第17講 對(duì)數(shù)（學(xué)生版）-高一數(shù)學(xué)同步講義

第03講對(duì)數(shù)

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.理解對(duì)數(shù)的概念、掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì).

掌握指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，能進(jìn)行簡(jiǎn)單

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握對(duì)數(shù)的概念及對(duì)數(shù)條件，

的對(duì)數(shù)運(yùn)算.

熟練掌握指對(duì)數(shù)形式的互化，準(zhǔn)確利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則

2.理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式，能熟

練運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.進(jìn)行對(duì)數(shù)式子的化簡(jiǎn)與運(yùn)算，會(huì)解決與對(duì)數(shù)相關(guān)的綜合

問(wèn)題.

3.能利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行解方程及與

指、器函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題的解決.

ST知臉井

叁'知識(shí)點(diǎn)01對(duì)數(shù)

1.對(duì)數(shù)的概念

（1）對(duì)數(shù)：一般地，如果優(yōu)=N（a>0,且。工1）,那么數(shù)x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log“N,

其中。叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

（2）常用對(duì)數(shù)：通常我們將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把loggN記為IgN.

（3）自然對(duì)數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中常使用以無(wú)理數(shù)e=2.71828……為底數(shù)的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為自然

對(duì)數(shù)，并把logeN記為InN.

2.對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系

當(dāng)”>0,且時(shí)，a''=N=b=log?N.即

工N*。些》To&N

ttN>0

3.對(duì)數(shù)的性質(zhì)

根據(jù)對(duì)數(shù)的概念，知對(duì)數(shù)log,,N(a>0,且aH1)具有以下性質(zhì)：

(1)負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)，即N>()；

(2)I的對(duì)數(shù)等于0,即bg"=0；

(3)底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1,即log/=l.

【微點(diǎn)撥】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的思路

(1)指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式：將指數(shù)式的基作為真數(shù)，指數(shù)作為對(duì)數(shù)，底數(shù)不變，寫(xiě)出對(duì)數(shù)式.

(2)對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：將對(duì)數(shù)式的真數(shù)作為基，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫(xiě)出指數(shù)式.

4

史'知識(shí)點(diǎn)02對(duì)數(shù)的運(yùn)算

1.基本性質(zhì)

若a〉0,且aHl,N>0,則

(1)a'0s小=N；

h

(2)logoa=b.

2.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果a>0,且aHl,M>0,N〉0,那么:

(1)loga(M?N)=logaM+log.N；

M

<2)>og?—=log?M-log?7V；

n

(3)]og,aM=n\ogaM(T?GR).

3.對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則

如果。>0,且存1,M>0,N>0,那么：

①10ga(MN)=lOgaM+104W；

M

②lo&W=lo&M—lo&N；

③logJVT=(〃￡R).

三、換底公式及公式的推廣

1.對(duì)數(shù)的換底公式

Io。N

log%N=------（Z?>0,且〃Hl;c>0,且cH1;N>0）.

log,b

【注】速記口訣：換底公式真神奇，換成新底可任意，原底加底變分母，真數(shù)加底變分子.

2.公式的推廣

(1)log,/?=—!—(其中。>0且/?>o且；

log/,a

(2)log,,hn=log*(其中a>0且a。1；b>0)；

IT!

m

(3)logdb=—\og(lb(其中〃>0且awl；。>0)；

an

(4)logjZ?=-lognb(其中且awl；fe>0)；

(5)logah-log/?c-logt.d=logrtd(其中a,b,c?均大于0且不等于1,J>0).

【微點(diǎn)撥】①換底公式常利用常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)表示

②推導(dǎo)結(jié)論logv“M。=m1嗚M.

a

已知log3〃=3,則a

【即學(xué)即練1】的值為（)

A.1B.6C.9D.27

【即學(xué)即練2】已知4"=2，lgx=a:,則才=（)

A.12B.710C.10D.1

【即學(xué)即練3】對(duì)于a>0,且時(shí)1,下列說(shuō)法中，正確的是（）

①若M=N,則logaM=log“M

②若log〃M=logaN,則M=N；

③若logaMMogJV2,則M=N；

④若M=M則1oga“=log”M.

A.①③B.②④

C.②D.①②③④

logIx,x>3

【即學(xué)即練4】已知函數(shù)/a）={3,則〃/（8i））=（）

2\x<3

1

A.16B.-log4C.D.log4

3163

【即學(xué)即練5】已知方程8x+4=0的兩根為b,則log8〃+loga=（）

A.!B.1C.2D.-

23

【即學(xué)即練61若4"=25唯10,則1+（）

ab

A.1B.2C.3D.4

【即學(xué)即練7】（多選）下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）

A.零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)

B.任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式

C.以10為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)

D.以e為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)

【即學(xué)即練8】下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是（）

c」1-11

A.10。=1與31=0B.273=三與log27-=—~

乙，333

C?log39=2與琥=3D.Iog55=l與51=5

【即學(xué)即練9】有以下四個(gè)結(jié)論，其中正確的有（）

A.1g(1g10)=0B.lg(Ine)=0

C.若e=lnx,則x=°2D.In(lg1)=0

【叩學(xué)即練10］下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）

A21ogj10+logj0.25=2

55

8

B.log4271og2581og95=-

C.lg2+lg50=10

D-1。&2+5(2-揚(yáng)-(1唯

u能力拓展

考法01

對(duì)數(shù)的概念

解決使對(duì)數(shù)式有意義的參數(shù)問(wèn)題，只要注意滿(mǎn)足底數(shù)和真數(shù)的條件，然后解不等式（組）即可.對(duì)數(shù)

的概念是對(duì)數(shù)式和指數(shù)式互化的依據(jù)，在互化過(guò)程中應(yīng)注意對(duì)數(shù)式和指數(shù)式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

【典例1】在人=1。&3啟）（3-2〃）中，實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【即學(xué)即練11】在對(duì)數(shù)式log（x-D（3-x）中，實(shí)數(shù)x的取值范圍應(yīng)該是（）

A.\<x<3B.且沖2

C.x>3D.14<3且沖：2

考法02

對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算和化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)，所以要熟記對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)恒等式，化簡(jiǎn)的原則

是：

（1）盡量將真數(shù)化為“底數(shù)”一致的形式；

（2）將同底的多個(gè)對(duì)數(shù)的和（差）合成積（商）的對(duì)數(shù)；

（3）將積（商）的對(duì)數(shù)分成若干個(gè)對(duì)數(shù)的和（差）.運(yùn)算時(shí)要靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)的相關(guān)公式求解，

如log"a=l（fl>0,且a豐1）,log?h-log,,a=1等.

【典例2】I.化簡(jiǎn)下列各式：

（1）（lg；-lg25）+10（）F

（2）log225-log,4-log,9

（3）&+愴0^

7

【即學(xué)即練12】計(jì)算：（1）log535-21og5-+log57-log51.8；

（2）log,+log212-log,42-1.

【即學(xué)即練13】計(jì)算：⑴log夜+6（6—亞）一2喻:（2）（Ig5）2+Ig2xlg5+Ig2.

【即學(xué)即練14】計(jì)算：—k-g-kg8

X10g'6T4~'~^____.

考法03

換底公式的應(yīng)用

換底公式即將底數(shù)不同的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對(duì)數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行化簡(jiǎn)、計(jì)算或證明.換底公式應(yīng)用時(shí)究竟

換成什么為底，由已知條件來(lái)確定，一般換成以10為底的常用對(duì)數(shù)或以e為底的自然對(duì)數(shù).

【典例3】已知（3）=；,log74=8,試用。,人表示k）g4948.

【即學(xué)即練15】已知log95=a,3"=7,試用學(xué)6表示唾2135

考法04

對(duì)數(shù)方程的求解及對(duì)數(shù)不等式的求解

解對(duì)數(shù)方程時(shí)，（1）等號(hào)兩邊為底數(shù)相同的對(duì)數(shù)式，則真數(shù)相等；（2）化簡(jiǎn)后得到關(guān)于簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)式

的一元二次方程，再由對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化求解.

【典例4】求下列各式中的x的值：

（1）log,（x2-2）=0；

（2）心①T）（3V+2XT）=1.

【即學(xué)即練16］方程1。82（9口—5）=1082（3a—2）+2的解為_(kāi)_____.

3

【即學(xué)即練17］若log京1（〃>0且存1）,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【即學(xué)即練18】已知對(duì)噫*）］=0,則x的值為一.

考法05

易錯(cuò)——忽略真數(shù)大于0

X

【典例5】己知lgx+lgy=21g（2x-3y）,求logs一的值.

2y

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

4

1.若2*=6，Iog4§=y，貝I]x+2y的值是()

A.3B.|C.log,3D.-3

2.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=2',則〃1/827)的值為()

A.—B.-C.—3D.3

33

3.方程4'-2”|-3=0的解是（）.

A.log?2B.1C.log?3D.2

4.已知b>0/og5b=a,lgb=c,5"=10,則下列等式一定成立的是）

A.d=acB.a=cdC.c-abD.d.=a+c

5.已知函數(shù)?。?怦:則/（/⑶的值為（，

A.gB.-C.3D.5

22

6.在N=log（5—〃）S—2）中，實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.b<2或b>5B.2<b<5

C.4</?<5D.2Vx5且厚4

2

7.3*4—27^一】g0.01+Ine?等于（）

A.14B.0

C.ID.6

8.對(duì)于a>0且awl,下列說(shuō)法正確的是()

①若M=N,則bg“M=log”N；

②若log“M=log“N,則知=2；

③若log.M'log.V,則A/=N；

④若M=N,貝IJlogaM?=log“N2.

A.①②B.②③④

C.②D.②③

9.(,+g]g2+lg6的值是()

57-97

A.-B.一C.一D.一

6223

10.已知ln2=a,ln3=b,則ln（36e’）可以用。和匕表示為（)

A.ci+2Z?—3B.4a+2b+2

C.2a+2Z?+3D.2Q+3b+3

U」og@D（3-2&）等于（）

A.-2B.-4C.2D.4

12.正實(shí)數(shù)。，b,c均不等于1,若log；：+log；,=5,log#k）g/=3,則log；的值為（）

A.1B—5-5

C.-D."

5543

題組B能力提升練

1^alog34=2,則4「=()

1B.11

A.—c.D.

16986

21

2.設(shè)x、yeR,a>l,b>\,若〃，="=2,a1+b=4>則一+一的最大值為().

xy

A.1B.2C.3D.4

3.已知函f(x)=log2(Jl+4x2+2x)+3,且/(，")=一5,則/(-%)=()

A.-1B.-5C.11D.13

則a+〃+c+L+,+1=()

4.已知實(shí)數(shù)。，b,c滿(mǎn)足。4"==2,0.2"=5,OS=0.4,

abc

A.2B.1C.-2D.-1

x

5.已知21g(x—2y)=lgx+lgy,則一的值為（）

y

A.0B.1C.0或1D.-1或1

6.已知函數(shù)/(x)=a?+$+4(a,北R),/0g(log21O))=5,則f(lg(lg2))=()

A.3B.一1C.—5D.4

7.（多選題）若10。=4,10^=25,則（）

A.a+b=2B.h-a=\C.ah>Slg22D.b-a<lg6

8.（多選題）設(shè)。=log,6,Z>=log31,則下列結(jié)論正確的有（）

6

ell,

A.a+b<0B.——=1

ab

-111

C.ab<0D./+屏>5

9.（多選題）己知"，b均為正實(shí)數(shù)，若bg“6+log/=:，ah=b\則?=（

）

2b

A"B.變C.V2D.2

22

10.已知函數(shù)於）=""3’則負(fù)2+k）g32）的值為.

/（x+l）,x<3,

11.若函數(shù)〃》）=1。82（4'+。）-》為偶函數(shù)，則"=.

12.方程8x2'=3A"的解為.

1