高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題第2節(jié) 用樣本估計(jì)總體

第2節(jié)用樣本估計(jì)總體

考試要求1.會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，會(huì)求〃個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)2

會(huì)用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢(shì)和總體離散程度.

知識(shí)診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

知識(shí)梳理

L總體百分位數(shù)的估計(jì)

(1)第〃百分位數(shù)的定義

一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有儂

的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100—p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.

(2)計(jì)算一組〃個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計(jì)算i=〃Xp%.

第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為7,則第p百分位數(shù)為第2項(xiàng)數(shù)據(jù)；

若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

2.樣本的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù),叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

(2)中位數(shù)：把〃個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間

兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

⑶平均數(shù)：把團(tuán)+…+應(yīng)稱為山,。2,…，小這〃個(gè)數(shù)的平均數(shù).

(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)加，X2,刈，…，X”的平均數(shù)為；，則這組數(shù)據(jù)的

標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s=

(XLX)2+(X2-…+(無"一尤)2],

52=^[(X|—X)2+(X2-X)2H----F(Xn—X)2].

常用結(jié)論

1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系

(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).

（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的.

⑶平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形

的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

2.平均數(shù)、方差的公式推廣

⑴若數(shù)據(jù)xi,X2,…，X”的平均數(shù)為x,那么“tri+a,inx3+a,…，mxn

+a的平均數(shù)是mx+a.

（2）若數(shù)據(jù)XI,XI,，,1,X"的方差為S2,那么

①數(shù)據(jù)xi+a,xi+a,…，龍的方差也為52；

②數(shù)據(jù)0X1,0X2,…，奴”的方差為屋52.

II診斷自測(cè)

1.思考辨析（在括號(hào)內(nèi)打“J”或“義”）

（1）對(duì)一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.（）

（2）在頻率分布直方圖中，最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù).（）

（3）方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位.（）

⑷如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不

變.（）

答案（1）X（2）V（3）X（4）V

解析（1）平均數(shù)指的是這組數(shù)據(jù)的平均水平；中位數(shù)指的是這組數(shù)據(jù)的中間水

平，它們之間沒有必然聯(lián)系，故該說法錯(cuò)誤.

（3）方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，故它們單位不一樣.

2.下列一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是（）

2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6

A.3.2B.3.0C.4.4D.2.5

答案A

解析把該組數(shù)據(jù)按照由小到大排列，可得：

2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6,

由i=10X25%=2.5,不是整數(shù)，則第3個(gè)數(shù)據(jù)3.2是第25百分位數(shù).

3.（2020?全國(guó)III卷）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)后，無2,…,工”的方差為0.01,則數(shù)據(jù)10箱，

10X2,…，10X”的方差為（）

A.0.01B.0.1C.lD.10

答案C

解析lOxi,10X2,…，10物的方差為gxo.Oin.

4.（多選X2021.新高考I卷）有一組樣本數(shù)據(jù)xi,必…，X",由這組數(shù)據(jù)得到新樣

本數(shù)據(jù)yi，”，…,yn,其中yi=xi+c（i=l,2,…，〃），c為非零常數(shù)，則（）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

答案CD

解析設(shè)樣本數(shù)據(jù)幻，及，…，X”的平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別為無，m,

6t,依題意得，新樣本數(shù)據(jù)6,”，…，》的平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差

分別為x+c,m+c,<7,t,因?yàn)閏WO,所以A,B不正確，C,D正確.

5.（易錯(cuò)題）一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是28,方差是4,若將這組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加

上20,得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是,方差是.

答案484

解析設(shè)該組數(shù)據(jù)為XI,X2,…，X",

則新數(shù)據(jù)為X1+20,及+20,…，Xn+20,記新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為X',

汨+及+…+煬

因?yàn)椤?，

n=28,

“「xi+20+%2+20+,,,+x?+20

所以x'=-------------------------------------=20+28=48.

[一一一

因?yàn)閟2~X）2+（X2-x）24-???+（Xn-x）2]=4,

1--一

所以㈤+20—（*+20）]2+[X2+20—（x+20）f+…+必+20—1+20）產(chǎn)｝=

$2=4.

6.（2022.蘇州模擬）由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷售受到

影響，承受了一定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將A地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)

濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示，估算月經(jīng)濟(jì)損失的平均數(shù)為加，中位數(shù)為〃，則加一〃=

答案360

解析第一塊小矩形的面積S=0.3,第二塊小矩形的面積S2=0.4,故〃=2000

+稱會(huì)=3000；又第四、五塊小矩形的面積均為S=0.06,故焉［1一(0.3

+0.4+0.06X2)］=0.00009,所以m=l000X0.3+3000X0.4+5000X0.18+(7

000+9000)X0.06=3360,故加一〃=360.

［考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一百分位數(shù)的估計(jì)

1.如圖所示是某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：°C)的情況繪制的折線

統(tǒng)計(jì)圖，由圖可知這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是()

答案D

解析由折線圖可知，這10天的最低氣溫按照從小到大的排列為：一3,-2,

-1,-1,0,0,1,2,2,2,

因?yàn)楣灿?0個(gè)數(shù)據(jù)，所以10X80%=8,是整數(shù)，則這10天最低氣溫的第80

百分位數(shù)是號(hào)4=2.

2.一個(gè)容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1,2,2,3,5,6,

6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,則該組數(shù)據(jù)的第75

百分位數(shù)為,第86百分位數(shù)為.

答案14.517

解析V75%X20=15,

二第75百分位數(shù)為y#=14.5.

V86%X20=17.2,

.?.第86百分位數(shù)為第18個(gè)數(shù)據(jù)17.

3.將高三某班60名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考試所得的成績(jī)（成績(jī)均為整數(shù)）整理

后畫出頻率分布直方圖如圖，則此班的模擬考試成績(jī)的80%分位數(shù)是

,（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

答案124.44

解析由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在120分以下的學(xué)生所占的比例為（0.01+

0.015+0.015+0.03）X10X100%=70%,分?jǐn)?shù)在130分以下的學(xué)生所占的比例為

(0.01+0.015+0.015+0.03+0.0225)X10X100%=92.5%,

因此，80%分位數(shù)一定位于［120,130）內(nèi).

,、,.0.80—0.70

因T為12。+詼5^1°乂24.44,

所以此班的模擬考試成績(jī)的80%分位數(shù)約為124.44.

感悟提升計(jì)算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟

數(shù)支I按從小到大排列原始數(shù)據(jù)］

矣工計(jì)算口nxp%~）

考點(diǎn)二總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

角度1樣本的數(shù)字特征

例1某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的

若干次測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取8次，數(shù)據(jù)如下(單位：分)：

甲9582888193798478

乙8375808090859295

(1)請(qǐng)你計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)；

⑵現(xiàn)要從中選派一人參加操作技能比賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪

名工人參加合適？請(qǐng)說明理由.

1

解(l)x甲=6X(95+82+88+81+93+79+84+78)=85(分)，

O

1

X乙=6X(83+75+80+80+90+85+92+95)=85(分).

O

甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別為83分，84分.

(2)由(1)知元甲=%乙=85分，

所以播=4(95—85)2+(82—85)2H---F(78-85)2]=35.5,

O

5i=|[(83-85)2+(75-85)2+-+

o

(95—85)2]=41.

①?gòu)钠骄鶖?shù)看，甲、乙均為85分，平均水平相同；

②從中位數(shù)看，乙的中位數(shù)大于甲的中位數(shù)，乙的成績(jī)好于甲；

③從方差來看，因?yàn)?；?幾，牖〈只，所以甲的成績(jī)較穩(wěn)定；

④從數(shù)據(jù)來看，獲得85分以上(含85分)的次數(shù)，甲有3次，而乙有4次，故乙

的成績(jī)好些；

⑤從數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)看，乙后幾次的成績(jī)均高于甲，且呈上升趨勢(shì)，因此乙更具

潛力.

綜上分析可知，甲的成績(jī)雖然比乙穩(wěn)定，但從中位數(shù)、獲得好成績(jī)的次數(shù)及發(fā)展

勢(shì)頭等方面分析，乙具有明顯優(yōu)勢(shì)，所以應(yīng)派乙參賽更有望取得好成績(jī).

角度2頻率分布直方圖中的數(shù)字特征

例2某市市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人月用水量中不超過功立方米的部分按

4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了

10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)如果訕為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為

4元/立方米，w至少定為多少？

(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)川=3時(shí)，估計(jì)該市居

民該月的人均水費(fèi).

解(1)如題圖所示，用水量在[0.5,2)的頻率的和為(0.2+0.3+0.4)X0.5=0.45,

用水量在[0.5,3)的頻率的和為(0.2+0.3+0.4+0.5+0.3)X0.5=0.85.

二用水量小于等于2立方米的頻率為0.45,用水量小于等于3立方米的頻率為

0.85,又“為整數(shù)，

...為使80%以上的居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米，w至少定為3.

(2)當(dāng)勿=3時(shí)，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為

(0.1XI+0.15X1.5+0.2X2+0.25X2.5+0.15X3)X4+0.15X3X4+[0,05X(3.5

-3)+0.05X(4-3)+0.05X(4.5-3)]X10=7.2+1.8+1.5=10.5(元).

即當(dāng)川=3時(shí)，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為10.5元.

感悟提升(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用要點(diǎn)

中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了

數(shù)據(jù)的平均水平，我們需根據(jù)實(shí)際需要選擇使用.

(2)頻率分布直方圖的數(shù)字特征

①眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來表示，即在樣本數(shù)

據(jù)的頻率分布直方圖中，最高小長(zhǎng)方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

②中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；

③平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和.

訓(xùn)練1(1)(2022.成都質(zhì)檢)有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶7次,每次

命中的環(huán)數(shù)如下：

甲：78109886

乙：91078778

則下列判斷正確的是()

A.甲射擊的平均成績(jī)比乙好

B.乙射擊的平均成績(jī)比甲好

C.甲射擊的成績(jī)的眾數(shù)小于乙射擊的成績(jī)的眾數(shù)

D.甲射擊的成績(jī)的中位數(shù)等于乙射擊的成績(jī)的中位數(shù)

答案D

解析由題意得，甲射擊的平均成績(jī)?yōu)閙=7+8+l0+；+8+8+6=8,眾數(shù)為

8,中位數(shù)為8；

乙射擊的平均成績(jī)?yōu)?/p>

9+10+7+8+7+7+8八

X乙=y=8,

眾數(shù)為7,中位數(shù)為8；

故甲射擊的平均成績(jī)等于乙射擊的平均成績(jī)，甲射擊的成績(jī)的眾數(shù)大于乙射擊的

成績(jī)的眾數(shù)，甲射擊的成績(jī)的中位數(shù)等于乙射擊的成績(jī)的中位數(shù).

(2)(多選)(2022.長(zhǎng)沙模擬)某校高二年級(jí)共有800名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)(滿分150

分)，已知這800名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)均不低于90分，將這800名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)

分組為：[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,

150),得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的是()

A.a=0.045

B.這800名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以下的人數(shù)為160

C.這800名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)約為121.4

D.這800名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為125

答案BC

解析由題意,(0.005+0.01+0.01+0.015+0.025+a)X10=1,解得a=0.035,

A錯(cuò)誤；

110分以下的人數(shù)為(0.01+0.01)X10X800=160,B正確;

x—120

120分以下的頻率是(0.01+0.01+0.025)X10=0.45,設(shè)中位數(shù)為無,則-]0-=

需X^121.4,C正確；

平均數(shù)為95X0.1+105X0.1+115X0.25+125X0.35+135X0.15+145X0.05=

120,D錯(cuò)誤.

考點(diǎn)三總體離散程度的估計(jì)

例3(2021.全國(guó)乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)

品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到

各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為x和y,樣本方差分別

記為s彳和si.

(1)求x,y,s?,si；

⑵判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果y-x

Ic?-I-C?

22、/專"，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，

否則不認(rèn)為有顯著提高).

解(1)由表格中的數(shù)據(jù)易得：

—0.2+0.3+0+0.2—0.1—0.2+0+0.1+0.2—0.3

x=---------------------訪-------------------+10.0=10.0,

0.1+0.4+0.1+0+0.1+0.3+0.6+0.5+0.4+0.5,

y=---------------------示-------------------+10.0=10.3,

11)

s仁擊X[(9.7-10.0)2+2X(9.8—10.0)2+(9.9—10.0)2+2X(10.0—10.0)2+(10.1

-10.0)2+2X(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.036,

s仁+X[(10.0-10.3)2+3X(10.1-1o3)2+(10.3-10.3)2+2X(10.4-10.3)2+

2X(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.04.

lsi\S2/2

（2）由（1）中數(shù)據(jù)可得y—x=10.3—10.0=0.3,而（3+s幻=

V0X）304,顯然有y—;成立，所以認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的

均值較舊設(shè)備有顯著提高.

感悟提升標(biāo)準(zhǔn)差（方差）反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動(dòng)與穩(wěn)定的程度.標(biāo)準(zhǔn)差

（方差）較大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差（方差）較小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.

訓(xùn)練2某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)

企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率y的頻數(shù)分布表.

y的分組[-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80]

企業(yè)數(shù)22453147

（1）分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)

比例；

（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)

間的中點(diǎn)值為代表）.（精確到0.01）附：/心8.602.

解（1）根據(jù)產(chǎn)值增長(zhǎng)率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100個(gè)企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低

14+7

于40%的企業(yè)頻率為一而=0.21.

2

產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)頻率為而=0.02.

用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例

為21%,產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例為2%.

1

（2）y=^X（—0.10X2+0.10X24+0.30X53+0.50X14+0.70X7）=0.30,

21Vf_12

=+XK-0.40)2X2+(-0.20)2X24+02X53+0.202X14+0.402X7]=0.0296,

5=^00296=0.02X^74%0.17.

所以，這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為0.30,0.17.

I分層訓(xùn)練“鞏固提升

|A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

1.（2021?茂名聯(lián)考）甲組數(shù)據(jù)為：5,12,16,21,25,37,乙組數(shù)據(jù)為：1,6,

14,18,38,39,則甲、乙的平均數(shù)、極差及中位數(shù)相同的是（）

A.極差B.平均數(shù)

C.中位數(shù)D.都不相同

答案B

解析由題中數(shù)據(jù)的分布，可知極差不同，

甲的中位數(shù)為氣3=18.5,

乙的中位數(shù)為一y—=16,

5+12+16+21+25+3758

x甲=6=1，

1+6+14+18+38+3958

*乙=6=4，

所以甲、乙的平均數(shù)相同.

2.演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從

9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分

與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是（）

A.中位數(shù)B.平均數(shù)

C.方差D.極差

答案A

解析中位數(shù)是將9個(gè)數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數(shù)據(jù)，

因而去掉1個(gè)最高分和1個(gè)最低分，不變的是中位數(shù)，平均數(shù)、方差、極差均受

影響.

3.12名跳高運(yùn)動(dòng)員參加一項(xiàng)校際比賽,成績(jī)分別為1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,

1.59,1.60,1.67,1.74,1.78,1.55,1.75（單位:m）,則比賽成績(jī)的75%分位數(shù)

是（）

A.1.72B.1.73C.1.74D.1.75

答案B

解析將12個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排序：

1.55,1.59,1.60,1.65,1.67,1.68,1.69,1.70,1.72,1.74,1.75,1.78,

計(jì)算i=12X75%=9,所以比賽成績(jī)的75%分位數(shù)是第9個(gè)數(shù)據(jù)與第10個(gè)數(shù)據(jù)

172+174

的平均數(shù)，即一--2—=1.73.

4.某樣本中共有5個(gè)數(shù)據(jù)，其中四個(gè)值分別為0,1,2,3,第五個(gè)值丟失，已知

該樣本的平均數(shù)為1,則樣本方差為（）

A.2B.1C.y[2D.挈

答案A

解析設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為。，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1X（a+0+l+2+3）=l,解得

a=-1.

根據(jù)方差計(jì)算公式得52=|x[(—1—l)2+(o—1)2+(1—1)2+(2—1)2+(3—1)2]=

2.

5.（多選）下表為2021年某煤炭公司1?10月份的煤炭生產(chǎn)量:

月份12345678910

產(chǎn)量（單位：萬噸）23252417.517.52126293027

則下列結(jié)論正確的是（）

A.極差為12.5萬噸B.平均數(shù)為24萬噸

C.中位數(shù)為24萬噸D.眾數(shù)為17.5萬噸

答案ABD

解析將表格中的數(shù)據(jù)由小到大排列依次為17.5,17.5,21,23,24,25,26,

27,29,30.

極差為30—17.5=12.5（萬噸），A正確；

平均數(shù)為

17.5X2+21+23+24+25+26+27+29+30

10

=24（萬噸），B正確;

中位數(shù)為七一=24.5（萬噸），C錯(cuò)誤;

眾數(shù)為17.5（萬噸），D正確.

6.（多選）（2022.青島調(diào)研）某校進(jìn)行了一次創(chuàng)新作文大賽，共有100名同學(xué)參賽，

經(jīng)過評(píng)判，這100名參賽者的得分都在［40,90］之間，其得分的頻率分布直方圖

如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

頻率

組距

0.035

().030

405060708090得分/分

A.得分在［40,60）之間的共有40人

B.從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在［60,80）之間的概率為0.5

C.估計(jì)得分的眾數(shù)為55

D.這100名參賽者得分的中位數(shù)為65

答案ABC

解析根據(jù)頻率和為1,計(jì)算（a+0.035+0.030+0.020+0.010）X10=1,解得a

=0.005,得分在［40,60）之間的頻率是0.4,估計(jì)得分在［40,60）之間的有100X0.4

=40（人），A正確；

得分在［60,80）之間的頻率為0.5,可得從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，得

分在［60,80）之間的概率為0.5,B正確；

根據(jù)頻率分布直方圖知，最高的小矩形對(duì)應(yīng)的底邊中點(diǎn)為當(dāng)竺=55,即估計(jì)眾

數(shù)為55,C正確；

根據(jù)頻率分布直方圖知，得分低于60分的直方圖面積為（0.005+0.035）X10=0.4

<0,5,而得分低于70分的直方圖面積為（0.005+0.035+0.030）X10=0.7>0.5,

05—04

所以100名參賽者得分的中位數(shù)估計(jì)為60+0030弋63.3,D錯(cuò)誤.

7.若數(shù)據(jù)犬1,X2,X3,…，物的平均數(shù)冗=5,方差$2=2,則數(shù)據(jù)3無1+1,3x2+1,

3x3+1,…，3元〃+1的平均數(shù)和方差分別為.

答案16,18

解析''x\,X2,尤3,…，X”的平均數(shù)為5,

Xl+X2+X3-l--------l-X"

11=5,

.3xi+3x2+3x3+,?,+3x?

=3X5+1=16,

Vxi,X2,X3,X"的方差為2,

.?.3x1+1,3x2+1,3x3+1,…，3x,i+1的方差是32X2=18.

8.為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20名工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)

品的數(shù)量得到頻率分布直方圖如圖所示，則：

(1)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55,75)的人數(shù)是；

(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)為；

(3)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù)為.

答案(1)13(2)62.5(3)64

解析(1)在[55,75)的人數(shù)為(0.040X10+0.025X10)X20=13.

⑵設(shè)中位數(shù)為x,則0.2+(x—為)X0.04=0.5,解得x=62.5.

(3)0.2X50+0.4X60+0.25X70+0.1X80+0.05X90=64.

9.某年級(jí)120名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間.將測(cè)試

結(jié)果分成5組:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如圖

所示的頻率分布直方圖.如果從左到右的5個(gè)小矩形的面積之比為

1：3：7：6：3,那么成績(jī)的70%分位數(shù)約為秒.

答案16.5

解析設(shè)成績(jī)的70%分位數(shù)為x,

“1+3+71+3+7+6_

因?yàn)?+3+7+6+3=855,J+3+7+6+3=0,85*所以龍‘口6，17),

所以0.55+(X-16)XF7T^T7T7=0-70,解得x=16.5(秒).

1十3十/十6十3

10.一次數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽中，兩組學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

分?jǐn)?shù)5060708090100

甲組251013146

人數(shù)

乙組441621212

經(jīng)計(jì)算，兩組的平均分都是80分，請(qǐng)根據(jù)所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，進(jìn)一步判斷這次

競(jìng)賽中哪個(gè)組更優(yōu)秀，并說明理由.

解從不同的角度分析如下：

①甲組成績(jī)的眾數(shù)為90分，乙組成績(jī)的眾數(shù)為70分，從成績(jī)的眾數(shù)這一角度看,

甲組成績(jī)好些.

②播=2+5+io；i3+14+6義〔2X(50—80)2+5X(60-80)2+10X(70-80)2+

13X(80-80)2+14X(90-80)2+6X(100—80)2]=172.

同理得我=256.

因?yàn)槲摇词剑约捉M的成績(jī)比乙組的成績(jī)穩(wěn)定.

③甲、乙兩組成績(jī)的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分，其中甲組成績(jī)?cè)?0分以上(含

80分)的有33人，乙組成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)的有26人，從這一角度看，

甲組成績(jī)總體較好.

④從成績(jī)統(tǒng)計(jì)表看，甲組成績(jī)大于或等于90分的有20人，乙組成績(jī)大于或等于

90分的有24人，所以乙組成績(jī)?cè)诟叻侄蔚娜藬?shù)多.

同時(shí)，乙組滿分比甲組多6人，從這一角度看，乙組成績(jī)較好.

11.(2022.武漢質(zhì)檢)某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)將參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后

分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求參賽學(xué)生的成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)；

(2)求參賽學(xué)生的平均成績(jī).

解(1)因?yàn)轭l率分布直方圖中最高小長(zhǎng)方形所在的區(qū)間的中點(diǎn)值為65,所以眾

數(shù)為65,

又因?yàn)榈谝粋€(gè)小長(zhǎng)方形的面積為0.3,

第二個(gè)小長(zhǎng)方形的面積是0.4,0.3+0.4>0.5,所以中位數(shù)在第二組，

設(shè)中位數(shù)為x,則0.3+(x—60)X0.04=0.5,解得x=65,所以中位數(shù)為65.

(2)依題意，

可得平均成績(jī)?yōu)?55X0.030+65X0.040+75X0.015+85X0.010+

95X0.005)X10=67,

所以參賽學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?7分.

|B級(jí)能力提升

12.(多選)為比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項(xiàng)能力指標(biāo)值(滿分為5分,

分值高者為優(yōu))，繪制了如圖所示的六維能力雷達(dá)圖，例如圖中甲的數(shù)學(xué)抽象指

標(biāo)值為4,乙的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為5,則下面敘述正確的是()

A.甲的邏輯推理能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的邏輯推理能力指標(biāo)值

B.甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的直觀想象能力指標(biāo)值

C.乙的六維能力指標(biāo)值整體水平優(yōu)于甲的六維能力指標(biāo)值整體水平

D.甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值優(yōu)于甲的直觀想象能力指標(biāo)值

答案AC

解析對(duì)于A,甲的邏輯推理能力指標(biāo)值為4,乙的邏輯推理能力指標(biāo)值為3,

故A正確；對(duì)于B,甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值為3,乙的直觀想象力指標(biāo)值為5,

123

故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,甲的六維能力指標(biāo)值的平均值為*X（4+3+4+5+3+4）=竟,

123

乙的六維能力指標(biāo)值的平均值為aX（5+4+3+5+4+3）=4,y<4,故C正確；

對(duì)于D,甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值為4,甲的直觀想象能力指標(biāo)值為5,故D錯(cuò)

誤.

13.（2021?石家莊摸底）氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為：“連續(xù)5天的日平均

溫度均不低于22℃"，現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記

錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：

①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22；

②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體均值為24；

③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是32,總體均值為26,總體方差為10.8.

則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)的序號(hào)為.

答案①③

解析由統(tǒng)計(jì)知識(shí)，①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22,可知①符合

題意；

②乙地