2023-2024學(xué)年江蘇省南通高一年級(jí)下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年江蘇省南通高一下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.函數(shù)/(x)=：-lnx的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(3,-H?)

【正確答案】B

【分析】由函數(shù)的解析式可得/(2>/(3)<0,再利用函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù)

〃x)=±-lnx的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間.

X

a3

【詳解】函數(shù)〃x)=：-lnx滿足/(2)=j-ln2>0,f(3)=l-ln3<0,且函數(shù)/(x)

是減函數(shù)

.?丿(2).〃3)<0

根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù)〃x)=：-lnx的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(2,3),

故選：B

2.已知?jiǎng)t下列命題中正確的是()

A.3x(),Vx>/，有優(yōu)>x">log,,x成立

B.,Vx>%0,有/>k>g?x>x"成立

C.肛),Vx>/，有x">a">log,,x成立

D.丸)，Vx>xn,有x">log?x>優(yōu)成立

【正確答案】A

【分析】根據(jù)不同函數(shù)類型的增長(zhǎng)速度，即可得到答案.

【詳解】因?yàn)椤?gt;1,所以函數(shù)y="*、y=x\y=log“x均為單調(diào)遞增函數(shù).

而且各類函數(shù)的增長(zhǎng)速度為：指數(shù)函數(shù)快于基函數(shù)，幕函數(shù)快于對(duì)數(shù)函數(shù).

所以，3x0,Vx>/，有優(yōu)>x">log,,x成立.

故選：A.

3.專家對(duì)某地區(qū)新型流感爆發(fā)趨勢(shì)進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，從確診第一名患者開始累計(jì)時(shí)間，(單

位：天)與病情爆發(fā)系數(shù)A，)之間，滿足函數(shù)模型：f(t)=--丄…，當(dāng)/⑺=0」時(shí)，

標(biāo)志著疫情將要局部爆發(fā)，則此時(shí)r約為(參考數(shù)據(jù)：4/=3)()

A.10B.20C.30D.40

【正確答案】A

【分析】根據(jù)/(。=0」列式，并根據(jù)給出參考數(shù)據(jù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解相應(yīng)的指數(shù)方

程，即可得答案.

【詳解】解：因?yàn)?Q)=0.1,fQ)=]+e，x，)，

所以，即1+〃須2=10,

所以"022(3…=9，由于故(/)2=e22=9,

所以e《22(3”40Te22,所以-0.22(3-40卜2.2,解得年10.

故選：A.

4.平面向量a,8共線的充要條件是()

A.a,厶方向相同B.a,6兩向量中至少有一個(gè)為零向量

C.3Ae/?,b=AaD.存在不全為零的實(shí)數(shù)4,4，

【正確答案】D

根據(jù)a,方共線的定義得到向量a,〃共線的充要條件

【詳解】由a，6共線的定義，

若a，6均為零向量，則顯然符合題意，且存在不全為零的實(shí)數(shù)4,4,使得4：+4力=3；

若awO，則由兩向量共線知，存在幾片0,使得6=2a，

BPAa-b=O＞符合題意.

故選:D.

本題考查了對(duì)向量共線定義的理解，特別注意零向量與任意向量共線，屬于基礎(chǔ)題.

11Q

5.已知cosa=,,cos(a—fi)=-^,且貝lj夕=()

71―兀一兀r5兀

A.-B.-C.-D.—

46312

【正確答案】c

【分析】先利用cosa=:和平方關(guān)系得到sina=M§,再利用兩角差的余弦公式和平方關(guān)

77

系得到關(guān)于sin￡,cos/的方程組，進(jìn)而求出角夕.

【詳解】由cos(a-y?)=両，可得cosacos夕+sinasin^=R,因?yàn)閏osa=,,0<^S<a<y,

所以sina=Jl-曰=.即；cos0+sin/?=,即2cos夕+8Gsin￡=13,

又根據(jù)sW夕+cos2夕=1,解得si^=正，故選C.

本題主要考查兩角差的余弦公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，意在考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，

屬于中檔題.解決本題的較好方法是研究已知角和所求角的關(guān)系，即=具體

解法如下：

因?yàn)閏osa=，,0<a,所以sina=生叵，因?yàn)?<方<a<￡,

7272

所以0<a-夕<],又cos(a-4)=V，所以sin(a-￡)=筆，則

nr/mi/m??/m113463百1p

cosp=cos[a-(a-p)\=cosacos(a一4)+sinasin(a-p)=yx—+—x,乂

0<夕苦,所以夕弋.

6.我國(guó)古代人民早在幾千年前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢

數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合

思想的體現(xiàn)，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.如圖，大正

方形ABCD是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若記AB=a,AO=6,且

E為防中點(diǎn)，則AF=(

B.L+4

33

D.

55

【正確答案】C

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出邊長(zhǎng)，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，列出方程組，求出答案.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，48所在直線為x軸，所在直線為V軸，建立平面直角坐標(biāo)

系,

設(shè)A尸=1,則8F=2,AB=>A，

過點(diǎn)尸作尸。丄x軸于點(diǎn)0,則尸。="竺=厶叵，

AB5

22

由勾股定理得：AO=>JAF-FO=:Y，

訕/石2石]^（非26]

則尸—，故AF=—,

丿[33丿

又川石,0）,。（0,石），

所以設(shè)4尸=ma+nb="逐,0）+"（0,遂）=（6見右〃）,

7.已知直角梯形488,4=90。,厶即（24。=￡^=丄厶8=1,「是灰：邊上的一點(diǎn)，則

2

A.[-U]B.[0,2]C.[-2,2]D.[-2,0]

【正確答案】D

【分析】法一：設(shè)8P=ABC（0W/l<1）,把”與pc表示為AB與BC的線性關(guān)系，把APPC

表示成關(guān)于2的解析式，求解岀取值范圍；法二：建立坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出

APPC的范圍

【詳解】法一：因?yàn)槭贐C上，不妨設(shè)BP=/IBC，

貝i]PC=(l-/l)BC(其中0W4W1)

所以APPC=(A8+2P)PC

=ABPC+BPPC=(1-A)ABBC+ABCPC

=(l-2)/lBBC+2BC(l-A)BC

=(1-2)X2XV2XCOS135°+^(1-2)X(>/2)2

——2(1—A)+24(1—A)

=-222+42-2=-2(/l-l)2,

因?yàn)镺W/lWl,所以-20—1)2e[-2,0]

法二：如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A8所在直線為x軸，A。所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.

則A(0,0),8(2,0),￡)(0,1),C(l,l),其中NABC=45。，設(shè)點(diǎn)+

其中OWmWl,AP=(l+m,\-tn),PC=

AP-PC-—m[\+tn)+m[\—in)=-:2nr

"：0<m<l

：.AP-PC=-2>n2e[-2,0]

8.已知向量a,b的夾角為且對(duì)任意實(shí)數(shù)4,-〃>|冃4-可恒成立，則|°|:聞=()

A.1:1B.2:1C.5.1D.4:6

【正確答案】B

【分析】利用模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系，整理不等式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】,一研=Id-2而.〃+￡=同2_2/1同.忖cos尹；12ML

|o-Z>|=|a「-2a?+W"=冋2-2冋.WcosI+W,

由卜_勸閆&_可，則冋2-2冋似+萬時(shí)>|d|2_同似+卜『，

整理可得;12好_加似+冋似_心0,

設(shè)同胴=f,則儲(chǔ)-比+f-120,即△=/-4(1)40,解得f=2.

故選：B.

二、多選題

9.已知向量。4=(3,Y),08=(6,-3),OC=(5-〃?,一3-間，若/A6c為銳角，則實(shí)數(shù)“可

能的取值是()

A.—1B.0C.-D.1

【正確答案】BD

【分析】利用向量的減法法則及向量減法的坐標(biāo)表示，根據(jù)已知條件及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)

表示，結(jié)合向量共線的條件即可求解.

【詳解】因?yàn)镺A=(3,-4),=(6,-3),OC=(5-m,-3,-m),

所以B4=OA_O3=(_3,_l),3C=OC_O3=(_l_〃?,_m).

因?yàn)镹ASC為銳角，

,,3

所以BA,BC=(—3,—1—%7,―6)=3+3機(jī)+〃2>0,解得m>——.

當(dāng)3A〃8c時(shí)，(-3)X(TM)一(一1-加)x(—l)=0,解得機(jī)=1

當(dāng)NABC為銳角時(shí)，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是,：,￡]u(g,+8]

所以實(shí)數(shù)加可能的取值是0,1.

故選：BD.

10.在“43C中，。広尸分別是邊8008中點(diǎn)，下列說法正確的是()

A.AB+AC-AD=0

B.DA+EB+FC=0

ABACCAD

C.若17力+??胃=丨.內(nèi)，則BD是AB在BC的投影向量

/ioACA”

D.若點(diǎn)P是線段4。上的動(dòng)點(diǎn)（不與AD重合），S.BP=ABA+pBC,則〃，的最大值為:

【正確答案】BCD

【分析】對(duì)選項(xiàng)A,B,利用平面向量的加減法即可判斷A錯(cuò)誤，B正確.對(duì)選項(xiàng)C,首先根

據(jù)已知得到AO為NB4C的平分線，即AD15C,再利用平面向量的投影概念即可判斷C

正確.對(duì)選項(xiàng)D,首先根據(jù)A,P,。三點(diǎn)共線，設(shè)BP=，84+（1-0<r<l,再根據(jù)已知

A=/

得到\-t，從而得到），=/，〃=?二）=:（八3+：,即可判斷選項(xiàng)D正確.

u=----2228

I2

【詳解】如圖所示：

對(duì)選項(xiàng)A,AB+AC-AD=2AD-AD=AD^0^故A錯(cuò)誤.

對(duì)選項(xiàng)B,DA+EB+FC=--(AB+AC)--(BA+BC)--(CA+CB)

222

=--AB--AC--BA--BC--CA--CB

222222

=--AB--AC+-AB--BC+-AC+-BC=O,故B正確.

222222

ARATAn

對(duì)選項(xiàng)C,丄巴，q,*分別表示平行于43，AC，AO的單位向量,

IAB|\AC\\AD\

ARAC

由平面向量加法可知：丄+葉一為-B4C的平分線表示的向量.

\AB\\AC\

因?yàn)樗?四=巫絲，所以AO為-54C的平分線,

|A8|\AC\\AD\

又因?yàn)?。為BC的中線，所以如圖所示:

BD

BA在BC的投影為cos8=184,8。,

BA

所以8。是3A在BC的投影向量，故選項(xiàng)C正確.

對(duì)選項(xiàng)D,如圖所示:

設(shè)8尸=154+(1-0<r<l.

又因?yàn)?。=—3C,所以+

22

因?yàn)槁?XBA+〃8C,則\-t,04f41.

I〃=2---

人1o1-1.

當(dāng)時(shí)，初取得最大值為g.故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

11.已知a=（cosasin。）,/?=（cos°,sine）,則下列選項(xiàng)中可能成立的是（）

A.卜+可=|々一司B.|d-fe|=l

C.+D.卜〃-5。|=6

【正確答案】ABD

【分析】利用坐標(biāo)進(jìn)行向量線性運(yùn)算，并結(jié)合三角恒等變換計(jì)算相應(yīng)數(shù)量積和模長(zhǎng)，從而判

斷岀答案.

【詳解】=(cose+cose，sine+sine),a-b=(cos0—cos^>,sin6*-sin^),

,+司=(cos6+coss)-+(sine+sins)-=2+2(cos0cos^+sin^sin^)=2+2cos(0-^),

,一同=(cos，一cos夕y+(sin，一sinp)~=2-2(cosecos*+sin6sin*)=2-2cos(e—e),

若e="5,此時(shí),=卜_可1=2,故卜+叫,A可能正確;

若e=0+],此時(shí)k-4=1,卜一耳=1,B選項(xiàng)可能正確；

+=(cose+cos0,sin，+sin9).(cose-cose，sine-sin9)

=cos20-cos2^9+sin20-sin2^=^cos2^++sin2^-(cos2^+sin2^9)=1-1=0,

故C一定不正確；

1-5Z?|=(4cos0-5cos+(4sin0-5sin^?)~=16+25-40(cos0cos°+sin6sin屮)

=41—40cos(〃—e),

當(dāng)cos(0-e)=g時(shí)，,a-56『=36,故ka-5司=6,D可能正確.

故選：ABD

12.如圖，直線4〃4,點(diǎn)A是4,4之間的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)A到44的距離分別為1，2.點(diǎn)B是

直線4上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC丄交直線4于點(diǎn)C,G4+GB+GC=0,貝ij()

EC_____________,

;

DB2

A.AG=』(AB+AC)B.△G4B面積的最小值是]

J亠

c.|AG|>ID.GA-GB存在最小值

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)題意建立合適的直角坐標(biāo)系，設(shè)出C(加,3),8,G坐標(biāo)，根據(jù)AC丄A8及

G4+GB+GC=0即可找到三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，分別寫出AG,g(A8+AC)即可判斷A；取AB

中點(diǎn)為F，連接CF,根據(jù)GA+GB+GC=0,可得G,C,F三點(diǎn)共線，且G為CF靠近尸的

三等分點(diǎn)，即可找到△G4B面積與-45c面積之間比例關(guān)系，進(jìn)而建立鉆面積等式，

根據(jù)基本不等式即可判斷B,求出再根據(jù)基本不等式可判斷C；寫出G4G8進(jìn)行化簡(jiǎn),

根據(jù)用的范圍即可得G4G8最值情況.

【詳解】解：記A8中點(diǎn)為F,連接CF,以。為原點(diǎn)，

方向分別為x,y軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系：

y

E

A

i

D

所以A（0,2）,E（0,3）,設(shè)。（以3）,8（〃,0）,6（人,?。?團(tuán),〃,工丿￡1<,月”,〃工0,

所以AC=(〃z,l),4B=(n,—2),因?yàn)锳C丄AB,所以AC-A8=0,

2jo),所以GA=(—x,2—y),

即6〃一2=0,故〃=—,即B

tn

GB=\--x,-y,GC=(m-x,3-y)

Imf

2c八

一+m-3x=0

因?yàn)镚A+G8+GC=0，所以,m

5—3戶0

2

一(22

-rn___——+m—+772[

AY一m___5m_____1

解得3,即G,所以4G二，

333-3

5

y=-7

，3

2

—卜"i

因?yàn)間(AB+AC

,-2=m___

3~3

7

故AG=；（A8+AC）,選項(xiàng)A正確;

因?yàn)镚4+GB+GC=0，所以GC=-(GA+GB),

即GC=-2GF，所以G,C,尸三點(diǎn)共線，且G為C廠靠近F的三等分點(diǎn),

所以SAGAB=2S〉A(chǔ)BC?AC|.網(wǎng)

1irr+^v+2>2.m2+2=2,

3m23VVnt23

當(dāng)且僅當(dāng)心》即…1時(shí)取等,

所以選項(xiàng)B正確;

(22

——\-tn2

m1

因?yàn)锳G=~，所以,6卜m+一

339

金+祥+42.

_______

Y94-99

4

當(dāng)且僅當(dāng)r=ITT,即時(shí)取等，故|AG|NI,選項(xiàng)C正確;

m

(23

+m----m

丄5

因?yàn)镚A=_m___,GB=m___

3333

/

2323］

-+"i----ni+〃?----m

55

所以GA,G5=m___m___m___m___

3333339

7丿

2666

-)5m-y—6

——=—m

9-9

因?yàn)椤?wR且n?w0,所以勿［2>o,記=x------6,x>0,

x

可知/(X)單調(diào)遞增，沒有最值,即G4G8沒有最值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：ABC

思路點(diǎn)睛：該題考查向量的綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于三角形三心的思路有:

(1)若G為一ABC的重心，則①G是三邊中線的交點(diǎn)，②GA+G8+GC=0,③重心分三

角形中線為2:1；

(2)若。為一43C的內(nèi)心，則①。是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，②〃OA+》O8+cOC=0,

③S^BOC*S&oc：S^BOA=a：b：c；

(3)若。為ABC的外心，則①。是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn),

②sin2A?QA+sin23?08+sin2coe=0，③S^BOC:5A(4OC:S^BOA=sin2A:sin28:sin2C.

三、填空題

］71

13.已知aw。,(，sin|2a,貝ljsin2a=

3

【正確答案】6+3歷

6

【分析】利用兩角和的正弦公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)閍￡（。仁），所以"一?￡（一宗會(huì)）

又0<"2*—!<4嗚=4年,所以2a-我詞,

因此cos（2a-?）=Jl-sin2（2a_q）=,

u而..（萬丄吟1百6\/66+30

從而sin2a=sin2a——十—=—x——+——x——=------------.

（33丿23236

故4+3應(yīng)

6

14.設(shè)點(diǎn)。是面積為4的一A8C內(nèi)部一點(diǎn)，且有。4+303+4OC=0，則J50c的面積為

【正確答案】1##0.5

【分析】根據(jù)OA+3OB+4OC=0確定點(diǎn)0的位置，然后將面積比轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)比即可.

【詳解】

OA+3OB+4OC=0

134

...——。4=二08+—0C；

777

設(shè)-；OA=OO；

一3一4一

則：0。==08+=0。,即及。,。三點(diǎn)共線；

77

所以絲!=義心=丄；

\ADlsABC8

「411

「?S80c=4x^=7；

oZ

故；

15.在半徑為1的扇形AOB中，/4。8=60。,（7為弧上的動(dòng)點(diǎn),48與OC交于點(diǎn)尸,則OP.BP

的最小值是.

【正確答案】

16

【詳解】試題分析：設(shè)弦AB中點(diǎn)為M，則OPBP=(OM+MP)BP=MPBP,若MP,BP同

向，則0P-82>0;若MP,BP反向，則。尸尸<0，故OP-8P的最小值在MP,8P反向時(shí)

取得，此時(shí)|叫+網(wǎng)=g,op.BP=一府卜網(wǎng)2」陰；網(wǎng)產(chǎn)=_,，當(dāng)且僅當(dāng)

冋卜網(wǎng)=；時(shí)取等號(hào)，即OP-BP的最小值是

向量數(shù)量積、基本不等式求最值

16.設(shè)函數(shù)=方程〃x)=,”有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根演，々，占，%,

[/(4-x),2<x<4

則無；+考+考+x：的取值范圍為.

【正確答案】120,2)

【分析】先求出分段函數(shù)的解析式，然后作出函數(shù)圖象，確認(rèn)零點(diǎn)所在區(qū)間以及零點(diǎn)之間的

關(guān)系，然后將轉(zhuǎn)化為其+考+4+/關(guān)于演的函數(shù)，求出函數(shù)的值域即可.

【詳解】因?yàn)?Vx<4,則0<4—x<2,/(x)=/(4-x)=|ln(4-x)|

作出函數(shù)圖象，如圖:

所以玉+%4=W+玉=4,-lnx）=lnx2,所以石々二1，

114

所以％=—，/=44一一=4-々，

X?x2

?（?Y

所以芍+X；+X；+芍=—7+%+（4-尤2）+4-----

X2\X2）

（iY（1）

=2x——8%,H—+28

I2Xl）X2）

因?yàn)殡?1,2）,所以々+：€（2,|）

令F+卜八局,

所以原式化為〃。）=2r-8/+28丿€（2,1）,

因?yàn)椤á嗽冢?,|）單調(diào)遞增，

所以20＜力（。＜?,即x；+4+X；+￡的取值范圍為（20,日

故答案為.（20,日）

四、解答題

17.如圖：直角三角形ABC中，AC1BC,AB=2,。是AB的中點(diǎn)，M是C。上的動(dòng)點(diǎn),

(1)若M是C。的中點(diǎn)，求的值；

(2)(M4+MB)-MC的最小值.

31

【正確答案】(1)--；(2)--

42

【分析】(1)根據(jù)向量的線性運(yùn)算，得M4=A/￡)+￡)A且MB=MD-D4，因此

MA-MB=ML)2-D/(>再代入題中數(shù)據(jù)即可得到MA-MB的值；

(2)設(shè)MD=x,則MC=1-x,由三角形中線的性質(zhì)化簡(jiǎn)得

(MA+=2MD.MC=lx2-lx,接下來求二次函數(shù))，=282-2x在區(qū)間［0,1］上的最值，即

可得解.

【詳解】解：(1):8是Rt_ABC的斜邊A8上的中線，

:.CD=^AB=l,得MD=：CD=；

MA=MD+DA>MB=MD+DB=MD-DA，

：.MAMB=［MD+DA)\MD-DA)

，21/1fQ

=MD-DA=|-CD|2-1DAP=I-I-『二-“

(2)設(shè)MD=x,則VC=l—x.其中醱W1

MD是△M4B的中線，M4+MB=2MD,

得(M4+㈣.MC=2MD-MC

=-2陷.陷=-2x(1-x)=2A-2-2x,

2x2-2x=2(x--)2--

22

???當(dāng)且僅當(dāng)X時(shí)，2/-2X的最小值為

22

即當(dāng)x=L時(shí)，（MA+MB）.MC的最小值為

22

18.已知函數(shù)/（X）=Asin（3x+e）（A>0,（y>0,|夕|<口的部分圖象如圖所示.

【正確答案】（1）答案見解析;

八、4G+3

⑷--------

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可得4,周期7,即可求出。，再由圖象過點(diǎn)（卷》,2）即可求出

。，得到函數(shù)解析式，求出單調(diào)區(qū)間；

（2）由=。求岀sina,cosa,再由兩角差的正弦公式直接計(jì)算/（1-芻）即可.

126丿526

【詳解】（1）由圖象可知，A=2,且7=2（三萬-2萬）=乃=生，解得3=2

1212co

所以/（x）=2sin（2x+9）,

因?yàn)閒（--:萬）=2sin（1）+⑼=2，

126

571

所以一4+夕=2占）+—（占GZ）

62

7T

則尹=20r-§（KeZ）,

則僅當(dāng)匕=0時(shí)?，符合題意，

TT

所以/（X）=2sin（2x--）,

令2Z4一,W2x-—<2k7r+—（keZ）,解得k7r-—<x<k7r+—（keZ）

TT

綜上，/(x)的解析式為F(x)=2sin(2x-g),

單調(diào)增區(qū)間為ki-黑,ki+空(yZ)；

(2)因?yàn)閒(%)=2sin(2x-工),

3

所以f(W+J)=2sina=?,

265

所以sina=|,又71

2

所以cosa=Jl-sira=—,

小I、Jf(a九、o-/2萬2萬?2乃46+3

9T以-----)=2sin(<z------)=2sinacos------2cosasin——=-------------

263335

19.某學(xué)習(xí)小組在暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，通過對(duì)某商店一種商品銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商

品在過去的一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))的日銷售價(jià)P(x)(元)與時(shí)間x(元)的函數(shù)關(guān)系近似

滿足尸(x)=l+f(女為正實(shí)數(shù)).該商品的日銷售量。(x)(個(gè))與時(shí)間x(天)部分?jǐn)?shù)據(jù)如

下表所示：

第X天10202530

Q(x)個(gè)110120125120

已知第10天該商品的日銷售收入為121元.

⑴求k的值；

(2)給出以下兩種函數(shù)模型：①Q(mào)(x)=ar+6,②Q(x)=a|x-25|+A,請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)

據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來描述該商品的日銷售量Q(x)與時(shí)間x的關(guān)系，并

求出該函數(shù)的解析式；

(3)在(2)的情況下，求該商品的日銷售收入〃x)(04x430,x€N+)(元)的最小值.

【正確答案］⑴)=1

(2)選②，Q(x)=\25-\x-25\,1<X<30,XGN+

⑶/⑴而n=121

【分析】(1)根據(jù)第10天該商品的日銷售收入為121元列出方程，求出左=1；

(2)當(dāng)時(shí)間變化時(shí)，該商品的日銷售量有增有減并不單調(diào)，故選②，代入。(1。)=110,

2(20)=120,待定系數(shù)法求出解析式；

x+—+101,l<x<25,xeN+

(3)求岀〃x)=P(x)-Q(x)={*,當(dāng)1MX425時(shí)，由對(duì)勾函

---x+149,25<%<30,xeN+

數(shù)得到其單調(diào)性，從而求出最小值，當(dāng)25<x430時(shí)，由函數(shù)單調(diào)遞減求出最小值，比較后

得到/(x)的最小值.

【詳解】⑴由題意得：第10天該商品的日銷售收入為P(10)Q10)=(l+2)xll0=⑵，

解得：k=1,

(2)由題意，當(dāng)時(shí)間變化時(shí)，該商品的日銷售量有增有減并不單調(diào)，故選②，

VQ［x}=a\x-2^+b,0(10)=110,2(20)=120,

.J15a+人=110

■*[5?+/?=120'

解得：“=-1,6=125,

Q（x）=125—|x—25],l<x<30,xeN,:

J1004-x,l<X<25,XGN

（）+

(3)由(2)可知:Qx=125-|x-25|-

[150-X,25<X<30,XGN+

1nn

x+—+101,l<x<25,xeN

x+

所以/（x）=P（x）-Q（x）=，

--x+149,25<x<30,xeNt

、X

當(dāng)”x425時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)知y=x+詈在［1,10］上遞減，在［10,25］上遞增,

所以當(dāng)X=l()時(shí)，/(x)取最小值，/Wmin=121,

當(dāng)25<x430時(shí)，)，=?-》在(25,30］上遞減,

所以當(dāng)x=30時(shí)，/(X)取最小值，/U)mjn=124,

綜上：所以當(dāng)x=10時(shí)，/(x)取最小值，=121.

20.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B,C三點(diǎn)共線，點(diǎn)。不在直線A8上，滿

足OC=；OA+2O8.

⑴求2的值；

/冗2

(2)A(l,cosx),B(l+cosx,cosx),xe[O,—],f(x)=OAOC-(2m+^)\AB\,若/(x)的最小

值為g(m),求g(m)的最大值.

【正確答案】(1)(;

⑵1.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用平面向量基本定理推理計(jì)算作答.

(2)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出函數(shù)/(x),再借助二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求出

g(/M)即可求解作答.

【詳解】(1)因A,B,C三點(diǎn)共線，即AC=〃AB,貝J有1OC=(1-〃)OA+〃O8,〃eR,

112

依題意，。4。8不共線，而OC=§OA+XO3,于是得1一"=§，4=丸，解得4=§，

所以見的值是;.

27T

(2)因4(l,cosx),B(l+cosx,cosx),由(1)知，OC=(l+?cosx,cos%),xe[O,—],

2222,5

f(x)=1+—COSA：4-COS-x-(2m4--)cosx=(cosx-m)~+,jfn0<cosx<1,

當(dāng)機(jī)40時(shí)，COSX=0,有g(shù)O)=/(X)min=1，

當(dāng)0<相<1時(shí)，cosx=m9有g(shù)(M=/(x)min=1一/￡(°，1)，

當(dāng)機(jī)Z/時(shí)，8sx=1,有g(shù)(〃2)=/(%)min=2-2機(jī)40,

1,m<0

所以g(M=i->,0<加<1的最大值是1.

2-2m,m>I

思路點(diǎn)睛：涉及分段函數(shù)最值問題，先求出每一段在各自對(duì)應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)值集合，再求出

這些集合的并集即可探求出最值.

x2+4x+3,x<0

21.已知函數(shù)/(、)=，4

--------l,x>0

x+1

⑴畫出“X)的圖象，并寫出“X)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)當(dāng)實(shí)數(shù)。取不同的值時(shí)，討論關(guān)于x的方程/(x)=a的實(shí)根的個(gè)數(shù)；(不必求出方程的解)

⑶若關(guān)于x的方程"(x)F+(2,〃-l)/(x)-加+1=0的有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求小的取值范

圍.

【正確答案】(1)圖象見圖，單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-2)和(0,+co)；

⑵當(dāng)a>3時(shí)，/(力=。有1個(gè)根；

當(dāng)。=3時(shí)，=a有2個(gè)根；

當(dāng)—l<a<3時(shí)，=a有3個(gè)根；

當(dāng)。=-1時(shí)，=a有I個(gè)根；

當(dāng)“<一1時(shí)，〃x)=a沒有根；

7

【分析】(1)分析岀函數(shù)的單調(diào)性及值域，作出圖象，再結(jié)合圖象即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y="的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象，分。>3、。=3、-l<a<3、

”=-1和°<-1討論即可；

(3)設(shè)f(x)=r,問題轉(zhuǎn)化為廣+(2機(jī)-1)一,"+1=0兩個(gè)根必需滿足：一個(gè)根大于3,一個(gè)根

位于(-1,3),或一個(gè)根等于/,一個(gè)根位于(-1,3),分別求解后再取并集即可.

【詳解】Q)解：因?yàn)楫?dāng)X40時(shí)，F(xiàn)(x)=x2+4x+3,圖象為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x=-2,

兩個(gè)零點(diǎn)分別為x=-3,x=-l,最小值為-1；

4

當(dāng)x>0時(shí)，/(外=:三-1,在(0,+0上單調(diào)遞減，零點(diǎn)為x=3.

x+1

所以其圖象如圖所示：

所以“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-2)和(0,+8)；

4

(2)解：因?yàn)?0)=3,1>0時(shí)，f(x)=—在。+8)上單調(diào)遞減，且一1</。)<3,

所以當(dāng)。>3時(shí)，/(x)=〃有1個(gè)根；

當(dāng)a=3時(shí)，/(x)=a有2個(gè)根；

當(dāng)-1<”3時(shí)，f(x)=a有3個(gè)根；

當(dāng)a=-l時(shí)，〃x)=a有1個(gè)根；

當(dāng)。<一1時(shí)，f(x)=a沒有根；

(3)解:設(shè)/(x)=f,

則問題轉(zhuǎn)化方程有r+(2機(jī)-1)一機(jī)+1=0兩個(gè)不同的根乙.

要使原方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

則方程的廣+(2，〃-l)r-〃?+1=0兩個(gè)根必需滿足:

一個(gè)根大于3,一個(gè)根位于(7,3),或一個(gè)根等于一1,一個(gè)根位于(7,3),

當(dāng)一個(gè)根大于3,一個(gè)根位于(-1,3)時(shí)，

A=(2/n-l)2-4(l-/n)>0

,7

■(-1)2+(2m-l).(-l)-m+l>0,解得m<--.

32+3(2/n-l)-/n+l<05

當(dāng)一個(gè)根等于-1，一個(gè)根位于(T,3)時(shí)，

△=(2w-l)2-4(l-/n)>0

<(-1)2+(2W-1).(-1)-;M+1=0,解得加=1；

32+3(2/n-l)-/?+l>0

綜上所述，用的取值范圍為

22.如圖，A、B是單位圓上的相異兩定點(diǎn)(。為圓心)，且