高考二輪專題-圓錐曲線的概念與性質(zhì)

高考復(fù)習(xí)專題——圓錐曲線的概念及性質(zhì)一、熱點視角展示1．專題主要內(nèi)容⑴橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡潔幾何性質(zhì)、橢圓的參數(shù)方程．⑵雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)．⑶拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的簡潔幾何性質(zhì)．2．專題學(xué)問特點⑴用代數(shù)的方法探討解決幾何問題，重點是用數(shù)形結(jié)合的思想把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題．⑵解題思路比較簡潔，概念公式較多，規(guī)律性較強，但運算過程往往比較困難，對運算實力、恒等變形能力及綜合運用各種數(shù)學(xué)學(xué)問和方法的實力要求較高．3．專題高考地位本專題是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，在歷年高考試題中均占有舉足輕重的地位，問題總量除包括倒數(shù)第1（2）題的壓軸題外，還至少包括2~3道小題．本專題內(nèi)容在高考題中所占的分值是20多分，占總分值的15%左右．⑴圓錐曲線中的定義、離心率、焦點三角形、焦半徑、通徑等學(xué)問點是填空題和選擇題中的高檔試題，難度不高，但方法比較敏捷．⑵直線與圓錐曲線的位置關(guān)系簡潔和平面對量、數(shù)列、不等式綜合，涉及存在性問題、定值問題、定點問題、求參數(shù)問題．⑶求曲線的軌跡方程是解析幾何一個基本問題，是歷年來高考的一大熱點．⑷圓錐曲線（包括直線與圓）和函數(shù)、數(shù)列、不等式、三角、平面對量等學(xué)問聯(lián)系親密．直線與圓錐曲線中的存在性問題、定值問題漸成考試定勢．⑸數(shù)形結(jié)合思想本身就是解析幾何的靈魂，在高考解析幾何題中的運用更為常見；分類探討思想主要體現(xiàn)在解答題中對參數(shù)問題的探討；等價轉(zhuǎn)化思想：在解題中常化曲為直．二、高考鏈接1、（2010天津）已知雙曲線的一條漸近線方程是y=,它的一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（A）（B）（C）（D）2、（11全國Ⅰ）設(shè)直線L過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，L與C交于A,B兩點，為C的實軸長的2倍，則C的離心率為（A）（B）（C）2（D）33．（2010福建）若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上的隨意一點，則的最大值為CA．2 B．3 C．6 D．84.（11四川）在拋物線上取橫坐標(biāo)為、的兩點，過這兩點引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓相切，則拋物線頂點的坐標(biāo)為（A） （B） （C） （D）解：令拋物線上的點為、，則，由，故切點為，切線方程為，該直線又和圓相切，則，解得或（舍去），則拋物線為，定點坐標(biāo)為，選A．5．(2010遼寧)設(shè)拋物線y2＝8x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．假如直線AF的斜率為－eq\r(3)，那么|PF|＝()A．4eq\r(3)B．8C．8eq\r(3)D．16解法一：AF直線方程為：y＝－eq\r(3)(x－2)，當(dāng)x＝－2時，y＝4eq\r(3)，∴A(－2,4eq\r(3))．當(dāng)y＝4eq\r(3)時代入y2＝8x中，x＝6，∴P(6,4eq\r(3))，∴|PF|＝|PA|＝6－(－2)＝8.故選B.解法二：∵PA⊥l，∴PA∥x軸．又∵∠AFO＝60°，∴∠FAP＝60°，又知PA＝PF，∴△PAF為等邊三角形．又在Rt△AFF′中，F(xiàn)F′＝4，∴FA＝8，∴PA＝8.故選B.1．已知P點在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為eq\f(4,3)eq\r(5)和eq\f(2,3)eq\r(5)，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，求此橢圓的方程．解法一：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，兩個焦點分別為F1、F2，則由題意，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(5)，∴a＝eq\r(5).在方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1中，令x＝±c，得|y|＝eq\f(b2,a).在方程eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1中，令y＝±c，得|x|＝eq\f(b2,a).依題意知eq\f(b2,a)＝eq\f(2,3)eq\r(5)，∴b2＝eq\f(10,3).即橢圓的方程為eq\f(x2,5)＋eq\f(3y2,10)＝1或eq\f(y2,5)＋eq\f(3x2,10)＝1.解法二：設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，則|PF1|＝eq\f(4\r(5),3)，|PF2|＝eq\f(2\r(5),3).由橢圓的定義，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(5)，即a＝eq\r(5).由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于長軸．故在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝eq\f(60,9)，∴c2＝eq\f(5,3)，于是b2＝a2－c2＝eq\f(10,3).又所求的橢圓的焦點可以在x軸上，也可以在y軸上，故所求的橢圓方程為eq\f(x2,5)＋eq\f(3y2,10)＝1或eq\f(3x2,10)＋eq\f(y2,5)＝1.2．（06北京）橢圓的兩個焦點F1、F2，點P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2,,|PF1|=,,|PF2|=.（I）求橢圓C的方程；（II）若直線L過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點，且A、B關(guān)于點M對稱，求直線L的方程。解法一：(Ⅰ)因為點P在橢圓C上，所以，a=3.在Rt△PF1F2中，故橢圓的半焦距c=,從而b2=a2－c2=4,所以橢圓C的方程為＝1.(Ⅱ)設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）.由圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）.從而可設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)+1,代入橢圓C的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.因為A，B關(guān)于點M對稱.所以解得，所以直線l的方程為即8x-9y+25=0.(經(jīng)檢驗，符合題意)解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)已知圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）.設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且 ① ②由①－②得 ③因為A、B關(guān)于點M對稱，所以x1+x2=－4,y1+y2=2,代入③得＝，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意.)3.（09重慶）已知以原點為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，離心率．（Ⅰ）求該雙曲線的方程；（Ⅱ）如圖，點的坐標(biāo)為，是圓上的點，點在雙曲線右支上，求的最小值，并求此時點的坐標(biāo)；解：（Ⅰ）由題意可知，雙曲線的焦點在軸上，故可設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，由準(zhǔn)線方程為得，由得解得從而，該雙曲線的方程為；（Ⅱ）設(shè)點D的坐標(biāo)為，則點A、D為雙曲線的焦點，所以，是圓上的點，其圓心為，半徑為1，故從而當(dāng)在線段CD上時取等號，此時的最小值為直線CD的方程為，因點M在雙曲線右支上，故由方程組得；4.（11北京）已知橢圓G：，過點（m，0）作圓的切線l交橢圓G于A，B兩點。（1）求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率；（2）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值。解：（Ⅰ）由已知得所以所以橢圓G的焦點坐標(biāo)為，離心率為（Ⅱ）由題意知，.當(dāng)時，切線l的方程，點A、B的坐標(biāo)分別為此時當(dāng)m=－1時，同理可得；當(dāng)時，設(shè)切線l的方程為由；設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為，則；又由l與圓所以由于當(dāng)時，因為且當(dāng)時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.5．(06上海)已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設(shè)點.（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；（3）過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值。解(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.又橢圓的焦點在x軸上,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)線段PA的中點為M(x,y),點P的坐標(biāo)是(x0,y0),由得點P在橢圓上，得,∴線段PA中點M的軌跡方程是.(3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1.當(dāng)直線BC不垂直于x軸時,說該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(－,－),則,又點A到直線BC的距離d=,∴△ABC的面積S△ABC=于是S△ABC=由≥－1,得S△ABC≤,其中,當(dāng)k=－時,等號成立.∴S△ABC的最大值是.6．(11湖南)已知平面內(nèi)一動點到點F（1，0）的距離與點到軸的距離的等等于1．（I）求動點的軌跡的方程；（II）過點作兩條斜率存在且相互垂直的直線，設(shè)與軌跡相交于點，與軌跡相交于點，求的最小值．解：（I）設(shè)動點的坐標(biāo)為，由題意為化簡得當(dāng)、所以動點P的軌跡C的方程為（II）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則的方程為．由，得設(shè)則是上述方程的兩個實根，于是．因為，所以的斜率為．設(shè)則同理可得：

故當(dāng)且僅當(dāng)即時，取最小值16．7.(11江西）已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于（）兩點，且．（1）求該拋物線的方程；（2）為坐標(biāo)原點，為拋物線上一點，若，求的值．8．（11四川）設(shè)橢圓的左右焦點分別為，離心率，右準(zhǔn)線為，是上的兩個動點，（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）證明：當(dāng)取最小值時，與共線?！军c評】：此題重點考察橢圓中的基本量的關(guān)系，進而求橢圓待定常數(shù)，考察向量的綜合應(yīng)用；【突破】：熟識橢圓各基本量間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，嫻熟地進行向量的坐標(biāo)運算，設(shè)而不求消元的思想在圓錐曲線問題中的敏捷應(yīng)用。9．（08遼寧）在直角坐標(biāo)系中，點P到兩點，的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為，直線與C交于A，B兩點．（Ⅰ）寫出C的方程；（Ⅱ）若，求k的值；（Ⅲ）若點A在第一象限，證明：當(dāng)k>0時，恒有||>||．解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為．（Ⅱ）設(shè)，其坐標(biāo)滿意消去y并整理得，故．若，即．而，于是，化簡得，所以．（Ⅲ）．因為A在第一象限，故．由知，從而．又，故，即在題設(shè)條件下，恒有．1．（11浙江）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，若;則點的坐標(biāo)是．2．（11天津）已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解法1．由題設(shè)可得雙曲線方程滿意，即．于是．又拋物線的準(zhǔn)線方程為，因為雙曲線的一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，則，于是．所以雙曲線的方程．故選Ｂ．解法2．因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，雙曲線的一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，則．由此解除Ａ，Ｃ．又雙曲線的一條漸近線方程是，則，由此又解除Ｄ，故選Ｂ．3.（2010全國1）已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且，則的離心率為.命題意圖：本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、其次定義、平面對量學(xué)問，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想,本題凸顯解析幾何的特點：“數(shù)探討形，形助數(shù)”，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡化問題的捷徑.4.（11江西）若橢圓的焦點在軸上，過點作圓的切線，切點分別為，，直線恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是.解:作圖可知一個切點為（1,0），所以橢圓.分析可知直線為圓與以為圓心，為半徑的圓的公共弦.由與相減得直線方程為：.令，解得，∴，又，∴，故所求橢圓方程為：5.（11山東）設(shè)M(，)為拋物線C：上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則的取值范圍是（A）(0，2)（B）[0，2]（C）(2，+∞)（D）[2，+∞)6．(09陜西)已知雙曲線C的方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，離心率e＝eq\f(\r(5),2)，頂點到漸近線的距離為eq\f(2\r(5),5).(1)求雙曲線C的方程；(2)如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))，求△AOB面積的取值范圍．解：解法一：(1)由題意知，雙曲線C的頂點(0，a)到漸近線ax－by＝0的距離為eq\f(2\r(5),5)，∴eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(2\r(5),5)，即eq\f(ab,c)＝eq\f(2\r(5),5).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ab,c)＝\f(2\r(5),5)，,\f(c,a)＝\f(\r(5),2)，,c2＝a2＋b2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，,c＝\r(5)，))∴雙曲線C的方程為eq\f(y2,4)－x2＝1.(2)由(1)知雙曲線C的兩條漸近線方程為y＝±2x.設(shè)A(m,2m)，B(－n,2n)，m>0，n>0.由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))得P點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－λn,1＋λ)，\f(2m＋λn,1＋λ)))，將P點坐標(biāo)代入eq\f(y2,4)－x2＝1，化簡得mn＝eq\f(1＋λ2,4λ)，設(shè)∠AOB＝2θ，∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝2，∴tanθ＝eq\f(1,2)，sin2θ＝eq\f(4,5).又|OA|＝eq\r(5)m，|OB|＝eq\r(5)n，∴S△AOB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|·sin2θ＝2mn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,λ)))＋1. 記S(λ)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,λ)))＋1，λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))，則S′(λ)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,λ2))).由S′(λ)＝0得λ＝1，又S(1)＝2，Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(8,3)，S(2)＝eq\f(9,4)，∴當(dāng)λ＝1時，△AOB的面積取得最小值2，當(dāng)λ＝eq\f(1,3)時，△AOB的面積取得最大值eq\f(8,3).∴△AOB面積的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3))).解法二：(1)同解法一．(2)設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，由題意知|k|<2，m>0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,y＝2x))得A點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2－k)，\f(2m,2－k)))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,y＝－2x))，得B點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－m,2＋k)，\f(2m,2＋k))).由eq\o(AP,\s\up6(→))=λeq\o(PB,\s\up6(→))得P點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,1＋λ)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2－k)－\f(λ,2＋k)))，\f(2m,1＋λ)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2－k)＋\f(λ,2＋k)))))，將P點坐標(biāo)代入eq\f(y2,4)－x2＝1得eq\f(4m2,4－k2)＝eq\f(1＋λ2,λ).設(shè)Q為直線AB與y軸的交點，則Q點的坐標(biāo)為(0，m)．S△AOB＝S△AOQ＋S△BOQ＝eq\f(1,2)|OQ|·|xA|＋eq\f(1,2)|OQ|·|xB|＝eq\f(1,2)m·(xA－xB)＝eq\f(1,2)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co