數(shù)字信號處理復習總結(jié)

緒論：本章介紹數(shù)字信號處理課程的基本概念。0.1信號、系統(tǒng)與信號處理1.信號及其分類信號是信息的載體，以某種函數(shù)的形式傳遞信息。這個函數(shù)可以是時間域、頻率域或其它域，但最基礎(chǔ)的域是時域。分類：周期信號/非周期信號確定信號/隨機信號能量信號/功率信號連續(xù)時間信號/離散時間信號/數(shù)字信號按自變量與函數(shù)值的取值形式不同分類：2.系統(tǒng)系統(tǒng)定義為處理（或變換）信號的物理設(shè)備，或者說，凡是能將信號加以變換以達到人們要求的各種設(shè)備都稱為系統(tǒng)。3.信號處理信號處理即是用系統(tǒng)對信號進行某種加工。包括：濾波、分析、變換、綜合、壓縮、估計、識別等等。所謂“數(shù)字信號處理”，就是用數(shù)值計算的方法，完成對信號的處理。0.2數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成數(shù)字信號處理就是用數(shù)值計算的方法對信號進行變換和處理。不僅應(yīng)用于數(shù)字化信號的處理，而且也可應(yīng)用于模擬信號的處理。以下討論模擬信號數(shù)字化處理系統(tǒng)框圖。（1）前置濾波器將輸入信號xa(t)中高于某一頻率（稱折疊頻率，等于抽樣頻率的一半）的分量加以濾除。（2）A/D變換器在A/D變換器中每隔T秒（抽樣周期）取出一次xa(t)的幅度，抽樣后的信號稱為離散信號。在A/D變換器中的保持電路中進一步變換為若干位碼。（3）數(shù)字信號處理器（DSP）（4）D/A變換器按照預定要求，在處理器中將信號序列x(n)進行加工處理得到輸出信號y(n)。由一個二進制碼流產(chǎn)生一個階梯波形，是形成模擬信號的第一步。（5）模擬濾波器把階梯波形平滑成預期的模擬信號；以濾除掉不需要的高頻分量，生成所需的模擬信號ya(t)。0.3數(shù)字信號處理的特點（1）靈活性。（2）高精度和高穩(wěn)定性。（3）便于大規(guī)模集成。（4）對數(shù)字信號可以存儲、運算、系統(tǒng)可以獲得高性能指標。0.4數(shù)字信號處理基本學科分支數(shù)字信號處理（DSP）一般有兩層含義，一層是廣義的理解，為數(shù)字信號處理技術(shù)——DigitalSignalProcessing，另一層是狹義的理解，為數(shù)字信號處理器——DigitalSignalProcessor。0.5課程內(nèi)容該課程在本科階段主要介紹以傅里葉變換為基礎(chǔ)的“經(jīng)典”處理方法，包括：（1）離散傅里葉變換及其快速算法。（2）濾波理論（線性時不變離散時間系統(tǒng)，用于分離相加性組合的信號，要求信號頻譜占據(jù)不同的頻段）。在研究生階段相應(yīng)課程為“現(xiàn)代信號處理”（AdvancedSignalProcessing）。信號對象主要是隨機信號，主要內(nèi)容是自適應(yīng)濾波（用于分離相加性組合的信號，但頻譜占據(jù)同一頻段）和現(xiàn)代譜估計。第一章：本章概念較多，需要理解和識記的內(nèi)容較多，學習時要注意。1.1離散時間信號1.離散時間信號的定義離散時間信號是指一個實數(shù)或復數(shù)的數(shù)字序列，它是整數(shù)自變量n的函數(shù)，表示為x(n)。一般由模擬信號等間隔采樣得到：。時域離散信號有三種表示方法：1）用集合符號表示2）用公式表示3）用圖形表示2.幾種基本離散時間信號（1）單位采樣序列（2）單位階躍序列（3）矩形序列（4）實指數(shù)序列（5）正弦序列ω是正弦序列數(shù)字域的頻率，單位是弧度。對連續(xù)信號中的正弦信號進行采樣，可得正弦序列。設(shè)連續(xù)信號為，它的采樣值為，因此（重點）這個式子具有一般性，它反映了由連續(xù)信號采樣得到的離散序列，其數(shù)字頻率與模擬頻率的一般關(guān)系。另外需要說明的是，ω的單位為弧度，Ω的單位為弧度/秒。本書中，我們一律以ω表示數(shù)字域頻率，而以Ω及f表示模擬域頻率。例：已知采樣頻率FT=1000Hz,則序列x（n）=cos(0.4πn)對應(yīng)的模擬頻率為(400π)弧度/s。說明：本題旨在理解數(shù)字頻率與模擬頻率之間的關(guān)系：。（6）復指數(shù)序列復指數(shù)序列是以余弦序列為實部、正弦序列為虛部所構(gòu)成的一個復數(shù)序列。（7）周期序列(重點)所有存在一個最小的正整數(shù),滿足：,則稱序列是周期序列，周期為。(注意：按此定義，模擬信號是周期信號，采用后的離散信號未必是周期的)例：正弦序列的周期性：

當，為整數(shù)時，，即為周期性序列。周期，式中，、限取整數(shù)，且的取值要保證是最小的正整數(shù)?？煞謳追N情況討論如下：（1）當為整數(shù)時，只要，就為最小正整數(shù)，即周期為。（2）當不是整數(shù)，而是一個有理數(shù)時，設(shè)，式中，、是互為素數(shù)的整數(shù)（互為素數(shù)就是兩個數(shù)沒有公約數(shù)），取，則，即周期為。（3）當是無理數(shù)時，則任何皆不能使為正整數(shù)，這時，正弦序列不是周期性的。例：X(n)=cos(0.4πn)的基本周期為(5)。[說明]基本周期的定義即計算公式：，其中N和k均為整數(shù)，N為基本周期（使得N為最小整數(shù)時k取值）。本題ω=0.4π，代入上式得到：。3.信號運算（1）加法：兩個信號之和由同序號的序列值逐點對應(yīng)相加得到。（2）乘法：兩個信號之積由同序號的序列值逐點對應(yīng)相乘得到。（3）移位：當，序列右移（稱為延時）；當，序列左移（稱為超前）。（4）翻轉(zhuǎn)：4.信號分解（重點）任一信號x(n)可表示成單位脈沖序列的移位加權(quán)和：簡記為1.2時域離散系統(tǒng)時域離散系統(tǒng)定義1線性系統(tǒng)（重點）判定公式：

若=,=則2時不變系統(tǒng)（重點）判定公式：y(n)=T[x(n)]y(n-)=T[x(n-)]例：判斷下列系統(tǒng)是否為線性、時不變系統(tǒng)。（1）；（2）；解：（1）令：輸入為，輸出為故該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。（2）令：輸入為，輸出為，因為故系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。又因為因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。3線性時不變系統(tǒng)（LTI系統(tǒng)）輸入與輸出之間關(guān)系（重點）：y（n）==x（n）*h（n）重點：線性離不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的卷積【說明】離散時間LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)為系統(tǒng)對單位沖激序列δ(n)的零狀態(tài)響應(yīng)。單位沖激響應(yīng)的概念非常重要。在時域，LTI系統(tǒng)可以由其單位沖激響應(yīng)h(n)唯一確定，因此，我們常常用單位沖激響應(yīng)描述LTI系統(tǒng)。在這種情況下，LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可以由卷積運算描述：y（n）==x（n）*h（n）物理意義：卷積和運算具有顯式意義，即可以用來確定系統(tǒng)的輸出。如果系統(tǒng)確定，則其單位沖激響應(yīng)是唯一的。由此，可求系統(tǒng)對任意輸入的響應(yīng)。注意：計算卷積和的關(guān)鍵是求和區(qū)間的確定。因此，常常需要繪制序列x(m)和h(n-m)的圖形。利用序列x(m)和h(n-m)的圖形可助我們方便地確定求和區(qū)間。卷積的求解方法：線性卷積是一種非常重要的一種運算，對它的求解，一般我們采用作圖法。線性卷積滿足交換律，設(shè)兩序列長度分別是N和M，線性卷積后序列的長度為N＋M－1。卷積的計算過程包括翻轉(zhuǎn)、移位、相乘、相加四個過程。1）將和用和表示，畫出和這兩個序列；2）選擇一個序列，并將其按時間翻轉(zhuǎn)形成序列；3）將移位n，得到；4）將和相同m的序列值對應(yīng)相乘后，再相加。例：已知x(n)=(n),h(n)=(n),求y(n)=x(n)*h(n)。解：（翻轉(zhuǎn)，移位，相乘，相加）y(n)==例：設(shè)，,和如圖1所示。求和的卷積。圖1解方法一：用圖解法求卷積和。(1)將和用和表示(圖2中(a)、(b)圖)。圖2圖解法求卷積過程(2)將進行反折，形成(圖2中(c)圖)；將移位，得到(圖2中(d)、(e)、(f)圖)。(3)將和相同的序列值相乘，再相加，得到(圖2中(g)圖)。再討論解析法求線性卷積。用式求解上式首先要根據(jù)和的非零值區(qū)間確定求和的上下限，的非零值區(qū)間為，的非零值區(qū)間為，或，由兩個非零值區(qū)間可得的取值區(qū)間為，它們的乘積的非零值區(qū)間應(yīng)滿足：和因此當、時，；當時，；當時，。與圖解法結(jié)果一致。y(n)用公式表示為方法二：當序列和的長度分別為有限長和時，可采用“不進位乘法”求兩序列線卷積。如圖1所示：，例：兩線性時不變系統(tǒng)級聯(lián)，其單位取樣響應(yīng)分別為和，輸入為，求系統(tǒng)的輸出。已知：，，。解：設(shè)第一個系統(tǒng)的輸出為，則因而輸出為4.系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性的判定（重點）1)穩(wěn)定系統(tǒng)：有界的輸入產(chǎn)生的輸出也有界的系統(tǒng)，即：若，則（記住!!）線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：（記住!!）或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓|z|=12)因果系統(tǒng)：時刻的輸出只由時刻之前的輸入決定（記住!!）線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：（記住!!）或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域在某圓外部：即：|z|>Rx3）穩(wěn)定因果系統(tǒng)：同時滿足上述兩個條件的系統(tǒng)。線性移不變系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：，或：H(z)的極點在單位園內(nèi)H(z)的收斂域滿足：例：判斷線性時不變系統(tǒng)的因果性、穩(wěn)定性，并給出依據(jù)。(1)；（2）；解：（1）只要，該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因為輸出只與n時刻的和n時刻以前的輸入有關(guān)。如果，則，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。（2）如果，，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)是非因果的，因為輸出還和x(n)的將來值有關(guān)。注意：如果給出的是h(n)，用上面要求記住的充要條件判斷！1.3線性常系數(shù)差分方程1差分方程定義卷積和是一種LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型，一般情況下，我們可以用差分方程描述LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。差分方程給出了系統(tǒng)響應(yīng)y[n]的內(nèi)部關(guān)系。為得到y(tǒng)[n]的顯式解，必須求解方程。2差分方程求解（重點）：eq\o\ac(○,1)經(jīng)典法eq\o\ac(○,2)遞推法eq\o\ac(○,3)變換域法例：設(shè)系統(tǒng)的差分方程為，輸入序列為，求輸出序列。解：一階差分方程需一個初始條件。設(shè)初始條件為：則設(shè)初始條件改為：則該例表明，對于同一個差分方程和同一個輸入信號，因為初始條件不同，得到的輸出信號是不相同的。模擬信號數(shù)字處理方法1模擬信號數(shù)字處理框圖（重點）：模擬信號輸入預濾波：目的是限制帶寬（一般使用低通濾波器）eq\o\ac(○,1)采樣：將信號在時間上離散化A/DC：模/數(shù)轉(zhuǎn)換 eq\o\ac(○,2)量化：將信號在幅度上離散化（量化中幅度值=采樣幅度值）eq\o\ac(○,3)編碼：將幅度值表示成二進制位（條件）數(shù)字信號處理：對信號進行運算處理D/AC：數(shù)/模轉(zhuǎn)換（一般用采樣保持電路實現(xiàn)：臺階狀連續(xù)時間信號在采樣時刻幅度發(fā)生跳變）平滑濾波：濾除信號中高頻成分（低通濾波器），使信號變得平滑：輸入信號經(jīng)過處理后的輸出信號2．連續(xù)信號的采樣對連續(xù)信號進行理想采樣，設(shè)采樣脈沖，則采樣輸出（重點表達式）在討論理想采樣后，信號頻譜發(fā)生的變化時，可遵循下面的思路：1）由；2）由；3）根據(jù)頻域卷積定理，由計算出。計算過程：1）2）周期信號可以用傅里葉級數(shù)展開，因此其中系數(shù)所以其傅里葉變換3）(重點表達式)因此，采樣后信號頻譜產(chǎn)生周期延拓，周期為Ωs，同時幅度為原來的1/T倍。這是一個非常重要的性質(zhì)，應(yīng)熟練掌握。（重點）3時域抽樣定理（重點）一個限帶模擬信號，若其頻譜的最高頻率為，對它進行等間隔抽樣而得，抽樣周期為T，或抽樣頻率為；只有在抽樣頻率時，才可由準確恢復。例：有一連續(xù)信號式中，（1）求出的周期。（2）用采樣間隔對進行采樣，試寫出采樣信號的表達式。（3）求出對應(yīng)的時域離散信號(序列)，并求出的周期。解：（1）周期為（2）（3）x(n)的數(shù)字頻率ω=0.8π，故，因而周期N=5，所以x(n)=cos(0.8πn+π/2)簡答題：1．是不是任意連續(xù)信號離散后，都可從離散化后的信號恢復出原來的信號？為什么？2．一個連續(xù)時間信號經(jīng)過理想采樣以后，其頻譜會產(chǎn)生怎樣的變化？在什么條件下，頻譜不會產(chǎn)生失真？3．離散信號頻譜函數(shù)的一般特點是什么？第二章：本章涉及信號及系統(tǒng)的頻域分析方法，概念較多，但很基礎(chǔ)，學習時要注意。2.1序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)1.定義DTFT是一個用來確定離散時間序列頻譜的重要數(shù)學工具。物理意義：傅里葉變換是將對信號的時域分析轉(zhuǎn)換為對其在頻域的分析，便于研究問題。若序列滿足絕對可和條件則其傅里葉變換（DiscreteTimeFourierTransform-DTFT）定義為記住!反變換定義為：記住!傅里葉變換對2.性質(zhì)1）周期性（重點）：DTFT是關(guān)于ω的周期為2π的周期函數(shù)。

2)線性（重點）：設(shè)，，那么3）時移特性4）頻移特性5）時域卷積定理（重點）6）頻域卷積定理7）帕斯瓦爾定理時域總能量等于頻域一周期內(nèi)總能量。7)幅度頻譜為ω的偶函數(shù)，相位頻譜為ω的奇函數(shù)。8)X(ejω)的實部為ω的偶函數(shù)，X(ejω)的虛部為ω的奇函數(shù)。例：設(shè)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)，輸入序列為，完成下面各題：（1）求出系統(tǒng)輸出序列；（2）分別求出、和的傅里葉變換。解：（1）（2）2.2時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關(guān)系：式中2.3序列的Z變換1Z變換定義Z變換為離散時間信號與LTI系統(tǒng)分析的重要數(shù)學工具。給定一離散時間序列x(n)，其z變換定義為：記住!其中，,。z變換存在情況下的Z變量取值范圍稱為收斂域(ROC)。注意：Z變換+不同收斂域?qū)?yīng)不同收斂域的不同序列序列（Z變換+收斂域）(重點)例：求以下序列的Z變換及收斂域：（1）；（2）；（3）解：（1）（2）（3）[說明]上題也可以改為求序列的傅立葉變換?？梢岳谩?Z變換和DTFT之間的關(guān)系(重點)DTFT為單位圓上的z變換。數(shù)學表達為：記住并理解!3.序列特性與X(z)的收斂域ROC的關(guān)系。(重點)收斂區(qū)域要依據(jù)序列的性質(zhì)而定。同時，也只有Z變換的收斂區(qū)域確定之后，才能由Z變換唯一地確定序列。一般來來說，序列的Z變換的收斂域在Z平面上的一環(huán)狀區(qū)域：有限長序列：，右序列：，|Z|>Rx-左序列：，（|z|<Rx+，N2>0時：0≤|Z|<Rx+；N2≤0時：0<|Z|<Rx+）雙邊序列：，總結(jié)：a.ROC不包含任何極點。b.有理z變換的收斂域ROC由其極點界定。c.對于有限長序列x[n],其z變換的收斂域ROC為整個z-平面，可能在z=0或z=∞除外。圖2.2:反因果序列的z變換的收斂域ROC圖2.1:因果序列的z圖2.2:反因果序列的z變換的收斂域ROC圖2.1:因果序列的z變換的收斂域ROCe.對于反因果序列x[n],其z變換的收斂域ROC由其離原點最近的極點確定，其形式為。4.Z反變換(重點)常用序列的Z變換(重點--記住!!)：逆變換x，C：收斂域內(nèi)繞原點逆時針的一條閉合曲線留數(shù)定理：留數(shù)輔助定理：利用部分分式展開：，然后利用定義域及常用序列的Z變換求解。(重點)基本要求：用部分分式展開法求z反變換。例：假設(shè)，收斂域ROC為,則的z反變換為()。說明：本題要求掌握序列的時域特性域z變換收斂域之間的對應(yīng)關(guān)系。具體說，有限長序列的z變換的ROC是怎樣的，右邊序列的z變換的ROC是怎樣的，因果序列的z變換的ROC是怎樣的，左邊序列的z變換的ROC是怎樣的，反因果序列的z變換的ROC是怎樣的。典型序列的z變換表達式是否記住了？這兩個典型z變換對，對求z變換或逆z變換非常重要。例：已知，試求與對應(yīng)的所有可能的序列。解：同一個Z變換函數(shù)，收斂域不同，對應(yīng)的序列也不同。本題沒有給定收斂域，所以必須先確定收斂域。有兩個極點：，，因為收斂域總是以極點為邊界，所以收斂域有以下三種情況：，，，三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列，分別討論如下：（1）對應(yīng)左邊序列∴（2）對應(yīng)雙邊序列∴（3）對應(yīng)右邊序列∴例：設(shè)，用部分分式展開法求逆Z變換。解：先去掉z的負冪次，以便于求解，將的分子分母同乘以，得：將等式兩端同時除以z，得：因而得：由收斂域知，為右邊序列，得：主要應(yīng)用于單階極點的序列。5Z變換的性質(zhì)eq\o\ac(○,1)線性性質(zhì)eq\o\ac(○,2)序列的移位性質(zhì)eq\o\ac(○,3)序列乘以指數(shù)序列的性質(zhì)eq\o\ac(○,4)序列乘以n的ZTeq\o\ac(○,5)復共軛序列的ZTeq\o\ac(○,6)初值定理eq\o\ac(○,7)終值定理eq\o\ac(○,8)時域卷積定理設(shè)則eq\o\ac(○,9)復卷積定理eq\o\ac(○,10)帕斯維爾定理，那么2.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)1系統(tǒng)函數(shù)定義（重點）一個線性時不變離散時間系統(tǒng)在時域中可以用它的單位取樣響應(yīng)來表征，即：對等式兩邊取Z變換并根據(jù)時域卷積定理，有：則：一般稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)（系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的Z變換與輸入的Z變換之比），它表征了系統(tǒng)的復頻域特性。2系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的關(guān)系(給定差分方程，能計算其傳輸函數(shù)，或給定傳輸函數(shù)，能計算得到差分方程。)3頻率響應(yīng)（重點）頻率響應(yīng)是一個重要的概念，根據(jù)頻率響應(yīng)，可理解濾波。頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的DTFT：（重點）其中，|H(ejω)|稱為幅頻響應(yīng)，稱為相頻響應(yīng)。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是以2π為周期的ω的連續(xù)函數(shù)，這一點和連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是不同的，學習時應(yīng)加以注意。若h(n)為實數(shù)，則系統(tǒng)的幅度響應(yīng)在區(qū)間內(nèi)是偶對稱的，而相位響應(yīng)是奇對稱的。注意：僅當穩(wěn)定系統(tǒng)才有頻率響應(yīng)。頻率響應(yīng)H(ejω)可根據(jù)DTFT與z變換之間的關(guān)系簡單得到：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求解(重點)結(jié)論：對于LTI系統(tǒng)，如果輸入為正弦序列x(n)=cos(ω0t+φ0),則輸出響應(yīng)y(n)必為相同形式的正弦序列，但需在ω=ω0的幅頻響應(yīng)|H(ejω)|進行加權(quán)，并通過相頻響應(yīng)在ω=ω0的值進行移位，即：y[n]=|H(ejω0)|cos(ω0t+φ0+)例：假設(shè)實序列x[n]的DTFT記為,則其幅值是關(guān)于ω的（偶函數(shù)）。說明：還記得反復強調(diào)的一句話，實序列的DTFT的幅度、實部是關(guān)于頻率ω偶函數(shù)，而相位和虛部則是關(guān)于頻率ω奇函數(shù)。例：對于一LTI離散時間系統(tǒng)其頻率響應(yīng),如果系統(tǒng)輸x(n)=,響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)y(n)=()。說明：將系統(tǒng)的頻率響應(yīng)寫成幅度相位表達式：，則輸出信號為：。這里由于給出了的具體表達式，所以需要分別計算出和之值。4用系統(tǒng)函數(shù)極點分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性（重點）系統(tǒng)函數(shù)：（傳輸函數(shù)H(z)為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h（n）的Z變換。）簡答題：怎樣在z域表示離散時間LTI系統(tǒng)?答案：傳輸函數(shù)H(z)表示離散時間LTI系統(tǒng)。1)穩(wěn)定系統(tǒng)：有界的輸入產(chǎn)生的輸出也有界的系統(tǒng)，即：若，則線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1（牢記此結(jié)論!）2)因果系統(tǒng)：時刻的輸出只由時刻之前的輸入決定線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域在某圓外部：即：|z|>Rx（牢記此結(jié)論!）3）穩(wěn)定因果系統(tǒng)：同時滿足上述兩個條件的系統(tǒng)。線性移不變系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：，或：H(z)的極點在單位園內(nèi)（牢記此結(jié)論!）H(z)的收斂域滿足：例：.一因果LTI離散時間系統(tǒng)的傳輸函數(shù),則系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為(0.5nu（n）)。說明：根據(jù)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，其實就是將傳遞函數(shù)進行逆z變換，但要注意系統(tǒng)的因果性如何。例：因果IIR離散時間LTI系統(tǒng)，其傳輸函數(shù)，則系統(tǒng)(穩(wěn)定)。例：一FIR離散時間LTI系統(tǒng)總是(穩(wěn)定)。說明：系統(tǒng)的穩(wěn)定性如何判斷？按照教材中的說法，就是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的收斂域如果包括“單位圓”，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果你熟悉了序列的z變換的ROC的性質(zhì)，則此題不難回答。對于因果系統(tǒng)來說，其單位沖激響應(yīng)為因果序列，故其z變換的ROC一定是某圓外部的整個區(qū)域。而這個圓就位于離原點最遠的極點上，所以，對于因果系統(tǒng)，如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點都位于單位圓以內(nèi)的話，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于FIR系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)是一個有限長序列，其z變換的ROC為除了無窮遠和原點之外的整個z平面，自然包括單位圓，所以FIR系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的。5系統(tǒng)的頻率特性可由系統(tǒng)函數(shù)零點及極點確定（式中，zk是極點，zi是零點；在極點處，序列x(n)的Z變換是不收斂的，因此收斂區(qū)域內(nèi)不應(yīng)包括極點。）第三章：DFT是為適應(yīng)計算機分析傅里葉變換規(guī)定的一種專門運算，本章是數(shù)字信號處理課程的重點章節(jié)。3.1離散傅里葉級數(shù)1.周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）連續(xù)時間周期信號可以用傅里葉級數(shù)表示，離散周期序列也可以表示成傅里葉級數(shù)形式。周期為N的復指數(shù)序列的基頻序列為k次諧波序列為由于，即，因而，離散傅里葉級數(shù)的所有諧波成分中只有N個是獨立的。因此在展開成離散傅里葉級數(shù)時，我們只能取N個獨立的諧波分量，通常取k=0到(N-1)，即（*）式中，1/N是習慣上采用的常數(shù)，是k次諧波的系數(shù)。利用將（*）式兩端同乘以，并對一個周期求和即由于所以也是一個以N為周期的周期序列。因此，時域離散周期序列的離散傅里葉級數(shù)在頻域上仍然是一個周期序列。令，則其中，符號DFS[.]表示離散傅里葉級數(shù)正變換，IDFS[.]表示離散傅里葉級數(shù)反變換。2.周期序列的傅里葉變換思路：由利用和DTFT的頻移特性，可得傅里葉變換時域、頻域?qū)?yīng)關(guān)系：根據(jù)序列的傅里葉變換和離散傅里葉級數(shù)頻域特性，再結(jié)合連續(xù)時間信號的傅里葉變換頻域特性，我們可以得出傅里葉變換時、頻域的一般對應(yīng)關(guān)系：連續(xù)→非周期，離散→周期。這種對應(yīng)關(guān)系很重要，要求熟記。3.2有限長序列的離散傅立葉變換(DFT)1定義，0≤≤記住!，0≤n≤記住!其中，應(yīng)當注意，雖然和都是長度為得有限長序列，但他們分別是由周期序列和截取其主周期得到的，本質(zhì)上是做DFS或IDFS，所以不能忘記它們的隱含周期性。尤其是涉及其位移特性時更要注意。DFT的隱含周期性：例：設(shè)，求的4點DFT。解：的4點離散傅里葉變換為：

2離散傅立葉變換與DTFT、Z變換的關(guān)系(重點)DFT的物理意義：X（k）為x(n)的傅里葉變換在區(qū)間上的等間隔采樣。為在Z平面單位圓上的點等間隔采樣。簡答題：1．一個序列的DFT與序列的傅里葉變換之間的關(guān)系是什么？2．序列的DTFT和序列的z變換間的關(guān)系是什么？序列的DFT和序列的Z變換間的關(guān)系是什么？3時域分析(重點!)記住結(jié)論：時域抽樣對應(yīng)頻域的周期拓展，頻率抽樣對應(yīng)時域的以周期N的周期拓展。這可以表述為如下公式：(重點!)3.3離散傅里葉變換的基本性質(zhì)1線性性質(zhì)若則2循環(huán)移位性質(zhì)設(shè)是長度為的有限長序列，則的點循環(huán)移位定義為（）：循環(huán)移位的實現(xiàn)步驟：3循環(huán)卷積定理（重點）1）設(shè)序列h(n)和x(n)的長度分別為N和M。h(n)與x(n)的L點循環(huán)卷積定義為式中，L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長度，L≥max［N，M］。2)循環(huán)卷積矩陣特點：（1）第1行是序列{x(0),x(1),…,x(L－1)}的循環(huán)倒相序列。注意，如果x(n)的長度M<L，則需要在x(n)末尾補L－M個零后，再形成第一行的循環(huán)倒相序列。（2）第1行以后的各行均是前一行向右循環(huán)移1位形成的。（3）矩陣的各主對角線上的序列值均相等。循環(huán)卷積和線性卷積的區(qū)別線性卷積：翻折—>乘加—>移位：y（n）=x（n）*h（n）=∑h（k）x（n-k）循環(huán)卷積：補零—>周期延拓—>翻折—>循環(huán)移位—>對應(yīng)值相加例：計算下面給出的兩個長度為4的序列h(n)與x(n)的4點和8點循環(huán)卷積。解：按照循環(huán)卷積矩陣寫出h(n)與x(n)的4點循環(huán)卷積矩陣形式為h(n)與x(n)的8點循環(huán)卷積矩陣形式為【補充】①計算h(n)與x(n)的線性卷積？②哪一種情況下計算的循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積？【說明】當循環(huán)卷積區(qū)間長度L大于等于y(n)=h(n)*x(n)的長度時，循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積。3）時域循環(huán)卷積定理設(shè)h(n)和x(n)的長度分別為N和M，其L點循環(huán)卷積為eq\o\ac(○,L)且則由DFT的循環(huán)卷積定理有4復共軛序列的DFT（重點）性質(zhì)：設(shè)是x(n)的復共軛序列，長度為N，，則例：給定一16-點實序列x（n）,其16-點DFT記為X(k),已知X(13)=2+j3,則

X*(3)=(2+j3)。說明：DFT的性質(zhì)。實序列的DFT的共軛對稱性：X(k)＝X*(N-k)，或X(N-k)＝X*(k)。（牢記）3.4頻域采樣定理離散傅里葉變換相當于信號傅里葉變換的等間隔采樣，也就是說實現(xiàn)了頻域的采樣，便于計算機計算。那么是否任一序列都能用頻域采樣的方法去逼近呢？這是一個很吸引人的問題。我們考慮一個任意的絕對可和的序列x(n)，它的z變換為如果對X(z)單位圓上進行等距離采樣現(xiàn)在要問，這樣采樣以后，信息有沒有損失？或者說，采樣后所獲得的有限長序列xN(n)能不能代表原序列x(n)。為了弄清這個問題，我們從周期序列開始由于所以也即是原非周期序列x(n)的周期延拓序列，其時域周期為頻域采樣點數(shù)N。在第一章我們看到，時域的采樣造成頻域的周期延拓，這里又對稱的看到，頻域采樣同樣造成時域的周期延拓。因此，如果序列x(n)不是有限長的，則時域周期延拓時，必然造成混疊現(xiàn)象，因而一定會產(chǎn)生誤差。對于長度為M的有限長序列，只有當頻域采樣點數(shù)N大于或等于序列長度M時，才有即可由頻域采樣值X(k)恢復出原序列x(n)，否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象，這就是所謂的頻域采樣定理。（重點—記?。。。﹥?nèi)插公式：簡答題：有限長序列的長度為M，對其進行頻域采樣，不失真的條件是什么？3.5DFT的應(yīng)用舉例1.用DFT計算線性卷積用循環(huán)（周期）卷積計算有限長序列的線性卷積(重點)對周期要求：（N1、N2分別為兩個序列的長度）(記住!!)簡答題：兩個有限長序列，，對它們進行線性卷積，結(jié)果用表示，的長度是多少？如果進行圓周卷積，那么什么時候線性卷積和圓周卷積的結(jié)果相等？2.用DFT進行譜分析的誤差問題（1）混疊現(xiàn)象利用DFT逼近連續(xù)時間信號的傅里葉變換，為避免混疊失真，按照抽樣定理的要求，采樣頻率至少是信號最高頻率的兩倍。解決混疊問題的唯一方法是保證采樣頻率足夠高。（2）頻譜泄露任何帶限信號都是非時限的，任何時限信號都是非帶限的。實際問題中遇到的離散時間序列可能是非時限的、無限長序列，在對該序列利用DFT進行處理時，由于作DFT的點數(shù)總是有限的，因此就有一個必須將該序列截斷的問題。序列截斷的過程相當于給該序列乘上一個矩形窗口函數(shù)RN(n)。如果原來序列的頻譜為，矩形窗函數(shù)的頻譜為，則截斷后有限長序列的頻譜為由于矩形窗函數(shù)頻譜的引入，使卷積后的頻譜被展寬了，即的頻譜“泄露”到其它頻率處，稱為頻譜泄露。在進行DFT時，由于取無限個數(shù)據(jù)是不可能的，所以序列的時域截斷是必然的，泄露是難以避免的。為了盡量減少泄露的影響，截斷時要根據(jù)具體的情況，選擇適當形狀的窗函數(shù)，如漢寧窗或漢明窗等。（3）柵欄效應(yīng)由于DFT是有限長序列的頻譜等間隔采樣所得到的樣本值，這就相當于透過一個柵欄去觀察原來信號的頻譜，因此必然有一些地方被柵欄所遮擋，這些被遮擋的部分就是未被采樣到的部分，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應(yīng)。由于柵欄效應(yīng)總是存在的，因而可能會使信號頻率中某些較大的頻率分量由于被“遮擋”而無法得到反映。此時，通常在有限長序列的尾部增補若干個零值，借以改變原序列的長度。這樣對加長的序列作DFT時，由于點數(shù)增加就相當于調(diào)整了原來柵欄的間隙，可以使原來得不到反映的那些較大的頻率分量落在采樣點上而得到反映。簡答題：用DFT進行譜分析帶來哪些誤差問題？采取什么措施可以減少這些誤差？第四章：快速傅里葉變換并不是一種新的變換，它是離散傅里葉變換的一種快速算法。4.1直接計算DFT的問題及改進的途徑直接計算DFT，需要次復數(shù)乘法，次復數(shù)加法。直接計算離散傅里葉變換，由于計算量近似正比于N2，顯然對于很大的N值，直接計算離散傅里葉變換要求的算術(shù)運算量非常大。我們可以利用系數(shù)WNnk的特性來改善離散傅里葉變換的計算效率。（1）的對稱性（2）的周期性利用的對稱性和周期性，將大點數(shù)的DFT分解成若干個小點數(shù)的DFT，F(xiàn)FT正是基于這個基本思路發(fā)展起來的。分類：按時間抽?。―IT）算法和按頻率抽?。―IF）算法?；?FFT的算法原理和FFT運算特點1）數(shù)據(jù)要求：2）計算效率（乘法運算次數(shù)：，加法計算次數(shù)：NM）（復數(shù)運算）（DFT運算：乘法運算次數(shù)：，加法計算次數(shù)：）（復數(shù)運算）對于算法原理，要求能夠看懂分解流圖。1時域抽取法如下(重點)：設(shè)序列x(n)長度為N，且滿足N=2M，M為正整數(shù)。按n的奇偶把x(n)分解為兩個N/2則x(n)的DFT為所以將X(k)又可以寫為上式將N點DFT分解為兩個N/2點的DFT運算，運算過程如下圖示利用蝶形運算求解。DIT-FFT算法與DFT運算量的比較直接計算DFT與FFT算法的計算量之比為N越大，F(xiàn)FT的優(yōu)點越為明顯說明：至少掌握第一次分解的過程（要能寫出相關(guān)數(shù)學表達式分析）并畫出至少第一次分解的蝶形圖(重點)2頻域抽樣法將長度為N=2M的序列x(n)前后對半分開,其N點DFT可表示為按k的奇偶可將X(k)分為兩部分k取偶數(shù)時k取奇數(shù)時令得到注：DIT—FFT與DIF—FFT比較DIT奇偶分組：輸入倒，輸出順計算：先乘后加（減）DIF前后分組：輸入順，輸出倒計算：先加（減）后乘第五章：本章主要掌握IIR和FIR兩種濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。5.1基本單元結(jié)構(gòu)一個數(shù)字網(wǎng)絡(luò)可以用差分方程表示，也可以用單位脈沖響應(yīng)來表示，也可以用系統(tǒng)函數(shù)來表示。但是對于研究這個系統(tǒng)的實現(xiàn)方法，即它的運算結(jié)構(gòu)來說，用方框圖或信號流圖最直接。對于延時、乘以系數(shù)以及相加這三種基本運算來說，方框圖和信號流圖表示法如下圖所示。以二階數(shù)字濾波器y(n)=b1y(n-1)+b2y(n-2)+ax(n)為例，它的方框圖和信號流圖如下圖所示。一般來說，用方框圖表示數(shù)字濾波器，結(jié)構(gòu)明顯、直觀；而用信號流圖來表示，則簡單、方便。利用圖論中的轉(zhuǎn)置定理，可以把一個信號流圖轉(zhuǎn)化為另一個等價的信號流圖。轉(zhuǎn)置定理如果將流圖中所有支路方向都顛倒或反向，并交換輸入x(n)和輸出y(n)，則其特性保持不變，新流圖是原流圖的轉(zhuǎn)置形式。例如，上圖中流圖的轉(zhuǎn)置形式如下圖(a)所示，但通常的習慣是將輸入x(n)畫在流圖的左邊，而輸出畫在流圖的右邊，這樣得到圖(b)所示的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)。5.2無限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)IIR濾波器具有以下特點：單位脈沖響應(yīng)h(n)無限長；系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面（0<|z|<∞）上有極點存在；結(jié)構(gòu)上存在從輸出到輸入的反饋，即結(jié)構(gòu)是遞歸型的。1.直接型對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為：直接型包括直接Ⅰ型和直接Ⅱ型，書本講授的為直接Ⅱ型。直接Ⅱ型的推導，利用到線性移不變系統(tǒng)，交換級聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)不變。對于直接Ⅱ型，要求能夠直接由差分方程或系統(tǒng)函數(shù)繪出相應(yīng)的信號流圖，反之亦然。特點：便于理解，累積誤差大，運算速度相對慢。2．級聯(lián)型對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為：把濾波器用若干二階子網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)起來構(gòu)成，每個二階子網(wǎng)絡(luò)采用直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。特點：級聯(lián)型結(jié)構(gòu)中每一個一階網(wǎng)絡(luò)決定一個零點、一個極點，每一個二階網(wǎng)絡(luò)決定一對零點、一對極點。相對直接型結(jié)構(gòu)，其優(yōu)點是調(diào)整方便，此外，運算累積誤差較直接型小。3．并聯(lián)型對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為：特點：每一個一階網(wǎng)絡(luò)決定一個實數(shù)極點，每一個二階網(wǎng)絡(luò)決定一對共軛極點，調(diào)整極點位置方便，但調(diào)整零點位置不如級聯(lián)型方便。運算誤差不積累。運算速度最高。例：已知IIRDF的系統(tǒng)函數(shù)為畫出直接I型、直接II型的結(jié)構(gòu)流圖。解：先將化為的有理式直接I型：直接II型：例：已知IIRDF的系統(tǒng)函數(shù)為畫出級聯(lián)型和并聯(lián)型的結(jié)構(gòu)流圖。解：級聯(lián)型并聯(lián)型：5.3有限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)FIR濾波器具有以下特點：單位脈沖響應(yīng)h(n)有限長；系統(tǒng)函數(shù)H(z)在|z|>0處收斂，對因果系統(tǒng)而言，極點全部位于z=0處；結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋。FIR濾波器有以下幾種基本結(jié)構(gòu)：直接型；級聯(lián)型。1．直接型特點：直觀明了，便于理解，但不便于調(diào)整參數(shù)。2．級聯(lián)型將H（z）因式分解得到特點：每一個一階因子控制一個零點，每一個二階因子控制一對共軛極點，調(diào)整零點位置比直接型方便，但H（z）中的系數(shù)比直接型多（近似3/2N），因而需要的乘法器多。例：已知FIRDF的系統(tǒng)函數(shù)為畫出直接型和級聯(lián)型的結(jié)構(gòu)流圖。解：直接型：級聯(lián)型：簡答題：IIR和FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)形式有哪些？各自有什么特點?第六章：本章講授了設(shè)計IIR濾波器常用的兩種設(shè)計方法——脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。6.1引言1.數(shù)字濾波器的分類（1）IIR和FIR數(shù)字濾波器這是根據(jù)濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)的長度是否有限來劃分的。若h(n)是一個長度為M+1的有限長序列，通常將此時的系統(tǒng)稱為有限長單位脈沖響應(yīng)（FIR，F(xiàn)initeImpulseResponse）系統(tǒng)。如果系統(tǒng)函數(shù)的分母中除a0外，還有其它的ak不為零，則相應(yīng)的h(n)將是無限長序列，稱這種系統(tǒng)為無限長單位脈沖響應(yīng)（IIR，InfiniteImpulseResponse）系統(tǒng)。（2）低通、高通、帶通、帶阻濾波器注意：數(shù)字濾波器（DF）與模擬濾波器（AF）的區(qū)別數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)都是以2π為周期的，濾波器的低通頻帶處于2π的整數(shù)倍處，而高頻頻帶處于π的奇數(shù)倍附近。2.設(shè)計指標描述濾波器的指標通常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)一般為復函數(shù)，通常表示為其中，稱為幅頻響應(yīng)，稱為相頻響應(yīng)。對IIR數(shù)字濾波器，通常用幅頻響應(yīng)來描述設(shè)計指標，而對于線性相位特性的濾波器，一般用FIR濾波器設(shè)計實現(xiàn)。IIR低通濾波器指標描述：——通帶截止頻率，——阻帶截止頻率，——通帶最大衰減，——阻帶最小衰減，——3dB通帶截止頻率3.設(shè)計方法三步：（1）按照實際需要確定濾波器的性能要求。（2）用一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個性能要求。（3）用一個有限精度的算法去實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。IIR濾波器常借助模擬濾波器理論來設(shè)計數(shù)字濾波器，設(shè)計步驟為：先根據(jù)所給的濾波器性能指標設(shè)計出相應(yīng)的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)(butterworth濾波器設(shè)計法等，有封閉公式利用)，然后由Ha(s)經(jīng)變換得到所需的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。在變換中，一般要求所得到的數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)應(yīng)保留原模擬濾波器頻率響應(yīng)的主要特性。為此要求：（1）因果穩(wěn)定的模擬濾波器必須變成因果穩(wěn)定的數(shù)字濾波器；（2）數(shù)字濾波器的頻響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響。6.2脈沖不變法、雙線性不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器1脈沖響應(yīng)不變法步驟設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為，相應(yīng)的單位沖擊響應(yīng)是，。LT[.]代表拉氏變換，對進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到，將h(n)=作為數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)，那么數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)便是的變換。因此脈沖響應(yīng)不變法是一種時域逼近方法，它使在采樣點上等于。但是，模擬濾波器的設(shè)計結(jié)果是，所以下面基于脈沖響應(yīng)不變法的思想，導出直接從到的轉(zhuǎn)換公式。設(shè)模擬濾波器只有單階極點，且分母多項式的階次高于多項式的階次，將用部分分式表示：式中為的單階極點。將進行逆拉氏變換，得到：式中，是單位階躍函數(shù)。對進行等間隔采樣，采樣間隔為，得到：對上式進行變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即特點（重點）優(yōu)點：1.頻率變換關(guān)系是線性的，即，如果不存在頻譜混疊現(xiàn)象，用這種方法設(shè)計的數(shù)字濾波器會很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響特性。2.數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖擊響應(yīng)波形，時域特性逼近好。缺點：會產(chǎn)生不同程度的頻譜混疊失真，其適合用于低通、帶通濾波器的設(shè)計，不適合用于高通、帶阻濾波器的設(shè)計。2雙線性不變法將雙線性變換(牢記映射公式)帶入，得特點（重點）優(yōu)點：1.不產(chǎn)生頻域混疊現(xiàn)象2.雙線性變換法可由簡單的代數(shù)公式將直接轉(zhuǎn)換成。缺點：與之間的非線性關(guān)系是雙線性變換法的缺點，是數(shù)字