6.1平面向量的概念課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2

第六章

平面向量及其應(yīng)用第六章

平面向量及其應(yīng)用6.1平面向量的概念一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)從物理、幾何背景入手，從矢量概念引入向量概念類比實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的表示，給出向量的幾何意義了解相等向量、平行向量、零向量等概念學(xué)習(xí)目標(biāo)章前導(dǎo)讀

在現(xiàn)實(shí)生活照中，我們會(huì)遇到許多量，其中一些量在取定單位后只用一個(gè)實(shí)數(shù)就可以表示出來(lái)，如長(zhǎng)度、質(zhì)量等。還有一些量則不是這樣，如圖中小船的位移。

如圖所示，小船由A地向東南方向航行15nmile到達(dá)B地(速度為10nmile/h)．如果僅僅給出指令：“由A地航行15nmile”，小船能否到達(dá)B地？給出指令：“向東南方向航行”呢？小船不一定能到達(dá)B地東西北南45o也不一定能小船的位移大小：15nmile方向：東南方向方向和距離缺一不可對(duì)于這種既有大小又有方向的量加以抽象，就得到了我們本章將要研究的向量。新課導(dǎo)入

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，向量既有代數(shù)研究對(duì)象，也有幾何研究對(duì)象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域問(wèn)題的基礎(chǔ)，在解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮著重要作用。

本章我們將通過(guò)實(shí)際背景引入向量的概念，類比數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)向量的運(yùn)算及其性質(zhì)，建立向量的運(yùn)算體系。在此基礎(chǔ)上，用向量的語(yǔ)言、方法表述和解決現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)和物理中的問(wèn)題。新知探究6.1.1向量的實(shí)際背景與概念像引言中的位移一樣，物理中的力、速度、加速度也是這樣的量.例如G物體受到的重力方向是豎直向下（如圖），物體的質(zhì)量越大，它受到的重力越大F物體在液體中受到的浮力是豎直向上的（如圖），物體浸在液體中的體積越大，它受到的浮力越大問(wèn)題1這些量有怎樣的共同特征？既有大小，又有方向“一支筆、一棵樹、一本書......”抽象出數(shù)量“1”，因此可以用實(shí)數(shù)表示年齡、身高、長(zhǎng)度、面積的等.對(duì)“既有大小、又有方向”的量抽象出向量，因此可以用向量表示諸如力、速度、加速度、位移等量.概念生成在數(shù)學(xué)中，我們把既有大小又有方向的量叫做向量。向量數(shù)量只有大小沒(méi)有方向的量稱為數(shù)量.比如：長(zhǎng)度、面積、質(zhì)量等等.思考：數(shù)量與向量的聯(lián)系與區(qū)別是什么呢？①數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、能比較大?。虎谙蛄烤哂写笮『头较蜻@雙重要素，由于方向不能比較大小，

故向量不能比較大小.知識(shí)鏈接：物理學(xué)中常稱向量為矢量，數(shù)量為標(biāo)量。

你還能舉出物理學(xué)中的一些向量和數(shù)量嗎？動(dòng)量是向量，時(shí)間、路程、功是數(shù)量.向量?jī)梢兀捍笮?，方向向量既是代?shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁.6.1.2向量的幾何表示新知探究問(wèn)題2由于數(shù)量可以用實(shí)數(shù)表示，而實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，所以數(shù)量可用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，而且不同的點(diǎn)表示不同的數(shù)量．那么，該如何表示向量呢？

以位移為例，小船以A為起點(diǎn),B為終點(diǎn)，線段長(zhǎng)度代表小船行進(jìn)的距離，在終點(diǎn)B處加上箭頭表示小船行駛的方向.于是，這條“帶有方向的線段”就可以用來(lái)表示位移.A(起點(diǎn))B(終點(diǎn))

受此啟發(fā)，可以用帶箭頭的線段來(lái)表示向量，線段按一定比例(標(biāo)度)畫出，它的長(zhǎng)短表示向量的大小,箭頭的指向表示向量的方向.

在線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)中，規(guī)定一個(gè)順序，假設(shè)A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，我們就說(shuō)線段AB具有方向．思考：有向線段包含了哪些要素？起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度AB具有方向的線段叫做有向線段(directedlinesegment)．（起點(diǎn)）（終點(diǎn)）概念生成有向線段通常在有向線段的終點(diǎn)處畫上箭頭表示它的方向．以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作

，線段AB的長(zhǎng)度也叫做有向線段

的長(zhǎng)度，記作

．知道了有向線段的起點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度，它的終點(diǎn)就唯一確定了。概念生成向量的幾何表示法向量可以用有向線段

來(lái)表示，我們把這個(gè)向量記作向量

.有向線段的長(zhǎng)度

表示向量的大小.用有向線段表示向量，使向量有了直觀形象.向量的大小稱為向量的長(zhǎng)度（或稱模），記作：向量的符號(hào)表示法①用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，例如

，

...②用小寫字母表示，例如

...印刷用黑體a，書寫用a.概念生成兩個(gè)特殊的向量長(zhǎng)度(模)為0的向量，叫做零向量，記作：

.

長(zhǎng)度(模)為1的向量，叫做單位向量.

即||=0.若向量

為單位向量，則||=1.

思考2零向量與單位向量有沒(méi)有方向，方向是怎樣的？②規(guī)定零向量的方向是任意的每個(gè)單位向量的方向視具體情況而定.例1

在右圖中，分別用向量表示A地至B，C兩地的位移，并根據(jù)圖中的比例尺，求出A地至B，C兩地的實(shí)際距離(精確到1km)．解：表示A地至B地的位移，且

≈

．

表示A地至C地的位移，且

≈

．典例解析6.1.3相等向量與共線向量新知探究下面，我們通過(guò)向量之間的關(guān)系進(jìn)一步認(rèn)識(shí)向量.

思考：觀察右圖,你有什么發(fā)現(xiàn)？概念：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(parallelvectors)．符號(hào)表示：向量

與

平行，記作：圖形表示：規(guī)定：零向量與任何向量平行，即對(duì)于任意

，都有平行向量相等向量概念：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equalvector)．圖形表示：說(shuō)明：任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)；同時(shí)方向相同且長(zhǎng)度相等的有向線段表示同一個(gè)向量，因?yàn)橄蛄客耆伤哪：头较虼_定.符號(hào)表示：向量

與

相等，記作：新知探究任一組平行向量都可以平移到同一條直線上OABCl

如圖，是a,b,c一組平行向量，任作一條與a所在直線平行的直線l，在l上任取一點(diǎn)O，則可在l上分別作出

.

平行向量也叫做共線向量(collinearvectors)．新知探究共線向量（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？

（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（6）兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？（7）共線向量一定在同一直線上嗎？不一定不一定零向量平行向量長(zhǎng)度相等且方向相同不一定零向量回答下列問(wèn)題：概念辨析典例解析例2

如圖示，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心.(1)寫出圖中的共線向量;(2)分別寫出圖中與

，相等的向量.解:鞏固練習(xí)課本P43.指出圖中各向量的長(zhǎng)度.(規(guī)定小方格的邊長(zhǎng)為0.5)4.將向量用具有同一起點(diǎn)O的有向線段表示.

(1)當(dāng)

與

是相等向量時(shí)，判斷終點(diǎn)M與N的位置關(guān)系;

(2)當(dāng)