高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第26講 8.2 立體圖形的直觀圖（學(xué)生版）

第03講8.2立體圖形的直觀圖課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.。②會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺、球以及簡單組合體的直觀圖。1.通過閱讀課本在認(rèn)識柱錐臺體的圖形的基礎(chǔ)上，理解立體圖形的直觀圖的畫法；2.熟練運(yùn)用掌握平面圖形的斜二測畫法，理解例題圖形的斜二測畫法要領(lǐng)；3.在認(rèn)真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，提升學(xué)生空間向量能力和數(shù)學(xué)分析能力，抽象思維能力；知識點(diǎn)01：空間幾何體的直觀圖（1）空間幾何體的直觀圖的概念直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體獲得的圖形.直觀圖是把空間圖形畫在平面內(nèi)，既富有立體感，又能表達(dá)出圖形各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系的圖形.（2）水平放置的平面圖形的直觀圖畫法（斜二測畫法）（1）畫軸：在平面圖形上取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn)，畫直觀圖時(shí)作出與之對應(yīng)的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn)，且使（或）（2）畫線：已知圖形中平行于或在軸，軸上的線段，在直觀圖中分別畫成平行或在軸，軸上的線段.（3）取長度：已知圖形中在軸上或平行于軸的線段，在直觀圖中長度不變.在軸上或平行于軸的線段，長度為原來長度的一半.（4）成圖：連接有關(guān)線段，擦去作圖過程中的輔助線，就得到了直觀圖.方法歸納：設(shè)一個(gè)平面多邊形的面積為，利用斜二測畫法得到的直觀圖的面積為，則有.【即學(xué)即練1】（2023上·上?！じ叨？计谥校┤鐖D有一個(gè)直角梯形，則它的水平放置的直觀圖是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】作出直角梯形的直觀圖如下圖所示：

A選項(xiàng)滿足要求.故選：A.知識點(diǎn)02：空間幾何體的直觀圖的繪制方法（1）畫軸.在平面圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn),畫直觀圖時(shí)，把它們分別畫成對應(yīng)的軸與軸，兩軸交于點(diǎn),且使”(或）,它們確定的平面表示水平面；（2）畫底面.已知圖形中，平行于軸軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸、軸或軸的線段；（3）畫側(cè)棱.已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄唬?）成圖.連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.簡記為：①畫軸；②畫底面；③畫側(cè)棱；④成圖.【即學(xué)即練2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）畫出上、下底面邊長分別為2cm和4cm.高為2cm的正四棱臺的直觀圖.【答案】直觀圖見解析【詳解】第一步，用斜二測畫法，畫出水平放置的邊長為4cm的正方形；第二步，取四邊形對角線中點(diǎn)O，建立坐標(biāo)系，作平面，且2cm；第三步，建立平面坐標(biāo)系，用斜二測畫法畫出水平放置的邊長為2cm的正方形；第四步，連接，得四棱臺即為所求，如圖：

知識點(diǎn)03：斜二測畫法保留了原圖形中的三個(gè)性質(zhì)①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點(diǎn)性不變，即在原圖中相交的直線仍然相交；③平行于x，z軸的長度不變．【即學(xué)即練3】（2023上·上?！じ叨虾Ｊ写笸袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）水平放置的的斜二測直觀圖是如圖中的，已知，則邊的實(shí)際長度是.【答案】5【詳解】把直觀圖還原為原圖形，如圖所示，則，所以.故答案為：5.題型01畫水平放置的平面圖形的直觀圖【典例1】（2023下·四川成都·高一成都七中?？计谀┯眯倍y畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，下列結(jié)論正確的選項(xiàng)是（

）A．三角形的直觀圖是三角形 B．平行四邊形的直觀圖必為矩形C．正方形的直觀圖是正方形 D．菱形的直觀圖是菱形【典例2】（2023上·上海寶山·高二?？茧A段練習(xí)）畫出圖中水平放置的四邊形的直觀圖，并求出直觀圖中三角形的面積.

【典例3】（2023·全國·高一課堂例題）畫水平放置的正三角形的直觀圖．【變式1】（2023上·上海普陀·高二?？计谥校┯眯倍y畫法畫水平放置的正方形的直觀圖為平行四邊形，取所在直線為x軸，所在直線為y軸．若在直觀圖中，則．【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）用斜二測畫法畫出下列圖形：(1)水平放置的邊長為5cm的正方形；(2)水平放置的梯形和平行四邊形；

題型02由直觀圖還原平面圖形【典例1】（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖，用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形是一個(gè)邊長為1的正方形，則原圖形的形狀是（

）A．B． C．D．【典例2】（2023下·陜西商洛·高一統(tǒng)考期末）如圖，的斜二測畫法的直觀圖是腰長為2的等腰直角三角形，軸經(jīng)過的中點(diǎn)，則（

）

A． B．4 C． D．【典例3】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在斜二測畫法下被畫成正三角形，請畫出的真正圖形．【變式1】（2023下·江西九江·高一德安縣第一中學(xué)?？计谀﹫D為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是（）A．

B．

C．

D．

【變式2】（2023下·河南信陽·高一校聯(lián)考期中）若水平放置的四邊形AOBC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，四邊形為等腰梯形，，則原四邊形AOBC的面積為（

）

A． B． C． D．【變式3】（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖.若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形，并求原圖形的面積.題型03畫簡單幾何體的直觀圖【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）畫底面邊長為3cm、高為3.5cm的正三棱柱的直觀圖．【典例2】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）用斜二測畫法畫出底面為正方形的四棱臺的直觀圖，其中上、下底面邊長分別為2，3，高為2．【典例3】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）畫一個(gè)底面邊長為，高為的正五棱錐（底面是正五邊形，頂點(diǎn)在底面的投影是底面的中心），比例尺是．【變式1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）畫底面邊長為3cm、高為3cm的正四棱錐的直觀圖．【變式2】（2023·高一課前預(yù)習(xí)）畫出下列圖形的直觀圖：(1)棱長為4cm的正方體；(2)底面半徑為2cm，高為4cm的圓錐．【變式3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）畫出上、下底面邊長分別為3cm和5cm，高為4cm的正四棱臺的直觀圖.題型04求直觀圖的長度和面積【典例1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖是直角梯形，如圖所示．其中，則原平面圖形的面積為（

）

A． B． C． D．【典例2】（2023下·河南南陽·高一社旗縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，一個(gè)水平放置的平行四邊形ABCD的斜二測畫法的直觀圖為矩形，若，，則在原平行四邊形ABCD中，（

）

A．3 B． C． D．9【典例3】（多選）（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？级＃┱切蔚倪呴L為，如圖，為其水平放置的直觀圖，則（

）

A．為銳角三角形B．的面積為C．的周長為D．的面積為【典例4】（2023下·安徽合肥·高一安徽省肥西農(nóng)興中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，

(1)畫出它的原圖形，(2)若的面積是，求原圖形中邊上的高和原圖形的面積.【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）水平放置的的直觀圖如圖，其中，，那么原是一個(gè)（

）

A．等邊三角形 B．直角三角形C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形 D．三邊互不相等的三角形【變式2】（多選）（2023下·浙江溫州·高一樂清市知臨中學(xué)校考期中）如圖所示，四邊形是由斜二測畫法得到的平面四邊形ABCD水平放置的直觀圖，其中，，，點(diǎn)在線段上，對應(yīng)原圖中的點(diǎn)P，則在原圖中下列說法正確的是（

）A．四邊形ABCD的面積為14B．與同向的單位向量的坐標(biāo)為C．在向量上的投影向量的坐標(biāo)為D．最小值為13【變式3】（2024上·上海·高二?？计谀┤鐖D所示直角三角形是一個(gè)平面圖形的直觀圖，若，則這個(gè)平面圖形的面積是.

【變式4】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示直角梯形上下兩底分別為2和4，高為，則利用斜二測畫法所得其直觀圖的面積為.題型05直觀圖還原和計(jì)算問題【典例1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖是直角梯形，如圖所示．其中，則原平面圖形的面積為（

）

A． B． C． D．【典例2】（多選）（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示的是水平放置的三角形直觀圖，D'是中B'C'邊上的一點(diǎn)，且D'C'＜D'B'，A'D'∥y'軸，那么原的AB、AD、AC三條線段中（）

A．最長的是AB B．最長的是AC C．最短的是AC D．最短的是AD【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，梯形ABCD是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，，則原圖形的面積為．【變式1】（2024·全國·高二專題練習(xí)）若水平放置的四邊形按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中，，，，則原四邊形的面積為（

）A．12 B．6 C． D．【變式2】（2023上·高二單元測試）如圖正方形的邊長為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是cm．【變式3】（2023上·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校校考期中）如圖，是水平放置的斜二測直觀圖，其中，則原圖形的面積是.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·全國·高三專題練習(xí)）已知一個(gè)建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣，長方體的長、寬、高分別為20m，5m，10m，四棱錐的高為8m．如果按的比例畫出它的直觀圖，那么在直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為（

）A．4cm，1cm，2cm，1.6cm B．4cm，0.5cm，2cm，0.8cmC．4cm，0.5cm，2cm，1.6cm D．4cm，0.5cm，1cm，0.8cm2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，若斜邊長為的等腰直角（與重合）是水平放置的的直觀圖，則的面積為（）A．2 B． C． D．83．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知水平放置的正方形ABCD的斜二測畫法直觀圖的面積為，則正方形ABCD的面積是（

）A． B． C．8 D．164．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知正方形的邊長為2，它的水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖為（在軸上），則圖形的面積是（

）A．4 B．2 C． D．15．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（

）

A． B．2 C． D．6．（2024·全國·高二專題練習(xí)）一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（

）．A． B． C． D．7．（2023下·廣西南寧·高一校考期中）如圖是水平放置的四邊形的斜二測直觀圖，且軸，軸，則原四邊形的面積是（

）

A． B． C． D．8．（2023下·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）用斜二測畫法畫的直觀圖如圖所示，其中，，則中邊上的中線長為（

）

A． B． C． D．二、多選題9．（2023·福建泉州·高二?？紝W(xué)業(yè)考試）水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示，已知，，軸，則中以下說法正確的是（

）

A．是直角三角形 B．長為C．長為 D．邊上的中線長為10．（2023下·湖南長沙·高一?？计谀┤鐖D，四邊形ABCD的斜二測直觀圖為等腰梯形，已知，則（

）

A．B．C．四邊形ABCD的周長為D．四邊形ABCD的面積為6三、填空題11．（2023上·貴州黔西·高三貴州省興義市第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形是水平放置的平面圖形的直觀圖，其中，則原圖形的面積為．12．（2023上·四川成都·高二石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試）水平放置的的斜二測直觀圖為，已知，則的面積為.13．（2023上·貴州遵義·高二遵義市南白中學(xué)校考開學(xué)考試）已知某水平放置的四邊形的斜二測畫法直觀圖是邊長為1的正方形，如圖所示，則四邊形的面積是.

四、解答題14．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為的等腰梯形．用斜二測畫法畫出的這個(gè)梯形的直觀圖為．求梯形的高．15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）用斜二測畫法畫出如圖所示水平放置的等腰梯形和正五邊形的直觀圖.B能力提升1．（2023下·廣西南寧·高一?？计谥校┤鐖D是水平放置的四邊形的斜二測直觀圖，且軸，軸，則原四邊形的面積是（

）

A． B． C． D．2．（2023上·四川資陽·高二?？计谀┯眯倍y畫法畫水平放置的的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形.已知點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，且，則的邊邊上的高為（

）A．1 B．2 C． D．3．（2023下·內(nèi)蒙古通遼·高一?？计谀┮阎粋€(gè)四棱錐的正視圖、側(cè)視圖如圖所示，其底面梯形的斜二測畫法的