2024年高考數(shù)學(xué) 高三開(kāi)學(xué)收心考試模擬卷（測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容）（解析版）（新教材新高考）

高三開(kāi)學(xué)收心考試模擬卷

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考

證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用28鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無(wú)效.

3.回答第I【卷時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.

4.測(cè)試范圍：高中數(shù)學(xué)全部?jī)?nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知全集"="€川0＜》46},集合A={1,2,3,4},8={1,3,5},則a,（AU5）=（）

A.{6}B.{1,6}C.{2,4,5,6}D.{1,2,4,5,6}

【答案】A

【解析】由題意知。={1,2,3,4,5,6},4=3={1,2,3,4,5},

所以4(Au3)={6},

故選：A

2.若復(fù)數(shù)z滿足z+W=2，H=*，則曰=()

6

A.—B.⑺C.V2D.1

2

【答案】C

【解析】設(shè)z=a+bi,a,bwR,因?yàn)閦+z=2，所以2a=2,a=\,

.111—?dú)v111\/21^2

所rr以r一=丁工=丁7，又H=二^，所以一r=r=ir，

z1+4\+b'\z\2Vl+fe2

解得。2=1,所以目=/?+以=-^2

故選：C.

3.已知向量”(1,3),。=(見(jiàn)一2),且(d+6)_La,則"?=()

A.-4B.-3C.-2D.-1

【答案】A

【解析】＜2+/7=(/??+1,1),

又(4+人)_1_〃，

知帆+1+3=0,

即m=-4.

故選：A

4.在平面直角坐標(biāo)系火力中，以下方程對(duì)應(yīng)的曲線,繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度之后，可以成為函數(shù)圖象的是()

A.X2+2y2=4B.x2-y2=4

C.x2+y2=4D.(x-l)2+(y-2)2=4

【答案】B

【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)閅+2y2=4,所以反+片=1,

42

所以方程對(duì)應(yīng)的曲線為橢圓，

所以當(dāng)橢圓繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，其一定不會(huì)成為函數(shù)圖象，故A項(xiàng)不成立；

對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)楫a(chǎn)=4,所以《一《=1,

44

所以方程對(duì)應(yīng)的曲線為雙曲線，其漸進(jìn)線為y=±x,

所以當(dāng)其繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn);后，其一定是函數(shù)圖象，故B項(xiàng)成立；

對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)橐?丁=4,所以方程對(duì)應(yīng)的曲線為圓，

所以當(dāng)圓繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，其一定不會(huì)成為函數(shù)圖象，故C項(xiàng)不成立；

對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?x-l)2+(y-2)2=4,所以方程對(duì)應(yīng)的曲線為圓，

所以當(dāng)圓繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，其一定不會(huì)成為函數(shù)圖象，故D項(xiàng)不成立.

故選：B.

5.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有一道題："今有七人差等均錢，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文,

問(wèn)乙丁各若干？"，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個(gè)人，所分到的錢數(shù)成等差數(shù)列，甲、乙兩人

共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，問(wèn)乙、丁兩人各分到多少文錢？則下列說(shuō)法正確的是()

A.乙分到28文，丁分到24文B.乙分到30文，丁分到26文

C.乙分到24文，丁分到28文D.乙分到26文，丁分到30文

【答案】A

【解析】依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為a-3d,a—2d,a-d,a,a+d,a+2d,

a+3d,

(a-3d+a-2d=58fa=24

則“o/a”〃、，解得L

[a+d+a+2d+a+3d=60[d=-2

所以乙分得〃=28(文)，丁分得a=24(文)，

故選：A.

6.已知sinasin('-a)=3cosasin[a+色],則sin(2a+&)=()

3V6J6

A.-1B6c

2-?D-T

【答案】A

71

【解析】由sinasin(--a)=3cosasina+—,

3k6J

1

得sinacosa--sina=3cosasina+—cosa

2727

即sin2a+2y/3sinacosa+3cos2a=0,

則《ina+gcosa)=0,得sina=->/3cosa，則tana=-\/3,

所以sin(2a+—)=—sin2a+—cos2a=6sinacosa+cos2a--

6222

V3sinacosacos-a1\/3tancr

22+-------------------------------------+--------------—

cosa+sinacos2a+sin2a21+tan2a1+tan2a2

-311

---1------=-1t

1+31+32

故選：A.

己知函數(shù)(后了+在[-

7./(x)=x3+fx+lgx)+22,2]上的最大值與最小值分別為M和〃?，則經(jīng)過(guò)函數(shù)

g(x)=(M+“)x+而溫的圖象的對(duì)稱中心的直線被圓x2+y2=5截得的最短弦長(zhǎng)為()

A.10B.5C.9D.近

42

【答案】D

【解析】因?yàn)?(*)=1+女+吆(。1+、+x)+2,所以/(犬)-2=/+江+炮(而，+x),

設(shè)g(x)=〃x)-2=3+a+愴(Ji+x:+a),xe[-2,2],

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且g(X)+g(-X)=d+fx+1g(Vl+X2+x)+(-x)'-fx+1g(Jl+(-x)2_x)=0,

所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，由己知可得函數(shù)g(x)的最大值為M-2,最小值為機(jī)-2,

所以用-2+加一2=0,故"+加=4,

所以g(x)=4x+11g(x)-l=4x-l+1

因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

中心對(duì)稱,

所以g(x)關(guān)于—Jj

因?yàn)槭搜?r=U<5

⑷16

則點(diǎn)在圓V+y2=5的內(nèi)部，

因?yàn)辄c(diǎn)(；』)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為平，

所以所求最短弦長(zhǎng)為2^5--=^.

V162

故選：D.

r2v2

8.如圖，已知耳，鳥是雙曲線C二-2=1的左、右焦點(diǎn)，P,Q為雙曲線C上兩點(diǎn)，滿足KP〃心Q,且

a~b

)

而D.叵

—2

【答案】D

【解析】延長(zhǎng)?，斉c雙曲線交于點(diǎn)P，

因?yàn)槎BP,根據(jù)對(duì)稱性可知>”=|居可,

設(shè)國(guó)P|=|耳『=/,則怩4=住。=3，，

可得出耳"=2，=2?,即”“，

所以|尸。=少=而，則|。制=|。耳|+勿=5〃，田P|=|E"=3a,

即|PQ『+|耳用2=|。制2,可知/耳p，Q=/耳pg=9(),

在,中，由勾股定理得后可耳巧閭

P'FXF22+|2=M2,

即。2+(34)2=402,解得?=￡=巫.

'，a2

故選：D.

2.焦點(diǎn)三角形的作用

在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái).

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.某市為響應(yīng)教育部《切實(shí)保證中小學(xué)每天一小時(shí)校園體育活動(dòng)的規(guī)定》號(hào)召，提出"保證中小學(xué)生每天一

小時(shí)校園體育活動(dòng)”的倡議.在某次調(diào)研中，甲、乙兩個(gè)學(xué)校學(xué)生一周的運(yùn)動(dòng)時(shí)間統(tǒng)計(jì)如下表：

學(xué)校人數(shù)平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間方差

甲校2000103

乙校300082

記這兩個(gè)學(xué)校學(xué)生一周運(yùn)動(dòng)的總平均時(shí)間為總方差為s?,則（）

A.x=8.7B.x=8.8

C.$2=3.36D.r=3.56

【答案】BC

【解析】依題意，總平均時(shí)間為嚏=—駟一X1O+—亞史一x8=8.8,

2000+30002000+3000

方差為八肅而［3+0。-8.8）［+就磊［2+（8-8對(duì)］23

-x4.44+-x2.64=3.36.

=55

故選：BC

8之間的距離，一定能根據(jù)以下數(shù)據(jù)確定A8長(zhǎng)度的是（）

A.a,b,yB.?,p,y

C.a,B,YD.a,p,b

【答案】ACD

【解析】法?、根據(jù)三角形全等的條件SA5,4SA,/14s可以確定A、C、D三項(xiàng)正確，它們都可以唯一確定三

角形；

法二、對(duì)于A項(xiàng)，由余弦定理可知c2=/+b2-2"cosy,可求得c,即A正確；

對(duì)于B項(xiàng)，知三個(gè)內(nèi)角，此時(shí)三角形大小不唯一，故B錯(cuò)誤；

acasiny

對(duì)于c項(xiàng)，由正弦定理可知礪Rf麗=八麗4萬(wàn)即c正確；

對(duì)于D項(xiàng)，同上由正弦定理得0=加，(￡一；一，),即D正確；

sinp

故選：ACD.

11.已知函數(shù)“X)及其導(dǎo)函數(shù)g(x)的定義域均為RJ(2x)=〃4-2x),〃x)+知(T)=o,當(dāng)xw[2,4]時(shí)，

g'(x)<0，g⑴=1，則()

A.的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱B.g(x)為偶函數(shù)

C.g(x)+g(x+4)=0D.不等式g(x)Zl的解集為{x|-l+8y41+8Z,keZ}

【答案】BCD

【解析】由f(2x)=/(4—2x)可得〃x)=〃4—x),故可知的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，故A錯(cuò)誤，

由/(x)+/(—x)=o得r(x)—r(-x)=o,由r(x)=g(x)得g(x)-g(-x)=o,故g(x)為偶函數(shù),故B正

確，

由〃x)=/(4-x)可得r(x)=-r(4-X),所以g(x)=-g(4-x),又g(x)為偶函數(shù)，所以

g(x)=-g(4—x)=-g(x—4)ng(x)+g(x-4)=0,即g(x)+g(x+4)=0,故C正確，

由g(x)為偶函數(shù)且g(x)+g(x+4)=0可得g(x)=-g(x+4)=-[—g(x+8)]=g(x+8),所以g(x)是周期函

數(shù)，且周期為8,又當(dāng)XG[2,4]時(shí),g'(x)<0,可知g(x)在xw[2,4]單調(diào)遞減

故結(jié)合g(x)的性質(zhì)可畫出符合條件的g(x)的大致圖象：

y=g(x)

/1\./.\[

/I01\4yfe8X

由性質(zhì)結(jié)合圖可知：當(dāng)一1+8Z4X41+84,AeZ時(shí)，g(x)21,故D正確,

故選：BCD

12.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體A8C￡?-AAGA中，。是棱。。上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

4a

BC

A.不存在點(diǎn)。，使得GQ〃AC

B.存在點(diǎn)0,使得GQ^AC

c.對(duì)于任意點(diǎn)0,。到4c的距離的取值范圍為［孝，用

D.對(duì)于任意點(diǎn)2,4ACQ都是鈍角三角形

【答案】ABC

【解析】由題知，在正方體中，。是棱。烏上的動(dòng)點(diǎn)，建立以A為原點(diǎn),

分別以AB,AD.AA的方向?yàn)閄軸、y軸、z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-“z.

所以A(0,0,l)，C(l,l,o),q(1,1,1),設(shè)。(0,1,a),其中OWaVl,

所以GQ=(—l,0,a-1),AC=(1,1,—1),

—1=A

當(dāng)GQ=/iAC時(shí)，即(一1,0,“-1)=/1(1/,—1),所以＜o(jì)=4,顯然方程組無(wú)解，

a-l=-2

所以不存在；I使得GQ=/M,c,即不存在點(diǎn)。，使得GQ〃AC,故A項(xiàng)正確;

當(dāng)GQ?AC=-l+O+l-a=O時(shí)，解得a=o,故B項(xiàng)正確；

因?yàn)锳Q=(0,1M-1)，其中OWaWl，所以點(diǎn)。到AC的距離為

故C項(xiàng)正確；

因?yàn)镼C=(1,0,-a),0^=(0,-1,1-a),其中OWaWl,

所以cos(℃,QA)=總結(jié)==金苧^=40

所以三角形為AC。直角：角形或鈍角三角形，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.(士-x)"展開(kāi)式中的各二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,則/的系數(shù)是

x

【答案】112

【解析】依題意得：2,=256,解得〃=8,

則加=C；尼)(-x)r=(-1/?愛(ài)飛；at「eN,r48,

由2廠-8=4,解得廠=6,

從而

故答案為：112.

14.陀螺又稱陀羅，是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)健身玩具之一，在山西夏縣新石器時(shí)代的遺址中就發(fā)現(xiàn)了石制

的陀螺.如圖所示的陀螺近似看作由一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱組成的組合體，其中圓柱的底面半徑為L(zhǎng)圓錐與

圓柱的高均為1，若該陀螺由一個(gè)球形材料削去多余部分制成，則球形材料體積的最小值為.

【解析】依題意當(dāng)該陀螺中圓錐的頂點(diǎn)及圓柱的下底面圓周都在球形材料表面上時(shí)，球形材料體積的最小,

設(shè)此時(shí)球形材料的半徑為R,如圖所示：

1

由題意得（2—/?y+i2=R2,

解得R=[，

4

所以球形材料的體積最小值為4:兀]?5限

348

故答案為：*12冗5

48

15.已知函數(shù)〃x）=sin"T（0>O）,且〃x）在區(qū)間岑）上單調(diào)遞增，則0的取值范圍為.

「7]]-

【答案】（0』口5,丁

■A71L-.1.-1Mc、1,兀3兀r_L兀G兀兀3兀G71

【解析】因?yàn)?lt;y>0,當(dāng)；；<x<二-時(shí)，----<cox--<——

2424444

因?yàn)楹瘮?shù)〃力=$皿（8-：）（。>0）在區(qū)間（今百）上單調(diào)遞增,

則,,Y匕71CD一71工3兀①一兀、士口》兀2…航+兀義、人心孫

HCO71_,7U

------N2E---

所以，J42,其中攵eZ,解得竺+1（左￡Z）,

3兀0兀兀23/

<2kn+—

44-------2

X〉IQ

所以，7+1之4Z—彳，解得k4,

因?yàn)?>0,且&eZ,則Ze{0,l}.

當(dāng)％=0時(shí)，0<<y<l；當(dāng)女=1時(shí)，-<（o<—.

23

「7]]-

綜上所述，。的取值范圍是（。川3.

「7]]

故答案為：（0川。—，―?

16.已知百，心是橢圓三+匯=1的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸2的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，設(shè).A8耳的內(nèi)切圓

43

圓心為1,則tanZMB的最大值為.

【答案】昱山陋

33

【解析】因?yàn)?為片的內(nèi)切圓圓心，則/片AF2=2N1AB,

顯然N/A8是銳角，當(dāng)且僅當(dāng)N/A8最大時(shí)，tanN/A8最大，且最大,

又N￡4居€（0,兀）,即有cosN耳4口最小,

2，

在橢圓三+21=1中，|耳4|+|)A|=4,|耳瑪|=2,

43

|斗4『+|丹*2一|耳丹|2（耳4|+|因如）2一||5|2

在/6A心中，COSZF}AF2=-1

2\F,A\\F2A\一2|上川|入川

42-226-1

~2\F}A\\F2A\一|耳A|+|)A|--2＞當(dāng)且僅當(dāng)I片41=1鳥41=2時(shí)取等號(hào),

TT7T

因此當(dāng)I耳A|=|鳥A|=2,即與4名為正三角形時(shí)，N^A6取得最大值：，N/A8取最大值芻，

36

所以tan/MB的最大值為tan巴=3.

63

故答案為：顯

3

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

17.（10分）

在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,"c,CO為C4在CB方向上的投影向量，且滿足

2c-sinB=>/5|CD|,

（1）求cosC的值;

（2）^b=>/3,a=3ccosB,求A8C的周長(zhǎng).

【解析】（1）由CO為CA在CB方向上的投影向量，則|CD|=8COSC,

又2csin3=7^CZ）|,即2csin8=@cosC,

根據(jù)正弦定理，2sinCsinB=V^sinBcosC,

在銳角ABC中，Belo,,）,則sirtB〉。，即2sinC=J^cosC,

由Cw（0,[1,則cos2c+sin2，=l,整理可得cos?C+3cos2c=1,解得cosC=]（負(fù)值舍去）.

I2J43

（2）由a=3ccos3,根據(jù)正弦定理，可得sinA=3sinCcosB,

在4.ABC111,4+B+C=7t,則sin（3+C）=3sinCcos8,

所以sinBcosC+cosBsinC=3sinCbosB,所以sinBcosC=2sinCcosB,

2R

由（1）可知cos。=—,sinC=Jl—cos2c,則sinB=V^cosB,

33

cosB=正

由sin23+cos23=1,則5cos23+cos23=l，解得（負(fù)值舍去）,

病

sinB=

根據(jù)正弦定理，可得上=，;;，則。=吧￡6=3,a=^-c=>/3

smBsmCsinn2

故"BC的周長(zhǎng)。布=4+6+。=26+血.

18.（12分）

如圖所示，在多面體MCGEE中，底面8C7方為矩形，且A￡_L底面8CF￡,AGia

EF,AG=AE=BE=LEF=2,BFCCE=0.

2

（1）證明：A。回平面GCF\

⑵求平面A3。與平面GCF夾角的余弦值.

【解析】（1）證明：取線段CF的中點(diǎn)H,連接OH,GH,

因?yàn)樗倪呅巍闎CF是矩形，且CB=2EB,

所以O(shè)H〃8C且0H=—8C,

2

因?yàn)锳GEF且AG=；EF,EF〃BCB.EF=BC,

所以AGBC\\,AG=-BC,

2

所以AG〃。//且AG=O〃，

所以四邊形AOHG是平行四邊形，則AO〃〃G,

因?yàn)锳OZ平面GCF,u平面GCF,所以AO〃平面GCF

(2)因?yàn)锳E_L底面8CFE,硝,EFu平面3CFE,所以AE，_L歷，

因?yàn)镋B_LEF

所以以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以砥，所，取所在的直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

則A（0,0,2）,3（2,0,（））,C（2,4,0）,F（0,4,0）,G（0,2,2）,0（1,2,0）,

A8=（2,0,-2）,AO=（l,2,-2）,fC=（2,0,0）,FG=（0,-2,2）.

設(shè)平面AB。的法向量為加=（a,b,c），貝ij

AB-in=2a-2c=0

<,令a=c=2,貝=

AO-m=a+2h-2c=0

故平面ABO的一個(gè)法向量帆=(2,1,2),

設(shè)平面GCT的法向量為〃=(x,y,z),

n-FC=2x=0

由，取y=i則z=1,

n-FG=-2y+2z=0

故平面GC尸的一個(gè)法向量"=(0,1,1),

貝|JCOS（肛*.

設(shè)平面AB。與平面GCF的夾角為。(dw0,|J,則cosO=*

19.（12分）

己知數(shù)列｛a〃｝,｛bn｝,｛<■〃｝中，4=4=q=l，c”M=a?+,-4'J+i=3--c”("eN").

⑴若數(shù)列伽｝為等比數(shù)列，且公比4>0,且伉+&=6&,求q與｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛加｝為等差數(shù)列，且公差d>0,證明：q+G++%<1+」.

【解析】(1)依題意4=1也=4也，而4+2=64,即l+q=6q2,由于q>0,回解得q=；,

地=擊.

1

團(tuán)4+2=擊，故C“M=￥-C"=4,C”，團(tuán)數(shù)列｛c,｝是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，團(tuán)5=4"、

西

回％M=4"?

團(tuán)4”|-《，=g+i=4"，故a“-a“_|=4'i(〃22,〃eN)

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1-43

經(jīng)檢驗(yàn)對(duì)于〃=1也成立；

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(2)依題意設(shè)我=1+(〃—1”=冊(cè)+1-4,由于上一產(chǎn),

Cn""+2

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經(jīng)檢驗(yàn)對(duì)于〃=1也成立，

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I小4b2)[b2b3)",b?J\l認(rèn)%,

由于d>0,伉=1,回"+|>0,0|11---<1+—,即q+c,+…+c”<1+1.

I〃八dd

20.(12分)

已知/。)=/一/+人，曲線y=/(x)與直線y=ar+l相切于點(diǎn)

(1)求a，b的值；

(2)證明：當(dāng)x>0時(shí)，/⑴-We-2恒成立.

X

【解析】(D.f'(x)=e'—2x.

由題設(shè)得a=〃l)=e-2,a+l=〃l)=e-l+6,

i^a=e-2,b=0.

(2)當(dāng)x>0時(shí)，"“)一工一2等價(jià)于e“-川+(2一6卜-120,

X

下面證明：當(dāng)x>0時(shí)，eA-x2+(2-e)x-l>0.

i^^(x)=eA-x2-(e-2)x-l,x>0,則g'(x)=e'-2x-(e-2).

設(shè)力(x)=g，(x),則〃(x)=e*-2,

當(dāng)x?0,ln2)時(shí)，〃'(x)<0,/z(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(ln2,+8)時(shí)，/(x)>0,7i(x)單調(diào)遞增.

X^(0)=3-e>0,/?(l)=0,0<ln2<l,/?(ln2)<0,

所以即使得始^=0,

所以當(dāng)xe(O,%)或XG(1,+OO)時(shí),g'(x)>0；當(dāng)時(shí),g'(x)<0.

故g(x)在(0,及)和(1,口)上單調(diào)遞增，在(七,1)上單調(diào)遞減，

又g(0)=g(l)=0，所以g(x)=e*+x?—(e-2)x-120.

故當(dāng)x>0時(shí)，必史口Ne-2恒成立.

X

21.(12分)

概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個(gè)當(dāng)屬由兩位俄國(guó)數(shù)學(xué)家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的

馬爾科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等式.馬爾科夫不等式的形式如下：

設(shè)X為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為E(x),則對(duì)任意￡>o,均有生0,

￡

馬爾科夫不等式給出了隨機(jī)變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機(jī)變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期

望間的關(guān)系.當(dāng)X為非負(fù)離散型隨機(jī)變量時(shí)，馬爾科夫不等式的證明如下：

設(shè)X的分布列為P(X=xJ=p,,i=l,2,其中p,€(0,+8),玉€[0,+co)(i=l,2,?=則對(duì)任意

1=1

￡>0,P(x2￡)=?4Z±P，△=—，其中符號(hào)ZA表示對(duì)所有滿足x,泊的指

黑累￡￡黑年￡X.

標(biāo)i所對(duì)應(yīng)的從求和.

切比雪夫不等式的形式如下：

設(shè)隨機(jī)變量X的期望為E(X),方差為O(X),則對(duì)任意￡>0,均有P(|X-E(X)|*)4%N

⑴根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對(duì)離散型隨機(jī)變量X成立.

（2）某藥企研制出一種新藥，宣稱對(duì)治療某種疾病的有效率為80%.現(xiàn)隨機(jī)選擇了100名患者，經(jīng)過(guò)使用該

藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請(qǐng)結(jié)合切比雪夫不等式通過(guò)計(jì)算說(shuō)明藥廠的宣傳內(nèi)容是否真實(shí)可信.

【解析】（1）法?：對(duì)非負(fù)離散型隨機(jī)變量［X-E（X）F及正數(shù)『使用馬爾科夫不等式，

有「（|X-E（X）|2￡）=P”-E（X）f2切JUq.（X）F=竽

法二：設(shè)X的分布列為

P（X=xi）=pi,i=l,2,,n,

其中Pj,%e（0,+oo）（i=l,2,,〃）,￡p,.=l,記幺=￡：（乂），則對(duì)任意￡>0,