2022-2023學年山西省呂梁市交口縣八年級（下）期末數學試卷（含答案解析）

2022-2023學年山西省呂梁市交口縣八年級（下）期末數學試卷

1.若二次根式在實數范圍內有意義，則。的取值范圍是（）

A.a>4B.a<4C.a<—4D.a>—4

2.點（m,5）在函數y=2x+l的圖象上，則根的值是（）

A.-1B.1C.—2D.2

3.某專賣店專營某品牌女鞋，店主對上一周中不同尺碼的鞋子銷售情況統(tǒng)計如表:

尺碼3536373839

平均每天銷售數量（雙

281062

）

該店主決定本周進貨時，增加一些37碼的女鞋，影響該店主決策的統(tǒng)計量是（）

A.平均數B.方差C.眾數D.中位數

4.如圖，在等邊△ABC中，。、E分別是邊4B、BC的中點，DE=2,則△力BC的周長

為（）

A.9

B.12

C.16

D.18

5.如圖，在矩形ABCO中，對角線AC與8。相交于點O,若ZBAC=55。,

則乙40B的度數是（）

A.55°B.50°C.70°D.80°

6.我國是最早了解勾股定理的國家之一.早在三千多年前，周朝數學家商高就提出，將一根直尺折成一個

直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”.它被記載于下列哪部著名

數學著作中（）

A.《周髀算經》

B.《九章算術》

《海島算經》

D.《幾何原本》

7.一次函數y=kx+b的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）

A.fc<0

B.fa=-1

C.y隨x的增大而減小

D.直線y=kx+b與兩坐標軸圍成的圖形面積為2

8.小明調查了班里40名同學本學期購買課外書的本數，并將結果繪制成了如

圖所示的扇形統(tǒng)計圖.則下列說法正確的是（）

A.的值為55

B.眾數為4

C.平均數為3

D.中位數為3

9.如圖，在平面直角坐標系中，直線丁=一?%+3交苫軸于點4,交y軸于點8,以

點A為圓心，A8長為半徑畫弧，交x軸的負半軸于點C,則直線BC的解析式為（）

A.y=3%+3

B.y=4%+3

C.y=4x+4

D.y=-4x+4

10.如圖所示的網格是正方形網格，點A,B,P是網格線的交點，則4PA8+

乙PBA=（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

11.若一個長方形的長為2V~^cni，寬為2A/~^CTH，則它的面積為cm2.

12.命題“菱形的四條邊都相等”的逆命題是.

13.2022年“世界杯”的成功舉辦，引起學生對足球的極大興趣.某校開展了足球知識比賽，經過幾輪篩選,

八年級(1)班甲、乙、丙、丁四名同學的平均成績(單位：分)及方差如下表：

甲乙丙T

平均成績/分96989896

方差0.340.340.560.39

如果要選出一名成績較好且發(fā)揮穩(wěn)定的同學代表班級參加比賽，那么應選擇同學.

14.如圖,已知函數y1=ax+b和丫？=依的圖象相交于點P(-4,-2),則

不等式ax+b<kx的解集是.

15.如圖，一張直角三角形紙片ABC,兩直角邊AC=4,BC=8,將△4BC沿直

線折疊，使點8與點A重合，折痕為OE,則力E的長為.

16.計算：

(1)>^32+3);

(2)(>TL3-2)2,+<,T__2+6j1_7亨

17.端午節(jié)前，某超市為了滿足人們的購物需求，計劃購進甲、乙兩種水果進行銷售.經了解，甲種水果和乙

種水果的進價與售價如下表所示：若超市購進這兩種水果共200千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水

果重量的3倍，則超市應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？

水果單價甲乙

進價(元/千克)1620

售價(元/千克)2025

18.現如今，環(huán)保這一理念越來越融入到我們的生活中.為了加強學生的環(huán)保意識，某中學舉辦我是環(huán)保小達

人的演講比賽，比賽分為入圍賽和決賽兩個賽段.全校學生積極響應，全部報名參加入圍賽，隨機抽取了若

干名學生，調查他們每天課后練習演講的時間，現將調查結果繪制成如下尚不完整的統(tǒng)計圖表.請根據統(tǒng)計

圖表提供的信息，回答下列問題：

(1)將下面的統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖補充完整;

組別練習時間(分鐘)頻數(人)百分比

A0<%<3050—

B30<%<60—40%

C60<%<904020%

D%>90——

(2)若該校學生有3000人,請你估計每天課后練習時間超過60分鐘的學生有多少人？

(3)演講決賽時，總成績由內容、表達、風度、印象四部分組成，并按3：4：2：1計算.進入冠亞軍爭奪的

張明和趙亮的各項得分如下表：

內容表達風度印象

張明85分78分80分90分

趙亮75分82分85分92分

總成績高的人為冠軍，請你通過計算判斷他倆誰獲得冠軍？

19.如圖，△力BC中，乙4BC=90。，過點8作4c的平行線，與/B4C的平分線交于點。，點E是AC上一點,

BEJ.40于點凡連接DE.

(1)求證：四邊形ABDE是菱形；

(2)若48=2,2.ADC=90",求的長.

圖1圖2

20.為落實“雙減”政策，豐富課后服務的內容，某學校計劃到甲、乙兩個體育專賣店購買一批新的體育用

品，兩個商店的優(yōu)惠活動如下：

甲：所有商品按原價8.5折出售；

乙：一次購買商品總額不超過300元的按原價付費，超過300元的部分打7折.

設需要購買體育用品的原價總額為x元，去甲商店購買實付y*元，去乙商店購買實付Vz元，其函數圖象如

(I)分別求y砂y乙關于X的函數關系式；

(2)兩圖象交于點A,求點A坐標：

(3)請根據函數圖象，直接寫出選擇去哪個體育專賣店購買體育用品更合算.

21.請閱讀下列材料，并完成相應的任務.

勾股定理的證明

2000多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，不但因為這個定理重要，還因為這個定理貼近人們的生活

實際，以致于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)，都愿意探討研究它的證明，新的證法不斷出現.其

中，美國第20任總統(tǒng)詹姆斯?加菲爾德的證法在數學史上被傳為佳話，他將兩個完全相同的直角三角形拼成

一個梯形，巧妙地用面積法給出了勾股定理的證明過程：

如圖：

b

利用整體法，梯形的面積為S=1(a+b)(a+b)-ab+^(a2+b2)；

利用分割法，梯形的面積為S=^ab+^c-c+^ab=ab+^c2；

(1)按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分.

(2)如圖，在△ABC中，Z/4=60°,/.ACB=75°,CDVAB,AC=4,求BC的長.

22.綜合與實踐

問題情境：

數學活動課上，老師引導學生用一塊等腰直角三角板和一個正方形展開探究活動.將正方形的一個頂點與

等腰直角三角板的斜邊的中點重合，擺放的位置不同一些線段就會出現一定的數量關系.

知識初探：

將等腰直角三角板ABC與正方形OOEF如圖1擺放，使正方形OOEF的頂點。與等腰直角三角板斜邊A8

的中點。重合，且。。邊經過點C,請你寫出OC與B尸的數量關系和位置關系：.

類比再探：

如圖2,正方形OOEF的頂點。與等腰直角三角板斜邊A8的中點O重合，0。邊不經過點C,連接C￡>,

BF,此時OC與8尸的又有怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由.

拓展延伸：

如圖3,正方形ODEF的頂點。與等腰直角三角板斜邊AB的中點O重合,正方形OOEF的對角線交于點G,

連接CD,BD,取8。的中點”，連接GH,請你直接寫出GH與之間的數量關系與位置關系.

圖3

23.綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，直線k：y=2x-l與x軸，y軸分別交于點A,B,直線y=k%+b與x

軸，y軸分別交于點P，C(O,1),兩條直線交于點Q,且點。的橫坐標為上連接4c.

(1)求直線％的函數解析式：

(2)求△ACD的面積；

(3)若點E在直線匕上，F為坐標平面內任意一點，試探究：是否存在以點B,C,E,F為頂點的四邊形是

矩形？若存在，請直接寫出點尸的坐標：若不存在，請說明理由.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：???二次根式在實數范圍內有意義，

a-4>0,

解得：a24.

故選：A.

根據二次根式有意義的條件，即可求解.

本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開方數為非負數是解題的關鍵.

2.【答案】D

【解析】解：把點(m,5)代入函數y=2x+1,

得2m+1=5,

解得：m=2.

故選：D.

利用一次函數圖象上點的坐標特征.把點(犯5)代入函數解析式中求皿即可.

本題考查一次函數圖象上點與函數解析式的關系，知識點是：在這條直線上的各點的坐標一定適合這條直

線的解析式.

3.【答案】C

【解析】解：由于眾數是數據中出現次數最多的數，故影響該店主決策的統(tǒng)計量是眾數.

故選：C.

平均數、中位數、眾數是描述一組數據集中程度的統(tǒng)計量；方差是描述一組數據離散程度的統(tǒng)計量.銷量

大的尺碼就是這組數據的眾數.

此題主要考查統(tǒng)計的有關知識，主要包括平均數、中位數、眾數、方差的意義.

4.【答案】B

【解析】解：E分別是邊A8、BC的中點，DE=2,

OE是△ABC的中位線，

DE//AC,2DE=AC=4,

ABC是等邊三角形，

△力BC的周長=3AC=12,

故選：B.

根據等邊三角形的性質和三角形中位線定理解答即可.

此題考查三角形中位線定理，關鍵是根據三角形中位線定理得出AC的長解答.

5.【答案】C

【解析】解：???四邊形ABC。是矩形，

???0A=0C,OB=0D,AC=BD,

:、0A—0B,

???Z.OAB=Z.ABO=55°,

???Z,AOB=180°-2X55°=70°；

故選：C.

根據矩形的性質，證出。4=。8,得出乙。/8=乙48。，再由三角形內角和定理即可得出答案.

本題考查了矩形的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理；證出。4=OB是解題關鍵.

6.【答案】4

【解析】解：早在三千多年前，我國周朝數學家商高就提出：將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三,

股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”.它被記載于我國古代著名數學著作《周髀算經》

中.

故選：A.

加強教材的閱讀，熟記相關知識的來源與出處.

本題考查了勾股定理的歷史淵源，仔細閱讀教材，熟記知識是解題的關鍵.

7.【答案】B

【解析】解：如圖所示：A、圖象經過第一、三、四象限，則k>0,故此選項不符合題意；

B、圖象與），軸交于點故b=-l,故此選項符合題意；

C、k>0,y隨x的增大而增大，故此選項不符合題意；

。、直線y=kx+b與兩坐標軸圍成的圖形面積為^x2xl=l,故此選項不符合題意；

故選：B.

直接利用一次函數的性質結合函數圖象上點的坐標特點得出答案.

此題主要考查了一次函數與一元一次不等式，正確數形結合分析是解題關鍵.

8.【答案】D

【解析】解：4、機的值為100-20-25-10=45,故不符合題意；

B、這40名同學購買課外書的眾數為3,故不符合題意；

C、購買課外書1本有40x25%=10（人），

購買課外書2本有40x10%=4（人）,

購買課外書3本有40x45%=18（人），

購買課外書4本有40x20%=8（人），

這40名同學購買課外書的平均數為表x（10x1+4x2+18x3+8x4）=2.6,故不符合題意；

。、這40名同學購買課外書的中位數為亨=3,故符合題意.

故選：D.

根據扇形圖中的數據逐項判斷即可.

本題主要考查扇形統(tǒng)計圖，從扇形統(tǒng)計圖中得出解題所需數據及眾數、中位數、平均數的定義是解題的關

鍵.

9.【答案】9

【解析】解：在直線y=—；x+3中，令y=0,求得x=4；令x=0,求得y=3,

二點A的坐標為(4,0),點8的坐標為(0,3),

BO=3>AO=4,

AB=V32+42=5.

???以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交x軸的負半軸于點C,

CO=5—4=1,

則點C的坐標為：(一1,0),

設直線BC的解析式為y=kx+b,

把8(0,3),C(-l,0)代入得已：工=0,

解得｛消，

二直線BC的解析式為y=3x+3.

故選：A.

先求得4、B的坐標，然后利用勾股定理得出AB的長，再利用圓的性質得出C。的長，即可得出C的坐標，

然后根據待定系數法即可求得直線2C的解析式.

本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求一次函數的解析式，勾股定理的應用等，求得C

的坐標是解題的關鍵.

10.【答案】B

【解析】解：如圖，延長AP交格點于。，連接B。，

則P。2=BD2=I2+22=5,PB2=I2+32=10,

???PD2+BD2=PB2,

:?乙PDB=90°,則ADPB為等腰直角三角形，

.1.乙DPB=45°,

Z.PAB+乙PBA=4DPB=45°,

故選：B.

延長AP交格點于。，連接8。，根據勾股定理得PD2=BD?=5,PB2=10,求得Pl+B/)2=PB2,于

是得到NPDB=90。，根據等腰直角三角形的性質和三角形外角的性質即可得到結論.

本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性質，等腰直角三角形的判定和性質，正確作出

輔助線是解題的關鍵.

11.【答案】12c

【解析】解：2，％x2，？

=4V-18

=127~^(即2).

故答案為：12，工.

根據長方形的面積計算方法列式計算即可.

本題考查了二次根式的應用，解題的關鍵是列式后正確的進行二次根式的運算.

12.【答案】四條邊都相等的四邊形是菱形

【解析】解：命題“菱形的四條邊都相等”的逆命題是四條邊都相等的四邊形是菱形，

故答案為：四條邊都相等的四邊形是菱形.

根據互逆命題的概念解答.

本題考查的是互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題

的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.

13.【答案】乙

【解析】解：???乙和丙同學的平均數比甲、丁同學的平均數大，

二應從乙和丙同學中選，

???乙同學的方差比丙同學的小，

???乙同學的成績較好且狀態(tài)穩(wěn)定，應選的是乙同學.

故答案為：乙.

先比較平均數得到同學乙和丙同學成績較好，然后比較方差得到乙同學的狀態(tài)穩(wěn)定，于是可決定選乙同學

去參賽.

本題考查了方差，掌握方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越差，反之，則它與其平均值的離

散程度越小，穩(wěn)定性越好是關鍵.

14.【答案】x>-4

【解析】解：由圖象知：不等式ax+b〈質的解集是x>—4,

故答案為：x>—4.

函數月=ax+b和％=依的圖象相交于點P(-4,-2),結合圖象即可得出答案.

本題考查了一次函數與一元一次不等式、一次函數的圖象，解決本題的關鍵是掌握一次函數與一元一次不

等式的關系.

15.【答案】<5

【解析】解：???/?1△ABC的兩直角邊AC=4,BC=8,

“=90°,

???AB=VAC2+BC2=V424-82=4y/~5,

由折疊得AD=BD,AE=BE=^AB=2>J_5,^AED=乙BED=gX180°=90°,

CD=8—BD=8—AD>

AC2+CD2=AD2,

...42+(8-AD)2=AD2,

解得4。=5,

222

...DE=VAD—AE=J52—(2V-5)=A/-5>

故答案為：V-5.

由AC=4,BC=8,AC=90°,根據勾股定理得AB=VAC2+BC2=4底,由折疊得AO=BD,AE=BE=

2222

2AT51/.AED=乙BED=90。,所以CD=8—BD=8—4D,由AC?+CD=AD,得42+(8-AD)=AD,

求得4。=5,則DE=7AU_AE2=R,于是得到問題的答案.

此題重點考查勾股定理、軸對稱的性質等知識，根據勾股定理正確地列出所需要的方程是解題的關鍵.

16.【答案】解：(1)原式=+2-3C

=\T~2+2:

(2)原式=3-4<3+4+2<3+2V-3

=7.

【解析】(1)先進行二次根式的乘法運算，然后把中化為最簡二次根式后合并即可；

(2)先根據完全平方公式計算，然后把二次根式化為最簡二次根式后合并即可.

本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法法則是解決問題的關鍵.

17.【答案】解：設超市購進甲種水果x千克，總利潤為卬元.

根據題意，得：x>3(200-x),解得：x>150,

根據題意,得：w=(20-16)x+(25-20)(200-x)=-x+1000,

vk=-1<0,

???W隨著X的增大而減小，

當x=150時，w取得最大利潤，最大利潤為—150+1000=850(元).

200-150=50(千克)，

當超市購進甲種水果150千克，乙種水果50千克時，總利潤最大，最大利潤為850元.

【解析】設超市購進甲種水果x千克，總利潤為w元.根據題意求得x的范圍，w=-x+1000,根據一次

函數的性質即可求解.

本題考查了一次函數的應用，一元一次不等式的應用，根據題意列出函數關系式是解題的關鍵.

18.【答案】25%803015%

【解析】解：(1)總人數為：40^-20%=200,則A的百分比為：100%=25%；

B組的頻數為200x40%=80；

。組的頻數為200-50-80-40=30,百分比為募X100%=15%,

補全統(tǒng)計圖與統(tǒng)計表如下：

組別練習時間(分鐘)頻數(人)百分比

A0<%<305025%

B30<%<608040%

C60<x<904020%

D%>903015%

故答案為：25%,80,30,15%；

(2)3000x(20%+15%)=1050(A),

答：估計每天課后練習時間超過60分鐘的學生有1050人.

85x3+78x4+80x2+90x1

(3)張明的總成績?yōu)?=81.7(分),

3+4+2+1

75x3+82x4+85x2+92x1

趙亮的總成績?yōu)?=81.5(分),

3+4+2+1

???81.7>81.5,

???張明同學獲得冠軍.

(1)根據C組頻數與百分比求得總人數，進而補全統(tǒng)計圖與統(tǒng)計表；

(2)根據樣本估計總體，用3000乘以C。組的占比即可求解；

(3)分別計算兩人成績的加權平均數，比較大小即可求解.

本題考查了頻數分布表與頻數分布直方圖，樣本估計總體，求加權平均數，熟練掌握以上知識是解題的關

鍵.

19.【答案】⑴證明：???AD平分乙BAE,

???Z.BAF=Z-EAF,

BE1ADy

???乙AFB=/L.AFE=90°,

???/.ABE=乙4EB,

???AB—AE,

vBD//AC,

???(BDF=Z.EAF,

???Z.BAF=乙BDF,

，AB=BD,

???BD=AE,

???BD//AE

???四邊形48OE是平行四邊形，

vAB=BD,

???口A8OE是菱形；

(2)解：???四邊形A3OE是菱形，

???DE=AE=AB=2,

???Z-EAD=Z.EDA,

???Z,ADC=90°,

???乙EDC+匕EDA=90°,Z.EAD+Z.ECD=90°,

???乙EDC=乙ECD,

.??DE=EC=2,

???AC=AECE=4,

vZ-ABC=90°,

ABC=VAC2—AB2=V42-22=27-3.

【解析】(1)先證BD=/E,再證四邊形ABOE是平行四邊形，然后由=即可得出結論；

(2)由菱形的性質得DE=AE=4B=2,再證=則DE=EC=2,得4C=AE+CE=4,然

后由勾股定理求出8C的長即可.

本題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理等知識，

熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵.

20.【答案】解：(1)由題意可得，

y甲=0.85%,

當0工％W300時，》乙=X,

當％>300時，y/=300+(%-300)x0.7=0.7%+90,

則y.={X(0《X4300).

人沙乙to.7x+90(%>300),

(2)令0.85%=0.7x4-90,

解得x=600,

將x=600代入0.85x得，0.85x600=510,

即點A的坐標為(600,510)；

(3)由圖象可得，

當x<600時，去甲體育專賣店購買體育用品更合算；當久=600時，兩家體育專賣店購買體育用品一樣合

算；當％>600時，去乙體育專賣店購買體育用品更合算.

【解析】(1)根據題意和題目中的數據，可以分別寫出y物y乙關于X的函數關系式；

(2)根據(1)中的結果和題意，令0.85x=0.7x+90,求出x的值，再求出相應的y的值，即可得到點4的坐

標.

本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答.

21.【答案】(1)解：利用整體法，梯形的面積為S=：(a+b)(a+b)=ab+；(。2+力2),

利用分割法，梯形的面積為S=^ab+-c+^ab=ab+1c2.

將兩式聯立得，ab+1(a2+62)=aft+jc2.

EP1(a2+b2)=1c2,

???a2+b2=c2.

(2)解：???CD_LAB,

???乙ADC=乙BDC=90°,

???44=60°,

4ACD=30°,

AC=4,

?1■AD=2,

在Rt△ACO中，

CD=VAC2-AD2=742-22=2<3>

???LACB=75°,

乙DCB=A.ACB-Z.ACD=45",

???4B=45",

???BD=CD=2V-3，

在Rt△BCD中，

BC=VBD2+CD2=J(2^^)2+(2<3)2=2<6.

【解析】(1)利用整體法和分割法求梯形面積，兩式聯立.解答即可；

(2)解直角三角形即可得到結論.

本題考查了勾股定理的證明，等腰直角三角形，正確的理解題意是解題的關鍵.

22.【答案】DC=BF,DC1BF

【解析】解：知識初探：連接OF,

A

圖1

???四邊形OQCF是正方形，

"FD=45°,0D=OF,

???△ABC是等腰直角三角形，。為A8的中點,

Z.OBC=45°,0C=OB,Z.COB=90°,

???Z.OBC=Z.OFDi

???BC//DF,

，?而=而，

:?CD=BF,DCA.BF,

故答案為：DC=BF,DC1BF；

類比再探：DC=BF,DC1BF,理由如下：

ZT

圖2

連接OC,

???點O是等腰直角△力BC斜邊的中點,

OC=^AB=OB,乙COB=90°,

???四邊形ODE尸是正方形，

OF=OD,Z.FOD=90°,

???乙FOB=4COB+NCOF,乙COD=￡.FOD+乙COF,

???乙FOB=乙COD，

?MBOFaCOD(SAS),

，DC=BF,Z1=z2,

???(FMD=乙FOD=90°,

???DC1BF；

拓展延伸：GH=；DC,GH1DC,理由如下:

連接8F,

圖3

由類比探究同理可得，CD=BF,CDLBF,

???”為B。的中點，G為。尸的中點，

GH為XBOF的中位線，

：.GH=a1BF,GH//BF,

GH=^1DC,GH1DC.

知識初探：連接。凡利用平行線分線段成比例定理可得答案；

類比再探：連接。C,利用SAS證明△B。尸四△C。。，得DC=BF,Zl=Z2,則NFM。=NF。。=90。，進

而解決問題；

拓展延伸:連接BF,由類比探究同理可得,CD=BF,CD1BF,再證明GH為ABDF的中位線，得GH=

GH//BF,從而得出答案.

本題是四邊形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，正方形的性質，平行線分線段成比例定理，全

等三角形的判定與性質，三角形的中位線定理等知識，證明AB。尸絲△C。。是解決問題的關鍵.

23.【答案】解：（1）???點力