6.2.3組合課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教Ａ版(2019)選擇性

6.2.3組合第六章計(jì)數(shù)原理2024/4/13高二數(shù)學(xué)備課組6.2.3組合引

入1.排列的定義：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列(arrangement).我們把從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示.2.排列數(shù)的定義：3.排列數(shù)的計(jì)算：（1）排列數(shù)公式(1)：（2）全排列數(shù):（3）排列數(shù)公式(2)：引

入問(wèn)題1：這兩個(gè)問(wèn)題有何不同？甲乙、乙甲、甲丙、丙甲、乙丙、丙乙，共有=6種.甲乙、甲丙、乙丙，共有3種.問(wèn)題2從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？問(wèn)題1從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有幾種不同的選法？將具體問(wèn)題背景舍去，上述問(wèn)題可以概括為：

從已知的3個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素,按照一定的順序排成一列.從已知的3個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素合成一組排列問(wèn)題組合問(wèn)題組合與元素順序無(wú)關(guān)排列與元素順序有關(guān)這里每一組與順序無(wú)關(guān)，我們把這種問(wèn)題稱為組合問(wèn)題.探究新知一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．1.組合定義:注意：(1)組合的特點(diǎn)：組合要求n個(gè)元素是不同的，取出的m個(gè)元素也是不同的，即從n個(gè)不同的元素中進(jìn)行m次不放回地取出.(2)組合的特性：元素的無(wú)序性.取出的m個(gè)元素不講究順序，即元素沒(méi)有位置的要求.問(wèn)題2：你能說(shuō)一說(shuō)排列與組合之間的聯(lián)系與區(qū)別嗎？

一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n

個(gè)不同元素中取出m

個(gè)元素的一個(gè)排列.探究新知組合定義:一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．排列定義:排列、組合的聯(lián)系與區(qū)別：排列組合相同點(diǎn)不同點(diǎn)完成這件事情共分幾步從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素元素的順序有關(guān)元素的順序無(wú)關(guān)第一步、取第二步、排僅一步、取組合

甲乙

甲丙

乙丙

甲乙，乙甲

甲丙，丙甲

乙丙，丙乙排列

問(wèn)題1和問(wèn)題2中“排列”和“組合”的對(duì)應(yīng)關(guān)系：例題講解例1

判斷下列各事件是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題．(1)從1，2，3，…，9這九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，組成一個(gè)三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)？(2)從1，2，3，…，9這九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè),組成一個(gè)集合，這樣的集合有多少個(gè)？(3)10支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽(每?jī)申?duì)比賽一次),共需進(jìn)行多少場(chǎng)次的比賽？(4)10支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，冠、亞軍獲得情況共有多少種？解：(1)是排列問(wèn)題，因?yàn)槿〕?個(gè)數(shù)字后，如果改變這3個(gè)數(shù)字的順序，便會(huì)得到不同的三位數(shù)．(2)是組合問(wèn)題，因?yàn)槿〕?個(gè)數(shù)字后，無(wú)論怎樣改變這3個(gè)數(shù)字的順序，其構(gòu)成的集合都不變．例題講解例1

判斷下列各事件是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題．(1)從1，2，3，…，9這九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，組成一個(gè)三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)？(2)從1，2，3，…，9這九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè),組成一個(gè)集合，這樣的集合有多少個(gè)？(3)10支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽(每?jī)申?duì)比賽一次),共需進(jìn)行多少場(chǎng)次的比賽？(4)10支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，冠、亞軍獲得情況共有多少種？解：(3)是組合問(wèn)題，因?yàn)槊績(jī)申?duì)比賽一次，并不需要考慮誰(shuí)先誰(shuí)后，沒(méi)有順序的區(qū)別．(4)是排列問(wèn)題，因?yàn)榧钻?duì)得冠軍、乙隊(duì)得亞軍與甲隊(duì)得亞軍、乙隊(duì)得冠軍是不一樣的，是有順序區(qū)別的．探究新知變式1

判斷下列事件是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題．(1)從10個(gè)人里選3個(gè)代表去開(kāi)會(huì)，有多少種選法？(2)從10個(gè)人里選出3個(gè)做不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？(3)有10個(gè)車(chē)站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車(chē)票?(4)有10個(gè)車(chē)站，共需要多少種不同的票價(jià)？(5)設(shè)集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的子集中含有3個(gè)元素的有多少個(gè)？(6)3人去干5種不同的工作，每人干1種，有多少種分工方法？(7)把3本相同的書(shū)分給5個(gè)學(xué)生，每人最多得1本，有幾種分配方法？(8)10人聚會(huì)，見(jiàn)面后每?jī)扇酥g要握手相互問(wèn)候,共需握手多少次?(1)組合(2)排列(3)排列(4)組合(5)組合(6)排列(7)組合(8)組合探究新知變式2從5個(gè)不同的元素a，b，c，d，e中取出2個(gè)，寫(xiě)出所有不同的組合．探究新知問(wèn)題3：校門(mén)口停放著9輛共享自行車(chē)，其中黃色、紅色和綠色的各有3輛.下面的問(wèn)題是排列問(wèn)題，還是組合問(wèn)題?(1)從中選3輛，有多少種不同的方法?(2)從中選3輛給3位同學(xué)，有多少種不同的方法?解：(1)

是組合問(wèn)題，(2)是排列問(wèn)題，不同的選法有不同的選法有84種.2.判斷一個(gè)計(jì)數(shù)問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題的方法：排列問(wèn)題組合問(wèn)題若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果有影響，則是排列問(wèn)題，即排列問(wèn)題與選取的順序有關(guān).若交換任意兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，則是組合問(wèn)題，即組合問(wèn)題與選取的順序無(wú)關(guān).探究新知例5平面內(nèi)有A，B，C，D共4個(gè)點(diǎn).(1)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條?(2)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條?分析:(1)確定一條有向線段，不僅要確定兩個(gè)端點(diǎn)，還要考慮它們的順序，是排列問(wèn)題;(2)確定一條線段，只需確定兩個(gè)端點(diǎn)，而不需考慮它們的順序，是組合問(wèn)題.

解：

(1)一條有向線段的端點(diǎn)要分起點(diǎn)和端點(diǎn)，以平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從4個(gè)元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，共有

條.(2)將(1)中端點(diǎn)相同、方向不同的2條有向線段作為1條線段,就是以平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù),共有如下6條：AB,AC,AD,BC,BD,CD.這12條有向線段分別為探究新知問(wèn)題4：利用排列和組合之間的關(guān)系，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)分類，你能建立起例5(1)中排列和(2)中組合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？進(jìn)一步地，能否從這種對(duì)應(yīng)關(guān)系出發(fā)，由排列數(shù)求出組合的個(gè)數(shù)?結(jié)論：取出2個(gè)元素的組合的個(gè)數(shù)是排列數(shù)的一半.課堂練習(xí)1.甲、乙、丙、丁4支足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽.(1)列出所有各場(chǎng)比賽的雙方；(2)列出所有冠、亞軍的可能情況.

解：(1)甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁.(2)冠軍甲甲甲乙乙乙丙丙丙丁丁丁亞軍乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙課堂練習(xí)

解：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD共4個(gè).2.已知平面內(nèi)A,B,C,D這4個(gè)點(diǎn)中任何3個(gè)點(diǎn)都不在一條直線上，寫(xiě)出以其中任意3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有三角形.3.現(xiàn)有1,3,7,13這4個(gè)數(shù).

(1)從這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相加，可以得到多少個(gè)不相等的和?

(2)從這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相減，可以得到多少個(gè)不相等的差?

解：(1)不相等的和為4,8,14,10,16,20，共6個(gè).(2)不相等的差為－2,－6,－12,2,－4,－10,6,4,12,10，共10個(gè).課堂小結(jié)一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不