最優(yōu)控制概述

關(guān)于最優(yōu)控制概述最優(yōu)控制概述(1/1)第1章最優(yōu)控制概述

在20世紀(jì)50年代末開始迅速發(fā)展起來(lái)的現(xiàn)代控制理論中，最優(yōu)控制是其一個(gè)主要內(nèi)容，目前仍是非常活躍的一個(gè)分支。最優(yōu)控制問(wèn)題是從大量的實(shí)際問(wèn)題中提煉出來(lái)的，

它的發(fā)展與航空、航天和航海的制導(dǎo)、導(dǎo)航和控制技術(shù)密不可分；化工過(guò)程中有著廣泛的應(yīng)用；等等。下面先通過(guò)幾個(gè)應(yīng)用實(shí)例來(lái)引出最優(yōu)控制問(wèn)題，然后討論最優(yōu)控制問(wèn)題的描述及數(shù)學(xué)表達(dá)。內(nèi)容包括：最優(yōu)控制的問(wèn)題提出最優(yōu)控制的問(wèn)題描述最優(yōu)控制的發(fā)展簡(jiǎn)史

第2頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天最優(yōu)控制問(wèn)題的提出(1/1)1.1最優(yōu)控制問(wèn)題的提出考慮下面幾個(gè)實(shí)際最優(yōu)控制問(wèn)題的例子，飛船的月球軟著陸問(wèn)題攔截問(wèn)題連續(xù)攪拌槽的溫度控制問(wèn)題第3頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天飛船的月球軟著陸問(wèn)題(1/3)1)飛船的月球軟著陸問(wèn)題飛船靠其發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生一個(gè)與月球的重力方向相反的推力,以控制飛船實(shí)現(xiàn)軟著陸,即達(dá)到降落到月球表面時(shí)的速度為零。問(wèn)題要求設(shè)計(jì)發(fā)動(dòng)機(jī)推力u(t)=f(t)程序,使飛船攜帶的燃料最少或著陸時(shí)間最短(最速升降問(wèn)題)。設(shè)飛船的質(zhì)量為m，高度和垂直速度分別為h

和v，月球的重力加速度g可視為常數(shù)，飛船的自身質(zhì)量及所攜帶的燃料分別為M

和F。若飛船于某一初始時(shí)刻起開始進(jìn)入著陸過(guò)程,由牛頓第二定理和物料(燃料)平衡關(guān)系可知,飛船的運(yùn)動(dòng)方程為第4頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天飛船的月球軟著陸問(wèn)題(2/3)要求控制飛船從初始狀態(tài)h(0)=h0,v(0)=v0,m(0)=M+F出發(fā)，在某一末態(tài)時(shí)刻tf實(shí)現(xiàn)軟著陸，即h(tf)=0,v(tf)=0控制過(guò)程中，推力f(t)不能超過(guò)發(fā)動(dòng)機(jī)所能提供的最大推力fmax，即-fmax

f(t)

fmax滿足上述約束條件,使飛船實(shí)現(xiàn)軟著陸的推力程序并非一種，其中消耗燃料最少的稱為燃料最優(yōu)控制問(wèn)題,著陸時(shí)間最短的稱為最速升降問(wèn)題或時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題。第5頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天飛船的月球軟著陸問(wèn)題(3/3)這兩個(gè)問(wèn)題可歸結(jié)為分別求J1=J1(tf)----

燃料消耗最少，或者J2=J2(tf)----著陸時(shí)間最短為最小的數(shù)學(xué)問(wèn)題。第6頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天攔截問(wèn)題(1/2)2)攔截問(wèn)題在某一慣性坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)質(zhì)量為m(t)攔截器L質(zhì)心的位置矢量和速度矢量為：目標(biāo)M質(zhì)心的位置矢量和速度矢量為：攔截器的推力為：F(t)，即控制輸入。攔截器與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為：其中a(t)是除控制加速度外的固有相對(duì)加速度，是已知的。攔截器和目標(biāo)的相對(duì)位置和速度為：第7頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天攔截問(wèn)題(2/2)從工程實(shí)際考慮，約束條件為：如果我們既要求攔截過(guò)程的時(shí)間盡量短，又要求燃料消耗盡量少，則可取性能指標(biāo)：為最小.

綜上所述，所謂最優(yōu)攔截問(wèn)題，即選擇滿足約束條件的控制F(t),驅(qū)使系統(tǒng)從初始狀態(tài)出發(fā)的解，在某個(gè)時(shí)刻滿足終端條件，且使其性能指標(biāo)為極值（極小值）。初始條件為：終端條件為：為燃料燃盡后攔截器的質(zhì)量.

第8頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天連續(xù)攪拌槽的溫度控制問(wèn)題(1/2)3)連續(xù)攪拌槽的溫度控制問(wèn)題

設(shè)有一盛液體的連續(xù)攪拌槽,如圖1所示。槽內(nèi)開始裝有0oC的液體,現(xiàn)需將其溫度經(jīng)1小時(shí)后升高到40oC。圖1連續(xù)攪拌槽示意圖為此在入口處以常速流入液體，溫度為u(t),經(jīng)槽內(nèi)不停轉(zhuǎn)動(dòng)的攪拌器使槽內(nèi)液體溫度均衡上升。設(shè)流出的液體保持槽內(nèi)液面恒定,在出口處溫度與槽內(nèi)液體一致。試尋找u(t)的變化規(guī)律,使槽中液體的溫度經(jīng)1小時(shí)后上升到40oC,并要求所散失的熱量最少。第9頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天連續(xù)攪拌槽的溫度控制問(wèn)題(2/2)因假定槽內(nèi)液體溫度均衡,設(shè)為x(t)。由題設(shè)條件可知,x(t)的邊界條件為x(0)=0oC,x(1)=40oC由熱力學(xué)知識(shí)可知,槽內(nèi)的液體溫度的變化率與溫差[u(t)-x(t)]成正比,即式中,k1為比例系數(shù)。我們的目標(biāo)是確定流入的液體的溫度u(t)如何變化,使得散失的熱量最少,即歸結(jié)為在上述狀態(tài)方程和邊界條件下,求函數(shù)最小的數(shù)學(xué)問(wèn)題。第10頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天最優(yōu)控制問(wèn)題的描述(1/1)1.2最優(yōu)控制問(wèn)題的描述從前面的應(yīng)用實(shí)例可以看出，最優(yōu)控制問(wèn)題可以抽象成共同的數(shù)學(xué)問(wèn)題描述，為最優(yōu)控制理論研究帶來(lái)方便。所謂最優(yōu)控制問(wèn)題的描述,就是將通常的最優(yōu)控制問(wèn)題抽象成一個(gè)統(tǒng)一描述的數(shù)學(xué)問(wèn)題,并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言嚴(yán)格地表述出來(lái)。最優(yōu)控制問(wèn)題的要素包括:被控系統(tǒng)（對(duì)象）的數(shù)學(xué)模型目標(biāo)集容許控制性能指標(biāo)最優(yōu)控制問(wèn)題的描述

第11頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(1/2)1.被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型前面討論的飛船控制系統(tǒng)和攪拌槽溫度系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng),所建立的描述該最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型都為狀態(tài)空間表達(dá)式。因此,對(duì)一般被控系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題,其數(shù)學(xué)模型可以用如下非線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式來(lái)描述:式中

x為n維狀態(tài)向量;u為r維輸入向量;y為m維輸出向量;f(x,u,t)和g(x,u,t)分別為關(guān)于n維狀態(tài)向量x和m維輸入向量u以及時(shí)間t的非線性函數(shù)向量。第12頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(2/2)對(duì)許多實(shí)際被控系統(tǒng),在一定精度范圍內(nèi),其最優(yōu)控制問(wèn)題中的數(shù)學(xué)模型多為線性定常系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng)非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式來(lái)描述。第13頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天目標(biāo)集(1/3)2.目標(biāo)集動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在控制u(t)的作用下從一個(gè)狀態(tài)遷移另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移,這種轉(zhuǎn)移可以理解為狀態(tài)空間的一個(gè)點(diǎn)或系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)。在最優(yōu)控制問(wèn)題中,系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)(稱初態(tài))通常已知,即x(t0)=x0為已知,而所要達(dá)到的最終狀態(tài)(稱末態(tài))是控制所要求達(dá)到的目標(biāo)。第14頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天目標(biāo)集(2/3)末態(tài)因不同問(wèn)題,可以是狀態(tài)空間的一個(gè)點(diǎn),更為一般的情況是末態(tài)要落在事先給定的范圍內(nèi),如要求末態(tài)滿足如下約束條件g1(x(tf),tf)=0g2(x(tf),tf)0式中,g1(x(tf),tf)和g2(x(tf),tf)為關(guān)于末態(tài)時(shí)刻tf和末態(tài)狀態(tài)x(tf)的非線性向量函數(shù)。上述末態(tài)約束條件概括了對(duì)末態(tài)的一般要求。實(shí)際上,該末態(tài)約束條件規(guī)定了狀態(tài)空間中的一個(gè)時(shí)變的或時(shí)不變的集合,此種滿足末態(tài)約束的狀態(tài)集合稱為目標(biāo)集,記為M，并可表示為M={x(tf):x(tf)

Rn,g1(x(tf),tf)=0,g2(x(tf),tf)

0}第15頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天目標(biāo)集(3/3)需要指出：有些最優(yōu)控制問(wèn)題并沒有對(duì)末態(tài)加以約束，則該問(wèn)題的目標(biāo)集為整個(gè)狀態(tài)空間Rn，

但此時(shí)并不意味著對(duì)末態(tài)沒有要求，系統(tǒng)還可以通過(guò)下面要介紹的性能指標(biāo)等以約束末態(tài)。至于末態(tài)時(shí)刻tf,它可以事先規(guī)定,也可以由對(duì)末態(tài)的約束條件和性能指標(biāo)等約束。第16頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天容許控制(1/1)3.容許控制輸入向量u(t)的各個(gè)分量ui(t)往往是具有不同的物理性質(zhì)和意義的控制量,在實(shí)際系統(tǒng)中,大多數(shù)控制量受客觀條件的限制,只能在一定范圍內(nèi)取值。如飛船控制系統(tǒng)中控制量有大小范圍的限制;又如在控制量為開關(guān)量的控制系統(tǒng)中,輸入僅能取有限的幾個(gè)值,如-1,+1。由控制量約束條件所規(guī)定的點(diǎn)集稱為控制域,并記為U。凡在閉區(qū)間[t0,tf]上有定義,且在控制域U內(nèi)取值的每一個(gè)控制函數(shù)u(t)稱為容許控制,并記為u(t)

U。通常假定容許控制u(t)是一個(gè)有界連續(xù)函數(shù)或者是分段連續(xù)函數(shù)。第17頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天性能指標(biāo)(1/3)4.性能指標(biāo)從前面的應(yīng)用實(shí)例可以看出,最優(yōu)控制問(wèn)題最后歸結(jié)到從所有容許控制中找出一種效果最好的控制律,這就需要一個(gè)能衡量控制效果好壞或評(píng)價(jià)控制品質(zhì)優(yōu)劣的性能指標(biāo)函數(shù)。例如,飛船控制系統(tǒng)要求所攜帶的燃料最少或到達(dá)末態(tài)的時(shí)間最短,而連續(xù)攪拌槽系統(tǒng)的性能指標(biāo)為一個(gè)帶函數(shù)積分的指標(biāo),要求其為最??；由于各種最優(yōu)控制問(wèn)題所要解決的主要矛盾（問(wèn)題）不同,設(shè)計(jì)者的著眼點(diǎn)不同，因此歸結(jié)出的性能指標(biāo)是不同的。第18頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天性能指標(biāo)(2/3)一般形式的性能指標(biāo)為式中,右邊第1項(xiàng)稱為末態(tài)性能指標(biāo),體現(xiàn)了對(duì)末態(tài)的要求;第2項(xiàng)稱為積分性能指標(biāo),體現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變化過(guò)程中對(duì)的狀態(tài)x(t)和控制u(t)的要求;在通常情況下,可將各種不同的性能指標(biāo)視為一般形式的性能指標(biāo)的一種特例。如飛船控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)可以視為當(dāng)S(x(tf),tf)=m(tf),L(x,u,t)=0時(shí)上述一般形式性能指標(biāo)的一個(gè)特例。第19頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天性能指標(biāo)(3/3)性能指標(biāo)函數(shù)又稱為指標(biāo)泛函、目標(biāo)函數(shù)、成本函數(shù)和評(píng)價(jià)函數(shù)等。第20頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天最優(yōu)控制問(wèn)題的描述(1/2)5.最優(yōu)控制問(wèn)題的描述

總結(jié)上述最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型、目標(biāo)集、容許控制以及性能指標(biāo),則最優(yōu)控制問(wèn)題的描述可敘述為:已知被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程及給定的初態(tài)如下：規(guī)定的末態(tài)目標(biāo)集為:M={x(tf):x(tf)

Rn,g1(x(tf),tf)=0,g2(x(tf),tf)

0}求一容許控制u(t)

U,t

[t0,tf],使被控系統(tǒng)由給定的初態(tài)x0出發(fā),在tf>t0時(shí)刻轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集M,并使如下性能指標(biāo)為最小第21頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天最優(yōu)控制問(wèn)題的描述(2/2)值得注意的是,所謂的“最優(yōu)性”,是指被控系統(tǒng)相對(duì)于性能指標(biāo)函數(shù)意義下的最優(yōu)性。不同的性能指標(biāo)函數(shù),最優(yōu)控制結(jié)果是不相同的。第22頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天最優(yōu)控制發(fā)展簡(jiǎn)史(1/5)1.3最優(yōu)控制發(fā)展簡(jiǎn)史20世紀(jì)50年代,隨著現(xiàn)代化生產(chǎn)的發(fā)展,特別是空間技術(shù)的發(fā)展,被控系統(tǒng)日趨復(fù)雜,對(duì)自動(dòng)控制提出的要求愈來(lái)愈高。建立在傳遞函數(shù)、頻率特性基礎(chǔ)上的經(jīng)典控制理論,存在諸多局限性。主要表現(xiàn)在:首先,它只適用于集總參數(shù)的SISO線性定常系統(tǒng),且只適應(yīng)于以解決伺服系統(tǒng)穩(wěn)定性為主要目標(biāo)的設(shè)計(jì)問(wèn)題,難以適應(yīng)綜合性能指標(biāo)的系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)。其次,在應(yīng)用經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)時(shí),需要憑經(jīng)驗(yàn)試湊及大量手工計(jì)算,難以用來(lái)解決復(fù)雜問(wèn)題，如PID控制。第23頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天最優(yōu)控制發(fā)展簡(jiǎn)史(2/5)現(xiàn)代化生產(chǎn)的發(fā)展使系統(tǒng)所要求的品質(zhì)指標(biāo),如時(shí)間、成本或綜合性能指標(biāo),取極值直至最優(yōu)的控制方法成為控制理論與工程的關(guān)鍵問(wèn)題?，F(xiàn)代控制理論能處理的問(wèn)題的范圍很廣泛它可以用來(lái)處理時(shí)變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、MIMO系統(tǒng)以及分布參數(shù)系統(tǒng)的問(wèn)題；用它來(lái)處理隨機(jī)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)問(wèn)題同樣是很方便的。最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論的重要組成部分，

同樣能處理的控制問(wèn)題的范圍也非常廣泛。第24頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天最優(yōu)控制發(fā)展簡(jiǎn)史(3/5)早在20世紀(jì)50年代初期,就發(fā)表了用工程觀點(diǎn)研究最短時(shí)間控制問(wèn)題的文章,為最優(yōu)控制理論發(fā)展提供了最早的實(shí)際模型。由于最優(yōu)控制問(wèn)題的嚴(yán)格數(shù)學(xué)表述形式的建立,更因?yàn)榭臻g技術(shù)的迫切需要,從而引起了一大批數(shù)學(xué)家的注意。最優(yōu)控制問(wèn)題從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是一個(gè)變分學(xué)問(wèn)題。經(jīng)典變分學(xué)只能解決其容許控制為開集約束的最優(yōu)控制問(wèn)題,而更多的實(shí)際系統(tǒng)的容許控制屬于閉集。這就要求人們建立求解最優(yōu)控制問(wèn)題的新途徑。在眾多的新方法中,以下兩種方法最有效。第25頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天最優(yōu)控制發(fā)展簡(jiǎn)史(4/5