四川省成都市列五中學2023-2024學年高一下學期三月月考數學試題

高2023級高一下期數學3月月考一、單選題（共8題，每題5分）1.的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知利用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函數值即可求解．【詳解】解：．故選：A．2.下列說法錯誤的是（）A.B.，是單位向量，則C.若，則D.任一非零向量都可以平行移動【答案】C【解析】【分析】利用向量的有關概念即可.【詳解】對于A項，因為，所以，故A項正確；對于B項，由單位向量的定義知，，故B項正確；對于C項，兩個向量不能比較大小，故C項錯誤；對于D項，因為非零向量自由向量，可以自由平行移動，故D項正確．故選：C．3.函數，的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數為，根據正弦型函數的最值可求得結果.【詳解】，當，即時，取得最大值.故選：D.4.若函數的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結合三角函數的的圖象，分析三角函數的性質。確定函數的解析式.【詳解】如圖：易知：，，即.由，，時，.所以：.故選：C5.已知，則（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】由弦切互化可得，進而由余弦的二倍角公式以及齊次式的計算即可求解.【詳解】由可得，故，故選：A6.已知為銳角，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用同角三角函數的基本關系求，再利用誘導公式把用來表示即可得到答案.【詳解】因為為銳角，且，所以也是銳角，所以.，即.故選：C.7.函數的值域為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用余弦的二倍角公式化函數為關于的二次函數，結合二次函數性質可得值域．【詳解】，因為，所以．即值域為，故選：C．8.設函數的最小正周期為.若，且對任意，恒成立，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得，由對任意，恒成立，可得，計算即可得.【詳解】由，且，故，即有，解得，又，，故，即，綜上，.故選：B.二、多選題（共3題，每題6分﹔選錯0分，若答案有三個.每個選項2分.若答案為兩個，每個選項3分）9.下列各式中，值為的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據誘導公式可判斷A；由二倍角的正弦公式可計算B；由二倍角的余弦公式可判斷C；由誘導公式可計算D.【詳解】對于A：，所以A正確對于B：，所以B正確對于C：，所以C不正確對于D：，所以D正確，故選：ABD.10.已知函數，則下列選項正確的是（）A.函數的最小正周期為B.點是函數圖象的一個對稱中心C.將函數圖象向左平移個單位長度，所得到的函數為偶函數D.函數在區(qū)間上單調遞增【答案】AB【解析】【分析】利用余弦型函數的周期公式即得A項，運用代入檢驗法將看成整體角，結合余弦函數圖象對稱性易得B項，運用平移變換得到函數后，利用偶函數定義即可判C項，將看成整體角，結合余弦函數圖象單調性即可判斷D項，【詳解】對于A項，函數的最小正周期為，故A項正確；

對于B項，當時，，而，故點是函數圖象的一個對稱中心，即B項正確；對于C項，函數圖象向左平移個單位長度，得到，由于不恒零，故該函數不是偶函數，即C項錯誤；對于D項，當時，，函數在區(qū)間上沒有單調性，故D項錯誤.故選：AB.11.函數的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象向右平移個單位長度后得到的新函數是奇函數C.的圖象關于點對稱D.若方程在上有且只有6個根，則【答案】AD【解析】【分析】根據給定的函數圖象，利用函數的解析式，再利用正弦函數的圖象性質逐項判斷即得.【詳解】由圖象得，，，而，則，，由的圖象過點，得，解得，而的周期有，即，解得，因此，，A正確；函數的圖象向右平移個單位長度后得到的新函數是，非奇非偶函數，B錯誤；，C錯誤；顯然，若方程在上有且只有6個根，則，D正確.故選：AD三、填空題（共3題，每題5分）12.若為銳角，且，則_____．【答案】【解析】【分析】通過平方關系求出和的值，再根據兩角和的余弦公式即可得解.【詳解】因為為銳角，且，所以，所以．故答案為：.13.______．【答案】##0.5【解析】【分析】注意所求式中角的關系，對進行拆角為，利用和角公式化簡即得.【詳解】由故答案為：14.關于函數有下列三個結論，①是函數的周期；②函數在的所有零點和為；③函數的值域；其中所有正確結論的編號是___________．【答案】①③【解析】【分析】根據三角函數的性質，函數零點的定義，以及值域的求法即可判斷各結論的真假．【詳解】對①，因為函數，所以是函數的周期，①正確;對②，令，則，解得，即或，，而，所以，，，，故函數在的所有零點和為，②錯誤；對③，設，則，所以，③正確．故答案為：①③【點睛】本題主要考查三角函數的性質的應用，函數零點的理解，以及值域的求法應用，屬于中檔題．四、解答題（15題13分，16和17題15分，18和19題17分）15.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換的正切和角公式求解即可.（2）結合二倍角公式進行化簡，再結合弦切互化即可求值.【小問1詳解】因為，所以，解得.【小問2詳解】因為所以的值為.16.化簡求值（1）已知，求的值（2）已知，且．求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求得，再由倍角公式求的值；（2）先求得的值，再求得的值，從而可求得的值.【小問1詳解】由得，因為，所以，，故.【小問2詳解】因為，所以，所以所以因為，所以.17.一個大風車的半徑為8米，風車按逆時針方向勻速旋轉，并且12分鐘旋轉一周，它的最低點離地面2米，設風車開始旋轉時其翼片的一個端點在風車的最低點，求：（1）點離地面距離（米與時間（分鐘）之間的函數關系式；（2）在第一圈的什么時間段點離地面的高度超過14米？【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）設，由題意求得各參數值，得解析式；（2）解不等式可得．【詳解】（1）設，由題意得：，，；則，當時，，即；因此，；因此，，；（2）由題意：，即：；則：；又因為，所以．18.已知數的相鄰兩對稱軸間的距離為.（1）求解析式；（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，再把各點的橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，當時，求函數的值域；（3）對于第（2）問中的函數，記方程在上的根從小到大依次為，若，試求與的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先整理化簡得，利用周期求得，即可得到；（2）利用圖像變換得到，用換元法求出函數的值域；（3）由方程，得到，借助于正弦函數的圖象，求出與的值.【小問1詳解】由題意，函數因為函數圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，所以，可得.故【小問2詳解】將函數圖象向右平移個單位長度，可得的圖象.再把橫坐標縮小為原來的，得到函數的圖象.當時，，當時，函數取得最小值，最小值為，當時，函數取得最大值，最大值為，故函數的值域.【小問3詳解】由方程，即，即，因為，可得，設，其中，即，結合正弦函數的圖象，可得方程在區(qū)間有5個解，即，其中，即解得所以.綜上，【點睛】（1）三角函數問題通常需要把它化為“一角一名一次”的結構，借助于或的性質解題；（2）求y=Asin(ωx+φ)+B值域通常用換元法；19.已知函數，其中．（1）若，求的對稱中心；（2）若，函數圖象向右平移個單位，得到函數的圖象，是的一個零點，若函數在（且）上恰好有8個零點，求的最小值；（3）已知函數，在第（2）問條件下，若對任意，存在，使得成立，求實數a的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用倍角公式化簡函數解析式，由已知確定最小正周期，可得，整體代入法求的對稱中心；（2）由圖象平移變換得到函數，結合和，得，根據的零點個數可得，要使最小，則恰好為的零點，由此求的最小值；（3）根據已知，在上，的值域是值域的子集，求出這兩個值域，由包含關系構造不等式示結果.【小問1詳解】函數，若，則與是相鄰的最小值點和最大值點，的最小正周期為，由，解得，得，令，解得，此時，所以的對稱中心為.【小問2詳解】，，，所以或解得或，又，得，所以，函數最小正周期