2024屆遼寧省撫順市六校協(xié)作體高三下學(xué)期第三次模擬數(shù)學(xué)試卷含答案

高三數(shù)學(xué)考試注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)，則（）A．5 B． C．4 D．32．設(shè)集合，若，則（）A．0 B．1 C．2 D．33．已知圓錐的底面圓的半徑為1，其側(cè)面展開圖定一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的母線長為（）A． B．3 C． D．44．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（）A． B．2 C． D．45．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的最小正周期為 B．在上單調(diào)遞增C．為偶函數(shù) D．的最小值為6．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．7．過雙曲線的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)．若，則（）A． B． C． D．8．將8個(gè)數(shù)學(xué)競賽名額全部分給4個(gè)不同的班，每個(gè)班至少有1個(gè)名額，則不同的分配方案種數(shù)為（）A．15 B．35 C．56 D．70二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．2023年7月31日國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布了制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI），如下圖所示：下列說法正確的是（）A．從2023年1月到2023年7月，這7個(gè)月的制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）的第75百分位數(shù)為51.9%B．從2023年1月到2023年7月，這7個(gè)月的制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）的極差為3.8%C．從2022年7月到2023年7月，制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）呈下降趨勢D．PMI大于50%，表示經(jīng)濟(jì)處于擴(kuò)張活躍的狀態(tài)，PMI小于50%，表示經(jīng)濟(jì)處于低迷萎縮的狀態(tài)，則2023年1月到2023年3月，經(jīng)濟(jì)處于擴(kuò)張活躍的狀態(tài)10．已知拋物線，過點(diǎn)作直線，直線與交于兩點(diǎn)．在軸上方，直線與交于兩點(diǎn)，在軸上方，連接，若直線過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若直線的斜率為1，則直線的斜率為B．直線過定點(diǎn)C．直線與直線的交點(diǎn)在直線上D．與的面積之和的最小值為．11．已知定義在上的奇函數(shù)連續(xù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．當(dāng)時(shí)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A．在上為減函數(shù) B．當(dāng)時(shí)，C． D．在上有且只有1個(gè)零點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則______，*．13．在直三棱柱中，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則異面直線所成角的余弦值為______．14．太極圖被稱為“中華第一圖”，其形狀如陰陽兩魚互抱在一起，因而又被稱為“陰陽魚太極圖”．如圖所示的圖形是由半徑為2的大圓和兩個(gè)對稱的半圓弧組成的，線段過點(diǎn)且兩端點(diǎn)分別在兩個(gè)半圓弧上，是大圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______*．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）在中，內(nèi)角的對邊分別為．（1）求；（2）若為的中線，且，求的面積．16．（15分）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，平面平面．為的中點(diǎn)，且分別為的中點(diǎn)．（1）證明：．（2）設(shè)交平面于點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值．17．（15分）某市共有教師1000名，為了解老師們的寒假研修情況，評選研修先進(jìn)個(gè)人，現(xiàn)隨機(jī)抽取了10名教師利用“學(xué)習(xí)APP”學(xué)習(xí)的時(shí)長（單位：小時(shí)）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，時(shí)長不低于80小時(shí)的教師評為“研修先進(jìn)個(gè)人”．（1）現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取3名教師的學(xué)習(xí)時(shí)長，求這3名教師中恰有2名教師是研修先進(jìn)個(gè)人的概率．（2）若該市所有教師的學(xué)習(xí)時(shí)長近似地服從正態(tài)分布，其中為抽取的10名教師學(xué)習(xí)時(shí)長的樣本平均數(shù)，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：①試估計(jì)學(xué)習(xí)時(shí)長不低于50小時(shí)的教師的人數(shù)（結(jié)果四舍五人到整數(shù)）；②若從該市隨機(jī)抽取的名教師中恰有名教師的學(xué)習(xí)時(shí)長在內(nèi)，則為何值時(shí)，的值最大？附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．18．（17分）設(shè)函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性．（2）證明：．（3）當(dāng)時(shí)，證明：．19．（17分）如圖所示，在圓錐內(nèi)放人兩個(gè)球，它們都與圓錐的側(cè)面相切（即與圓錐的每條母線相切），且這兩個(gè)球都與平面相切，切點(diǎn)分別為，數(shù)學(xué)家丹德林利用這個(gè)模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，記為為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．設(shè)直線分別與該圓錐的母線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)的母線分別與球相切于兩點(diǎn)，已知．以直線為軸，在平面內(nèi)，以線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，是橢圓的左、右頂點(diǎn)，連接，設(shè)直線與交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)在直線上．高三數(shù)學(xué)考試參考答案1．A【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因?yàn)?，所以?．C【解析】本題考查集合的基本運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因?yàn)?，所以或，解得或．?dāng)時(shí)，，不符合題意．當(dāng)時(shí)，，符合題意．故選C．3．D【解析】本題考查圓錐的側(cè)面展開圖，考查直觀想象的核心素養(yǎng)．設(shè)母線長為，由，得．4．A【解析】本題考查圓的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，所以．5．C【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以，可知在上不單調(diào)，B錯(cuò)誤．又，所以為偶函數(shù)，C正確．6．A【解析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．因?yàn)?，所以排除D．又因?yàn)?，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選A．7．D【解析】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．由焦比定理可得，又，所以．8．B【解析】本題考查用排列組合解決實(shí)際問題，考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)和應(yīng)用意識(shí)．將8個(gè)數(shù)學(xué)競賽名額全部分給4個(gè)不同的班，每個(gè)班至少有1個(gè)名額，可類比為用3個(gè)隔板插入8個(gè)小球中間的空隙中，將球分成4堆，由于8個(gè)小球中間共有7個(gè)空隙，因此共有種不同的分法．9．ABD【解析】本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)和應(yīng)用意識(shí)．由圖知，從2023年1月到2023年7月，這7個(gè)月的制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）從小到大的順序?yàn)?，因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)，即為，故A正確；從2023年1月到2023年7月，這7個(gè)月的制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）的最大值為，最小值為，所以極差為，故B正確；由圖易知C錯(cuò)誤，D正確．10．ABD【解析】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查直觀想象的核心素養(yǎng)．設(shè)，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，聯(lián)立方程組可得，B正確；，當(dāng)時(shí)，，A正確；當(dāng)軸時(shí)，可知，，求得直線的方程為，直線的方程為，將這兩方程聯(lián)立方程組，解得，C錯(cuò)誤；設(shè)與的面積分別為，則，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，D正確．11．BCD【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．由，得．令，則當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，由此可得，C正確．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，．又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，B正確．由于是定義在上的奇函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，．又，所以在上有且只有1個(gè)零點(diǎn)，D正確．因?yàn)榈膯握{(diào)性無法判斷，所以A錯(cuò)誤．12．2；99【解析】本題考查等差數(shù)列的求和，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．由，得．因?yàn)?，所以是等差?shù)列，則．13．【解析】本題考查異面直線所成的角，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系（圖略），則，所以．設(shè)異面直線所成的角為，則．14．0【解析】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．連接，可得，顯然當(dāng)最大，即取得最大值2時(shí)，取得最小值0．15．解：（1）由，得，又，可知，所以，結(jié)合，可得，所以．（2）由（1）知，因?yàn)闉榈闹芯€，，所以，兩邊平方得．又，即，兩式相減，得，所以．16．（1）證明：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，連接．因?yàn)榈酌媸瞧叫兴倪呅?，所以為的中點(diǎn)．因?yàn)椋裕郑裕驗(yàn)槠矫?，且平面平面，平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所?5分因?yàn)椋云矫妫驗(yàn)槠矫?，所以．?）解：如圖，連接，因?yàn)闉榈闹形痪€，所以．因?yàn)槠矫嫫矫媲?，所以，且．易證平面．以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以．設(shè)為平面的法向量，因?yàn)?，所以令，得．平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，所以．17．解：（1）設(shè)事件“抽取的3名教師中恰有2名教師是研修先進(jìn)個(gè)人”為．由題知樣本中學(xué)習(xí)時(shí)長不低于80小時(shí)的人數(shù)為3，時(shí)長低于80小時(shí)的人數(shù)為7，則，即這3名教師中恰有2名教師是研修先進(jìn)個(gè)人的概率為．（2）①由樣本數(shù)據(jù)知，．因?yàn)椋?，即學(xué)習(xí)時(shí)長不低于50小時(shí)的教師人數(shù)為841.8分②每名教師的學(xué)習(xí)時(shí)長在內(nèi)的概率為，由題意可知，則，設(shè)，則．令，得，所以當(dāng)時(shí)，，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，最大，即使最大的的值為14．18．（1）解：，令，解得或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的最小值為