離散傅里葉變換快速算法的研究與MATLAB算法實(shí)現(xiàn)

離散傅里葉變換快速算法的研究與MATLAB算法實(shí)現(xiàn)1.本文概述快速傅里葉變換（FastFourierTransformation,FFT）是一種將大點(diǎn)數(shù)N的離散傅里葉變換（DFT）分解為若干小點(diǎn)的DFT組合的算法。這種分解大大降低了DFT的運(yùn)算工作量，從而顯著提高了其計(jì)算速度。由于FFT技術(shù)在各個(gè)科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，它極大地推動(dòng)了信號(hào)處理技術(shù)的進(jìn)步，已成為數(shù)字信號(hào)處理的強(qiáng)有力的工具。本論文旨在全面敘述各種快速傅里葉變換算法的原理和特點(diǎn)，并基于MATLAB平臺(tái)實(shí)現(xiàn)了這些算法。通過本文的研究，讀者將對快速傅里葉變換有更深入的理解，并能夠利用MATLAB實(shí)現(xiàn)這些算法，為實(shí)際的信號(hào)處理應(yīng)用提供有力支持。2.離散傅里葉變換()的推導(dǎo)方法：周期延拓中的搬移通過與e{j2piknN}的卷積來實(shí)現(xiàn)。表示：延拓后的波形在數(shù)學(xué)上可表示為原始波形與沖激串序列的卷積。經(jīng)過抽樣、截?cái)嗪脱油睾螅盘?hào)時(shí)域和頻域都是離散、周期的。處理后信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅里葉變換是離散函數(shù)，僅在離散頻率點(diǎn)fkf_0處存在沖激，強(qiáng)度為a_k，其余各點(diǎn)為0。同時(shí)，它是周期函數(shù)，周期為Nf_0，每個(gè)周期內(nèi)有N個(gè)不同的幅值。時(shí)域的離散時(shí)間間隔（或周期）與頻域的周期（或離散間隔）互為倒數(shù)。DFT的定義如下：設(shè)h(nT_s)是連續(xù)函數(shù)h(t)的N個(gè)抽樣值n0,1,ldots,N1，這N個(gè)點(diǎn)的寬度為N的DFT為：H(k)sum_{n0}{N1}h(nT_s)e{j2piknN}H(k)是連續(xù)頻率函數(shù)的N個(gè)抽樣值，k0,1,ldots,N1。DFT的變換核函數(shù)為W_Ne{j2piN}，它們具有正交性，即：sum_{k0}{N1}W_N{nk}W_N{mr}Ndelta(nr)h(n)frac{1}{N}sum_{k0}{N1}H(k)W_N{nk}DFT具有周期性和對稱性，并且離散譜具有周期性、共軛對稱性和幅度對稱性。DFT的定義是針對任意的離散序列中的有限個(gè)離散抽樣的，并不要求該序列具有周期性。由DFT求出的離散譜是離散的周期函數(shù)，周期為N、離散間隔為f_0。如果稱離散譜經(jīng)過IDFT所得到的序列為重建信號(hào)，則重建信號(hào)是離散的周期函數(shù)，周期為NT_s（對應(yīng)離散譜的離散間隔的倒數(shù)）。3.快速傅里葉變換()算法原理快速傅里葉變換（FastFourierTransform,FFT）是一種用于快速計(jì)算序列的離散傅里葉變換（DFT）或其逆變換的方法。它通過將DFT矩陣分解為稀疏（大多為零）因子之積來提高計(jì)算效率。FFT算法的基本思想是在1965年普及的，但它的推導(dǎo)可以追溯到1805年。FFT算法的核心優(yōu)勢在于其能夠?qū)⒂?jì)算DFT的復(fù)雜度從O(N2)降低到O(NlogN)，其中N為數(shù)據(jù)大小。這種復(fù)雜度的降低使得FFT在工程、科學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。例如，在信號(hào)處理中，F(xiàn)FT可以用于分析信號(hào)的頻率成分。FFT算法的基本原理是利用DFT的周期性和對稱性，將輸入序列分解為越來越小的子序列進(jìn)行離散傅里葉變換計(jì)算，最后將這些子序列的結(jié)果合成為完整的N點(diǎn)離散傅里葉變換。這種分解和合成的過程可以通過蝶形運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)，蝶形運(yùn)算包括復(fù)數(shù)乘法和加法操作。FFT算法有多種變體，其中最著名的是按時(shí)間抽取的FFT算法和按頻率抽取的FFT算法。按時(shí)間抽取的FFT算法將時(shí)域信號(hào)序列按偶奇分排，而按頻率抽取的FFT算法將頻域信號(hào)序列按偶奇分排。這些算法都能夠有效地減少計(jì)算量，提高計(jì)算效率?？焖俑道锶~變換（FFT）算法通過利用DFT的周期性和對稱性，將計(jì)算DFT的復(fù)雜度從O(N2)降低到O(NlogN)，從而實(shí)現(xiàn)了對離散傅里葉變換的快速計(jì)算。它在信號(hào)處理、圖像處理、通信等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。4.各種快速傅里葉變換算法的特點(diǎn)按時(shí)間抽取的FFT算法（DecimationinTimeFFT）蝶形計(jì)算：該算法的基本操作是蝶形計(jì)算，包含一次復(fù)數(shù)乘法和兩次復(fù)數(shù)加法。原位計(jì)算：算法可以原位計(jì)算，即在輸入序列上直接進(jìn)行計(jì)算，不需要額外的存儲(chǔ)空間。碼位倒置：在計(jì)算過程中需要進(jìn)行碼位倒置，即將輸入序列按照二進(jìn)制反轉(zhuǎn)的順序進(jìn)行重新排列。按頻率抽取的FFT算法（DecimationinFrequencyFFT）蝶形計(jì)算：與按時(shí)間抽取的FFT算法類似，該算法也使用蝶形計(jì)算作為基本操作?；诙M(jìn)制分解：該算法利用序列長度的二進(jìn)制表示進(jìn)行遞歸分解，因此只適用于序列長度為2的冪的情況。高效的蝶形運(yùn)算：由于二進(jìn)制分解的特性，基2FFT算法中的蝶形運(yùn)算可以非常高效地實(shí)現(xiàn)。靈活的基數(shù)選擇：該算法可以根據(jù)序列長度選擇不同的基數(shù)進(jìn)行分解，從而在非2的冪的情況下也能應(yīng)用。自適應(yīng)性能：通過選擇合適的基數(shù)，混合基FFT算法可以自適應(yīng)地調(diào)整計(jì)算復(fù)雜度和存儲(chǔ)需求。這些不同的FFT算法在計(jì)算效率、存儲(chǔ)需求和適用場景上有所差異，因此在實(shí)際應(yīng)用中需要根據(jù)具體情況選擇合適的算法。5.基于的算法實(shí)現(xiàn)在這一部分，我們將使用MATLAB編程語言來實(shí)現(xiàn)離散傅里葉變換的快速算法。MATLAB提供了豐富的函數(shù)和工具箱，使得實(shí)現(xiàn)這些算法變得更加簡單和高效。我們需要導(dǎo)入必要的MATLAB工具箱，例如信號(hào)處理工具箱（SignalProcessingToolbox）。我們可以使用MATLAB的內(nèi)置函數(shù)來生成測試信號(hào)，例如使用randn函數(shù)生成隨機(jī)噪聲信號(hào)。我們將使用MATLAB的fft函數(shù)來計(jì)算離散傅里葉變換。fft函數(shù)可以接受一個(gè)時(shí)域信號(hào)作為輸入，并返回其頻域表示。我們可以使用不同的參數(shù)來控制fft函數(shù)的行為，例如設(shè)置fft函數(shù)的點(diǎn)數(shù)（n）和采樣頻率（Fs）。在實(shí)現(xiàn)快速傅里葉變換算法時(shí)，我們可以使用蝶形運(yùn)算（Butterflyoperation）來減少計(jì)算量。蝶形運(yùn)算是一種將輸入信號(hào)劃分為奇偶兩部分，并對每一部分進(jìn)行DFT運(yùn)算的方法。通過迭代應(yīng)用蝶形運(yùn)算，我們可以將N點(diǎn)DFT運(yùn)算分解為多個(gè)小點(diǎn)的DFT運(yùn)算，從而大大減少計(jì)算量。在MATLAB中，我們可以使用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)蝶形運(yùn)算。具體來說，我們可以使用兩個(gè)嵌套的循環(huán)來迭代應(yīng)用蝶形運(yùn)算。在外層循環(huán)中，我們將輸入信號(hào)劃分為奇偶兩部分。在內(nèi)層循環(huán)中，我們將對每一部分進(jìn)行DFT運(yùn)算。我們可以使用MATLAB的繪圖函數(shù)來可視化結(jié)果。例如，我們可以使用plot函數(shù)繪制時(shí)域信號(hào)和頻域信號(hào)的圖形，以便更好地理解和分析算法的性能。通過以上步驟，我們可以在MATLAB中實(shí)現(xiàn)離散傅里葉變換的快速算法，并使用實(shí)際信號(hào)進(jìn)行測試和驗(yàn)證。這將有助于我們深入理解這些算法的原理和應(yīng)用，并為進(jìn)一步的研究和開發(fā)奠定基礎(chǔ)。參考資料：庫利－圖基快速傅里葉變換算法（Cooley-Tukey算法）是最常見的快速傅里葉變換算法。這一方法以分治法為策略遞歸地將長度為N=N1N2的DFT分解為長度分別為N1和N2的兩個(gè)較短序列的DFT，以及與旋轉(zhuǎn)因子的復(fù)數(shù)乘法。這種方法以及FFT的基本思路在1965年J.W.Cooley和J.W.Tukey合作發(fā)表AnalgorithmforthemachinecalculationofcomplexFourierseries之后開始為人所知。但后來發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上這兩位作者只是重新發(fā)明了高斯在1805年就已經(jīng)提出的算法（此算法在歷史上數(shù)次以各種形式被再次提出）。庫利－圖基快速傅里葉變換算法是將序列長為N的DFT分區(qū)為兩個(gè)長為N/2的子序列的DFT，因此這一應(yīng)用只適用于序列長度為2的冪的DFT計(jì)算，即基2-FFT。實(shí)際上，如同高斯和庫利與圖基都指出的那樣，庫利－圖基算法也可以用于序列長度N為任意因數(shù)分解形式的DFT，即混合基FFT，而且還可以應(yīng)用于其他諸如分裂基FFT等變種。盡管庫利－圖基算法的基本思路是采用遞歸的方法進(jìn)行計(jì)算，大多數(shù)傳統(tǒng)的算法實(shí)現(xiàn)都將顯示的遞歸算法改寫為非遞歸的形式。因?yàn)閹炖瓐D基算法是將DFT分解為較小長度的多個(gè)DFT，因此它可以同任一種其他的DFT算法聯(lián)合使用。離散傅立葉變換的復(fù)雜度為（可引用大O符號(hào)）。快速傅立葉變換的復(fù)雜度為，分析可見下方架構(gòu)圖部分，級(jí)數(shù)為而每一級(jí)的復(fù)雜度為，故復(fù)雜度為。在FFT算法中，針對輸入做不同方式的分組會(huì)造成輸出順序上的不同。如果我們使用時(shí)域抽?。―ecimation-in-time），那么輸入的順序?qū)?huì)是比特反轉(zhuǎn)排列（bit-reversedorder），輸出將會(huì)依序排列。但若我們采取的是頻域抽取（Decimation-in-frequency），那么輸出與輸出順序的情況將會(huì)完全相反，變?yōu)橐佬蚺帕械妮斎肱c比特反轉(zhuǎn)排列的輸出。我們可以將DFT公式中的項(xiàng)目在時(shí)域上重新分組，這樣就叫做時(shí)域抽?。―ecimation-in-time），在這里將會(huì)被代換為旋轉(zhuǎn)因子（twiddlefactor）。我們可以將DFT公式中的項(xiàng)目在頻域上重新分組，這樣就叫做頻域抽取（Decimation-in-frequency）。利用庫利－圖基算法進(jìn)行離散傅立葉拆解時(shí)，能夠依需求而以2,4,8…等2的冪次方為單位進(jìn)行拆解，不同的拆解方法會(huì)產(chǎn)生不同層數(shù)快速傅里葉變換的架構(gòu)，基底越大則層數(shù)越少，復(fù)數(shù)乘法器也越少，但是每級(jí)的蝴蝶形架構(gòu)則會(huì)越復(fù)雜，因此常見的架構(gòu)為2基底、4基底與8基底這三種設(shè)計(jì)。2基底-快速傅立葉算法（Radix-2FFT）是最廣為人知的一種庫利－圖基快速傅立葉算法分支。此方法不斷地將N點(diǎn)的FFT拆解成兩個(gè)'N/2'點(diǎn)的FFT，利用旋轉(zhuǎn)因子的對稱性借此來降低DFT的計(jì)算復(fù)雜度，達(dá)到加速的功效。而其實(shí)前述有關(guān)時(shí)域抽取或是頻域抽取的方法介紹，即為2基底的快速傅立葉轉(zhuǎn)換法。以下展示其他種2基底快速傅立葉算法的連線方法，此種不規(guī)則的連線方法可以讓輸出與輸入都為循序排列，但是連線的復(fù)雜度卻大大的增加。4基底快速傅立葉變換算法則是承接2基底的概念，在此里用時(shí)域抽取的技巧，將原本的DFT公式拆解為四個(gè)一組的形式：在這里再利用的特性來進(jìn)行與2基數(shù)FFT類似的化減方法，以降低算法復(fù)雜度。在庫利－圖基算法里，使用的基底（radix）越大，復(fù)數(shù)的乘法與存儲(chǔ)器的訪問就越少，所帶來的好處不言而喻。但是隨之而來的就是實(shí)數(shù)的乘法與實(shí)數(shù)的加法也會(huì)增加，尤其計(jì)算單元的設(shè)計(jì)也就越復(fù)雜，對于可應(yīng)用FFT之點(diǎn)數(shù)限制也就越嚴(yán)格。在表中我們可以看到在不同基底下所需的計(jì)算成本。在DFT的公式中，我們重新定義x=T,=T，則DFT可重寫為=FN?x。FN是一個(gè)N×N的DFT矩陣，其元素定義為ij=WNij(i,j∈)，當(dāng)N=8時(shí)，我們可以得到以下的F8矩陣并且進(jìn)一步將其拆解。在拆解成三個(gè)矩陣相乘之后，我們可以將復(fù)數(shù)運(yùn)算的數(shù)量從56個(gè)降至24個(gè)復(fù)數(shù)的加法。底下是8基底的的SFG。要注意的是所有的輸出與輸入都是復(fù)數(shù)的形式，而輸出與輸入的排序也并非規(guī)律排列，此種排列方式是為了要達(dá)到接線的最優(yōu)化。在2/8基底的算法中，我們可以看到我們對于偶數(shù)項(xiàng)的輸出會(huì)使用2基底的分解法，對于奇數(shù)項(xiàng)的輸出采用8基底的分解法。這個(gè)做法充分利用了2基底與4基底擁有最少乘法數(shù)與加法數(shù)的特性。當(dāng)使用了2基底的分解法后，偶數(shù)項(xiàng)的輸出如下所示。以上式子就是2/8基底的FFT快速算法。在架構(gòu)圖上可化為L型的蝴蝶運(yùn)算架構(gòu)，如圖5所示。為了改進(jìn)Radix2/8在架構(gòu)上的不規(guī)則性，我們在這里做了一些修改，如下表.。此修改可讓架構(gòu)更加規(guī)則，且所使用的加法器與乘法器數(shù)量更加減少，如下表所示。在這里我們最小的運(yùn)算單元稱為PE（ProcessElement）,PE內(nèi)部包含了2/8基底、2/4基底、2基底的運(yùn)算，簡化過的信號(hào)處理流程與蝴蝶型架構(gòu)圖可見圖6基底的選擇越大會(huì)造成蝴蝶形架構(gòu)更加復(fù)雜，控制電路也會(huì)復(fù)雜化。因此ShoushengHe和MatsTorkelson在1996提出了一個(gè)2^2基底的FFT算法，利用旋轉(zhuǎn)因子的特性：。而–j的乘法基本上只需要將被乘數(shù)的實(shí)部虛部對調(diào)，然后將虛部加上負(fù)號(hào)即可，這樣的負(fù)數(shù)乘法被定義為'簡單乘法'，因此可以用很簡單的硬件架構(gòu)來實(shí)現(xiàn)。利用上面的特性，22基底FFT能用串接的方式將旋轉(zhuǎn)因子以4為單位對DFT公式進(jìn)行拆解，將蝴蝶形架構(gòu)層數(shù)降到log4N，大幅減少復(fù)數(shù)乘法器的用量，而同時(shí)卻維持了2基底蝴蝶形架構(gòu)的簡單性，在性能上獲得改進(jìn)。2^2基底DIFFFT算法的拆解方法如下列公式所述：然后套用CommonFactorAlgorithm（CFA）如上述公式所示，原本的DFT公式會(huì)被拆解成多個(gè)，而又可分為BF2I與BF2II兩個(gè)層次結(jié)構(gòu)，分別會(huì)對應(yīng)到之后所介紹的兩種硬件架構(gòu)。一個(gè)16點(diǎn)的DFT公式經(jīng)過一次上面所述之拆解之后可得下面的FFT架構(gòu)可以看出圖6的架構(gòu)保留了2基底的簡單架構(gòu)，然而復(fù)數(shù)乘法卻降到每兩級(jí)才出現(xiàn)一次，也就是次。而BF2I以及BF2II所對應(yīng)的硬件架構(gòu)如圖7：其中BF2II硬件單元中左下角的交叉電路就是用來處理-j的乘法。其中圖8下方的為一7比特寬的計(jì)數(shù)器，而此架構(gòu)的控制電路相當(dāng)單純，只要將計(jì)數(shù)器的各個(gè)比特分別接上BF2I與BF2II單元即可。下表將2基底、4基底與22基底算法做一比較，可以發(fā)現(xiàn)22基底算法所需要的乘法氣數(shù)量為2基底的一半，加法棄用量是4基底的一半，并維持一樣的存儲(chǔ)器用量和控制電路的簡單性。如上所述，22算法是將旋轉(zhuǎn)因子視為一個(gè)簡單乘法，進(jìn)而由公式以及硬件上的化簡獲得硬件需求上的改進(jìn)。而借由相同的概念，ShoushengHe和MatsTorkelson進(jìn)一步將旋轉(zhuǎn)因子的乘法化簡成一個(gè)簡單乘法，而化簡的方法將會(huì)在下面講解。在2基數(shù)FFT算法中的基本概念是利用旋轉(zhuǎn)因子的對稱性，4基數(shù)算法則是利用的特性。但是我們會(huì)發(fā)在這些旋轉(zhuǎn)因子的對稱特性中出現(xiàn)。─并沒有被利用到。主要是因?yàn)榈某朔ㄟ\(yùn)算會(huì)讓整個(gè)FFT變得復(fù)雜，但是如果借由近似的方法，我們便可以將此一運(yùn)算化簡為12個(gè)加法。我們可以從上式注意到，可以被近似為五個(gè)加法的結(jié)果，所以就可以被簡化為只有六個(gè)加法，再算入實(shí)部與虛部的計(jì)算，總共只需12個(gè)加法器就可以運(yùn)用到此一簡化特性。經(jīng)由與基底類似的推導(dǎo)，并用串接的方式將旋轉(zhuǎn)因子以8為單位對DFT公式進(jìn)行拆解，基底FFT算法進(jìn)一步將復(fù)數(shù)乘法器的用量縮減到log8N，并同時(shí)維持硬件架構(gòu)的簡單性。推導(dǎo)的方法與基底相當(dāng)類似。借由這樣的方法，基底能將乘法器的用量縮減到2基底的1/3，并同時(shí)維持一樣的存儲(chǔ)器用量以及控制電路的簡單性。離散傅里葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT）傅里葉分析方法是信號(hào)分析的最基本方法，傅里葉變換是傅里葉分析的核心，通過它把信號(hào)從時(shí)間域變換到頻率域，進(jìn)而研究信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)和變化規(guī)律。離散傅里葉變換（DFT），是傅里葉變換在時(shí)域和頻域上都呈現(xiàn)離散的形式，將時(shí)域信號(hào)的采樣變換為在離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）頻域的采樣。在形式上，變換兩端（時(shí)域和頻域上）的序列是有限長的，而實(shí)際上這兩組序列都應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為是離散周期信號(hào)的主值序列。即使對有限長的離散信號(hào)作DFT，也應(yīng)當(dāng)將其看作經(jīng)過周期延拓成為周期信號(hào)再作變換。在實(shí)際應(yīng)用中通常采用快速傅里葉變換以高效計(jì)算DFT。設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，則其傅里葉變換，Z變換與離散傅里葉變換分別用以下三個(gè)關(guān)系式表示離散傅里葉變換是x(n)的頻譜(ejω)在上的N點(diǎn)等間隔采樣,也就是對序列頻譜的離散化,這就是DFT的物理意義.如果1（n）和2(N)是兩個(gè)有限長序列，長度分別為N1和N2，且Y(N)=A1(N)+B2(N)式中表明將(N）以N為周期進(jìn)行周期拓延得到新序列'(N)=((N))下標(biāo)n，再將'(N）左移M位，最后取主值序列得到循環(huán)移位序列Y(N)DFT的一個(gè)重要特點(diǎn)就是隱含的周期性,從表面上看,離散傅里葉變換在時(shí)域和頻域都是非周期的,有限長的序列,但實(shí)質(zhì)上DFT是從DFS引申出來的,它們的本質(zhì)是一致的,因此DTS的周期性決定DFT具有隱含的周期性。可以從以下三個(gè)不同的角度去理解這種隱含的周期性(1)從序列DFT與序列FT之間的關(guān)系考慮(k)是對頻譜(ejω)在上的N點(diǎn)等間隔采樣，當(dāng)不限定k的取值范圍在時(shí)，那么k的取值就在以外，從而形成了對頻譜(ejω)的等間隔采樣。由于(ejω)是周期的，這種采樣就必然形成一個(gè)周期序列(2)從DFT與DFS之間的關(guān)系考慮。(k)=∑n={0,N-1}x(n)WNexp^nk，當(dāng)不限定N時(shí)，具有周期性在工程實(shí)際中經(jīng)常遇到的模擬信號(hào)xn(t),其頻譜函數(shù)n(jΩ)也是連續(xù)函數(shù)，為了利用DFT對xn(t)進(jìn)行譜分析，對xn(t)進(jìn)行時(shí)域采樣得到x(n)=xn(nT),再對x(n)進(jìn)行DFT，得到(k)則是x(n)的傅里葉變換(ejω)在頻率區(qū)間上的N點(diǎn)等間隔采樣，這里x(n)和(k)都是有限長序列傅里葉變換理論證明，時(shí)間有限長的信號(hào)其頻譜是無限寬的，反之，弱信號(hào)的頻譜有限寬的則其持續(xù)時(shí)間將為無限長，按采樣定理采樣時(shí)，采樣序列應(yīng)為無限長，這不滿足DFT的條件。實(shí)際中，對于頻譜很寬的信號(hào)，為防止時(shí)域采樣后產(chǎn)生‘頻譜混疊’，一般用前置濾波器濾除幅度較小的高頻成分，使信號(hào)的帶寬小于折疊頻率；同樣對于持續(xù)時(shí)間很長的信號(hào)，采樣點(diǎn)數(shù)太多也會(huì)導(dǎo)致存儲(chǔ)和計(jì)算困難，一般也是截取有限點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。上述可以看出，用DFT對模擬信號(hào)進(jìn)行譜分析，只能是近似的，其近似程度取決于信號(hào)帶寬、采樣頻率和截取長度（a）對xn(t)以T為間隔進(jìn)行采樣，即xn(t)|t=nT=xa(nT)=x(n),由于(jΩ)≈∑n={-∞,+∞}x(nT)*exp^-jΩnT*Tx（nT）≈1/2π{0,Ωs}(JΩ)*e^jΩnTDω（b）將序列x(n)=xn(t)截?cái)喑砂蠳個(gè)抽樣點(diǎn)的有限長序列(jΩ)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jΩnT*T由于時(shí)域抽樣，抽樣頻率為fs=1/T,則頻域產(chǎn)生以fs為周期的周期延拓，如果頻域是帶限信號(hào)，則有可能不產(chǎn)生頻譜混疊，成為連續(xù)周期頻譜序列，頻譜的周期為fs=1/T（c）為了數(shù)值計(jì)算，頻域上也要抽樣，即在頻域的一個(gè)周期中取N個(gè)樣點(diǎn)，fs=NF0,每個(gè)樣點(diǎn)間隔為F0，頻域抽樣使頻域的積分式變成求和式，而在時(shí)域就得到原來已經(jīng)截?cái)嗟碾x散時(shí)間序列的周期延拓，時(shí)間周期為T0=1/F0。因此有Ω→kΩ0，dΩ→Ω0，{-∞,+∞}dΩ→∑n={-∞,+∞}Ω0(jkΩ0)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jkΩ0nT判斷系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)的簡單方法是：如果兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分子和分母的最高次數(shù)都分別是m，n，則頻率ω趨于無窮時(shí)，兩個(gè)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻曲線斜率均為－20（n－m）dB/dec但對數(shù)相頻曲線卻不同：最小相位系統(tǒng)趨于－90°（n－m），而非最小相位系統(tǒng)卻不這樣。根據(jù)采樣定理，只有當(dāng)采樣頻率大于信號(hào)最高頻率的兩倍時(shí)，才能避免頻域混疊。實(shí)際信號(hào)的持續(xù)時(shí)間是有限的，因而從理論上來說，其頻譜寬度是無限的，無論多大的采樣頻率也不能滿足采樣定理。但是超過一定范圍的高頻分量對信號(hào)已沒有多大的影響，因而在工程上總是對信號(hào)先進(jìn)行低通濾波另一方面，DFT得到的頻率函數(shù)也是離散的，其頻域抽樣間隔為F0，即頻率分辨力。為了對全部信號(hào)進(jìn)行采樣，必須是抽樣點(diǎn)數(shù)N滿足條件從以上兩個(gè)公式來看，信號(hào)最高頻率分量fc和頻率分辨力F0有矛盾。若要fc增加，則抽樣間隔T就要減小，而FS就要增加，若在抽樣點(diǎn)數(shù)N不變的情況下，必然是F0增加，分辨力下降。唯一有效的方法是增加記錄長度內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N，在fc和F0給定的條件下，N必須滿足在實(shí)際中遇到的序列x(n)，其長度往往是有限長，甚至是無限長，用DFT對其進(jìn)行譜分析時(shí)，必須將其截?cái)酁殚L度為N的有限長序列原序列x(n)的頻譜是離散譜線，經(jīng)截?cái)嗪笫姑扛V線都帶上一個(gè)辛格譜，就好像使譜線向兩邊延申，通常將這種是遇上的截?cái)鄬?dǎo)致頻譜展寬成為泄露，泄露使得頻譜變得模糊，分辨率降低因截?cái)嗍怪髯V線兩邊形成許多旁瓣，引起不同分量間的干擾，成為譜間干擾，這不僅影響頻譜分辨率，嚴(yán)重時(shí)強(qiáng)信號(hào)的旁瓣可能湮滅弱信號(hào)的主譜線。N點(diǎn)DFT是在頻率區(qū)間上對信號(hào)的頻譜進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，得到的是若干個(gè)離散點(diǎn)(k)，且它們之限制為基頻F0的整數(shù)倍，這部好像在柵欄的一邊通過縫隙看另一邊的景象，只能在離散點(diǎn)的地方看到真實(shí)的景象，其余部分頻譜成分被遮攔，所以稱為柵欄效應(yīng)。減小柵欄效應(yīng)，可以在時(shí)域數(shù)據(jù)末端增加一些零值點(diǎn)，是一個(gè)周期內(nèi)的點(diǎn)數(shù)增加在時(shí)域內(nèi)對信號(hào)長度的選擇會(huì)影響DFT運(yùn)算的正確性。實(shí)際的信號(hào)往往是隨機(jī)的，沒有確定的周期，因此在實(shí)際中，應(yīng)經(jīng)可能估計(jì)出幾個(gè)典型的、帶有一定周期性的信號(hào)區(qū)域進(jìn)行頻譜分析，然后在取其平均值，從而得到合理的結(jié)果。圖像處理已經(jīng)成為了當(dāng)今社會(huì)的熱門領(lǐng)域，它廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，如醫(yī)學(xué)影像、安全監(jiān)控、數(shù)字娛樂等。傅里葉變換是一種重要的數(shù)學(xué)工具，在圖像處理中有著廣泛的應(yīng)用。本文將詳細(xì)介紹基于傅里葉變換的MATLAB圖像處理方法，包括傅里葉變換的基本原理、圖像處理基礎(chǔ)、基于傅里葉變換的圖像處理方法以及實(shí)例分析。圖像是一種用像素陣列表示的二維函數(shù)，其定義在某個(gè)空間范圍內(nèi)。圖像可以由相機(jī)、掃描儀等設(shè)備獲取，也可以由計(jì)算機(jī)生成。在圖像處理中，我們通常的是像素值的改變，如亮度、對比度、色彩等。常見的圖像類型有灰度圖像、彩色圖像、二進(jìn)制圖像等。傅里葉變換是一種將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域的數(shù)學(xué)變換。它將圖像分解成一系列不同頻率的正弦和余弦函數(shù)的疊加。通過傅里葉變換，我們可以將圖像的空域信息轉(zhuǎn)換為頻域信息，這在圖像處理中非常有用。在MATLAB中，我們可以使用fft2函數(shù)對圖像進(jìn)行傅里葉變換。下面是一個(gè)簡單的示例：img_fft=fft2(double(img));%對圖像進(jìn)行傅里葉變換基于傅里葉變換的圖像處理方法有很多，下面我們介紹幾種常見的應(yīng)用：傅里葉變換可以將圖像的噪聲從頻域移除。通常情況下，我們可以將圖像進(jìn)行傅里葉變換后，濾除高頻部分，然后再進(jìn)行逆傅里葉變換，以達(dá)到降噪的效果。img_noise=imnoise(img,'gaussian',0,01);%添加高斯噪聲img_fft_noise=fft2(double(img_noise));%對噪聲圖像進(jìn)行傅里葉變換img_fft_denoised=img_fft_noise(1:4:end,1:4:end);%濾除高頻部分img_denoised=irfft2(img_fft_denoised);%進(jìn)行逆傅里葉變換傅里葉變換可以將圖像的能量集中在低頻部分，我們可以只保留低頻部分而濾除高頻部分，以達(dá)到壓縮的效果。img_fft=fft2(double(img));%對圖像進(jìn)行傅里葉變換img_fft_low=img_fft(1:4:end,1:4:end);%保留低頻部分img_compressed=irfft2(img_fft_low);%進(jìn)行逆傅里葉變換為了更好地說明傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用效果，我們舉一個(gè)簡單的例子。假設(shè)我們有一張加了高斯噪聲的圖像，我們先使用傅里葉變換進(jìn)行降噪，然后對降噪后的圖像進(jìn)行壓縮。從上面的結(jié)果可以看出，經(jīng)過傅里葉變換進(jìn)行降噪后，圖像的噪聲明顯減少，圖像質(zhì)量得到