《時間序列分析-基于Python》 課件 ch6 有季節(jié)效應的非平穩(wěn)序列分析

有季節(jié)效應的非平穩(wěn)序列分析06本章內容因素分解理論0102因素分解模型指數(shù)平滑預測模型ARIMA季節(jié)加法模型050403ARIMA季節(jié)乘法模型確定性因素分解因素分解方法（TimeSeriesDecomposition）由英國統(tǒng)計學家W.M.Persons于1919年在他的論文“商業(yè)環(huán)境的指標（IndicesofBusinessConditions）”一文中首次使用。因素分解方法認為所有的序列波動都可以歸納為受到如下四大類因素的綜合影響：長期趨勢（Trend）：序列呈現(xiàn)出明顯的長期遞增或遞減的變化趨勢。循環(huán)波動（Circle）：序列呈現(xiàn)出從低到高再由高到低的反復循環(huán)波動。循環(huán)周期可長可短，不一定是固定的。季節(jié)性變化（Season）：序列呈現(xiàn)出和季節(jié)變化相關的穩(wěn)定周期性波動，后來季節(jié)性變化的周期拓展到任意穩(wěn)定周期。隨機波動(Immediate)：除了長期趨勢、循環(huán)波動和季節(jié)性變化之外，其他不能用確定性因素解釋的序列波動，都屬于隨機波動。因素分解模型統(tǒng)計學家在進行確定性時間序列分析時，假定序列會受到這四個因素中的全部或部分的影響，導致序列呈現(xiàn)出不同的波動特征。換言之，任何一個時間序列都可以用這四個因素的某個函數(shù)進行擬合常用模型加法模型：乘法模型：因素分解模型遇到的問題（1）如果觀察時期不是足夠長，那么循環(huán)因素和趨勢因素的影響很難準確區(qū)分。很多經濟或社會現(xiàn)象有“上行——峰頂——下行——谷底”周而復始的循環(huán)周期。但是這個周期通常很長而且周期長度不是固定的在經濟學領域更是如此，經濟學家一再證明經濟周期的存在和周期的不確定韋斯利.米歇爾周期（經濟周期的持續(xù)時間從1年到10年或12年不等）基欽周期（平均周期長度為40個月左右）朱格拉周期（平均周期長度為10年左右）庫茲涅茨周期（平均長度為20年左右）康德拉季耶夫周期（平均周期長度為53.3年）如果觀察值序列不是足夠長，沒有包含幾個周期的話，那么周期的一部分會和趨勢重合，無法準確完整地提取周期影響。因素分解模型遇到的問題（2）有些社會現(xiàn)象和經濟現(xiàn)象顯示出某些特殊日期是一個很顯著的影響因素，但是在傳統(tǒng)因素分解模型中，它卻沒有被納入研究。比如研究股票交易序列，成交量、開盤價、收盤價會明顯受到交易日的影響，同一只股票每周一和每周五的波動情況可能有顯著的不同。超市銷售情況更是明顯受到特殊日期的影響，工作日、周末、重大假日的銷售特征相差很大。春節(jié)、端午節(jié)、中秋節(jié)、兒童節(jié)、圣誕節(jié)等不同的節(jié)日對零售業(yè)、旅游業(yè)、運輸業(yè)等很多行業(yè)都有顯著影響。因素分解改進模型如果觀察時期不是足夠長，人們將循環(huán)因素（Circle）改為特殊交易日因素（Day）。新的四大因素為：趨勢（T），季節(jié)（S），交易日（D）和隨機波動（I）。加法模型：乘法模型：偽加法模型：對數(shù)加法模型：確定性時序分析的目的我們基于因素分解的思想進行確定性時序分析的目的主要包括以下兩個方面：一是克服其他因素的干擾，單純測度出某個確定性因素（諸如季節(jié)、趨勢、交易日）對序列的影響。二是根據序列呈現(xiàn)的確定性特征選擇適當?shù)姆椒▽π蛄羞M行綜合預測。本章內容因素分解理論0102因素分解模型指數(shù)平滑預測模型ARIMA季節(jié)加法模型050403ARIMA季節(jié)乘法模型因素分解模型的選擇：加法模型例6-1：考察1981—1990年澳大利亞政府季度消費支出序列的確定性影響因素，并選擇因素分解模型。從右圖中可以看到，該序列具有明顯的線性遞增趨勢，以及以年為周期的季節(jié)效應，沒有看到大的經濟周期循環(huán)特征，也沒有交易日的信息，所以可以確定這個序列受到三個因素的影響：長期趨勢、季節(jié)效應和隨機波動。時序圖顯示，隨著趨勢的遞增，每個季節(jié)的振幅維持相對穩(wěn)定（如右圖中的虛線所示，周期波動范圍近似平行），這說明季節(jié)效應沒有受到趨勢的影響，這時通常選擇加法模型因素分解模型的選擇：乘法模型例6-2：考察1993-2000年中國社會消費品零售總額序列的確定性影響因素，并選擇因素分解模型。從右圖中可以看到，該序列具有明顯的線性遞增趨勢，以及以年為周期的季節(jié)效應，沒有看到大的經濟周期循環(huán)特征，也沒有交易日的信息，所以可以確定這個序列也受到三個因素的影響：長期趨勢、季節(jié)效應和隨機波動。時序圖顯示出隨著趨勢的遞增，每個季節(jié)的振幅也在增大（如右圖中的虛線所示，周期波動范圍隨著趨勢遞增而擴大，呈現(xiàn)喇叭形），這說明季節(jié)效應受到趨勢的影響，這時通常選擇乘法模型趨勢效應的提取趨勢效應的提取方法有很多，比如構建序列與時間t的線性回歸方程或曲線回歸方程，或者構建序列與歷史信息的自回歸方程，但在因素分解場合，最常用的趨勢效應提取方法是簡單中心移動平均方法。移動平均方法最早于1870年由法國數(shù)學家DeForest提出。移動平均的計算公式如下中心移動平均簡單中心移動平均：對移動平均函數(shù)增加三個約束條件——時期對稱，系數(shù)相等，系數(shù)和為1，此時的移動平均稱為簡單中心移動平均。例如5期中心移動平均復合移動平均：如果移動平均的期數(shù)為偶數(shù)，那么通常需要進行兩次偶數(shù)期移動平均才能實現(xiàn)時期對稱。兩次移動平均稱為復合移動平均，記作例如中心移動平均的良好屬性簡單中心移動平均方法盡管很簡單，但是卻具有很多良好的屬性：1.簡單中心移動平均能夠有效提取低階趨勢（一元一次線性趨勢或一元二次拋物線趨勢）。2.簡單中心移動平均能夠實現(xiàn)擬合方差最小。3.簡單中心移動平均能有效消除季節(jié)效應。對于有穩(wěn)定季節(jié)周期的序列進行周期長度的簡單移動平均可以消除季節(jié)效應。因為簡單中心移動平均具有這些良好的屬性，所以，只要選擇適當?shù)囊苿悠骄跀?shù)就能有效消除季節(jié)效應和隨機波動的影響，有效提取序列的趨勢信息。例６-1加法模型的因素分解使用簡單中心移動平均方法提取1981-1990年澳大利亞政府季度消費支出序列的趨勢效應。原序列為季度數(shù)據，有顯著的季節(jié)特征，每年為一個周期，即周期長度為4期。對原序列先進行4期簡單移動平均，再對序列進行兩期移動平均，得到復合移動平均值例6-1：趨勢效應的提取周期步長的移動平均能有效消除季節(jié)效應和隨機波動的影響，本例使用提取該序列的趨勢信息例6-1：剔除趨勢效應對于加法模型，原序列減去趨勢效應，就從原序列中剔除了趨勢效應，剩下的就是季節(jié)效應和隨機波動加法季節(jié)效應的提取加法模型季節(jié)效應的提取步驟第一步：從原序列中消除趨勢效應第二步：計算序列總均值第三步：計算季度均值第四步：季度均值減總均值，得到季節(jié)指數(shù)例6-1：提取澳大利亞政府季度消費支出序列的季節(jié)效應年Q1Q2Q3Q41981..38.13160.001982-709.13631.00-384.25194.881983-174.38291.25-300.88285.631984-476.38416.00-82.00104.501985-522.00582.63-246.88319.631986-685.75585.25-45.00194.131987-653.13514.50-259.13280.381988-429.88440.75-128.63166.881989-714.25665.25-160.75144.001990-490.75410.25..-539.51504.10-174.38205.56-1.06-538.45505.16-173.32206.61例6-1：季節(jié)效應的提取澳大利亞政府季度消費支出每年都是２季度最高，１季度最低。消費支出從低到高排序是：１季度＜３季度＜４季度＜２季度不同季節(jié)之間平均季節(jié)指數(shù)的差值就是季節(jié)效應造成的差異大小。例6-1：隨機效應的提取從原序列中剔除趨勢效應和季節(jié)效應，就殘留隨機效應例6-2

乘法模型的因素分解使用簡單中心移動平均方法提取1993-2000年中國社會消費品零售總額序列的趨勢效應。該序列為月度數(shù)據，即周期長度等于12。對原序列進行復合移動平均。右圖顯示能有效提取該序列的趨勢效應。例6-2對于乘法模型，原序列除以趨勢效應，就從原序列中剔除了趨勢效應，剩下的就是季節(jié)效應和隨機波動乘法季節(jié)效應的提取乘法模型季節(jié)效應的提取步驟第一步：從原序列中消除趨勢效應第二步：計算序列總均值第三步：計算季度均值第四步：季度均值減總均值，得到季節(jié)指數(shù)例6-2：季節(jié)效應提取中國社會消費品零售總額序列具有上半年為淡季，下半年為旺季，而且越到年底銷售越旺的特征。不同季節(jié)之間季節(jié)指數(shù)的比值就是季節(jié)效應造成的差異。比如１月份的季節(jié)指數(shù)為1.04，２月份的季節(jié)指數(shù)為０.９９，這說明由于季節(jié)的原因，２月份的平均銷售額通常只有１月份的９５％左右（０.９９／１.０４＝０.９５）。例6-2：隨機效應的提取從原序列中剔除趨勢效應和季節(jié)效應，就殘留隨機效應Ｘ11季節(jié)調節(jié)模型X11模型也稱為X11季節(jié)調節(jié)模型。它是第二次世界大戰(zhàn)之后，美國人口普查局委托統(tǒng)計學家進行的基于計算機自動進行的時間序列因素分解方法。構造它的目的是因為很多序列通常具有明顯的季節(jié)效應，季節(jié)性會掩蓋序列發(fā)展的真正趨勢，妨礙人們做出正確判斷。因此在進行國情監(jiān)控研究時，首先需要對序列進行因素分解，分別監(jiān)控季節(jié)性波動和趨勢效應。1954年，第一個基于計算機自動完成的因素分解程序測試版本面世，隨后經過10多年的發(fā)展，計算方法不斷完善，陸續(xù)推出了新的測試版本X-1，X-2，┄┄，X10。1965年，由統(tǒng)計學家Shiskin，Young和Musgrave共同研發(fā)推出了新的測試版本X11。X11在傳統(tǒng)的簡單移動平均方法的基礎上，又創(chuàng)造性地引入兩種移動平均方法以補足簡單移動平均方法的不足。它通過三種移動平均方法，進行三階段的因素分解。大量的實踐應用證明，對各種特征的序列，X11模型都能進行精度很高的、計算機程序化操作的因素分解。自此，X11模型成為全球統(tǒng)計機構和商業(yè)機構進行因素分解時最常使用模型。X12和X13模型1975年，加拿大統(tǒng)計局將ARIMA模型引入X11模型。借助ARIMA模型可以對序列進行向后預測擴充數(shù)據，以保證擬合數(shù)據的完整性，彌補了中心移動平均方法的缺陷。1998年，美國人口普查局開發(fā)了X12-ARIMA模型。這次是將干預分析（我們將在第八章介紹干預分析）引入X11模型。它是在進行X11分析之前，將一些特殊因素作為干預變量引入研究。這些干預變量包括：特殊節(jié)假日、固定季節(jié)因素、工作日因素、交易日因素、閏年因素，以及研究人員自行定義的任意自變量。2006年美國人口普查局再次推出更新版本X13-ARIMA-Seats，它是在X12的基礎上，增加了seats季節(jié)調整方法。由這個改進過程我們可以看到，盡管現(xiàn)在有很多因素分解模型的最新版本，但最重要的理論基礎依然是Ｘ１１模型。所以我們主要介紹Ｘ１１模型的理論基礎和操作流程。X11模型的三種移動平均方法X11模型的核心技術是三次移動平均：第一次：簡單移動平均方法第二次：Henderson加權移動平均第三次：Musgrave非對稱移動平均Henderson加權移動平均簡單移動平均具有很多優(yōu)良的屬性，這使得它成為實務中應用最廣的一種移動平均方法，但它也有不足之處。在提取趨勢信息的時候，它能很好地提取一次函數(shù)（線性趨勢）和二次函數(shù)（拋物線趨勢）的信息，但是對于二次以上曲線，它對趨勢信息的提取就不夠充分了。這說明簡單移動平均對高階多項式函數(shù)的擬合是不夠精確的。為了解決這個問題，X11模型引入了Henderson加權移動平均。在的約束下，使得下式達到最小的系數(shù)即為Henderson加權移動平均系數(shù)其中S等于移動平均系數(shù)的三階差分的平方和，這等價于把某個三次多項式作為光滑度的一個指標，要求達到最小，就是力求修勻值接近一條三次曲線。理論上也可以要求逼近更高次數(shù)的多項式曲線，比如四次或五次，這時只需要調整函數(shù)中的差分階數(shù)。但階數(shù)越高，計算越復雜，所以使用最多的還是3階差分光滑度要求。Musgrave非對稱移動平均前面兩種移動平均方法可以很好地消除趨勢，提取線性或非線性趨勢信息，但是它們都有一個明顯的缺點：因為是中心移動平均，假如移動平均期數(shù)為2k+1，那么序列最前面的k期和最后面的k期經過移動平均擬合后，信息就缺失了。這是嚴重的信息損失，尤其是最后幾期的信息可能正是我們最關心的信息。1964年，統(tǒng)計學家Musgrave針對這個問題構造了Musgrave非對稱移動平均方法，專門對最后k期數(shù)據進行補充平滑擬合。Musgrave非對稱移動平均Musgrave非對稱移動平均的構造思想是：已知一組中心移動平均系數(shù)，滿足系數(shù)和為1、方差最小、光滑度最優(yōu)等前提約束?，F(xiàn)在需要另外尋找一組非中心移動平均系數(shù)，也滿足系數(shù)和為1且它的擬合值能無限接近中心移動平均的擬合值，即對中心移動平均現(xiàn)有估計值做出的修正最小式中，d為補充平滑的項數(shù)。X11模型分析步驟：第一階段迭代第1步：進行

復合移動平均，剔除周期效應，得到趨勢效應的初始估計值第2步：從原序列中剔除趨勢效應，得到季節(jié)和隨機成分，不妨記作第3步：計算季節(jié)指數(shù)第4步：從原序列中剔除趨勢和季節(jié)效應，得到隨機成分，不妨記作

，對

做標準化運算，產生異常值權重函數(shù)

，原序列除以權重函數(shù)，初步消除異常值的影響，得到調整后序列

X11模型分析步驟：第二階段迭代第5步：基于

序列，用13期Henderson加權移動平均，得出非線性趨勢效應估計值第6步：從

中剔除趨勢效應，得到季節(jié)和隨機成分，不妨記作第7步：計算

序列的季節(jié)指數(shù)第8步：從序列

中剔除趨勢和季節(jié)效應，得到隨機成分，不妨記作

，對

做標準化運算，產生第二次迭代的異常值權重函數(shù)

，

序列除以權重函數(shù)，進一步消除異常值的影響，得到調整后序列

X11模型分析步驟：第三階段迭代第9步：基于

序列，使用Musgrave非對稱移動平均填補Henderson加權移動平均不能獲得的估計值，計算最終趨勢效應第10步：從

中剔除趨勢效應，得到隨機波動例6-2：X11季節(jié)模型因素分解觀察值序列趨勢效應季節(jié)效應隨機波動本章內容因素分解理論0102因素分解模型指數(shù)平滑預測模型ARIMA季節(jié)加法模型050403ARIMA季節(jié)乘法模型指數(shù)平滑預測模型確定性因素分解的第二個目的是根據序列呈現(xiàn)的確定性特征，選擇適當?shù)哪Ｐ?，預測序列未來的發(fā)展。根據序列是否具有長期趨勢與季節(jié)效應，可以把序列分為如下三大類：第一類：既無長期趨勢，也無季節(jié)效應第二類：有長期趨勢，無季節(jié)效應第三類：長期趨勢可有可無，但一定有季節(jié)效應在確定性因素分解領域，針對這三類序列，可以采用三種不同的指數(shù)平滑模型進行序列預測簡單指數(shù)平滑對于既無長期趨勢又無季節(jié)效應的序列，可以認為序列圍繞在均值附近做隨機波動，即假定序列的波動服從如下模型：對該序列進行預測的主要目的是消除隨機波動的影響，得到序列穩(wěn)定的均值。使用簡單移動平均得到的預測值是序列真實值的無偏估計，而且移動平均期數(shù)越大，預測的誤差越小簡單指數(shù)平滑預測模型簡單移動平均有很多良好的屬性，但是在實務中，人們也發(fā)現(xiàn)了它的缺點。簡單移動平均法實際上就是用一個簡單的加權平均數(shù)作為某一期序列值的估計值。實際上也就是假定無論時間的遠近，這n期的觀察值對預測值的影響力都是一樣的。但在實際生活中，我們會發(fā)現(xiàn)對大多數(shù)隨機事件而言，一般都是近期的結果對現(xiàn)在的影響會大些，遠期的結果對現(xiàn)在的影響會小些。這就是1961年Brown和Meyers提出指數(shù)平滑法的構造思想。簡單指數(shù)平滑模型因為所以這說明簡單指數(shù)平滑方法的設計既考慮到了時間間隔的影響，又不影響預測值的無偏性。所以它是一種簡單好用的無趨勢、無季節(jié)效應序列的預測方法。簡單指數(shù)平滑預測公式在實際應用中，通常使用簡單指數(shù)平滑的遞推公式進行逐期預測式中：α為平滑系數(shù)。平滑系數(shù)α的值可以由研究人員根據經驗和需要自行給定。對于變化緩慢的序列，常取較小的α值；相反，對于變化迅速的序列，常取較大的α值。從理論上我們可以證明使用簡單指數(shù)平滑法預測任意期的預測值都為常數(shù)例6-3例6-4根據1949-1998年北京市每年最高氣溫序列，采用指數(shù)平滑法預測1999-2018年北京市每年的最高氣溫例6-4模型擬合該序列沒有長期趨勢，沒有季節(jié)效應，所以采用簡單指數(shù)平滑法進行序列擬合與預測。擬合模型的參數(shù)信息和誤差平方和信息如下fit1基于最小二乘估計法計算α的估計值，fit2給定α=0.12（SAS軟件默認fit2操作）實務中當研究人員有經驗時，通常自定義平滑系數(shù)；當研究人員沒有經驗時，通常采用系統(tǒng)擬合效果最優(yōu)的平滑系數(shù)。例6-4

預測值和預測效果圖Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑適用于對含有線性趨勢的序列進行預測。它的基本思想是具有線性趨勢的序列通?？梢员磉_為如下模型結構等價表達a(t-1)代表序列在t-1時刻截距的無偏估計值，b(t)代表序列在ｔ時刻斜率的無偏估計值Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑公式Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑就是分別使用簡單指數(shù)平滑的方法，結合序列的最新觀察值，不斷修勻截距a(t)和斜率項b(t)，遞推公式如下使用Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑法，向前ｋ期的預測值為例6-5對1898-1968年紐約市人均日用水量序列進行Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑，預測1969-1980年紐約市人均日用水量例6-5模型擬合該序列有長期遞增趨勢，但沒有季節(jié)效應，所以采用Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑法進行序列擬合與預測?；谧钚《斯烙嫷玫降膮?shù)估計值和擬合精度信息如下：例6-5預測值和預測效果圖Holt-Winters三參數(shù)指數(shù)平滑（加法模型）季節(jié)加法模型的一般表達等價表達其中：a(t-1)代表序列在t-1時刻消除季節(jié)效應后序列截距的無偏估計值，b(t)是斜率的無偏估計值，c(t)是季節(jié)指數(shù)的無偏估計。Holt-Winters三參數(shù)指數(shù)平滑公式（加法模型）Holt-Winters三參數(shù)指數(shù)平滑就是分別使用指數(shù)平滑的方法，迭代遞推參數(shù)a(t)，b(t)和c(t)的值使用Holt-Winters三參數(shù)指數(shù)平滑加法公式，向前k期的預測值為例6-1續(xù)對1981—1990年澳大利亞政府季度消費支出序列，使用Holt-Winters三參數(shù)指數(shù)平滑法進行預測。Holt-Winters三參數(shù)指數(shù)平滑（乘法模型）季節(jié)乘法模型的一般表達等價表達其中：a(t-1)代表序列在t-1時刻消除季節(jié)效應后序列截距的無偏估計值，b(t)是斜率的無偏估計值，c(t)是季節(jié)指數(shù)的無偏估計。Holt-Winters三參數(shù)指數(shù)平滑公式（乘法模型）Holt-Winters三參數(shù)指數(shù)平滑就是分別使用指數(shù)平滑的方法，迭代遞推參數(shù)a(t)，b(t)和c(t)的值使用Holt-Winters三參數(shù)指數(shù)平滑乘法公式，向前k期的預測值為例6-2續(xù)為1993-2000年中國社會消費品零售總額序列，使用Holt-Winters三參數(shù)指數(shù)平滑法進行12期預測。本章內容因素分解理論0102因素分解模型指數(shù)平滑預測模型ARIMA季節(jié)加法模型050403ARIMA季節(jié)乘法模型ARIMA季節(jié)加法模型季節(jié)加法模型是指序列中的季節(jié)效應和其它效應之間是加法關系簡單季節(jié)模型通過簡單的趨勢差分、季節(jié)差分之后序列即可轉化為平穩(wěn)，它的模型結構通常如下例6-6使用ARIMA模型擬合1962-1991年德國工人季度失業(yè)率序列。德國工人季度失業(yè)率序列時序圖1階，4步差分后序列時序圖例6-6差分后序列自相關圖和偏自相關圖自相關圖顯示出明顯的下滑軌跡，典型的拖尾屬性偏自相關圖除了１階和４階偏自相關系數(shù)顯著大于２倍標準差，其他階數(shù)的偏自相關系數(shù)基本都在２倍標準差范圍內波動。所以嘗試擬合疏系數(shù)模型AR(1,4)?？紤]到前