第三講特殊三角形及其性質(zhì)(含解直角三角形)（考點(diǎn)精析真題精講）（原卷版）

備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3講特殊三角形及其性質(zhì)№考向解讀第3講特殊三角形及其性質(zhì)№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?題型突破?專題精練第四章三角形第3講特殊三角形及其性質(zhì)→?考點(diǎn)精析←→?真題精講←考向一直角三角形考向二等腰三角形第3講特殊三角形及其性質(zhì)→?考點(diǎn)精析←一、等腰三角形1．等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）．推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等．推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．1．等腰三角形是軸對稱圖形，它有1條或3條對稱軸．2．等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．4．等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則<a．5．等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°2∠B，∠B=∠C=．二、等邊三角形1．定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．2．性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°．3．判定：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．4．等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)．5．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸．6．等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．三、直角三角形與勾股定理1．直角三角形定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．性質(zhì)：（1）直角三角形兩銳角互余；（2）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．判定：（1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．→?真題精講←題型一直角三角形1．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的中點(diǎn)．若點(diǎn)在邊上，且，則的長為（

）A．1 B．2 C．1或 D．1或22.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若∠B=30°，BD=6，則CD的長為__________．3.（2023·云南初二月考）直角三角形的兩條直角邊長分別為cm和cm，則這個(gè)直角三角形的周長為__________.4．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長為的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為__________．5．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）矩形中，M為對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊上，且．當(dāng)以點(diǎn)D，M，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，的長為______．6．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）在某次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，G，H分別為，的中點(diǎn)），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長的最小值為____________，最大值為___________________．7．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖①．在矩形．，點(diǎn)在邊上，且．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，作，交邊或邊于點(diǎn)，連續(xù)．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（）(1)當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，線段的長為__________；(2)當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，求；(3)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀始終是等腰直角三角形．如圖②．請說明理由；(4)作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接、，當(dāng)四邊形和矩形重疊部分圖形為軸對稱四邊形時(shí)，直接寫出的取值范圍．題型二等腰三角形8.下列推理中，錯(cuò)誤的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形9.（2023·四川省武勝縣萬善初級中學(xué)初二月考）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則其余兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為A．40°，100° B．70°，70° C．60°，80° D．40°，100°或70°，70°10.（2023·延安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二期末）如圖，在中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是A．ADBC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC11．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)A，直線與交于點(diǎn)D．與y軸交于點(diǎn)E．動(dòng)點(diǎn)M在線段上，動(dòng)點(diǎn)N在直線上，若是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________12.（2023·山東初二期末）如圖，在△ABC中，∠B=∠C=60°，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，DE⊥BC于E，若BE=1，則AC的長為__________．13．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，．過點(diǎn)作，延長到，使，連接．若，則________________．（結(jié)果保留根號）14．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在中、，于點(diǎn)M，D是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求證：D是的中點(diǎn)；(2)如圖2，若在線段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足，連接，，直接寫出的大小，并證明．15．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖①，和是等邊三角形，連接，點(diǎn)F，G，H分別是和的中點(diǎn)，連接．易證：．若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．16．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點(diǎn)，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作的垂線交直線于點(diǎn)F．【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：，請寫出證明過程．【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)，且點(diǎn)F在線段上時(shí)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）【拓展運(yùn)用】(3)如圖3，連接，設(shè)的中點(diǎn)為M．若，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．17．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真