在設(shè)計(jì)圖上的長是2毫米，則這幅設(shè)計(jì)圖的比例尺是（）

A.1：2000B.1：200C.200：1D.2000：1

2.在Rt_ABC中,ZC=90°,如果NA=a,A6=3,那么AC等于()

33

A3sinaB.3cosaC.--D.

sinacosa

I,

3.關(guān)于二次函數(shù)y=-］（x+l）的圖像,下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.開口向下B.圖像不經(jīng)過第一象限

C.對(duì)稱軸右側(cè)的部分是下降的D.頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0,—1）

4.如果”=_2。（a、。均為非零向量）那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.H=2HB.。C.a+26=0D.ci與b方向相反

5.點(diǎn)P把線段分割成”和肥兩段,如果AP是P5種A8的比例中項(xiàng).那么下列式正確的個(gè)數(shù)有（）

①&?②絲=旦③&?④絲=旦

AP2PB2AB2AB2

A.1B.2C.3D.4

6.如圖，ABC是等邊三角形，被一平行于BC矩形所截（即：FG〃BC）,若AB被截成三等分，則圖中陰影部

分的面積是_ABC的面積的（）

14

A.-BC.一D.-

9-139

二、填空題：（本大題共12題，每小題4分，滿分48分）

x7x-2y

7.如果一二;,那么——-的值是一.

V2y

8.化簡(jiǎn)：-/Q+3（a-0）=.

9.在中，若AC=日BC=近,AB=3f則cosA=

10.已知b是。、c比例中項(xiàng)，且c=6cmf貝!jb=cm.

11.已知點(diǎn)G是△ABC的重心，AB=AC=5,BC=8,那么AG=.

12.中，ZB=25°,A。是8c邊上的高，且AQ2=B?8,則N5C4的度數(shù)為.

13.把拋物線y=3x2向下平移3個(gè)單位得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

14.如圖，在平地上種植樹木時(shí)，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為4米.如果在山坡上種樹，也要求株距為

15.若點(diǎn)P（—1,a）利。（1,都在拋物線y=-無2+c,則線段尸。的長為.

16.如圖，在RtZXABC中，NC=90°,是三角形的角平分線，如果A8=6石，AC=4不，那么點(diǎn)。到

直線AB的距離等于.

3

17.如圖，在R/ZV1BC中，/C=90。，AM是8c邊上的中線，sinZCAA/=-,貝Utan/B=

18.如圖，在直角梯形A8C。中，DC//AB,NDW=90。，AC1BC,AC=BC,/ABC的平分線分別

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

、，包tan45°

19.計(jì)算：2|1-sin601+--------------.

cot30°-2cos45°

20.如圖，在矩形ABCD中，DEqAC于點(diǎn)E，NEDC：ZEDA=1：3,且AC=10.

AD

--------

(1)求OE的長；

(2)如果C3=a，CD=b，試用a、8表示向量。E.

21.如圖，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,區(qū)4=BC=5.點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，連接C。，過點(diǎn)B作

BGVCD,分別交CO,C4于點(diǎn)E，F(xiàn)，與過點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G,連接。E.求:

⑵自皿值.

'△FCD

22.如圖，某幢大樓頂部有一塊廣告牌CO,甲、乙兩人分別在相距8米A,B兩處測(cè)得點(diǎn)。和點(diǎn)C的仰角分

別為45°和60。，且A,B,E三點(diǎn)在一條直線上，若BE=15米.求這塊廣告牌的高度.(取百“1.73,計(jì)算

結(jié)果保留一位小數(shù))

C

D

□

□

□

□

□

□

□

□

23.已知：在梯形A8CZ）中，AD//BC,ABLBC,ZAEB=AADC.

D

(1)求證：△ADEsADBC；

(2)聯(lián)結(jié)EC,若C￡>2=AZ>8C,求證：NDCE=NADB.

7

24.如圖，對(duì)稱軸為直線x=5的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(6,0)和3(0,4).

(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)E在第四象限拋物線的圖像上，當(dāng)平行四邊形OES的面積為24時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)在直線A8是否存在一點(diǎn)尸，使得.AQP與..AOB相似，如存在求出點(diǎn)P坐標(biāo)，如果不存在請(qǐng)說明理由.

25.如圖，在平行四邊形A8CD中，AC,8D相交于點(diǎn)。，A3=4，8C=8,Z4BC=60°,尸是線段4)

上的動(dòng)點(diǎn)，84的延長線交。尸的延長線于點(diǎn)E.

備用圖備用圖

(1)當(dāng)AF=1時(shí)，求AE的長；

(2)當(dāng)所垂直時(shí)，求"的長;

(3)當(dāng)OE=OB時(shí)，求OF的長.

毓秀學(xué)校2022學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)期中練習(xí)數(shù)學(xué)

一、選擇題：（本大題共6題，每小題4分，滿分24分）

1.某零件長40厘米，若該零件在設(shè)計(jì)圖上的長是2毫米，則這幅設(shè)計(jì)圖的比例尺是（）

A.1：2000B.1：200C.200：1D.2000：1

【答案】B

圖上距離

【分析】圖上距離和實(shí)際距離已知，依據(jù)“比例尺=“即可求得這幅設(shè)計(jì)圖的比例尺.

實(shí)際距離

【詳解】因?yàn)?毫米=0.2厘米,

則0.2厘米:40厘米=1：200；

所以這幅設(shè)計(jì)圖的比例尺是1：200.

故選B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查比例尺的計(jì)算方法，解答時(shí)要注意單位的換算.

2.在RtABC中，NC=90°,如果NA=a,A8=3,那么AC等于（）

33

A.3sinaB.3coscC.-----D.-----

sinacosa

【答案】B

【分析】由題意知，AB是斜邊，AC是NA的鄰邊，根據(jù)余弦函數(shù)的定義求解即可.

AC

［詳解】cosa=——，

AB

AC=3cosa.

故選B.

B

【點(diǎn)睛】題考查了銳角三角函數(shù)的概念，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.在R3ABC中,

NA的對(duì)邊/A的鄰邊NA的對(duì)邊

sinAcosAtanA

斜邊斜邊NA的鄰邊

1

3.關(guān)于二次函數(shù)y=-］（x+l）7一的圖像，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.開口向下B.圖像不經(jīng)過第一象限

C.對(duì)稱軸右側(cè)的部分是下降的D.頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0,-1）

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)由。=-工得到圖象開口向下，根據(jù)第一象限的特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可，由拋物線的性質(zhì)可

2

判斷對(duì)稱軸右側(cè)圖象的變化情況，根據(jù)頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，由此即可得答案.

I91

【詳解】解：A、?；二次函數(shù)y=-]（x+l）-中a=-]<0,

...拋物線開口向下，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

B.V（x+l）2>0,

I7

--（x+1）<0,即y?0,

?.?第一■象限的橫縱坐標(biāo)都為正，

該拋物線不經(jīng)過第一象限，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、?.?拋物線開口向下，

在對(duì)稱軸右側(cè)的部分是下降的，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

D、?.?拋物線解析式為y=-g（x+l『，

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，牢記其y=的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸及開口方向是解答本題的關(guān)

鍵.當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開口向上，當(dāng)。<0時(shí)，拋物線（。。0）的開口向下.

4.如果。=一2。（a、方均為非零向量）那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.同=2忖B.a//bC.a+2b=QD.a與b方向相反

【答案】C

【分析】根據(jù)平行向量的定義與性質(zhì)，逐一對(duì)選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解:A>*.<4/=—2b，

.?.同=2忖，故該結(jié)論正確，不符合題意；

B>ya=-2h（。、〃均為非零向量），

與〃是方向相反的向量，即故該結(jié)論正確，不符合題意；

C、?：a=—2b，

：.a+2b=0^故該結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；

D,a=-2b（。、b均為非零向量），

與b是方向相反的向量，故該結(jié)論正確，不符合題意.

故選：c

【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的定義與性質(zhì)，熟練掌握平面向量的定義與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.平面向量的定

義：平面內(nèi)既有大小，又有方向的量；平行向量，也叫共線向量，是指方向相同或相反的非零向量；零向量和任

何向量平行.

5.點(diǎn)尸把線段A8分割成AP和兩段，如果AP是依種A8的比例中項(xiàng).那么下列式正確的個(gè)數(shù)有（）

①空=墾1②&旦③旦?④”=旦

AP2PB2AB2AB2

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】設(shè)AB=1,AP=x,則尸B=由比例中項(xiàng)得出AP2=P8.A6,代入解一元二次方程即可解答.

【詳解】解：設(shè)A8=l,AP=x,則P8=l—x,

:線段針是P3種AB的比例中項(xiàng),

：?AP?=PB.AB，即％2=i一%,

?,+x—1=0>

解得一=與’/=亭（舍去）,

,PB=

3-舊--1

._V5-1APV5+13-V5V5-1

---=-----廣二------------，PB3-V5石-1,AP

"Ap-ys-l-2PB3-V52—2-----W-----------------

AB122AB1

22

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查比例中項(xiàng)、線段的比、解一元二次方程，熟知比例中項(xiàng)的定義是解答的關(guān)鍵.

6.如圖，.ABC是等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截（即：FG〃BC）,若AB被截成三等分，則圖中陰影部

分的面積是一ABC的面積的（）

]_4

C.D.

39

【答案】C

【分析】AB被截成三等分，可得AB=3AE,AF=2AE,由EH〃FG〃BC,可得△AEHs^AFGs^ABC,則

SAAEH：SAAFG：SAABC=AE2：AF2：AB2,S陰影=S/\AFG-S^AEHS^ABC.

【詳解】???AB被截成三等分，

???AB=3AE,AF=2AE,

???EH〃FG〃BC,

.,.△AEH^AAFG^AABC,

ASAAEH：SAAFG：SAABC=AE2：AF2：AB2=AE2：(2AE)2：(3AE)2=1:4:9,

,1

??SAAEH=-SAABC,SAAFG=4SAAEH>

9

=11

SmSAAFG-SAAEH=3SAAEH=3X—SAABC=~SAABC?

故選擇：C.

【點(diǎn)睛】本題考查陰影部分面積問題，關(guān)鍵是利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，找到陰影面積與

△AEH的關(guān)系，由aAEH與4ABC的關(guān)系來轉(zhuǎn)化解決問題.

二、填空題：(本大題共12題，每小題4分，滿分48分)

x7x-2y

7.如果一二彳，那么——二的值是

V2y

3

【答案】-

2

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，設(shè)x=7m貝ijy=2a,代入原式即可求解.

X7

【詳解】解：???一=；；,

y2

，設(shè)x=7a,貝(]y=2a,

3

故答案為：

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)比例式用同一個(gè)未知數(shù)得出％，y的值進(jìn)而求解是解題關(guān)鍵.

8.化簡(jiǎn)：-/。+3(4-0)=.

3

【答案】-a-3b

2

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：——a+3(a-b

21

=--d+3a-3b

2

3°,

=-ci-3b.

2

3

故答案為：-a-3b.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算，正確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

9.在中，若AC=6，BC=V7，A8=3,則COSA=.

【答案】叵

3

【分析】先根據(jù)△ABC的三邊關(guān)系判斷出其形狀，再利用銳角三角函數(shù)的定義解答即可.

【詳解】解：在AABC中，若AC=垃'BC=不，AB=3,

；.（夜丫+（V7『=32,B|JAC2+BC2=AB2，

.二△ABC是直角三角形，且/C=90。，

._AC_V2

??cosA4=---=---?

AB3

【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的判定定理及銳角三角函數(shù)的定義.

10.已知6是“、c的比例中項(xiàng)，且。=3an,c—6cm,則6=cm.

【答案】372

【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可求解.

【詳解】解：Tb是a、c的比例中項(xiàng)，

/.b2=ac,即b2=3x6,

解得b=±3&（線段是正數(shù)，負(fù)值舍去），

；.a和c的比例中項(xiàng)b=3J^cm.

故答案為：372.

【點(diǎn)睛】此題考查了比例線段，理解比例中項(xiàng)的概念是本題的關(guān)鍵，注意線段不能是負(fù)數(shù).如果b是a、c的比例

中項(xiàng)，那么b2=ac.

11.已知點(diǎn)G是△ABC的重心，AB=AC=5,BC=8,那么AG=.

【答案】2.

【詳解】試卷分析：根據(jù)題意畫出圖形，連接AG并延長交BC于點(diǎn)D,由等腰三角形的性質(zhì)可得出ADLBC,再

根據(jù)勾股定理求出AD的長，由三角形重心的性質(zhì)即可得出AG的長.

如圖所示：連接AG并延長交BC于點(diǎn)D,

是△ABC的重心，AB=AC=5,BC=8,

；.ADJ_BC,BD=yBC=1x8=4,

'AD==752-42=3,

22

AG=—AD=—x3=2.

33

故答案為2.

考點(diǎn)：三角形的重心.

12.ABC中，NB=25。,4。是BC邊上的高，且則NBC4的度數(shù)為.

【答案】65?；?15°

【分析】分兩種情況考慮：當(dāng)/8CA為銳角和鈍角，將已知的積的恒等式化為比例式，再根據(jù)夾角為直角相等，

利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角的相等的兩三角形相似可得出4ADB^ACDA,由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，利用直

角三角形的兩銳角互余及外角性質(zhì)分別求出兩種情況下/BC4的度數(shù)即可.

【詳解】當(dāng)/BC4為銳角時(shí)，如圖1所示，

■:AD2=BDDC,

,ADBD

??--=---,

DCAD

又AO_LBC,

???ZADB=ZCDA=90%

：.AADBsXCDA,

XVZB=25°,

：.ZCAD=ZB=25°,ZBCA=ZBADf

在心△AO8中，NAOB=90。，ZB=25°,

：.ZBAD=65°,

當(dāng)NBC4為鈍角時(shí)，如圖2所示，

同理可得△AOBS/\CD4,又N8=25。,

可得NCAO=N8=25。，

則ZBCA=ZCDA+ZCAD=115°,

綜上，ZBCA的度數(shù)為65。或115。.

故答案為：65?；?15。.

圖2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠利用分類討論的思想進(jìn)行求解.

13.把拋物線y=3/向下平移3個(gè)單位得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

【答案】（0，-3）

【分析】只需看頂點(diǎn)坐標(biāo)是如何平移得到的即可.

【詳解】解：原拋物線頂點(diǎn)為（0,0）,向下平移3個(gè)單位后，新頂點(diǎn)為（0,-3）.

故所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-3）,

故答案為：（0,-3）.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是得到原拋物線的頂點(diǎn)，討論兩個(gè)二次函數(shù)的圖象的平

移問題.

14.如圖，在平地上種植樹木時(shí)，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為4米.如果在山坡上種樹，也要求株距為

4米，則相鄰兩樹間的坡面距離5米，則此山坡的坡度為_____.

空善善留

3

【答案9

【分析】根據(jù)勾股定理期初AC的長,再由坡度的概念得到答案.

【詳解】解：如圖，

胃用鏟

BC

根據(jù)題意得：A3=5米，BC=4米,

AC=ylAB2-BC2=3米，

AT33

即此山坡的坡度為己.

BC44

3

故答案為：一.

4

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一一坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是

解題的關(guān)鍵.

15.若點(diǎn)P（—1,a）利Q（l,人）都在拋物線y=—Y+c,則線段的長為.

【答案】2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：?.?拋物線y=-/+c的對(duì)稱軸是y軸，且點(diǎn)P（—l,a）利Q（l,b）都在拋物線y=-f+c,

:.P、。關(guān)于），軸對(duì)稱，到），軸距離相等，

。。=1一（—1）=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵.

16.如圖，在Rt/VIBC中，ZC=90°,是三角形的角平分線，如果AB=66，AC=475.那么點(diǎn)。到

直線的距離等于.

【答案】4

【分析】作。于E,如圖，利用勾股定理計(jì)算出BC=10,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得=然后利用

面積法得到」x4石xDC+'xDEx6石=,x4石x10,從而可求出。石.

222

【詳解】作。于E，如圖，

在RtZ\ABC中，BC=二10，

,/AO是三角形的角平分線,

***DC=DE，

S4ACD+SeABD~S^ABC'

\-x4>/5xDC+-xDEx6y[5=-x4y/5xW,

222

，DE=4,

即點(diǎn)D到直線AB的距離等于4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

3

17.如圖，在放△ABC中，/C=90。，AM是BC邊上的中線，sin/C4M='，貝Utan/B=

【答案】|2

【分析】根據(jù)NC4M的正弦值，用未知數(shù)表示出MC、AM的長，進(jìn)而可表示出AC、BC的長.在放ZvlBC中，

求N8的正切值.

【詳解】R/ZWWC中，sin/C4/="^=』，

AM5

設(shè)MC=3x,AM=5x,

則AC=yjAM2-MC2=4x-

是BC的中點(diǎn)，

：.BC=2MC=6x.

AC4x2

在中，tan/B==—=—.

BC6x3

故答案為;2.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握好邊與邊、邊與角之間的關(guān)系.

18.如圖，在直角梯形A3CQ中，DC//AB,ZDAB=9Q°,ACJ.BC,AC^BC,/ABC的平分線分別

交A。，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則空的值是.

EF

【答案】V2-1

ppGA

【分析】過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)G,由EA//FG,得出——=——，又BE是NABC平分線，結(jié)合

BFBG

AC=BC,ZACB=90°,得到=即可求解本題.

【詳解】解：作FG1AB于點(diǎn)G,

：ZDAB^9Q0,

：.EA//FG,

.EFGA

??一,

BFBG

'：AC1BC,

：.ZACB=90°,

又8E是/ABC的平分線，

...FG=FC,

在RtABFG和RtABFC中，

BF=BF

FG=FC'

...RtABFG^RtABFC（HL）,

:.CB=GB,

VAC^BC,ZACB^90°,

；?AB=近BC，

.EFGAOBC-BC

故答案為：＞/2—1"

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等及等腰直角三角形的斜邊長

是直角邊的0倍，熟練掌握這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

tan45°

19.計(jì)算:2|1-sin60°|+

cot30°-2cos45°

【答案】2+72

【分析】先代入特殊角三角函數(shù)值，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算，可得答案.

tan450

【詳解】解：2|1-sin60°|+

cot30°—2cos45°

=2（g）+e二下

一2

=2-V3+—j=^~~/=

y/3-42

=2-V3+V3+V2

=2+正.

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算；熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

20.如圖，在矩形ABCD中，￡）￡：14。于點(diǎn)后，ZEDC：N￡ZX=1：3,且AC=10.

（1）求OE的長；

（2）如果CB=a，CD=b，試用a、方表示向量OE.

【答案】（1）DE的長為述

2

（2）OE=--d-—b

44

【分析】（1）根據(jù)NEDC：ZEZM=1：3,可得NEZX:=22.5°,NEZM=67.5°,再由AC=10,求得OE；

（2）根據(jù)向量的表示法進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

：四邊形ABCD矩形，

，ZADC=90°,AC=BD=10,OA=OC=-AC=5,OB=OD=-BD=5,

22

OC=OD,

:.AODC^AOCD,

?：4EDC：ZEDA=\：3,NEDC+NEDA=90°,

ZEDC=22.5°,乙EDA=67.5°,

,:DEIAC,

：.ZDEC=90°,

/.ADCE=90°-AEDC=67.5°,

Z.ODC=ZOCD=67.5°,

ZODC+ZOCD+ZDOC=180°,

NCW=45。，

.**OE=DE，

■:OE2+DE1=OD2，

；.（2?！辏?=0。2=25,

.八二572

??DE=----;

2

【小問2詳解】

5/?

?：OE=DE,且?！?*,

2

?/572

??OE=----，

2

???AC=10,

OE=^AC，

4

,**CB=a，CD=b，

??BC=—a‘AB=—b,

???AC=AB+BC=-a-b，

；?OE^—AC

4

=W（-"b）

V2V2.

=----a-----b-

44

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、矩形的性質(zhì)和向量的表示，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵.

21.如圖，在中，NA5C=90。，84=BC=5.點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，連接C。，過點(diǎn)B作

BGVCD,分別交CO,C4于點(diǎn)E，F(xiàn)，與過點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G,連接。E.求:

（2）臺(tái)工的值.

\&FCD

【答案】（1）BE的長為逐

（2）值為g

3△尸co

【分析】（1）利用直角三角形兩銳角互余的關(guān)系可得NABG=NOCB,利用ASA可證明CDB絲BAG,可得

AG=BD=-,通過勾股定理即可計(jì)算8G=±?，證明△8￡>ES48G4即可求解計(jì)算；

22

RD1

（2）根據(jù)（1）得——=—,由AG_LAB,&5_148可得46〃3。，即可證明AAGES^C防，根據(jù)相似三角

BC2

AC

形的性質(zhì)即可求出正的值，通過圖象可得工PCZ）和ZmAF得面積可以為同高，進(jìn)而即可求解計(jì)算.

【小問1詳解】

?；D為AB中點(diǎn),AB=BC=5,

AD=BD=3,

2

BGA-CD,

/BED=90°,

ZABC=90°,

：.ZCDB+NDCB=90°,NCDB+ZABG=90°,

ZABG=NDCB,

?：GALAB,

ZGAB=ZABC=90°,

在△CD8和△BAG中，

ZABG=ZDCB

-AB=BC,

ZGAB^ZABC

：.CD6%84G（ASA）,

:.AG=BD=-,

2

在RtZVLBG中，AG2+AB2=BG2,

3冏，￥

NDBE=ZDBE,NGAB=NDEB=90°,

:.LBDEsABGA,

.BEBD

..=,

BABG

2

【小問2詳解】

由（1）得---=—>AG=BD,

BC2

.AGBD1

"~BC~~BC~2'

VAGLAB,CB±AB,

：.AG//BC,

:.AGFs.CBF,

,AFAG1

??==,

FCBC2

由圖可得白/CD和尸以尸C和■為底時(shí)，它們的高為同一個(gè),

S&DAF=2AF'h，S△FCD=2FC'h,

_AFAG1

?FC-BC_2

1y，

s—AF.h

S4FCD1FC./?

2

AF

~FC

-2-

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)、勾股定理和全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是

解決本題的關(guān)鍵.

22.如圖，某幢大樓頂部有一塊廣告牌CO,甲、乙兩人分別在相距8米的A,8兩處測(cè)得點(diǎn)。和點(diǎn)C的仰角分

別為45。和60。，且A,B,E三點(diǎn)在一條直線上，若3￡=15米.求這塊廣告牌的高度.（取6。1.73,計(jì)算

結(jié)果保留一位小數(shù)）

C

A卡

f"7....E

【答案】3.0米

【分析】根據(jù)題意得出AE的長度，根據(jù)七的三角函數(shù)求出。E的長度，然后根據(jù)RtACBE的三角函數(shù)

求出CE的長度，然后根據(jù)CD=CE—DE的長度.

【詳解】解：???AB=8,跳;=15,

AE=23,

在Rt^ADE中，ND4E=45°,

ZDAE=ZADE=45°,

，DE=AE^23,

在中，NCBE=60°,

CE=SE-tan60°=15^.

，CO=CE-OE=156-23a3.0米，

即這塊廣告牌的高度約為3.0米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

23.己知：在梯形488中，AD//BC,ABLBC,ZAEB=AADC.

(1)求證：AADEs/\DBC；

(2)聯(lián)結(jié)EC,若CD?=ADBC,求證：NDCE=NADB.

【答案】（1）見解析證明；（2）見解析證明.

【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出NAOE=/Q8C,NA￡>C+NC=180。，再由已知條件和鄰補(bǔ)角關(guān)系得出

ZAED-ZC,即可得出4ADEsADBC；

(2)由⑴得：4ADES/\DBC,由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出OB?DE=ADBC,再由已知條件得出

CDDB

由公共角相等得出△得出NDCE=/DBC,即可得出結(jié)論.

~DE~^D'CDEsaSDC,

【詳解】解:rAD//BC,

：.ZADE=ZDBC,ZADC+ZC=180°,

NAEB=ZADC,ZAEB+NAED=180°,

NAED=NC,

，AADE^ADBC；

(2)連接EC,如圖所示：由(1)得：NADEsXDBC,

.ADDE

??二,

DBBC

:.DB*DE=AD,BC,

"：CD?=AD?BC,

：.CD2^DB>DE,

.CDDB

??一,

DECD

又,：NCDE=NBDC,

：./\CDE^f\BDC,

：.ZDCE=ZDBC,

又,：NADB=/DBC,

7

-的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(6,0)和3(0,4).

(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)點(diǎn)￡；在第四象限拋物線的圖像上，當(dāng)平行四邊形OE4尸的面積為24時(shí)，求點(diǎn)￡的坐標(biāo);

(3)在直線A3是否存在一點(diǎn)P，使得,AOP與乙408相似，如存在求出點(diǎn)尸坐標(biāo)，如果不存在請(qǐng)說明理由.

214<725

【答案】(1)拋物線解析式為y=gx2-}_x+4,頂點(diǎn)坐標(biāo)為［耳,一空

(2)(3T)或(4T)

(3)在直線A8存在一點(diǎn)P，，普］

【分析】(1)可設(shè)拋物線解析式為y=a(無一+k，將A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出a,k的值即可，進(jìn)而可寫出頂

點(diǎn)坐標(biāo)；

<2,14、

(2)可設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為，”,耳，”—一1m+4人由「OE4尸的面積為24,可知△Q4E的面積為12,列方程求出，"

即可得E點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)由于AOB是直角三角形，要使&AOP與1408相似，則AQP也為直角三角形，因此直線OP與直線A6

垂直，可先求出直線AB的解析式，再寫出直線OP的解析式，然后聯(lián)立兩條直線的解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)即為尸點(diǎn)

的坐標(biāo).

【小問1詳解】

解：設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=a(x—2)+k，

把A(6,0)和8(0,4)代入曠=4卜-」+k，

\2y

——a+k=0

4

49

工+%=4

4

2

a=—

.?.拋物線解析式為y=|(x—-y-

214

即y=-x2---x+4,

*33

(725、

頂點(diǎn)坐標(biāo)為|---I；

【小問2詳解】

(214

解：設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為,〃機(jī)2-}■機(jī)+4

丁SOEAF-2SOAE=24,

??SOAE=12,

即：。人|詞=12,

1K221471s

—x6--m~--/M+4=12,

233

?.?點(diǎn)E在第四象限，

出2214”.

.,.得一/7T---m+4--4,

33

化簡(jiǎn)得病-7/n+12=0，

解得叫=3,嗎=4,

.??E點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,T）或（4,—4）；

【小問3詳解】

解：在直線A3存在一點(diǎn)P，理由如下：

；.AOP與MB相似，且是直角三角形,

???AOP也是直角三角形，

二OP1AB,

設(shè)