2023-2024學(xué)年四川省成都市成都市高一年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省成都市成都市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

模擬試題

1.若點(diǎn)（。,0）是函數(shù)y=sin圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則”的值可以是（

【正確答案】C

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱中心可求出結(jié)果.

【詳解】依題意可得。+$JT=&兀，kwZ,所以"E-2JT，keZ,

故選：C

2.復(fù)數(shù)Z=（二）“i為虛數(shù)單位），則其共軌復(fù)數(shù)［的虛部為（）

【正確答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法及除法運(yùn)算求出z,得到，，即可求解.

z=(-i)3=i

??z的虛部為-1

故選：A

3.已知：工為單位向量，且則a-21=（）

B.GD.75

【正確答案】B

先根據(jù)（2Z）J.W得2?=K=1，再根據(jù)向量模的公式計(jì)算即可得答案.

【詳解】因?yàn)?工為單位向量，且所以

所以2篙/=1，

—>—>I—>—>2/—>2_>_>—廠

所以a-26=Ja-26=7a-4a-b+4b=v3.

故選:B.

本題考查向量垂直關(guān)系的向量表示，向量的模的計(jì)算，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.

4.若cos(a-5)=|,則sin2a=()

7117

A.—B.-C.—D.-----

255525

【正確答案】D

【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式即可得到答案.

故選：D.

5.設(shè)機(jī)，”是兩條不同的直線，a,一是兩個(gè)不同的平面，則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.若/n_L〃，mVa,n-Lp,則a，/?

B.若，77〃〃，mVa,n//p,則C夕

C.若機(jī)_L〃，m//a,n//p,則a〃月

D.若m〃n,mLa,nLp,則a〃/

【正確答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合垂直的性質(zhì)、平面平行的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】因?yàn)槿粜?，〃分別在直線加，”上為平面a,6的法向量，且相，〃，故a~L〃，

所以選項(xiàng)A說法正確；

因?yàn)榧印ā?，mA.a,所以而夕，因此a_L￡,所以選項(xiàng)B說法正確；

當(dāng)ac6時(shí)，如下圖所示：也可以滿足加，〃，mlla,nll/3,所以選項(xiàng)C說法不正確;

因?yàn)闄C(jī)〃〃，m1.a,所以〃_La,而〃_L夕，所以a///?,因此選項(xiàng)D說法正確，

故選：C

6.記函數(shù)〃x）=sin（0x+胃（。>0）的最小正周期為兀若:<7<_|,且〃x）W/13,則?=

（）

A.4B.5C.6D.7

【正確答案】D

【分析】分析可知函數(shù)“X）的圖象關(guān)于直線xj對(duì)稱，可得出0=3%+l（ZeZ）,再利用函數(shù)”X）

的最小正周期求出。的取值范圍，即可得出。的值.

【詳解】對(duì)任意的xeR,/（x）<,則為函數(shù)/（X）的最大值或最小值，

故函數(shù)“X）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，故三0+2=：+E（AeZ）,解得0=3Z+l（%eZ）,

3362

又因?yàn)?>0且函數(shù)“X）的最小正周期T滿足;<T<],即:<,<5，

解得4<&><8,故<y=7.

故選：D.

7.科技是一個(gè)國家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號(hào)（如

圖1）是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器，2022年5月，“極目一號(hào)”IH型浮空

艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測(cè)，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣

科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國的實(shí)力“極目一號(hào)”HI型浮空艇長(zhǎng)53米，高18米，若

將它近似看作一個(gè)半球，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，軸截面圖如圖2所示，則“極目一號(hào)”III

型浮空艇的體積約為（）

182

Si

A.2530萬B.3016兀

C.3824兀D.43507：

【正確答案】A

【分析】根據(jù)球、圓柱、圓臺(tái)的體積公式可求出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意，該組合體的直觀圖如圖所示:

半球的半徑為9米，圓柱的底面半徑為9米，母線長(zhǎng)為14米，圓臺(tái)的兩底面半徑分別為9米和1

米，高為30米.

則%.球=5X5x71x93=486MmM列枝=^-x92xl4=1134萬(111'),

^=-x(92+9xl+l2)7rx30=9107r(m3),

所以'7=憶卜球+%柱+%臺(tái)=486兀+1134兀+910兀=2530兀(n?)?

故選:A.

8.如圖，在Rt/XAfiC中，ZA=90°,AB=2,AC=4,點(diǎn)尸在以A為圓心且與邊8c相切的圓

上，則PC的最小值為（）

C2456

C.-----D.

5

【正確答案】c

【分析】由幾何關(guān)系分解向量，根據(jù)數(shù)量積的定義與運(yùn)算法則求解

【詳解】設(shè)AZ）為斜邊BC上的高，則圓A的半徑r=A￡>==運(yùn),BC=《*+41=2后,

74+165

設(shè)E為斜邊BC的中點(diǎn)，｛PA,AE)=0,則6e[0,兀],

因?yàn)榫W(wǎng)=警，卜石，

則PH-PC=^PA+AB^PA+AC^=PA"+PA-^AB+AC^=^-+PA-2AE

=—+2x^^-x-V5cos0=—+8cos0>故當(dāng)，=Ji時(shí)，

555

PB-PC的最小值為7-8=---.

故選：C.

二、多選題

9.下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.已知a=（l,-3）,。=（2,-6）,則q與b可以作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

B.已知a=（1,-3）,6=（0,1）,則〃在匕上的投影向量的坐標(biāo)是（。,-3）

C.若兩非零向量0,〃滿足卜+很卜卜一『|,則a_L1

D.平面直角坐標(biāo)系中，A（U）,B（3,2）,C（4,0）,貝ijABC為銳角三角形

【正確答案】AD

【分析】利用基底定義判斷選項(xiàng)A；利用向量數(shù)量積定義判斷選項(xiàng)B；利用向量垂直充要條件判

斷選項(xiàng)C；利用向量夾角定義判斷選項(xiàng)D.

【詳解】選項(xiàng)A：己知a=。,-3）,。=（2,-6）,則2a=人貝心//6,則〃與b不可以作為平面

內(nèi)所有向量的一組基底，故A錯(cuò)誤；

lx0-3xl

選項(xiàng)：(0,1)=(0,-3),故B正確;

B在6上的投影向量為I2

選項(xiàng)C：若兩非零向量a,b滿足卜+目=卜一4,則卜+6『=卜-6『

即(a+6『=(a-6y，整理得.力=0,則故C正確；

選項(xiàng)D：平面直角坐標(biāo)系中，B(3,2),C(4,0),

則8A=(-2,-l),8c=(1,-2),

則BA-8C=-2+2=0，則8AJ.BC，則為直角三角形，故D錯(cuò)誤；

故選：AD.

10.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,原點(diǎn)為。，i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是()

A.若歸|＞同,則z；＞z；

B.若Z2、0,則五二日

z2Z2

C.若z=-3+2i是關(guān)于x的方程x2+px+4=0(p,qcR)的一個(gè)根，則p+g=19

D.若14|z-2i區(qū)夜，則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為兀

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、幾何意義及其性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn)即可得出結(jié)論.

【詳解】對(duì)于A,令z,=2i,z2=l,滿足團(tuán)＞解|,但z：＜z＞故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,設(shè)Z1=a+歷,(4,，€R且不同時(shí)為o),z2=c+＜7i(c,JeR)

空駕A』"bd￥+(brd￥

z2\\c+d\(c+Ji)||c+d~F+d

=,I，(〃2+4)卜2+/)=#=耳，故B正確；

22

c-+d-9八＞4c+d|z2|

對(duì)于C,z=—3+2i,且z是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,qeR)的一個(gè)根，

.?.z=—3—2i也是關(guān)于x的方程x2+px+q=0的另一個(gè)根，

[-3+2i+(-3-2i)=-p

'■|(_3+2i)(-3-2i)=＜7，解得。=6q=13,故p+g=19,故C正確，

對(duì)于D,設(shè)z=a+bi,a,beR,

則|z-2i|=|tz+(Z?-2)i|=yja2+(b-2)2,

故］<a2+(b-2)2<2,

圓/+(y-2)2=2的面積為2兀，圓x2+(y-2)2=l的面積為兀，

故點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為2兀-兀=兀，故D正確.

故選:BCD.

11.ABC中，內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為。，匕，c,S為的面積,S.a=2y/3,AI3AC=—S,

3

下列選項(xiàng)正確的是()

A.A=-

3

B.若二AfiC有兩解，則6取值范圍是(26,4)

C.若，ABC為銳角三角形，則b取值范圍是[2,4]

D.若。為BC邊上的中點(diǎn)，則A。的最大值為3

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)向量運(yùn)算結(jié)合面積公式得到A=：,A正確；根據(jù)6sinA<a<b,代入數(shù)據(jù)則可判斷

B正確；確定看計(jì)算b=4sin5c(2,4),C錯(cuò)誤；利用均值不等式結(jié)合余弦定理得到D

正確，得到答案.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：AB-AC=^^-S?故仍cosA=Z-^x'bcsinA,故tanA=百，

332

A?0,兀)，所以A故A正確；

對(duì)選項(xiàng)B：若AABC有兩解，則6sinA<a<6,郎*~b<26<b,則be(26,4),故B正確；

J|'ll'Ji

對(duì)選項(xiàng)C：..ABC為銳角三角形，則0<8<g,4+B=g+B>W，故

23262

則《<sinB<l,3=，-,故人=竺絆=4sin8?2,4),故C錯(cuò)誤；

2sin3sinAsinA

對(duì)選項(xiàng)D：若。為BC邊上的中點(diǎn)，則AO=；(A8+4C),

故A。?=；(AB++2AcosA+〃)=；(/+C?+歷)，

又=護(hù)+c2-2bccosA=h2+c2-hc=\2,b~+c2=\2+bc,

由基本不等式得〃+C2=12+AN?C,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=26時(shí)等號(hào)成立，故從W12,

所以AO。=；[(12+6c)+0c]=3+J0c43+6=9,故卜。卜3,正確；

故選：ABD.

12.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CQ-A耳G。中，E,尸分別為棱BC，8瓦的中點(diǎn)，G為面對(duì)

角線A。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.三棱錐用-EFG的體積為定值

B.線段上存在點(diǎn)G,使AC，平面EFG

C.線段上存在點(diǎn)G,使平面EFG〃平面AC。

D.設(shè)直線RG與平面4ORA所成角為。，則sin。的最大值為漢1

3

【正確答案】ABD

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，利用等體積法判斷；對(duì)于B、C、D三個(gè)選項(xiàng)可以建立空間直角坐標(biāo)系，

利用空間向量求解

【詳解】易得平面〃平面8CG瓦，所以G到平面8CG用的距離為定值，又吩為定值,

所以三棱錐G-4EF即三棱錐B,-EFG的體積為定值，故A正確.

對(duì)于B,如圖所示，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4為x軸，0c為y軸，。。為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(2,0,0),8(220),0(0,0,0),C(0,2,0),A(2,0,2),D,(0,0,2)C,(0,2,2),E(l,2,2),F(2,2,1),

所以40=(—2,2,2),AC=(—2,2,0),AR=(—2,0,2),￡F=(1,O,-1)

設(shè)。G=/IZ)A(0W/IW1),則G(240,24)

所以EG=(24—l,—2,2/l—2),FG=(22-2,-2,22-1)

A。平而招Goh"EG卜2(2"1)+2?2)+(-2)x(2"2)=0

4干面(^C±FGG(-2(2A-2)+2X(-2)+(-2)X(2A-1)=0

解之得義=!

4

當(dāng)G為線段AQ上靠近D的四等分點(diǎn)時(shí)，AC1平面EFG.故B正確

對(duì)于C,設(shè)平面ACQ的法向量/=(百,加4)

M,f-AC=-2x.+2y.=0?t

則sccZ取&=1

nt-AD、=—2X|+2Z|=0

得“=(1』,1)

設(shè)平面EFG的法向量n,=(x,,y2,z2),

n.?EF==0

則4~~

p?2-￡G=(22-l)x2-2y2+(22-2)z2=0

取々=1,得〃2=(1,丹江,1),

平面ACR〃平面EFG=ny//n2

設(shè)％=初2,即(1,1,1)=*(1,---,1}

解得人=1"],不合題意

?.線段BC上不存在點(diǎn)G,使平面EFG//平面BOG，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,平面AORA的法向量為〃=(0,1,0)

FG-/?|2

則sin0=

FG||/7|依2-12/1+9

因?yàn)?紀(jì)-122+9=8仁-3]+->-

I4；22

.A2/22起

所以V822-122+9[93

所以sin。的最大值為述.故D正確.

3

故選：ABD

三、填空題

13.若角a的終邊上有一點(diǎn)?(1,-4),則tan2z=

Q

【正確答案】-

【分析】先根據(jù)定義求出角a的正切，再利用二倍角公式求解.

一，、,-4,今2tana2x(-4)-88

tan2a=

【詳解】由題意得tana=T=4=15-

防8

故記

14.記面積為百，B=60。，a2+c2=3ac,則6=.

【正確答案】20

【分析】由三角形面積公式可得或=4,再結(jié)合余弦定理即可得解.

【詳解】由題意，SABC=—acsinB=^-ac=y/3,

124

所以QC=4,Q2+。2=12,

所以〃=〃2+，—2accosB=12—2x4xg=8,解得b=2亞(負(fù)值舍去).

故答案為.2夜

15.如圖，在三棱錐中，AB=AC=1,ABJ.AC,4）=2,451,平面A6C,E為CD

的中點(diǎn)，則直線8E與A。所成角的余弦值為.

C

【正確答案】I

【分析】利用線面垂直的性質(zhì)定理，給合題設(shè)條件推得ARAB,AC兩兩垂直，從而將三棱錐

A-BC￡>置于一個(gè)長(zhǎng)方體中，再利用異面直線所成角的定義，結(jié)合勾股定理及余弦定理即可求解.

【詳解】因?yàn)锳D_L平面力BC,A8u平面ABC,,ACu平面ABC,

所以也/9，AD±AC,又A344C,

所以ARAaAC兩兩垂直，將三棱錐A-38置于一個(gè)長(zhǎng)方體中，如圖所示，

易知BF//AD,所以直線BE與AO所成角即為班'與8E所成角為（或其補(bǔ)角）,

由題意可知，BF=2,BE=FE3

2

、>22?+

在二說中，由余弦定理，得cosNb8E=竺二上些二^=——2

2BFBE2x2x-3

2

所以直線8E與AZ）所成角的余弦值為余7

0

故答案為q

16.在平面四邊形ABC。中，AB1AC,AC=6AB,AD=CD=\,則50的最大值為.

【正確答案】73

【分析】設(shè)/C4D=a,利用三角函數(shù)函數(shù)得AC=2cosa,再利用余弦定理結(jié)合三角恒等變換即

可得到最值.

【詳解】設(shè)NC4D=a,?e[o,y

,則代入數(shù)據(jù)得AC=2ssc,

—COSCL

AD

2cos。2>/3

AC=CAB,AB==---cosa

3

在AABD中運(yùn)用余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos|+a

即BD2=^C0Sa+12+2x-^^-cosax1xsintz

33

4cos2a2>/3.

=-------+12+2x----cosaxlxsina

33

41+cos2a2^3..1

=-x--------+----sm2a+1

323

=2鵬+述…"sin5

+-

33333

所以當(dāng)2a+m=],即時(shí)，8》的最大值為3,則80的最大值為百.

62o

故答案為

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于引角，設(shè)NC4O=c,再利用三角函數(shù)和余弦定理得到

BD-=AB2+AD2-2AB-/IDcos^j+,最后結(jié)合誘導(dǎo)公式和三角恒等變換即可求出最值.

四、解答題

17.已知函數(shù)/(x)=4sin(s+0)(4>0,0>0,網(wǎng)</)的部分圖象如圖所示.

(1)求/(X)的解析式;

(2)將/(x)的圖像向右平移B個(gè)單位長(zhǎng)度，再保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)縮短為原來的;倍，得到

6/

■jr

g(x)的圖像，求g(x)在區(qū)間0,-上的值域.

【正確答案］⑴"x)=sin(2x+《)

'I/

(2)--A

【分析】(1)根據(jù)給定的函數(shù)圖像，利用“五點(diǎn)法''作圖求解即可；

(2)利用函數(shù)圖像變換求出函數(shù)g(x)的解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】(1)依題意，由圖像得A=l,

==解得T=兀，又3>0,則0=至=2,

2362兀

所以/(x)=sin(2x+e),

因?yàn)辄c(diǎn)Qi)在/*)的圖像上，則疝/+夕)=1,

所以m+°=+2kli,k$Z,即°=.+2kn,k《Z,而|夕|<,則9=己,

所以f(x)=sin(2x+t).

(2)依題意，g(x)=f(2x-^)=sin2(2x-聿)+弓=sin(4x-^}

._.八兀L［兀//兀,5九

因0,—,則一一<4x——<一,

_4」666

而函數(shù)y=sinx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

62J|_26_

因此有sin(4xj)e—1,1,

故g(x)在0,；上的值域?yàn)?

18.已知f^x)=m-n-\,其中加=(G,2COSA:),?=(sin2x,cosx)(xGR).

⑴求“X）的單調(diào)遞增區(qū)間;

⑵在.43。中，角A、8、C的對(duì)邊分別為。、b、C,若〃A）=2,”2=兒，求」^+與的

'7tanBtanC

值.

IT7T

【正確答案】（1）/cn--,kn+—,keZ

5o

⑵空

3

【分析】（1）先用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性可解；

（2）根據(jù)已知先求角A,再將目標(biāo)式化弦整理，然后利用正弦定理和已知可得.

【詳解】(1)f(x)=a-b-l=(>/3,2cosx)?(sinlx,cosx)-1

=V3sin2x4-2cos2x-1=V3sin2x+cos2x=2sin^2x4-^

*-7C.j7T./口.7T.7T___

令'2防ft----42xH—W2燈tH—,kwZ彳寸ku—KxKkitH—,%EZ

262f36

TTIT

所以/⑴的單調(diào)增區(qū)間為也一/+不,丘Z.

(2)V/(A)=2sinlA+^j=2,

sin(A+^

=1,

,JTn7兀

又Ae(O,7T),A+-e

6i~6

?7171?兀

.?AAH———,..A4=一

623

*'a2=be9則由正弦定理得sin2A=sinB-sinC.

11cosBcosCsinCcosB+cosCsinB

--------1--------=---------1--------=-------------------------------

tanBtanCsinBsinCsinBsinC

sin(B+C)_sinA_sinA_1_12G

sinBsinCsinBsinCsin2AsinAS布四3

k3

19.如圖，多面體ABC。石尸中，四邊形ABC。為平行四邊形，AD=2,DC=20,四邊形DCFE

為梯形，DE//CF,CDtDE,DE=3,CF=6,乙4?！?45°,平面ADEJ■平面0c莊\

⑴求證：AE〃平面8CF；

(2)求直線AC與平面CDE尸所成角的正弦值；

(3)求點(diǎn)F到平面ABCD的距離.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵夠

6

⑶30

【分析】(1)由線面平行的判定定理可得仞//平面BCF,OE〃平面BCF,再由面面平行的判

定定理和性質(zhì)定理可得答案；

(2)作AO_LDE于。，由線面垂直的判定定理可得CD_L平面ADE,AO_L平面COER連結(jié)CO,

直線AC與平面C￡>E/所成角為NACO,求出正弦值即可；

(3)由(2)得AO_L平面CDEF,又/_皿)=YA-CDF，可得答案.

【詳解】(1)?.?四邊形A8C。是平行四邊形，.?.8C//AQ,

BCu平面BCF,AO<Z平面BCF,所以45〃平面BCF,

DE//CF,CFu平面BCF,小仁平面BCF,所以￡>￡：//平面BCF,

ADr>DE=D,AZ),￡>Eu平面AOE,二平面8CF〃平面ACE,

VBCF,AE〃平面BCE

(2)?.?平面ADE_L平面。CFE,平面AZ)E平面DCFE=DE,

CD，DE,CDu平面DCFE,

\8八平面AOE,ADu平面AZ)E,.,.COLAO,AC=ylAD2+CD2=^22+(2>/2)2=2>/3,

作AOLOE于O,分別連接AC,AO,CO,

因?yàn)槠矫?M_L平面。CF、E,平面ADE平面DCFE=DE,4?<=平面4。￡：,

所以49J_平面CQEF,連結(jié)CO,

所以直線AC與平面CDEF所成角為NACO,

ZADE=45，:.AO==垃,所以$訪==.

V2AC266

直線AC與平面COE尸所成角的正弦值為亞；

6

(3)連接。尸由(2)得A。，平面CDEF,又/_.8=匕一8「，

.SCDF.40

所以距離d=-^一~?,又由已知可得

、ACD

=x

SCDF=CF-CD=-^x6x2V2=6^2,SACD2>/2x2=2>/2,AO=6,

所以d=60y=3a.

20.為了豐富同學(xué)們的課外實(shí)踐活動(dòng)，石室中學(xué)擬對(duì)生物實(shí)踐基地(45C區(qū)域)進(jìn)行分區(qū)改

造.一BNC區(qū)域?yàn)槭卟朔N植區(qū)，.CM4區(qū)域規(guī)劃為水果種植區(qū)，蔬菜和水果種植區(qū)由專人統(tǒng)一管理,

MNC區(qū)域規(guī)劃為學(xué)生自主栽培區(qū)...MNC的周圍將筑起護(hù)欄.己知AC=20m,AB=40m,

ZBAC=60°,NMCN=3G°.

(1)若4W=10m,求護(hù)欄的長(zhǎng)度(MNC的周長(zhǎng))；

(2)學(xué)生自主栽培區(qū)一版VC的面積是否有最小值？若有，請(qǐng)求出其最小值；若沒有，請(qǐng)說明理由.

【正確答案】⑴3O+KX/5(m)

(2)有，300(2->/3)m2

【分析】(1)利用余弦定理證得AM，CM,從而判斷得一4VC是正三角形，由此得解；

(2)在ANC與ZSACM中，利用正弦定理求得CN與CM關(guān)于，的表達(dá)式，從而利用三角形的面

積公式得到SCMM關(guān)于。的表達(dá)式，再結(jié)合三角函數(shù)的最值即可得解.

【詳解】(1)依題意，在aAWC中，AC20m,AM=Wm,Zfl4c=60。，

所以CM2=AM2+AC2-2AM.ACCOSA=300，則CM=10Gm,AC2=CM2+AM2,即

AMA.CM,

所以ZACM=30°,又NMCN=30。,故NACV=60°,

所以ANC是正三角形，則CN=4V=AC=20m,MN=4V-4W=10m,

所以護(hù)欄的長(zhǎng)度（.MNC的周長(zhǎng)）為CM+CN+A?V=30+106（m）.

（2）學(xué)生自主栽培區(qū)MNC的面積有最小值3OO（2-G）m2,理由如下:

設(shè)ZAGW=e（0°<6<60°）,

在二/WC中，ZMOV=30°,貝lJZANC=180°-60°—(e+30°)=90°—e,

CNAC、回

由正弦定理得徇=而(9。。-。)2=0得CN=1^0

在AACM中，ZCyVM=18Oo-6O0-6>=12O°-0,

CMAC_10。

由正弦定理得刖sin(120。-。)'仔-sin(120°-6?),

300

所以SCMM=-CMCNsin300=

24sin(120°-6?)cos<9

_____________300_______________________300________

4(sin120°cos9-cos120°sin6>)cosG2sin0cos+2\/3cos20

________300________300

sin29+gcos26+8-2411(2。+60。)+6

3002

所以當(dāng)且僅當(dāng)20+60。=90。，即。=15°時(shí)，一CMN的面積取得最小值為=300(2-^)m

2+6

21.如圖1,在ABC中，NC=90。，AH=4,BC=2,。是AC中點(diǎn)，作DE1A8于E,將VAOE

沿直線OE折起到△/>班所處的位置，連接尸8,PC,如圖2.

⑴若PB=軍士,求證：PEA.BC-,

2

（2）若二面角P-DE-A為銳角，且二面角P-8C-E的正切值為手，求M的長(zhǎng).

【正確答案】（1）證明見解析

⑵而

【分析】（1）利用勾股定理推得從而利用線面垂直的判定定理證得PEL平面88E,

由此得證;

（2）利用線面與面面垂直的判定定理求得二面角P-止-A與二面角P-3C-E的平面角，從而

利用勾股定理得到關(guān)于CG=x的方程，解之即可得解.

【詳解】（1）在圖1中，ZC=90°,AB=4,BC=2,。是AC中點(diǎn),

所以A=3()。，AC=2y/3,貝IJA￡>=75,AE=—AD-=~,BE==,

222

則PE=AE=又PB=叵，所以PE^+BEfB-則3E1.PE,

22

因?yàn)?。EIM,則PE_L￡)E,

又DEcBE=E,DE,BEu平面BCDE,所以PE_L平面8C￡)E,

因?yàn)锽Cu平面3CDE,所以PELBC.

(2)由題意知OE，8E,OE_LPE,PEcEB=E,PEu平面PEB,EBu平面PEB,

因而￡D_L平面P￡B,則NPE4為二面角P-￡)E-A的平面角(或補(bǔ)角)，即NPE4為銳角,

又￡Du平面BCDE,因而平面PBE，平面BCDE.

作「HJ.3E所在的直線于點(diǎn)H,如圖，

又平面PBEc平面5a)E=3E,PHu平面PBE,所以「〃_L平面BCOE,

因?yàn)?Cu平面BCQE,所以PHLBC,

作“G_L3C于點(diǎn)G,連接PG,

又PHHG=H,PH,HG加PHG,故BC上面P〃G,

因?yàn)镻Gu面PHG,則5CLPG,所以/PG”為二面角P-5C-E的平面角(或補(bǔ)角),

設(shè)NPGH=9,貝ljtan，=半，

在..ABC中，A=30°,設(shè)CG=x(0<x<：),(jlljAH=2x,HE=^-2x,HB=4-2x,

因而P”==--底,HG=與HB=￡(2-X),

在直角三角形—…淺考，即曾言岑'

解得工=；或％=9（舍去），此時(shí)口/=0,”3=3,

從而PB=PH2+HB~=x/H.

sinA-sinCb—c

22.在JLBC中，〃，b,c,分別是角A,B,C的對(duì)邊，請(qǐng)?jiān)冖?/p>

sinBa+c

B+C

②csin=〃sinC兩個(gè)條件中任選一個(gè)，解決以下問題:

2

c

（1）求角A的大小；

（2）如圖，若_45C為銳角三角形，且其面積為