專題02 旋轉(zhuǎn)問題（解析版）

專題二旋轉(zhuǎn)問題一、單選題1．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，在中，．將繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，若點(diǎn)O是中點(diǎn)，點(diǎn)P是中點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最大值等于（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】連接，進(jìn)而得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時，線段的值最大，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵將繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)O是中點(diǎn)，∴，，連接，∵點(diǎn)P是中點(diǎn)，∴，∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時，線段的值最大．故選：B．2．（2023春·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B是x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則m的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過C作軸于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)E，根據(jù)將線段AB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段AC，可得是等邊三角形，又，可表示出，用勾股定理表示出有關(guān)線段的長，根據(jù)列方程求解即可．【詳解】解：過C作軸于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)E，如圖：∵軸，軸，，∴四邊形是矩形，∵將線段繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，在中，，∵，∴，化簡變形得：，解得（舍去）或，∴，故選：D．二、填空題3．（2022秋·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期末）以正五邊形的頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使得新五邊形的頂點(diǎn)落在直線上，則正五邊旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少為______°．【答案】【分析】依據(jù)正五邊形的外角性質(zhì)，即可得到的度數(shù)，進(jìn)而得出旋轉(zhuǎn)的角度．【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，∴，∴新五邊形的頂點(diǎn)落在直線上，則旋轉(zhuǎn)的最小角度是，故答案為：．4．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，直線與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，將線段繞著點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)D．則___________．【答案】3【分析】先求出點(diǎn)，可得，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)C，證明，可得，可求出點(diǎn)，即可求解．【詳解】解：對于，令，則，令，則，解得：，∴點(diǎn)，∴，如圖，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)C，根據(jù)題意得：，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)，把代入得：．故答案為：35．（2023春·江蘇泰州·九年級?？茧A段練習(xí)）第二十四屆北京冬奧會入場式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后能夠與它本身重合，則角α至少為______度．【答案】60【分析】先求出正六邊形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：，則這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)后能夠與它本身重合，故答案為：60．6．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）已知直角三角形ABC的一條直角邊cm，斜邊cm，則以為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的圓錐的側(cè)面積是______．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求得底面半徑，然后求得底面積，再利用扇形面積求解即可．【詳解】解：∵直角三角形的一條直角邊cm、斜邊cm,，∴圓錐的側(cè)面積，故答案為：．7．（2022秋·江蘇宿遷·九年級?？计谀┤鐖D，、是的直徑，點(diǎn)在上，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿順時針方向繞圓心旋轉(zhuǎn)，當(dāng)__________時，直徑在中截得的三角形與相似．【答案】50或70或160【分析】是的直徑，得到，當(dāng)時，時，時，直徑在中截得的三角形與相似，分三種情況討論求解即可．【詳解】解：∵是的直徑，∴；①當(dāng)時，交于點(diǎn)，則：，∵，∴，滿足題意；連接，∵，∴，∴，∴；②當(dāng)時，交于點(diǎn)，則：，∵，∴，滿足題意；此時：，∴；③時，于點(diǎn)，則，∵，∴，滿足題意；此時：，∴，∴．綜上：當(dāng)50或70或160時，直徑在中截得的三角形與相似．故答案為：50或70或160．8．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）將函數(shù)的圖像繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到的新圖像的函數(shù)表達(dá)式為_________．【答案】【分析】將其繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，開口大小不變，頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向都發(fā)生變化，確定頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出所求的結(jié)論．【詳解】解：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,圖象繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，開口大小不變，頂點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)?，開口方向相反，即，則旋轉(zhuǎn)后的二次函數(shù)解析式是：．故答案為：三、解答題9．（2022秋·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P為二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)F在y軸正半軸上，將線段繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)E恰好落在x軸正半軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為；(2)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N，證明，推出，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，∴，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N，∵，∴四邊形為矩形，∴即，∵將線段繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴且，即，∴，∴，∴，設(shè)，則，解得，∴．10．（2023春·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，一臺燈放置在水平桌面上，底座與桌面垂直，底座高，連桿，，與始終在同一平面內(nèi)．(1)如圖2，轉(zhuǎn)動連桿，，使成平角，，求連桿端點(diǎn)離桌面的高度．(2)將圖2中的連桿再繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖3，此時連桿端點(diǎn)D離桌面l的高度減小了多少？(參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)此時連桿端點(diǎn)D離桌面l的高度為(2)此時連桿端點(diǎn)D離桌面l的高度減小了【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求得和長，從而可得長；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求得、、，從而可得長．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，，四邊形是矩形，，，，，在中，，即，，，此時連桿端點(diǎn)離桌面的高度為；（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形為矩形，，，，，，，，下降的高度為，答：此時連桿端點(diǎn)離桌面的高度減小了．11．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）定義：平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，恰好落在函數(shù)圖象上，則稱點(diǎn)為函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”．(1)在①，②，③三點(diǎn)中，是一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”的有_____（填序號）；(2)若點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”，求的值；(3)二次函數(shù)與軸交于兩點(diǎn)（A在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”且在直線上，求點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)②③(2)(3)或【分析】（1）分別寫出三個點(diǎn)繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到的點(diǎn)的坐標(biāo)，逐個驗(yàn)證是否在一次函數(shù)圖象上即可；（2）把點(diǎn)繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到的點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可得到答案；（3）先求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再求出直線的解析式，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”且在直線上，得到關(guān)于m、n的方程組，解方程組即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：①繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)時，，故不是一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”，②繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)時，，故是一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”，③繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)時，，故是一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”，故答案為：②③（2）點(diǎn)繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，∵點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”，∴點(diǎn)滿足，代入可得，，解得；（3）當(dāng)時，，解得∴點(diǎn)，當(dāng)時，，∴點(diǎn),設(shè)直線的解析式為，則解得，∴直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，∵點(diǎn)是二次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”且在直線上，∴點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，在直線上，∴，解得，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為或12．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，正方形的邊長為2，將正方形繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，連接．(1)請找出圖中與相似的三角形，并說明理由；(2)求當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直線上時的長．【答案】(1)，理由見解析(2)或【分析】（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理得到，，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得到，，進(jìn)而證明，，由此即可證明；（2）先利用勾股定理求出，進(jìn)而求出，再分當(dāng)在左上方時，當(dāng)在右下方時，兩種情況求出的長，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：，理由如下：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，∴，，∴，即，又∵，∴；（2）解：∵，∴，∵當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直線上時，，∴，如圖1，當(dāng)在左上方時，∴，∵，∴，∴；如圖2，當(dāng)在右下方時，∴∵，∴，∴；綜上所述，當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直線上時，的長為或．13．（2023秋·江蘇·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，中，，點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到（如圖2），連接，．(1)求證：；(2)已知，，分別延長，交于點(diǎn)F．①若，求BF的長；②連接FC，若，直接寫出的值．【答案】(1)見解析(2)①②【分析】（1）利用兩邊成比例及其夾角相等證明相似即可；（2）①證明，可得，再根據(jù)勾股定理可得答案；②作交于點(diǎn)N，證明得到，進(jìn)而求得，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)，∴，，∴，即，又∵，∴，∴；（2）①如圖，設(shè)交于點(diǎn)G，∵，，，∴，由（1）得，∴，又∵，∴，∴，∴．②作交于點(diǎn)N，，，，，，，，，，．14．（2023春·江蘇南通·九年級南通田家炳中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式與的值；(2)求不等式的解集（直接寫出答案）；(3)線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段，求點(diǎn)經(jīng)過的路徑長．【答案】(1)反比例函數(shù)的關(guān)系式為，(2)或(3)【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)為，代入可求出反比例函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，得出答案；（2）根據(jù)圖象直接得出答案；（3）直接用弧長公式求點(diǎn)經(jīng)過的路徑長．【詳解】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)為，代入反比例函數(shù)得，，解得∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為代入得，，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為，；（2）根據(jù)兩個函數(shù)的圖象，可得，不等式的解集為：或，（3）∵線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段，∴點(diǎn)經(jīng)過的路徑是以為圓心，長為半徑的圓上圓心角為90°的一條弧，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴點(diǎn)經(jīng)過的路徑長為．15．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，將線段AB繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)到．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)B運(yùn)動的路徑長．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接、，作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，可證明，得，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）由旋轉(zhuǎn)得，，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑作，根據(jù)弧長公式求出的長，就是點(diǎn)運(yùn)動的路徑長．【詳解】（1）解：連接、，作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，則，將線段繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到，，，，在和中，，，，，，點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)的坐標(biāo)是．（2）由旋轉(zhuǎn)得，，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑作，則點(diǎn)運(yùn)動的路徑長為的長，作軸于點(diǎn)，，，，，，點(diǎn)運(yùn)動的路徑長是．16．（2023春·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該拋物線交于點(diǎn)F，點(diǎn)P是直線上的一個動點(diǎn)，連接、、，記的面積為，的面積為，那么的值是否是定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．(3)如圖3，點(diǎn)Q是直線上方的拋物線上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過Q作軸交于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，求的周長的最大值．(4)當(dāng)（3）中的周長取得最大值時，將繞著點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)Q、G、H的對應(yīng)點(diǎn)分別記為、、．當(dāng)點(diǎn)恰好落在坐標(biāo)軸上時，請直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)是定值，(3)的周長的最大值(4)的坐標(biāo)為或或【分析】（1）求出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，再將這兩點(diǎn)代入即可求解；（2）先由題意確定直線，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，則，，則，分別求出、即可求解；（3）延長交軸于點(diǎn)，由題意可得，則，，的周長，要求的周長最大值，求出的最大值即可，設(shè)，則，則，可求的最大值為2，則可求的周長最大值；（4）分兩種情況討論：①當(dāng)在軸上時，此時軸，過點(diǎn)作交于，由，利用三角形函數(shù)可求，；②當(dāng)在軸上，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，由，可求，或，；當(dāng)，時，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，先證明，設(shè)，可得，可求；當(dāng)，時，過點(diǎn)作交于，過點(diǎn)作交于，證明，設(shè)，可得，求出．【詳解】（1）解：對于，令，則，，令，則，，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，，解得，；（2）解：是定值，理由如下：令，則，解得或，，直線經(jīng)過點(diǎn)，，，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如圖1，，，，，，，，，是定值；（3）解：延長交軸于點(diǎn)，如圖2，，，，，，，，，，，的周長，設(shè)，則，，當(dāng)時，有最大值2，的周長的最大值；（4）解：由（3）可得，，，，，，，如圖3，當(dāng)在軸上時，軸，過點(diǎn)作交于，，，，，，；②當(dāng)在軸上，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，，或，，或，，當(dāng)，時，如圖4，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，，，，，，，設(shè)，，解得，，；當(dāng)時，如圖5，過點(diǎn)作交于，過點(diǎn)作交于，，，，，，，設(shè)，，解得，，；綜上所述：的坐標(biāo)為或或．17．（2022秋·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是等邊的外接圓，過點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)H．(1)若點(diǎn)G是劣弧上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），直線交于點(diǎn)D，連接．求證：平分；(2)在（1）條件下，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．①若，求證：點(diǎn)F落在射線上；②若，求線段與線段的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②．【分析】（1）利用圓周角定理證明，即可得出結(jié)論；（2）①設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，，推出，得到點(diǎn)與點(diǎn)F重合，即可得出結(jié)論；②連接，作于點(diǎn)N，證明是線段的垂直平分線，、都是等腰直角三角形，分別求得，，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：∵是等邊的外接圓，∴，∴，∴平分；（2）①證明：設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，如圖，∵，∴，∵，，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∵將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴點(diǎn)與點(diǎn)F重合，點(diǎn)F落在射線上；②解：連接，作于點(diǎn)N，與相交于點(diǎn)M，由（1）得，，∴，則，∴，即，∵將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，∴，∴是線段的垂直平分線，∴，∵，∴，∴，∴，則是等腰直角三角形，∴，∴都是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴．18．（2022春·江蘇淮安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖①，已知拋物線與坐標(biāo)軸交于三點(diǎn)，其中，的平分線交y軸于點(diǎn)D．(1)直接填空：，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，°；(2)點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，若為等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)過點(diǎn)D的直線與線段分別交于點(diǎn)M，N．試問：是否為定值？如果是，請求出該值；如果不是，說明理由；(4)等腰的斜邊，將如圖②放置，使與重合，與相交于G，設(shè)的中點(diǎn)為F．若繞點(diǎn)F順時針旋轉(zhuǎn)（如圖③），在從到的變化過程中，點(diǎn)G相應(yīng)移動的總路程為．【答案】(1)；；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或(3)是，(4)【分析】（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)為,可知，故此可求得的值，然后令得到關(guān)于的方程，解關(guān)于的方程可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用正切值求的度數(shù)、拋物線的對稱性可確定出拋物線的對稱軸；（2）利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得，則可得到點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依據(jù)兩點(diǎn)的距離公式可求得的長，然后分為三種情況列方程求解即可；（3）設(shè)直線的解析式為，接下來求得點(diǎn)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是可得到的長，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得的長，最后將和的長代入化簡即可；（4）求出兩個特殊位置的值，即可解決問題．【詳解】（1）解：，解得：令得：，又，，解得：或．點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則，，，故的度數(shù)，故答案為：；；；（2）解：，，，．為的平分線，．．點(diǎn)D的坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：．當(dāng)時，，方程無解．當(dāng)時，，解得或，當(dāng)時，點(diǎn)A，點(diǎn)D，點(diǎn)P三點(diǎn)共線，不合題意舍去，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．當(dāng)時，，解得．點(diǎn)P的坐標(biāo)為．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．（3）解：是；設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：，解得直線的解析式為．設(shè)直線的解析式為．把代入得：，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為將與聯(lián)立解得：．點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：．過點(diǎn)M作軸，垂足為G．則，（4）解：如圖，當(dāng)O與R重合時，過點(diǎn)G作于M．在中，，，，，設(shè)，則，，如圖，當(dāng)時，的值最大，過點(diǎn)F作于N．，，，，，，，如圖4﹣3中，當(dāng)點(diǎn)R落在上時，的值最小，此時，觀察圖象可知，的長開始是增大，最大值為，然后減小，最小值為，點(diǎn)G的運(yùn)動路徑的長故答案為：19．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）（1）如圖①，在正方形中，E，F(xiàn)分別是，邊上的動點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，可以證明，進(jìn)一步推出，，之間的數(shù)量關(guān)系為______________；（2）在圖①中，連接分別交和于P，Q兩點(diǎn)，求證：；（3）如圖②，在菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊，上的動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且，連接分別與邊，交于M，N．當(dāng)時，猜想，，之間存在什么樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）（2）見解析；（3），證明見解析【分析】（1）證明，可得出和的數(shù)量關(guān)系，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可證明和即可證明；（3）將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，此時與重合，F(xiàn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)G，在上取，連接，利用證明，再證明是直角三角形即可【詳解】解：（1），理由如下：∵將繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，∴三點(diǎn)共線，在和中，∴；（2）如圖，由（1）知：，，又四邊形是正方形，，是正方形的對角線，，,又，又，；（3）將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，此時與重合，F(xiàn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)G，在上取，連接，如圖，∴又∵菱形中，20．（2023秋·江蘇南京·九年級?？计谀┤鐖D1，點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，過O點(diǎn)作射線，使，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．(