專題20 圖形的變換與坐標(biāo)（教師版）

知識(shí)點(diǎn)01：軸對(duì)稱變換【高頻考點(diǎn)精講】1、軸對(duì)稱圖形把一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩邊的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)。常見的軸對(duì)稱圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等。2、軸對(duì)稱性質(zhì)（1）關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。（2）對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。（3）如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。3、關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（x，﹣y）；（2）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（﹣x，y）。4、最短路線問題在直線l上方有兩個(gè)點(diǎn)A、B，確定直線l上到A、B的距離之和最短的點(diǎn)，可以通過軸對(duì)稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線l的交點(diǎn)即為所求。知識(shí)點(diǎn)02：平移變換【高頻考點(diǎn)精講】1、把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)一定的距離，得到一個(gè)新的圖形，圖形的這種移動(dòng)，叫做平移。2、平移的兩個(gè)要素：（1）圖形平移的方向；（2）圖形平移的距離。3、平移性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段平行且相等。4、平移變換與坐標(biāo)變化（1）坐標(biāo)點(diǎn)P（x，y）向右平移a個(gè)單位，得出P（x+a，y）；（2）坐標(biāo)點(diǎn)P（x，y）向左平移a個(gè)單位，得出P（x﹣a，y）；（3）坐標(biāo)點(diǎn)P（x，y）向上平移b個(gè)單位，得出P（x，y+b）；（4）坐標(biāo)點(diǎn)P（x，y）向下平移b個(gè)單位，得出P（x，y﹣b）。知識(shí)點(diǎn)03：旋轉(zhuǎn)變換【高頻考點(diǎn)精講】1、將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。2、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。3、旋轉(zhuǎn)作圖根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等且等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形。檢測(cè)時(shí)間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.47一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?常州）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1）解：點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，1），則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，1），故選：C．2．（2分）（2023?臨沂）某小區(qū)的圓形花園中間有兩條互相垂直的小路，園丁在花園中栽種了8棵桂花，如圖所示．若A，B兩處桂花的位置關(guān)于小路對(duì)稱，在分別以兩條小路為x，y軸的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6）解：若A，B兩處桂花的位置關(guān)于小路對(duì)稱，在分別以兩條小路為x，y軸的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，2）．故選：A．3．（2分）（2023?郴州）下列圖形中，能由圖形a通過平移得到的是（）A． B． C． D．解：由平移定義得，平移只改變圖形的位置，觀察圖形可知，選項(xiàng)B中圖形是由圖形a通過平移得到，A，C，D均不能由圖形a通過平移得到，故選：B．4．（2分）（2023?黃石）如圖，已知點(diǎn)A（1，0），B（4，m），若將線段AB平移至CD，其中點(diǎn)C（﹣2，1），D（a，n），則m﹣n的值為（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3解：∵線段CD由線段AB平移得到，且A（1，0），C（﹣2，1），B（4，m），D（a，n），∴m﹣n＝0﹣1＝﹣1．故選：B．5．（2分）（2022?福建）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)直尺的刻度為12．將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動(dòng)到△A′B′C′，點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形ACC′A′的面積是（）A．96 B．96 C．192 D．160解：在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝8，則BC＝AB?tan∠CAB＝8，由平移的性質(zhì)可知：AC＝A′C′，AC∥A′C′，∴四邊形ACC′A′為平行四邊形，∵點(diǎn)A對(duì)應(yīng)直尺的刻度為12，點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0，∴AA′＝12，∴S四邊形ACC′A′＝12×8＝96，故選：B．6．（2分）（2023?無錫）如圖，△ABC中，∠BAC＝55°，將△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．當(dāng)α＝40°時(shí)，點(diǎn)D恰好落在BC上，此時(shí)∠AFE等于（）A．80° B．85° C．90° D．95°解：∵將△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜55°），得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝40°，AB＝AD，∠C＝∠E，∴∠B＝70°，∴∠C＝∠E＝55°，∴∠AFE＝180°﹣55°﹣40°＝85°，故選：B．7．（2分）（2023?德州）如圖，△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△ADE，點(diǎn)D在BC上，∠EDC＝40°，則∠B的度數(shù)為（）A．70° B．60° C．50° D．40°解：設(shè)AC交DE于點(diǎn)F，∵∠AFD＝∠E+∠EAC，∠AFD＝∠C+∠EDC，∴∠E+∠EAC＝∠C+∠EDC，由旋轉(zhuǎn)得∠E＝∠C，∠DAB＝∠EAC，AD＝AB，∴∠EAC＝∠EDC＝40°，∠ADB＝∠B，∴∠DAB＝∠EAC＝40°，∵∠ADB+∠B+∠DAB＝180°，∴∠B+∠B+40°＝180°，∴∠B＝70°，故選：A．8．（2分）（2023?天津）如圖，把△ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，且點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，連接BD，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD解：如圖，設(shè)AD與BE的交點(diǎn)為O，∵把△ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，又∵∠AOB＝∠DOE，∴∠BED＝∠BAD＝∠CAE，故選：A．9．（2分）（2023?金華）如圖，兩盞燈籠的位置A，B的坐標(biāo)分別是（﹣3，3），（1，2），將點(diǎn)B向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)B′，則關(guān)于點(diǎn)A，B′的位置描述正確的是（）A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于y軸對(duì)稱 C．關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱 D．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱解：∵點(diǎn)B′由點(diǎn)B（1，2）向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到∴此時(shí)B′坐標(biāo)為（3，3）．∴A與B′關(guān)于y軸對(duì)稱．故選：B．10．（2分）（2023?海南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），將△ABO繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（3，3） B．（3，3） C．（6，3） D．（3，6）解：作CM⊥x軸于M，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），∴BC＝OB＝6，∵∠OBC＝60°，∴BM＝，CM＝＝3，∴OM＝OB﹣BM＝6﹣3＝3，∴C（3，3）．故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?金昌）如圖1，我國是世界上最早制造使用水車的國家．1556年蘭州人段續(xù)的第一架水車創(chuàng)制成功后，黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐．而今，蘭州水車博覽園是百里黃河風(fēng)情線上的標(biāo)志性景觀，是蘭州“水車之都”的象征．如圖2是水車舀水灌溉示意圖，水車輪的輻條（圓的半徑）OA長(zhǎng)約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長(zhǎng)方體形狀的水斗，當(dāng)水流沖動(dòng)水車輪刮板時(shí)，驅(qū)使水車徐徐轉(zhuǎn)動(dòng)，水斗依次舀滿河水在點(diǎn)A處離開水面，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°上升至輪子上方B處，斗口開始翻轉(zhuǎn)向下，將水傾入木槽，由木槽導(dǎo)入水渠，進(jìn)而灌溉，那么水斗從A處（舀水）轉(zhuǎn)動(dòng)到B處（倒水）所經(jīng)過的路程是5π米．（結(jié)果保留π）解：＝（米）．故答案為：5π．12．（2分）（2022?臨沂）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A（0，2），B（2，﹣1）．平移△ABC得到△A'B'C'，若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（﹣1，0），則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（1，﹣3）．解：由題意知，點(diǎn)A從（0，2）平移至（﹣1，0），可看作是△ABC先向下平移2個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位（或者先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位），即B點(diǎn)（2，﹣1），平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'（1，﹣3），故答案為：（1，﹣3）．13．（2分）（2023?濱州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（6，3），B（6，0），O（0，0），若將△ABO向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到△CDE，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3，3）．解：∵A（6，3）向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到C，∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（6﹣3，3），即（3，3）．故答案為：（3，3）．14．（2分）（2023?濟(jì)南）如圖，將菱形紙片ABCD沿過點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)D落在射線CA上的點(diǎn)E處，折痕CP交AD于點(diǎn)P．若∠ABC＝30°，AP＝2，則PE的長(zhǎng)等于+．解：過點(diǎn)A作AF⊥PE于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠D＝∠ABC＝30°，AD＝CD，∴∠DAC＝＝75°，由折疊可知：∠E＝∠D＝30°，∴∠APE＝∠DAC﹣∠AEP＝45°，在Rt△APF中，PF＝AP?cos∠APE，∴PF＝AF＝2×cos45°＝，在Rt△AEF中，tan∠AEP＝，∴EF＝＝＝，∴PE＝PF+EF＝+，故答案為：+．15．（2分）（2023?張家界）如圖，AO為∠BAC的平分線，且∠BAC＝50°，將四邊形ABOC繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，得到四邊形AB′O′C′，且∠OAC′＝100°，則四邊形ABOC旋轉(zhuǎn)的角度是75°．解：∵AO為∠BAC的平分線，∠BAC＝50°，∴∠BAO＝∠CAO＝∠BAC＝25°，依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠C′AO′＝∠CAO＝25°，旋轉(zhuǎn)角為∠OAO′，∴∠OAO′＝∠OAC′﹣∠C′AO′＝100°﹣25°＝75°．故答案為：75°．16．（2分）（2023?淄博）在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，右邊的“小魚”圖案是由左邊的圖案經(jīng)過一次平移得到的，則平移的距離是6．解：右邊的“小魚”圖案是由左邊的圖案經(jīng)過一次平移得到的，則平移的距離是6，故答案為：6．17．（2分）（2023?襄陽）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將BCD沿BD折疊得到△BED，連接AE．若DE⊥AB于點(diǎn)F，BC＝10，則AF的長(zhǎng)為2．解：取BC中點(diǎn)H，連接AH，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，DM⊥BE于點(diǎn)M．設(shè)EF＝a，AD＝CD＝DE＝x，則DF＝x﹣a．∵AB＝AC，∴AB＝2x，∠ABC＝∠ACB，BH＝HC＝5．又由折疊得∠ACB＝∠BED，BE＝BC＝10，∴∠ABC＝∠BED，∴cos∠ABC＝cos∠BED，即＝，∴＝，解得：a＝，∴DF＝x﹣a＝x﹣，∵D是AC中點(diǎn)，DG⊥BC，∴DG是△AHC的中位線，∴CG＝CH＝，∴BG＝，由折疊知∠DEM＝∠DCG，ED＝CD，在△EMD和△CGD中，，∴△EMD≌△CGD（AAS），∴DG＝MD．∵DE⊥AB，∴∠EFB＝90°，∴∠DEB+∠EBF＝90°．又∵∠CAH+∠ACB＝90°，且∠ACB＝∠DEB，∴∠EBF＝∠CAH，∴∠EBF+∠ABC＝90°，∴∠DMB＝∠MBG＝∠BGD＝90°∴四邊形MBGD是正方形，∴DG＝BG＝，∴AH＝2DG＝15．在Rt△AHC中，AH2+HC2＝AC2，∴152+52＝（2x）2，解得：x＝，∴a＝，x﹣a＝，即AD＝，DF＝，在Rt△AFD中，AF＝＝2．18．（2分）（2023?宜賓）如圖，M是正方形ABCD邊CD的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接BP，線段BP以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BQ，連接MQ．若AB＝4，MP＝1，則MQ的最小值為2﹣1．解：連接BM，將△BCM繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△BEF，連接MF，QF，如圖：∵∠CBE＝90°，∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠CBE＝180°，∴A，B，E共線，∵∠PBM＝∠PBQ﹣∠MBQ＝90°﹣∠MBQ＝∠FBQ，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得PB＝QB，MB＝FB，∴△BPM≌△BQF（SAS），∴MP＝QF＝1，∴Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以F為圓心，1為半徑的弧，∵BC＝AB＝4，CM＝CD＝2，∴BM＝＝2，∵∠MBF＝90°，BM＝BF，∴MF＝BM＝2，∵M(jìn)Q≥MF﹣QF，∴MQ≥2﹣1，∴MQ的最小值為2﹣1．故答案為：2﹣1．19．（2分）（2023?泰州）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射線CP從射線CA開始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜75°），與射線AB相交于點(diǎn)D，將△ACD沿射線CP翻折至△A′CD處，射線CA′與射線AB相交于點(diǎn)E．若△A′DE是等腰三角形，則∠α的度數(shù)為22.5°或67.5°或45°．解：由折疊得：∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°，分三種情況：當(dāng)A′D＝A′E時(shí)，如圖：∴∠A′DE＝∠A′ED＝（180°﹣∠A′）＝75°，∵∠A′ED是△ACE的一個(gè)外角，∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝45°，∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝22.5°；當(dāng)A′D＝A′E時(shí)，當(dāng)△ADC和△A′DC位于射線AB的同側(cè)時(shí)，如圖：∴∠A′DE＝∠A′ED＝∠CA′D＝15°，∴∠ACA′＝180°﹣∠A﹣∠A′EA＝135°，∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′＝67.5°；當(dāng)DA′＝DE時(shí)，∴∠A′＝∠DEA′＝30°，∵∠DEA′是△ACE的一個(gè)外角，∴∠DEA′＞30°，∴此種情況不成立；當(dāng)ED＝EA′時(shí)，如圖：∴∠EDA′＝∠A′＝30°，∴∠DEA′＝180°﹣∠EDA′﹣∠A′＝120°，∵∠A′ED是△ACE的一個(gè)外角，∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝90°，∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝45°；綜上所述：若△A′DE是等腰三角形，則∠α的度數(shù)為22.5°或67.5°或45°，故答案為：22.5°或67.5°或45°．20．（2分）（2022?畢節(jié)市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把一個(gè)點(diǎn)從原點(diǎn)開始向上平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)A1（1，1）；把點(diǎn)A1向上平移2個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)A2（﹣1，3）；把點(diǎn)A2向下平移3個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位，得到點(diǎn)A3（﹣4，0）；把點(diǎn)A3向下平移4個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到點(diǎn)A4（0，﹣4），…；按此做法進(jìn)行下去，則點(diǎn)A10的坐標(biāo)為（﹣1，11）．解：由圖象可知，A5（5，1），將點(diǎn)A5向左平移6個(gè)單位、再向上平移6個(gè)單位，可得A6（﹣1，7），將點(diǎn)A6向左平移7個(gè)單位，再向下平移7個(gè)單位，可得A7（﹣8，0），將點(diǎn)A7向右平移8個(gè)單位，再向下平移8個(gè)單位，可得A8（0，﹣8），將點(diǎn)A8向右平移9個(gè)單位，再向上平移9個(gè)單位，可得A9（9，1），將點(diǎn)A9向左平移10個(gè)單位，再向上平移10個(gè)單位，可得A10（﹣1，11），故答案為：（﹣1，11）．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?安徽）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）畫出線段AB關(guān)于直線CD對(duì)稱的線段A1B1；（2）將線段AB向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段A2B2，畫出線段A2B2；（3）描出線段AB上的點(diǎn)M及直線CD上的點(diǎn)N，使得直線MN垂直平分AB．解：（1）線段A1B1如圖所示；（2）線段A2B2如圖所示；（3）直線MN即為所求．22．（6分）（2023?宿遷）如圖，在?ABCD中，AB＝5，，∠A＝45°．（1）求出對(duì)角線BD的長(zhǎng)；（2）尺規(guī)作圖：將四邊形ABCD沿著經(jīng)過A點(diǎn)的某條直線翻折，使點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)E處，請(qǐng)作出折痕．（不寫作法，保留作圖痕跡）解：（1）如圖所示，連接BD，過D作DH⊥AB于H，∵∠A＝45°，∠AHD＝90°，∴∠ADH＝45°＝∠A，∴△ADH是等腰直角三角形，又∵，∴AH＝DH＝3，∴BH＝AB﹣AH＝5﹣3＝2，∴Rt△BDH中，BD＝＝；（2）如圖所示，AG即為所求．23．（8分）（2023?黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．（1）將△ABC向上平移4個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到△A1B1C1，請(qǐng)畫出△A1B1C1；（2）請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A2B2C2；（3）將△A2B2C2繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A3B3C3，求線段A2C2在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積（結(jié)果保留π）．解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求；（3）將△A2B2C2繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A3B3C3，如圖，連接OC3交于D，連接OC2交于E，∵A2（﹣2，﹣1），B2（﹣1，﹣2），C2（﹣3，﹣3），∴OA2＝＝，OB2＝＝，OC2＝＝3，∴OA2＝OB2＝OD＝OE＝，由旋轉(zhuǎn)得：OA2＝OA3，OB2＝OB3，OC2＝OC3，A2C2＝A3C3，∠C2OC3＝∠DOE＝90°，∴△OA2C2≌△OA3C3（SSS），∴＝，∴線段A2C2在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積＝S﹣S扇形DOE＝﹣＝．24．（8分）（2021?溫州）如圖中4×4與6×6的方格都是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成．圖1是繪成的七巧板圖案，它由7個(gè)圖形組成，請(qǐng)按以下要求選擇其中一個(gè)并在圖2、圖3中畫出相應(yīng)的格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．（1）選一個(gè)四邊形畫在圖2中，使點(diǎn)P為它的一個(gè)頂點(diǎn)，并畫出將它向右平移3個(gè)單位后所得的圖形．（2）選一個(gè)合適的三角形，將它的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大到原來的倍，畫在圖3中．解：（1）如圖2所示，即為所求；（2）如圖3所示，即為所求．25．（8分）（2023?寧波）在4×4的方格紙中，請(qǐng)按下列要求畫出格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．（1）在圖1中先畫出一個(gè)以格點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形PAB，再畫出該三角形向右平移2個(gè)單位后的△P′A′B′．（2）將圖2中的格點(diǎn)△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，畫出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的△A′B′C．解：（1）如圖1，△P′A′B′即為所求；（2）如圖2，△A′B′C即為所求．26．（8分）（2023?甘孜州）如圖，在Rt△ABC中，，點(diǎn)D在AB邊上，連接CD，將CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接BE，DE．（1）求證：△CAD≌△CBE；（2）若AD＝2時(shí)，求CE的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究AD2+BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．（1）證明：由題意，可知∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE．∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB．即∠ACD＝∠BCE．在△CAD和△CBE中，∴△CAD≌△CBE（SAS）；（2）解：∵在Rt△ABC中，，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4．∵△CAD≌△CBE（SAS），∴BE＝AD＝2，∠CBE＝∠CAD＝45°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°．∴，∴在Rt△CDE中，；（3）解：存在，理由：由（2）可知，AD2+BD2＝BE2+BD2＝DE2＝2CD2，∴當(dāng)CD最小時(shí)，有AD2+BD2的值最小，此時(shí)CD⊥AB．∵△ABC為等腰直角三角形，∴，∴AD2+BD2＝2CD2≥2×32＝18．即AD2+BD2的最小值為18．27．（8分）（2023?大連）綜合與實(shí)踐問題情境數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師發(fā)給每名同學(xué)一個(gè)等腰三角形紙片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同學(xué)們將紙片沿一條直線折疊，探究圖形中的結(jié)論．問題發(fā)現(xiàn)奮進(jìn)小組在邊AC上取一點(diǎn)D，連接BD，將這個(gè)紙片沿BD翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，如圖1所示．如圖2，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E落在邊BC上時(shí)，∠DEC＝2∠ACB．如圖3，小紅發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)時(shí)，連接CE，若已知AB和CE的長(zhǎng)，則可求BD的長(zhǎng)．……問題提出與解決奮進(jìn)小組根據(jù)小明和小紅的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問題1，請(qǐng)你解答．問題1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，將△ABD沿BD翻折得到△EBD．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，求證：∠DEC＝2∠ACB．（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)時(shí)，連接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的長(zhǎng)．拓展延伸小剛受到探究過程的啟發(fā)，將等腰三角形的頂角改為銳角，嘗試畫圖，并提出問題2，請(qǐng)你解答．問題2：如圖4，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的長(zhǎng)．問題1，（1）證明：∵將△ABD沿BD翻折得到△EBD，∴∠BED＝∠A，∵∠BED+∠DEC＝180°，∴∠A+∠DEC＝180°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠A+∠ACB+∠ABC＝∠A+2∠ACB＝180°，∴∠DEC＝2∠ACB；（2）解：如圖1，作AG⊥BD于G，作DF⊥CE于F，∴∠AGD＝∠DFC＝90°，由折疊得，AD＝DE，∠ADB＝∠BDE，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴CD＝AD，∴DE＝CD，∴∠DEC＝∠DCE，CF＝EF＝CE＝∴DF2＝CD2﹣CF2＝22﹣（）2＝，∵∠ADB+∠BDE+∠EDC＝180°，∴2∠ADB+∠EDC＝180°，∵∠DEC+∠DCE+∠EDC＝180°，∴2∠DCE+∠EDC＝180°，∴∠ADB＝∠DCE，∴△ADG≌△DFC（AAS），∴AG＝DF，DG＝CF＝，在Rt△ABG中，由勾股定理得，BG＝＝，∴BD＝BG+DG＝；問題2，解：如圖2，連接AD，作BE