晶體的宏觀對稱

關(guān)于晶體的宏觀對稱一、對稱的概念Symmetry是宇宙間的普遍現(xiàn)象是自然科學(xué)最普遍和最基本的概念是建造大自然的密碼是永恒的審美要素

晶體學(xué)第2頁,共33頁，2024年2月25日，星期天物體(或圖形)中相同部分之間有規(guī)律的重復(fù)。對稱的概念晶體學(xué)第3頁,共33頁，2024年2月25日，星期天二、晶體對稱的特點(diǎn)

由于晶體內(nèi)部都具有格子構(gòu)造，通過平移，可使相同質(zhì)點(diǎn)重復(fù)，因此，所有的晶體結(jié)構(gòu)都是對稱的。晶體的對稱受格子構(gòu)造規(guī)律的限制，因此，晶體的對稱是有限的，它遵循“晶體對稱定律”。晶體的對稱不僅體現(xiàn)在外形上，同時(shí)也體現(xiàn)在物理性質(zhì)上。因此，由以上可見：格子構(gòu)造使得所有晶體都是對稱的，格子構(gòu)造也使得并不是所有對稱都能在晶體中出現(xiàn)的。晶體學(xué)第4頁,共33頁，2024年2月25日，星期天對稱操作(symmetryoperation)能夠使對稱物體(或圖形)中的等同部分作有規(guī)律的變換動(dòng)作(對稱操作)someactsthatreproducethemotif

tocreatethepatternMotif：thefundamentalpartofasymmetricdesignthat,whenrepeated,createsthewholepattern三、晶體的宏觀對稱

要素和對稱操作

晶體學(xué)第5頁,共33頁，2024年2月25日，星期天對稱要素對稱要素(symmetryelement)：在進(jìn)行對稱操作時(shí)所憑借的輔助幾何要素——點(diǎn)、線、面等。對稱要素種類對稱中心(centerofsymmetry)對稱面(symmetryplane)對稱軸(symmetryaxis)旋轉(zhuǎn)反伸軸(rotoinversionaxis)旋轉(zhuǎn)反映軸(rotoreflectionaxis)對稱要素的符號

晶體學(xué)第6頁,共33頁，2024年2月25日，星期天晶體學(xué)對稱要素之對稱操作

對稱操作＝對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變換

(x,y,z)

(X,Y,Z)

or對稱變換矩陣

第7頁,共33頁，2024年2月25日，星期天對稱要素符號宏觀晶體的對稱要素晶體學(xué)晶體外形可能存在的對稱要素和相應(yīng)的對稱

操作如下：第8頁,共33頁，2024年2月25日，星期天對稱面—P

操作為反映?？梢杂卸鄠€(gè)對稱面存在，如3P、6P等。

對稱面晶體學(xué)第9頁,共33頁，2024年2月25日，星期天對稱面(m)

對稱操作之平面圖解

對稱面(mirror)Reflectionacrossa“mirrorplane”reproducesamotif=symbolforamirrorm晶體學(xué)第10頁,共33頁，2024年2月25日，星期天對稱面(m)之對稱操作

對稱面(mirror)

變換矩陣m(m包含x、y軸)晶體學(xué)第11頁,共33頁，2024年2月25日，星期天☆對稱軸—Ln

操作為旋轉(zhuǎn)。其中n代表軸次，意指旋轉(zhuǎn)360度相同部分重復(fù)的次數(shù)。旋轉(zhuǎn)一次的角度為基轉(zhuǎn)角

，關(guān)系為：n=360/

。

對稱軸晶體學(xué)第12頁,共33頁，2024年2月25日，星期天對稱軸(Ln)之對稱操作

對稱軸二次(two-foldrotation)=360o/2rotationtoreproduceamotifinasymmetricalpatternASymmetricalPattern66晶體學(xué)第13頁,共33頁，2024年2月25日，星期天對稱軸(Ln)之對稱操作

對稱軸二次(two-foldrotation)=360o/2rotationtoreproduceamotifinasymmetricalpatternASymmetricalPatternMotifElementOperation66=thesymbolforatwo-foldrotation晶體學(xué)第14頁,共33頁，2024年2月25日，星期天對稱軸(Ln)之對稱操作

對稱軸二次(two-foldrotation)=360o/2rotationtoreproduceamotifinasymmetricalpatternASymmetricalPatternMotifElement66=thesymbolforatwo-foldrotation第一步第二步晶體學(xué)第15頁,共33頁，2024年2月25日，星期天對稱軸(Ln)之對稱操作

對稱軸二次(two-foldrotation)變換矩陣

ASymmetricalPattern66第一步第二步晶體學(xué)第16頁,共33頁，2024年2月25日，星期天對稱軸(Ln)對稱操作之平面圖解(沒有5-fold和>6-fold的)66666666666666661-fold2-fold3-fold4-fold6-fold晶體學(xué)變換矩陣：第17頁,共33頁，2024年2月25日，星期天晶體的對稱定律：

由于晶體是具有格子構(gòu)造的固體物質(zhì)，這種質(zhì)點(diǎn)格子狀的分布特點(diǎn)決定了晶體中只能出現(xiàn)軸次(n)為一次、二次、三次、四次和六次的對稱軸，而不可能存在五次及高于六次的對稱軸。為什么呢？1、直觀形象的理解：垂直五次及高于六次的對稱軸的平面結(jié)構(gòu)不能構(gòu)成面網(wǎng)，且不能毫無間隙地鋪滿整個(gè)空間,即不能成為晶體結(jié)構(gòu)。晶體學(xué)第18頁,共33頁，2024年2月25日，星期天晶體對稱定律2、數(shù)學(xué)的證明方法為：

A1、A2、A3、A4、B1、B2為晶體中的陣點(diǎn)，相隔為a。若B1B2=maa+2acosa=macosa=(m-1)/2

1 m=3,2,1,0,-1 a=0,60,90,120,180 n=1,6,4,3,2

（但是，在準(zhǔn)晶體中可以有5、8、10、12次軸）晶體學(xué)第19頁,共33頁，2024年2月25日，星期天☆對稱中心—C操作為反伸。只可能在晶體中心，只可能一個(gè)。

總結(jié)：凡是有對稱中心的晶體，晶面總是成對出現(xiàn)且兩兩反向平行、同形等大。對稱中心晶體學(xué)第20頁,共33頁，2024年2月25日，星期天對稱心之對稱操作

對稱心(C,1)假想的幾何點(diǎn)，相對于這個(gè)點(diǎn)的反伸(x,y,z)(-x,-y,-z)

變換矩陣：晶體學(xué)第21頁,共33頁，2024年2月25日，星期天☆旋轉(zhuǎn)反伸軸

–Lin

操作為旋轉(zhuǎn)+反伸的復(fù)合操作。具體的操作過程：旋轉(zhuǎn)反伸軸晶體學(xué)第22頁,共33頁，2024年2月25日，星期天晶體學(xué)第23頁,共33頁，2024年2月25日，星期天旋轉(zhuǎn)反伸軸(Lin)之對稱操作

旋轉(zhuǎn)反伸軸圍繞直線旋轉(zhuǎn)一定的角度和對于一定點(diǎn)的反伸=對稱軸＋對稱心

變換矩陣：

種類Li1

=CLi2

=PLi3

=L3

+CLi4Li6

=L3

+P晶體學(xué)第24頁,共33頁，2024年2月25日，星期天旋轉(zhuǎn)反伸軸(Lin)對稱操作之圖解晶體學(xué)第25頁,共33頁，2024年2月25日，星期天值得指出的是，除Li4外，其余各種旋轉(zhuǎn)反伸軸都可以用其它簡單的對稱要素或它們的組合來代替，其間關(guān)系如下：

Li1=C，Li2=P，Li3=L3+C，

Li6=L3+P但一般我們在寫晶體的對稱要素時(shí)，保留Li4

和Li6，而其他旋轉(zhuǎn)反伸軸就用簡單對稱要素代替。這是因?yàn)長i4

不能被代替，Li6在晶體對稱分類中有特殊意義。

旋轉(zhuǎn)反伸軸晶體學(xué)第26頁,共33頁，2024年2月25日，星期天四、32個(gè)對稱型

晶體形態(tài)中，全部對稱要素的組合，稱為該晶體形態(tài)的對稱型或點(diǎn)群。一般來說，當(dāng)強(qiáng)調(diào)對稱要素時(shí)稱對稱型，強(qiáng)調(diào)對稱操作時(shí)稱點(diǎn)群。為什么叫點(diǎn)群？因?yàn)閷ΨQ型中所有對稱操作可構(gòu)成一個(gè)群，符合數(shù)學(xué)中群的概念，并且在操作時(shí)有一點(diǎn)不動(dòng)，所以稱為點(diǎn)群。

根據(jù)晶體中可能存在的對稱要素及其組合規(guī)律，推導(dǎo)出晶體中可能出現(xiàn)的對稱型（點(diǎn)群）是非常有限的，僅有32個(gè)。第27頁,共33頁，2024年2月25日，星期天晶族(crystalcategory)的劃分

根據(jù)高次軸的有無及多少而將晶體劃分為三個(gè)晶族高級晶族(highercategory)中級晶族(intermediatecategory)低級晶族(lowercategory)問題:什么是高次軸?最多有多少高次軸?晶體學(xué)五、晶體的對稱分類1、晶族、晶系、晶類的劃分，見表3-4。第28頁,共33頁，2024年2月25日，星期天晶體的對稱分類晶系(crystalsystem)的劃分 根據(jù)對稱軸或旋轉(zhuǎn)反伸軸軸次的高低以及它們數(shù)目的多少，總共劃分為如下七個(gè)晶系,分屬于三個(gè)晶族等軸晶系(isometricsystem),又稱立方晶系(cubicsystem)六方晶系(hexagonalsystem)四方晶系(tetragonalsystem)三方晶系(trigonalsystem)斜方晶系(orthorhombicsystem),亦稱正交晶系單斜晶系(monoclinicsystem)三斜晶系(triclinicsystem)晶體學(xué)第29頁,共33頁，2024年2月25日，星期天第30頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2、對稱型的國際符號

對稱型的國際符號很簡明，1）它不將所有的對稱要素都寫出來,2）并且可以表示出對稱要素的方向性,3）但它不容易看懂.

特點(diǎn)：凡是可以派生出來的對稱要素都省略了。對稱軸以1，2，3，4，6表示;對稱面以m表示,旋轉(zhuǎn)反伸軸以1、2、3、4、6表示,若對稱面與對稱軸垂直，則兩者之間以斜線或橫線隔開，如L2PC以2/m表示，L4PC以4/m表示(由此可以看出，對稱中心C就不必再表示出來了，因?yàn)榕即屋S垂直對稱面定會(huì)產(chǎn)生一個(gè)C)。晶體學(xué)第31頁,共3