初二數(shù)學(xué)大全

（一）平移的定義

在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。例1： 如下圖所示，先將方格紙中的圖形向右平移4格，然后向下平移3格。解答： 分兩步平移。先向右平移4格，然后向下平移3格。說明： 平移不改變圖形的形狀和大小，理解這個(gè)概念應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：1.平移是運(yùn)動(dòng)的一種形式，是圖形變換的一種。2.圖形的平移有兩個(gè)要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離。這兩個(gè)要素是圖形平移的依據(jù)。3.圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小。這個(gè)特征是得出圖形平移的基本性質(zhì)的依據(jù)。例2：如下圖，把圖形ABCD平移到圖形EFGH。1）在圖中，線段AE、BF、CG、DH有怎樣的位置關(guān)系？2）圖中每對對應(yīng)線段之間有怎樣的位置關(guān)系？3）圖中有哪些相等的線段、相等的角？ABCDFEGH解答:1)AE//BF//CG//DH2）AB//EF，AD//EH，DC//HG，BC//FG3）AB

EF,AD

EH,DC

HG,BC

FG,

A

E,

D

H,

B

F,

C

GABCDFEGH3）圖中有哪些相等的線段、相等的角？（二）平移的基本性質(zhì) 經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對應(yīng)

線段平行且相等，對應(yīng)角相等。 理解平移的基本性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：1.這個(gè)基本性質(zhì)刻畫了圖形在平移運(yùn)動(dòng)中的一部分不變性，而沒有表達(dá)“不改變圖形的形狀和大小”的全部含義。2.要注意正確找出“對應(yīng)線段、對應(yīng)角”，從而正確表達(dá)

基本性質(zhì)的特征。3.“對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等”，這個(gè)基本性質(zhì)即可

作平移圖形之間的性質(zhì)，又可作平移作圖的依據(jù)。例3： 如下圖所示，經(jīng)過平移，△ABC的邊AB平移到了EF處，請畫出平移后的圖形△EFGABCFE解答：解法一：如圖甲所示，連結(jié)AE，過點(diǎn)C作CG//AE，且CG

AE，連結(jié)EG，F(xiàn)G，則△EFG即為所求的三角形。解法二：如圖乙所示，過E作EG//AC，且使EG

AC，連結(jié)FG，則△EFG即為所求的三角形。ABCFGE甲ACFGEB乙解法三：如圖乙，以E為圓心，AC的長為半徑畫弧；再以F為圓心，BC的長為半徑畫??；兩弧交于點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，則△EFG即為所求的三角形。GACFGEB乙例4： 如下圖，AB

CD，畫出線段AB平移后的線段DE，其平移方向?yàn)樯渚€AD的方向，平移的距離為線段AD的長，平移后所得的線段DE與線段DC相等嗎？

DEC與DCE相等嗎？試說明理由。ABCD解答：

正確畫法見右下圖，線段DE與線段DC相等；

DEC

DCE。 理由：由圖形平移的特征可知：ABCDE例5： 有一條河流，兩岸分別有A、B兩個(gè)村莊，假設(shè)河岸為兩條平行直線；要在河上架一座垂直于河岸的橋梁，問怎樣造橋，使得A、B兩地行走路線最短？BQPabA 將圖中的PQ沿QB的方向平移，距離為QB，得到BB

，連結(jié)B

A，與a有交點(diǎn)P

，過P

作P

Q

b，交b于Q

點(diǎn)，那么P

Q

即為所求。B

Q

P

ABQPab略證：因?yàn)镻

Q

PQ（定值），它們的長度、方向均不變故AP

PQ

QB求最小值實(shí)際上是求AP

QB的最小值，通過平移，我們可知：QB

PB

，且P

Q

相當(dāng)于B

B沿B

A方向的平移，這樣有：BQ

B

P

，故AP

BQ

AP

P

B

AB

，因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間，線段最短”，故AB

是最小值。答：橋道在P

Q

處，A、B兩地行走路線最短B

Q

P

ABQPab例6：

如下圖，矩形ABCD中，橫向陰影部分是矩形，另一個(gè)陰影部分是平行四邊形，依照圖中標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中空白部分的面積，其面積是（）。 A.bc

ab

ac

c2 B.ab

bc

ac

c2 C.a2

ab

bc

ac D.b2

bc

a2

abccABCDba分析與解答： 本題也可把圖中兩陰影部分平移成下圖所示的圖形，則空白部分面積不難求出，圖中四塊空白圖形可組成長

為(a

c)、寬為(b

c)的矩形，因此，空白部分面積為： (a

c)(b

c)

ab

ac

bc

c2，故選B。ABCDccba例7:

如圖，四邊形ABCD中，AB//CD，

D2B，若AD

，AB

b，求CD的長。（第十二屆“希望杯”初二第一試）DACB略解：將CB沿CD方向平移使C與D重合，則有CB//DB

，

B

DB

A，B

CDB

，又因?yàn)镈2B，所以ADB

DB

A，所以AD

AB

a，可求出

CD的長為b

aDACBB

練習(xí)1.圖形的操作過程（本題中四個(gè)矩形水平方向的邊長均為a，豎直方向邊長均為b）：在圖①中，將線段A1A2向右平移1個(gè)單位到B1B2，得到封閉圖形A1B2B2B1（即陰影部分）；在圖②中，將折線A1A2A3向右平移1個(gè)單位得到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3B3B2B1（即陰影部分）。A1B1A2B2(1)(3)(4)小路草地草地(2)A1B1A3B3A2B2（1）在圖③中，請你類似地畫一條有兩個(gè)折點(diǎn)的折線，同樣向右平移1個(gè)單位，從而得到一個(gè)封閉圖形，并用斜線畫出陰影。（2）請你分別寫出上述三個(gè)圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：

S1______,S2______,S3______,（3）聯(lián)想與探索：如圖④所示，在一塊矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個(gè)單位），請你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說明你的猜想是正確的。解答：（1）如圖所示（2）S1(a1)b

S2(a1)b

S3(a1)b（3）草地面積是(a1)b，將小路沿兩邊沿剪開，把左邊草地向右平移與右邊的草地拼成一個(gè)長方形。A1B1A3B3A2B2A4B4練習(xí)2.如圖所示，在長方形ABCD中，AB10cm，BC6cm，試問將長方形ABCD沿著AB方向平移多少才能使平移后的長方形與原來的長方形ABCD重疊部分的面積為24cm2？DAHECBGF解答：設(shè)長方形EFGH為平移后的長方形位置，由平移的特征可知，點(diǎn)E、F、G、H分別是點(diǎn)A、B、C、D平移后的對應(yīng)點(diǎn)，且點(diǎn)D、H、C、G在同一條直線上，點(diǎn)A、E、B、F在另一條直線上，從而長方形EBCH即是重疊部分，由EB

BC24cm可得EB4cm，則AE

AB

EB6cm，又因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)E是對應(yīng)點(diǎn)，所以線段AE的長度就是長方形ABCD平移到長方形EFGH位置的距離。練習(xí)3.如圖所示△DEF是等邊三角形ABC沿線段BC方向平移得到的，請你想一想，圖中共有多少個(gè)等邊三角形？多少個(gè)平行四邊形？AFDGECB解答：圖中一共有4個(gè)等邊三角形，它們分別是△ABC、△DEF、△AGD和△GEC，圖中一共有兩個(gè)平行四邊形，它們分別是四邊形ABED和四邊形ACFD。AFDGECB練習(xí)4.如圖，線段AB

CD，AB與CD相交于O，且AOC60°，CE是由AB平移所得，則AC

BD與AB的大小關(guān)系是 A.AC

BD

AB B.AC

BD

AB C.AC

BD

AB D.無法確定ADOECB解答：連結(jié)BE、DE，因?yàn)镃E是由AB平移所得到的，所以AB//CE，且AB

CE，AC

BE，則有CD

CE，△CDE為等腰三角形，又因?yàn)锳OC60°，所以DCE60°，則△CED為等邊三角形，DE

AB，而AC

BD轉(zhuǎn)化BE

DE，在△DBE中DE

BE

DB，所以AC

BD

AB。而當(dāng)點(diǎn)B在DE上時(shí)，AC

BD

AB，這種特殊情況不能不考慮。所以答案為AC

BD

AB，答案選C。ADOECB練習(xí)5.如圖所示，河的兩岸分別有A、B兩個(gè)村莊，假設(shè)河岸為兩條平行直線，村莊A已有兩條修建好的道路AC、AD、AC

AD，且C、D之間的連線平行于河岸，要在河上修架一座橋梁，問如何建橋，能利用已有的道路且使從A到B的行走路線最短？abBADC解答：因C點(diǎn)在河流方向上與B點(diǎn)的距離比D點(diǎn)與B點(diǎn)的距離小，故可利用AC這條道路，作圖如下，EF即為所建