高中數(shù)學(xué)同步講義(人教A版必修二)第25講 8.1基本立體圖形(第2課時 圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征)(教師版)_第1頁
高中數(shù)學(xué)同步講義(人教A版必修二)第25講 8.1基本立體圖形(第2課時 圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征)(教師版)_第2頁
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文檔簡介

第02講8.1基本立體圖形(第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義.2.掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征。②了解簡單組合體的概念及結(jié)構(gòu)特征。③了解簡單組合體的概念及結(jié)構(gòu)特征1.通過閱讀課本解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義;2.在棱柱、棱錐與棱臺學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征;3.了解簡單組合體的概念及結(jié)構(gòu)特征.靈活運(yùn)用各種知識解決組合體問題;知識點(diǎn)01:圓柱(1)圓柱的定義以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體圓柱的軸:旋轉(zhuǎn)軸圓柱的底面:垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面圓柱的側(cè)面:平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面圓柱側(cè)面的母線:無論旋轉(zhuǎn)到什么位置,平行于軸的邊(2)圓柱的圖形(3)圓柱的表示圓柱用表示它的軸的字母表示,如圖,圓柱【即學(xué)即練1】1(2024上·上?!じ叨虾煷蟾街行?计谀┯靡粋€平面截如圖所示圓柱體,截面的形狀不可能是(

A.

B.

C.

D.

【答案】D【詳解】解:對于選項(xiàng)A:當(dāng)截面與軸截面垂直時,得到的截面形狀是圓;對于選項(xiàng)B:當(dāng)截面與軸截面平行時,得到的截面形狀是長方形;對于選項(xiàng)C:當(dāng)截面與軸截面斜交時,得到的截面形狀是橢圓;對于選項(xiàng)D:截面的形狀不可能是等腰梯形;故選:D知識點(diǎn)02:圓錐(1)圓錐的定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體軸:旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸底面:垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫褐苯侨切蔚男边呅D(zhuǎn)而成的曲面母線:無論旋轉(zhuǎn)到什么位置,不垂直于軸的邊錐體:棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體(2)圓錐的圖形(3)圓錐的表示用表示它的軸的字母表示,如圖,圓錐【即學(xué)即練2】(2024·全國·高三專題練習(xí))給出下列命題:①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線;②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐;③棱臺的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是(

)A. B. C. D.【答案】A【詳解】①不一定,只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時才是母線;②不一定,當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐,如圖所示,它是由兩個同底圓錐組成的幾何體;③錯誤,棱臺的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形,各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn),但是側(cè)棱長不一定相等.故選:A.知識點(diǎn)03:圓臺(1)圓臺的定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面和截面之間的部分叫做圓臺軸:圓錐的軸底面:圓錐的底面和截面?zhèn)让妫簣A錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分母線:圓錐的母線在底面與截面之間的部分臺體:棱臺和圓臺統(tǒng)稱為臺體(2)圓臺的圖形(3)圓臺的表示用表示它的軸的字母表示,如圖,圓臺【即學(xué)即練3】(2024上·上海青浦·高二上海市朱家角中學(xué)??计谀┮阎硤A臺上底面和下底面的半徑分別為1和2,母線長為3,則該圓臺的高為【答案】【詳解】根據(jù)題意,作出圓臺的圖形,如圖所示:圓臺上下底面的半徑分別為1和2,母線長為3,則圓臺的高.故答案為:.知識點(diǎn)04球的結(jié)構(gòu)特征(1)定義:半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面,球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體,簡稱球(2)相關(guān)概念:球心:半圓的圓心半徑:連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段直徑:連接球面上兩點(diǎn)并經(jīng)過球心的線段【即學(xué)即練4】(2024·全國·高一假期作業(yè))銅錢又稱方孔錢,是古代錢幣最常見的一種.如圖所示為清朝時的一枚“嘉慶通寶”,由一個圓和一個正方形組成,若繞旋轉(zhuǎn)軸(虛線)旋轉(zhuǎn)一周,形成的幾何體是(

)A.一個球B.一個球挖去一個圓柱C.一個圓柱D.一個球挖去一個正方體【答案】B【詳解】圓及其內(nèi)部旋轉(zhuǎn)一周后所得幾何體為球,而矩形及其內(nèi)部繞一邊旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱,故題設(shè)中的平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸(虛線)旋轉(zhuǎn)一周,形成的幾何體為一個球挖去一個圓柱,故選:B.題型01圓柱的結(jié)構(gòu)特征【典例1】(2023上·上海普陀·高二上海市宜川中學(xué)??计谥校┪覈糯鷶?shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中的一個問題,其意思為“圓木長2丈4尺,圓周長為一丈,葛藤從圓木的底部開始向上生長,繞圓木兩周,剛好頂部與圓木平齊,問葛藤最少長幾丈幾尺.”(古制1丈=10尺)葛藤最少長是.【答案】尺【詳解】將圓柱形圓木沿一條母線剪開,兩個側(cè)面展開圖沿母線拼接,得如下長方形尺,尺,

所以葛藤最少長為尺.故答案為:尺【典例2】(2023·上海·高三專題練習(xí))在圓柱中,底面圓半徑為,高為,上底面圓的直徑為,是底面圓弧上的一個動點(diǎn),繞著底面圓周轉(zhuǎn),則的面積的范圍.【答案】【詳解】解:如圖1,設(shè)上底面圓心記為,下底面圓心記為,連接,過點(diǎn)作,垂足為點(diǎn),則,根據(jù)題意,為定值2,所以的大小隨著的長短變化而變化,如圖2所示,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時,,此時取得最大值為;如圖3所示,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,取最小值2,此時取得最小值為,綜上所述,的取值范圍為.故答案為:.【變式1】(2023·高一課時練習(xí))已知圓柱的母線長為l,底面半徑為r,O是上底面圓心,是下底面圓周上兩個不同的點(diǎn),是母線.若直線與所成角的大小為,則.【答案】/【詳解】如圖,過點(diǎn)A作與母線平行的母線,則即為直線與所成角,故,在中,,則,故答案為:【變式2】(2023下·全國·高一專題練習(xí))軸截面為正方形的圓柱叫做等邊圓柱,已知某等邊圓柱的軸截面面積為,求該等邊圓柱的底面周長和高.【答案】該等邊圓柱的底面周長為,高為【詳解】如圖所示,作出等邊圓柱的軸截面ABCD,由題意知,四邊形ABCD為正方形設(shè)圖柱的底面半徑為r,則.軸截面ABCD的面積,解得.所以該等邊圓柱的底面周長為,高為.題型02圓柱截面有關(guān)計(jì)算【典例1】(2023上·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,某圓柱的軸截面ABCD是邊長為2的正方形,P,Q分別為線段BC,AC上的兩個動點(diǎn),E為上一點(diǎn),且,則的最小值為(

A.3 B. C. D.【答案】C【詳解】如圖,連接EC,將沿直線BC旋轉(zhuǎn)到的位置,

且在AB的延長線上.則,由于圓柱的軸截面ABCD是邊長為2的正方形,故,,則,當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號,當(dāng)時,最小,最小值為,即的最小值為,故選:C【典例2】(2023下·全國·高一專題練習(xí))一個圓錐的底面半徑為2,高為6,在其中有一個高為x的內(nèi)接圓柱.(1)用x表示圓柱的軸截面面積S;(2)當(dāng)x為何值時,S最大?【答案】(1)S=-x2+4x(0<x<6).(2)當(dāng)x=3時,S最大,最大值為6.詳解:畫出圓柱和圓錐的軸截面,如圖所示,設(shè)圓柱的底面半徑為r,則由三角形相似可得=,解得r=2-.(1)圓柱的軸截面面積S=2r·x=2·(2-)·x=-x2+4x(0<x<6).(2)∵S=-x2+4x=-(x2-6x)=-(x-3)2+6,∴當(dāng)x=3時,S最大,最大值為6.【變式1】(2022·全國·模擬預(yù)測)如圖,圓柱的底面半徑為2,四邊形ABCD是圓柱的軸截面,點(diǎn)E在圓柱的下底面圓上,若圓柱的側(cè)面積為,且,則(

)A. B.4 C. D.【答案】A【詳解】如下圖所示:設(shè)圓柱的母線長為l,由圓柱的側(cè)面積為可得,得,連接AE,則,連接BE,則,故,故.故選:A.【變式2】(2023上·上海浦東新·高二校考期末)從一張半徑為3的圓形鐵皮中裁剪出一塊扇形鐵皮(如圖1陰影部分),并卷成一個深度為米的圓錐筒(如圖2).若所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為.(1)求圓錐筒的容積;(2)在(1)中的圓錐內(nèi)有一個底面圓半徑為的內(nèi)接圓柱(如圖3),求內(nèi)接圓柱側(cè)面積最大時的值.【答案】(1);(2).【詳解】(1)設(shè)圓錐筒的半徑為,容積為,∵所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為,∴,解得,∴,∴.∴圓錐筒的容積為.(2)設(shè)內(nèi)接圓柱高為則有,由圓錐內(nèi)接圓柱的軸截面圖,得,所以內(nèi)接圓柱側(cè)面積,所以當(dāng)時內(nèi)接圓柱側(cè)面積最大.題型03圓柱展開圖及最短距離問題【典例1】(2024·全國·高三專題練習(xí))如圖,一個矩形邊長為1和4,繞它的長為的邊旋轉(zhuǎn)二周后所得如圖的一開口容器(下表面密封),是中點(diǎn),現(xiàn)有一只媽蟻位于外壁處,內(nèi)壁處有一米粒,若這只螞蟻要先爬到上口邊沿再爬到點(diǎn)處取得米粒,則它所需經(jīng)過的最短路程為(

)A. B. C. D.【答案】A【詳解】解:依題意可得圓柱的底面半徑,高將圓柱的側(cè)面(一半)展開后得矩形,其中,,問題轉(zhuǎn)化為在上找一點(diǎn),使最短,作關(guān)于的對稱點(diǎn),連接,令與交于點(diǎn),則得的最小值就是為.故選:A【典例2】(2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末)如圖,在圓柱中,,分別為圓,的直徑,,,為的中點(diǎn),則一只螞蟻在圓柱表面從爬到的最短路徑的長度為(

A. B. C. D.【答案】A【詳解】如圖所示,把半圓柱側(cè)面展開,得到側(cè)面展開圖為矩形,在圓柱中,因?yàn)?,可得,即矩形中,,,則最短路徑的長度為.故選:A.

【典例3】(2024·全國·高一假期作業(yè))如圖,已知圓柱的高為h,底面半徑為,軸截面為矩形,在母線上有一點(diǎn),且,在母線上取一點(diǎn),使,則圓柱側(cè)面上P、Q兩點(diǎn)的最短距離為.

【答案】【詳解】如圖,把圓柱的半個側(cè)面展開,是一個下長為,寬為的矩形,

,,過作,為垂足,所以,即可把放在一個直角邊為和的直角三角形中,根據(jù)勾股定理可得:.故答案為:.【變式1】(2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試)如圖在一根長11,外圓周長6的圓柱形柱體外表面,用一根細(xì)鐵絲纏繞,組成10個螺旋,如果鐵絲的兩端恰好落在圓柱的同一條母線上,則鐵絲長度的最小值為(

A.61 B. C. D.【答案】A【詳解】圓柱形柱體的高為11,外圓周長6,又鐵絲在柱體上纏繞10圈,且鐵絲的兩個端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端,則我們可以得到將圓柱面展開后得到的平面圖形如下圖示:其中每一個小矩形的寬為圓柱的周長6,高為圓柱的高11,則大矩形的對稱線即為鐵絲的長度最小值.此時鐵絲的長度最小值為:.故選:A.

【變式2】(2023·全國·高一專題練習(xí))邊長為5cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面,則從E點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面到相對頂點(diǎn)G的最短距離是(

)A.10cm B.5cmC.5cm D.cm【答案】D【詳解】圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示,

展開后,∴,即為所求最短距離.故選:D.【變式3】(2023·全國·高一專題練習(xí))如圖所示,圓柱高為2,底面半徑為1,則在圓柱側(cè)面上從A出發(fā)經(jīng)過母線到達(dá)的最短距離為.【答案】【詳解】把圓柱側(cè)面沿母線剪開攤平為一個矩形,如圖,,所求最短距離為.故答案為:.題型04圓錐的結(jié)構(gòu)特征【典例1】(2024上·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級中學(xué)校聯(lián)考期末)已知圓錐的底面半徑為4,其側(cè)面展開圖為一個四分之一圓,則該圓錐的母線長為(

)A.12 B.14 C.16 D.18【答案】C【詳解】設(shè)圓錐的母線長為,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長,則,解得.故選:C.【典例2】(2023·全國·高一專題練習(xí))圓錐的軸截面有多少個?母線有多少條?圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線嗎?【答案】答案見解析【詳解】如圖,因?yàn)樗羞^直線與圓錐所截的面,都是圓錐的軸截面,例如圖中面與面,所以圓錐的軸截面有無窮多個,因?yàn)閳A錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的連線稱為圓錐的母線,所以圓錐的母線有無窮多條,例如圖中等,故此,圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線.【變式1】(2023上·四川樂山·高二統(tǒng)考期末)如圖,直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn),所得的旋轉(zhuǎn)體為(

)A.圓錐 B.圓柱 C.圓臺 D.球【答案】A【詳解】由圓錐的定義可得直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn),所得的旋轉(zhuǎn)體為圓錐故選:A【變式2】(2023上·上?!じ叨n}練習(xí))已知圓錐的軸截面是正三角形,它的面積是,則圓錐的高為;母線的長為.【答案】2【詳解】設(shè)正三角形的邊長為,因?yàn)檩S截面的面積為,可得a2=,解得,由于圓錐的高即為圓錐的軸截面三角形的高,所以所求的高為,圓錐的母線即為圓錐的軸截面正三角形的邊,所以母線長為.故答案為:;;題型05圓錐截面有關(guān)計(jì)算【典例1】(2024·河南·模擬預(yù)測)已知圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為直角,半徑為2的扇形,則此圓錐內(nèi)切球的半徑為(

)A. B. C. D.【答案】D【詳解】側(cè)面展開圖扇形的弧長為,圓錐底邊的半徑r滿足,解得,所以該圓錐軸截面是一個兩腰長為2,底邊長為1的等腰三角形,底邊上的高為,設(shè)內(nèi)切球半徑為R,則,.故選:D.

【典例2】(2023·山西陽泉·陽泉市第一中學(xué)校??寄M預(yù)測)圓錐的母線長為4,側(cè)面積是底面積的倍,過圓錐的兩條母線作圓錐的截面,則該截面面積的最大值是(

)A.8 B. C. D.【答案】A【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r,母線為l,軸截面頂角為,則,得,所以,因?yàn)闉殇J角,所以,即,則θ為鈍角,所以當(dāng)圓錐兩條母線互相垂直時,截面面積最大,最大值為.故選:A.【典例3】(2023上·重慶·高二校聯(lián)考開學(xué)考試)已知圓錐的底面面積為,高,則該圓錐的母線長為【答案】11【詳解】

如圖,作出圓錐的軸截面,點(diǎn)為底面圓心.設(shè)圓錐的底面半徑為,母線為由已知可得,,解得,所以.又,所以,,解得,即.故答案為:11.【變式1】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知圓錐的母線長為2,其側(cè)面展開圖的中心角為,則過圓錐頂點(diǎn)的截面面積最大值為(

)A.1 B. C.2 D.【答案】C【詳解】設(shè)底面圓的半徑為,,解得,由圓錐母線長為2,可得圓錐軸截面的頂角為,當(dāng)截面頂角為時,過圓錐頂點(diǎn)的截面面積最大,此時.故選:C.【變式2】(2024·廣東惠州·統(tǒng)考一模)某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為,圓心角為的扇形,則該圓錐的軸截面的面積是.【答案】【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,母線長為,因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是面積為,圓心角為的扇形,所以,解得,因?yàn)?,所以,得,所以圓錐的高為,所以圓錐的軸截面的面積是,故答案為:【變式3】(2023上·全國·高三專題練習(xí))在半徑為的圓形廣場中央上空,設(shè)置一個照明光源,射向地面的光呈圓錐形,且其軸截面頂角為.若要光源恰好照亮整個廣場,則其高度應(yīng)為(精確到).【答案】【詳解】如下圖所示:在圓錐中,為圓的一條直徑,由題意可知,,,所以,,由,故.故答案為:.題型06圓錐展開圖及最短距離問題【典例1】(2023下·山東泰安·高一泰安一中??计谥校┠尘皡^(qū)為提升游客觀賞體驗(yàn),搭建一批圓錐形屋頂?shù)男∥荩ㄈ鐖D1).現(xiàn)測量其中一個屋頂,得到圓錐的底面直徑長為,母線長為(如圖2).若是母線的一個三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)S),從點(diǎn)A到點(diǎn)繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶,則燈光帶的最小長度為(

A. B. C. D.【答案】C【詳解】將圓錐側(cè)面沿母線展開,其側(cè)面展開圖為如圖所示的扇形,則的長度即為燈光帶的最小長度,

,,在中,,,,解得:,即燈光帶的最小長度為.故選:C.【典例2】(2024·全國·高三專題練習(xí))如圖,在水平地面上的圓錐形物體的母線長為12,底面圓的半徑等于4,一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā),繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)處,則小蟲爬行的最短路程為(

)A. B.16 C.24 D.【答案】A【詳解】如圖,設(shè)圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角為,則由題可得,則,在中,,則小蟲爬行的最短路程為.故選:A.【典例3】(2023·上海寶山·統(tǒng)考一模)如圖,在圓錐中,為底面圓的直徑,,點(diǎn)在底面圓周上,且.若為線段上的動點(diǎn),則的周長最小值為

【答案】【詳解】連接,依題意平面,而平面,所以,,是的中點(diǎn),則,由于,所以,則三角形是等邊三角形,三角形是等腰直角三角形,

將三角形和三角形展開在同一個平面,如下圖所示,

連接,交于,在三角形中,由余弦定理得,所以的周長最小值為.故答案為:【變式1】(2024·全國·高一假期作業(yè))如圖,圓錐的底面圓直徑AB為2,母線長SA為4,若小蟲P從點(diǎn)A開始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點(diǎn)C,則小蟲爬行的最短距離為(

)A. B. C. D.【答案】A【詳解】由題意,底面圓的直徑AB=2,故底面周長等于2π.設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°,根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得2π=,解得n=90,所以展開圖中∠PSC=90°,故PC=2,所以小蟲爬行的最短距離為2.故選:A【變式2】(2023上·廣東佛山·高三佛山一中??茧A段練習(xí))如圖,一個立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為2,一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā),繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處,若該小蟲爬行的最短路程為,則圓錐底面圓的半徑等于.【答案】【詳解】把圓錐側(cè)面沿母線展開成如圖所示的扇形,則為小蟲爬行的最短路徑.依題意:小蟲爬行的最短路程為.因?yàn)槟妇€長,所以在中.則由弧長公式得:.設(shè)圓錐底面圓的半徑為r.則,解得故答案為:【變式3】(2023上·上海浦東新·高二上海市進(jìn)才中學(xué)??计谥校┤鐖D是一座山的示意圖,山呈圓錐形,圓錐的底面半徑為10公里,母線長為40公里,母線一點(diǎn),且公里,為了發(fā)展旅游業(yè),要建設(shè)一條最短的從繞山一周到的觀光鐵路,則這段鐵路的長度為公里.

【答案】50【詳解】

如圖,將圓錐沿剪開,則圓錐的母線即扇形的半徑,圓錐底面圓的周長即扇形的弧長為,所以圓心角,即.又,,所以,.所以,這段鐵路的長度為公里.故答案為:50.題型07圓臺的結(jié)構(gòu)特征【典例1】(2023下·陜西榆林·高一??计谥校┫铝薪o出的圖形中,繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周,能形成圓臺的是(

)A.

B.

C.

D.

【答案】A【詳解】由圖可知,A選項(xiàng)中的直角梯形繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周,能形成圓臺,B選項(xiàng)中的半圓繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周,能形成球體,C選項(xiàng)中的矩形繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周,能形成圓柱,D選項(xiàng)中的直角三角形繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周,能形成圓錐.故選:A【典例2】(2023·上海金山·統(tǒng)考一模)設(shè)圓臺的上底面和下底面的半徑分別為和,母線長為,則該該圓臺的高為.【答案】【詳解】作出圓臺的軸截面,如圖示為等腰梯形,

梯形的高即為圓臺的高,即高為,故答案為:【變式1】(2023下·全國·高一隨堂練習(xí))如圖所示,用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐,截得圓臺上、下底面的面積之比為,截得圓臺的圓錐的母線長為,求圓臺的母線長.【答案】.【詳解】設(shè)圓臺的母線長為,由截得圓臺上、下底面的面積之比為,可設(shè)截得圓臺的上、下底面的半徑分別為,.過軸作截面,如圖所示.則,,所以,所以,解得,即圓臺的母線長為.【變式2】(2023·全國·高一隨堂練習(xí))—個圓臺的母線長為5,兩底面直徑分別為2和8,求圓臺的高.【答案】4.【詳解】圓臺的軸截面如圖所示,其中,,,為高,過點(diǎn)作于點(diǎn)H,則,在中,,,∴.故圓臺的高為4.

題型08圓臺展開圖【典例1】(2023下·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末)如圖,圓臺的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為,其中,則該圓臺的高為(

A.1 B. C. D.4【答案】C【詳解】因?yàn)閳A臺的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為,所以在圓錐中有:,所以,又在圓錐中有:,所以,所以該圓臺的高為:,故選:C.【典例2】(2023·江蘇·高一專題練習(xí))如圖所示,圓臺的上底面半徑為2,下底面半徑為4,母線長為6.求軸截面相對頂點(diǎn)A、C在圓臺側(cè)面上的最短距離.【答案】.【詳解】如圖所示:沿母線剪開將圓臺側(cè)面展開,問題轉(zhuǎn)化為求展開圖中線段的長.設(shè)圓臺的上底面、下底面半徑分別為、,因?yàn)閭?cè)面展開圖圓心角,,且B、C分別為所在弧的中點(diǎn),所以在等腰三角形中,,則是等邊三角形,因?yàn)椋?,而,C為的中點(diǎn),所以,即A、C兩點(diǎn)在圓臺側(cè)面上的最短距離為.【變式1】(2023下·全國·高一專題練習(xí))如圖所示,圓臺母線長為,上、下底面半徑分別為和,從母線的中點(diǎn)M拉條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到B點(diǎn),求這條繩長的最小值.【答案】.【詳解】作出圓臺的側(cè)面展開圖,如圖所示,由軸截面中與相似,得,可求得.設(shè),由于的長與底面圓Q的周長相等,而底面圓Q的周長為,扇形的半徑為,扇形所在圓的周長為.所以的長度為所在圓周長的,所以.所以在中,,所以,即所求繩長的最小值為.【變式2】(2023下·高一課時練習(xí))如圖,圓臺上、下底面半徑分別為,,母線長為,從母線AB的中點(diǎn)拉一條細(xì)繩,圍繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)至下底面的點(diǎn),求BM間細(xì)繩的最短長度.

【答案】【詳解】如圖所示:圓臺的展開圖,設(shè),,為最短距離,

則,,解得,,故.故BM間細(xì)繩的最短長度為.題型09球的結(jié)構(gòu)特征【典例1】(2023上·四川樂山·高二統(tǒng)考期末)一個幾何體,它的軸截面一定是圓面,則這個幾何體是(

)A.圓柱 B.圓錐 C.圓臺 D.球【答案】D【詳解】對于A:圓柱的軸截面是矩形,故A不符合題意;對于B:由于圓錐的軸截面是一個等腰三角形,故B不符合題意;對于C,圓臺軸截面是等腰梯形,故C不符合題意;對于D:用任意的平面去截球,得到的截面均為圓,故D符合題意.故選:D.【典例2】(2023下·四川成都·高一樹德中學(xué)??茧A段練習(xí))半徑為1的球放在教室的墻角,緊靠兩墻面和地面,墻角頂點(diǎn)到球面上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是(

)A.2 B. C. D.【答案】D【詳解】設(shè)球心到墻角的距離為,球心半徑為,則,則距離為棱長為1的正方體的對角線長,即,則墻角頂點(diǎn)到球面上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離等于.故選:D.【變式1】(2023下·山東棗莊·高一??茧A段練習(xí))下列幾何體是旋轉(zhuǎn)體的是(

)A.五棱柱 B.六棱錐 C.八棱臺 D.球【答案】D【詳解】根據(jù)一個平面圖形繞著它的一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體,判斷球是旋轉(zhuǎn)體;一個幾何體圍成它的各個面都是多邊形,這個幾何體是多面體,由此判斷五棱柱、六棱柱、八棱臺都是多面體.故選:D【變式2】(2024上·全國·高三專題練習(xí))東方明珠廣播電視塔是上海的標(biāo)志性文化景觀之一,塔高約468米,上球體的直徑為45米,且上球體的球心O到塔底的距離與塔高的比值為黃金分割比(約為0.618).若P為上球體球面上一點(diǎn),且與地平面(塔頂與O的連線垂直地平面)所成的角為,P在上球體的上半部分,則P到地平面的距離約為(

)A.297米 B.300米 C.303米 D.306米【答案】B【詳解】∵上球體的球心O到塔底的距離米,∴P到地平面的距離為米.題型10球的截面性質(zhì)及計(jì)算【典例1】(2024上·安徽合肥·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考期末)已知某圓臺的上底面圓心為,半徑為,下底面圓心為,半徑為,高為,若該圓臺的外接球球心為,且,則(

)A. B. C. D.【答案】B【詳解】由圓臺的上底面圓心為,半徑為,下底面圓心為,半徑為,高為,如圖所示,因?yàn)?,所以,所以,解得,所?故選:B.【典例2】(2023下·上海楊浦·高二統(tǒng)考期末)如圖,已知球的半徑為5,球心到平面的距離為3,則平面截球所得的小圓的半徑長是(

A.2 B.3 C. D.4【答案】D【詳解】如圖所示,為球面上一點(diǎn),則,球心到平面的距離為3,即,且,則小圓的半徑長即為,在中,由勾股定理可得,解得.故選:D【典例3】(2024·全國·高三專題練習(xí))毛澤東在《七律二首?送瘟神》中有句詩為“坐地日行八萬里,巡天遙看一千河.”前半句的意思是:人坐在地面上不動,由于地球的自轉(zhuǎn),每晝夜會隨著地面經(jīng)過八萬里路程.詩中所提到的八萬里,指的是人坐在赤道附近所得到的數(shù)據(jù).設(shè)某地所在緯度為北緯(即地球球心和該地的連線與赤道平面所成的角為),且.若將地球近似看作球體,則某人在該地每晝夜隨著地球自轉(zhuǎn)而經(jīng)過的路程約為萬里.【答案】6【詳解】由題意可知,赤道周長為萬里,則地球半徑萬里.

設(shè)某地隨著地球自轉(zhuǎn),所形成圓的半徑為,則萬里,則該圓的周長萬里.故答案為:6.【變式1】(2023上·北京·高二清華附中??计谥校┮阎矫媾c平面間的距離為3,定點(diǎn),設(shè)集合,則S表示的曲線的長度為(

)A. B. C. D.【答案】B【詳解】在空間中,集合表示以點(diǎn)A為球心,半徑的球面,記表示平面,可知,所以S表示的曲線球A與平面所截得的圓周,設(shè)其圓心為,半徑為,

可知,則,所以S表示的曲線的長度為.故選:B.【變式2】(2023下·北京東城·高一北京二中??茧A段練習(xí))經(jīng)緯度是經(jīng)度與緯度的合稱,它們組成一個坐標(biāo)系統(tǒng),稱為地理坐標(biāo)系統(tǒng),它是利用三維空間的球面來定義地球上的空間的球面坐標(biāo)系.能夠標(biāo)示地球上任何一個位置,其中緯度是地球重力方向上的鉛垂線與赤道平面所成的線面角.如世界最高峰珠穆朗瑪峰就處在北緯30°,若將地球看成近似球體,其半徑約為,則北緯30°緯線的長為(

)A. B. C. D.【答案】A【詳解】按照緯線的垂直方向,作圖如下,為所求緯線圈的直徑,過圓心作的垂線,垂足為,連接,在直角三角形中,,則北緯緯線的長為.故選:A.

【變式3】(2023上·上海·高二專題練習(xí))已知球的半徑為10,若它的一個截面圓的面積為,求球心與截面圓圓心的距離().【答案】8【詳解】

如圖,設(shè)截面圓的半徑為r,球心與截面圓圓心之間的距離為d,球半徑為R.由圖易得與圓面垂直,在中,由可得,又,所以(),即球心與截面圓圓心的距離為8.題型11球面距【典例1】(2023下·高一課時練習(xí))如圖,設(shè)地球的半徑為,在北緯圈上有兩個點(diǎn)、.在西經(jīng),在東經(jīng),則、兩點(diǎn)間的球面距離為(

A. B. C. D.【答案】A【詳解】如圖示:取球心為,取北緯緯線圈的圓心為,則⊥平面,則,,所以,因?yàn)樵诒本暼ι嫌袃蓚€點(diǎn)、,在西經(jīng),在東經(jīng),所以,在中,,所以為等邊三角形,則,所以、兩點(diǎn)的球面距離為.故選:A【典例2】(2023·全國·高三專題練習(xí))已知A,B,C三點(diǎn)在球心為O,半徑為R的球面上,,且,那么A,B兩點(diǎn)的球面距離為,球心到平面的距離為.【答案】【詳解】解:如圖所示:因?yàn)?,所以是截面的直徑,又,所以是等邊三角形所以,故兩點(diǎn)的球面距離為于是,所以球心到平面的距離:故答案為:;【變式1】(2023·全國·高一專題練習(xí))球面上兩點(diǎn)之間的最短連線的長度,就是經(jīng)過這兩個點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度(大圓就是經(jīng)過球心的平面截球面所得的圓),我們把這個弧長叫做兩點(diǎn)的球面距離.已知正的頂點(diǎn)都在半徑為的球面上,球心到所在平面距離為,則、兩點(diǎn)間的球面距離為(

)A. B. C. D.【答案】C【詳解】設(shè)球心為點(diǎn),平面截球所得截面圓的半徑為,由正弦定理可得,,又,所以,為等邊三角形,則,因此,、兩點(diǎn)間的球面距離為.故選:C.【變式2】(2023·上海浦東新·校考一模)在的二面角內(nèi)放置一個半徑為6的小球,它與二面角的兩個半平面相切于、兩點(diǎn),則這兩個點(diǎn)在球面上的距離是【答案】【詳解】設(shè)球心為O,由球的性質(zhì)知,OA,OB分別垂直于二面角的兩個面,又二面角的平面角為120°,故∠AOB=60°,∵半徑為6的球切兩半平面于A,B兩點(diǎn)∴兩切點(diǎn)在球面上的距離是6×=2π.故答案為2π.題型12簡單組合體【典例1】(2024·全國·高一假期作業(yè))如圖所示的幾何體是數(shù)學(xué)奧林匹克能賽的獎杯,該幾何體由(

)A.一個球、一個四棱柱、一個圓臺構(gòu)成B.一個球、一個長方體、一個棱臺構(gòu)成C.一個球、一個四棱臺、一個圓臺構(gòu)成D.一個球、一個五棱柱、一個校臺構(gòu)成【答案】B【詳解】由圖可知,該幾何體是由一個球、一個長方體、一個棱臺構(gòu)成.故選:B.【典例2】(2024·全國·高一假期作業(yè))若正五邊形的中心為,以所在的直線為軸,其余五邊旋轉(zhuǎn)半周形成的面圍成一個幾何體,則(

)A.該幾何體為圓臺B.該幾何體是由圓臺和圓錐組合而成的簡單組合體C.該幾何體為圓柱D.該幾何體是由圓柱和圓錐組合而成的簡單組合體【答案】B【詳解】由題意可知形成如圖的幾何體,

該幾何體是由圓臺和圓錐組合而成的簡單組合體.故選:B【典例3】(2024上·貴州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試)已知“水滴”的表面是一個由圓錐的側(cè)面和部分球面(常稱為“球冠”)所圍成的幾何體.如圖所示,將“水滴”的軸截面看成由線段AB,AC和優(yōu)弧BC所圍成的平面圖形,其中點(diǎn)B,C所在直線與水平面平行,AB和AC與圓弧相切.已知“水滴”的“豎直高度”與“水平寬度”(“水平寬度”指的是平行于水平面的直線截軸截面所得線段的長度的最大值)的比值為,則(

)A. B. C. D.【答案】D【詳解】設(shè)優(yōu)弧BC所在圓的圓心為O,半徑為R,連接OA,OB,OC,如圖所示.易知“水滴”的“豎直高度”為,“水平寬度”為2R,由題意知,解得.因?yàn)锳B與圓弧相切于點(diǎn)B,所以.在Rt△ABO中,,又,所以.由對稱性知,,則,所以.故選:D.【變式1】(2024·全國·高一假期作業(yè))如圖所示的簡單組合體的組成是(

)A.棱柱、棱臺 B.棱柱、棱錐C.棱錐、棱臺 D.棱柱、棱柱【答案】B【詳解】由圖知,簡單組合體是由棱錐、棱柱組合而成.故選:B.【變式2】(2024上·河南漯河·高三漯河高中校考階段練習(xí))設(shè)為多面體的一個頂點(diǎn),定義多面體在處的離散曲率為其中,為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn),且平面,,…,,遍歷多面體的所有以為公共點(diǎn)的面,如圖是正四面體、正八面體、正十二面體和正二十面體(每個面都是全等的正多邊形的多面體是正多面體),若它們在各頂點(diǎn)處的離散曲率分別是a,b,c,d,則a,b,c,d的大小關(guān)系是(

)A. B.C. D.【答案】B【詳解】對于正四面體,其離散曲率;對于正八面體,其離散曲率;對于正十二面體,其離散曲率;對于正二十面體,其離散曲率;因?yàn)?,所以,故選:B.【變式3】(2024·全國·高一假期作業(yè))如圖所示的幾何體,關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征,下列說法不正確的是.①該幾何體是由兩個同底的四棱錐組成的幾何體;②該幾何體有12條棱、6個頂點(diǎn);③該幾何體有8個面,并且各面均為三角形;④該幾何體有9個面,其中一個面是四邊形,其余均為三角形.【答案】④【詳解】平面ABCD可將該幾何體分割成兩個四棱錐,因此該幾何體是這兩個四棱錐的組合體,因而四邊形ABCD是它的一個截面,而不是一個面.故答案為:④.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1.(2023·高三課時練習(xí))如圖,圓柱的高為2,底面周長為16,四邊形ACDE為該圓柱的軸截面,點(diǎn)B為半圓弧CD的中點(diǎn),則在此圓柱的側(cè)面上,從A到B的路徑中,最短路徑的長度為(

).A. B. C.3 D.2【答案】B【詳解】解:圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示,由題得,所以.所以在此圓柱的側(cè)面上,從A到B的路徑中,最短路徑的長度為.故選:B2.(2023上·湖北·高二宜昌市一中校聯(lián)考階段練習(xí))已知圓錐側(cè)面展開圖是一個半圓,其母線長度為2,則底面半徑為(

)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【詳解】設(shè)圓的半徑為,則底面圓的周長為.由題意得:弧長度為.根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的特點(diǎn),可得:,解得.故選:A.3.(2023下·天津西青·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)??计谥校┫铝姓f法正確的是(

)A.有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體叫做棱錐B.用一個平面去截棱錐,底面和截面之間的部分叫做棱臺C.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形D.直角三角形繞一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐【答案】C【詳解】對于A,有一個面是多邊形,其余各面是有公共頂點(diǎn)的三角形構(gòu)成的幾何體是棱錐,所以選項(xiàng)A錯誤;對于B,用平行于底面的平面去截棱錐,底面和截面之間的部分叫做棱臺,所以選項(xiàng)B錯誤;對于C,根據(jù)棱柱的定義知,棱柱的側(cè)面都是平行四邊形,選項(xiàng)C正確;對于D,直角三角形繞一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐,所以選項(xiàng)D錯誤.故選:C.4.(2023上·上海奉賢·高二校聯(lián)考期中)下列命題正確的是(

)A.以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B.以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺C.圓柱、圓錐、圓臺都有兩個底面D.圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,這個扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑【答案】A【詳解】對于A,根據(jù)圓錐的特點(diǎn),以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐,故A正確;對于B,以直角梯形的直角腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺,故B錯誤;對于C,圓柱、圓臺都有兩個底面,而圓錐只有一個底面,故C錯誤;對于D,圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,此扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長,故D錯誤.故選:A.5.(2023下·甘肅酒泉·高二??计谀┮韵抡f法正確的是(

)A.半圓弧以其直徑所在的的直線為軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫球;B.球的大圓的半徑等于球的半徑;C.球面和球是同一個概念;D.經(jīng)過球面上不同的兩點(diǎn)只能做一個最大的圓.【答案】B【詳解】對于A,半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫球面,而球面圍成的幾何體叫球,所以A錯誤,對于B,球的大圓的半徑等于球的半徑,所以B正確,對于C,因?yàn)榘雸A繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫球面,而球面圍成的幾何體叫球,所以球面和球是不同的概念,所以C錯誤,對于D,如果球面上的兩點(diǎn)是球的直徑的兩個端點(diǎn),則可以作無數(shù)個大圓,所以D錯誤,故選:B6.(2023·高一課前預(yù)習(xí))如圖是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的(

A.

B.

C.

D.

【答案】D【詳解】A中圖形旋轉(zhuǎn)得到兩個圓錐與一個圓柱,不合題意;B中圖形旋轉(zhuǎn)得到兩個相同底面的圓錐,不合題意;C中圖形旋轉(zhuǎn)得到相同底面的圓柱與圓錐,不合題意;D中圖形旋轉(zhuǎn)得到一個圓臺與一個圓錐,合題意.故選:D.7.(2023·全國·高一專題練習(xí))如圖所示的螺母可以看成一個組合體,對其結(jié)構(gòu)特征最接近的表述是(

)A.一個六棱柱中挖去一個棱柱 B.一個六棱柱中挖去一個棱錐C.一個六棱柱中挖去一個圓柱 D.一個六棱柱中挖去一個圓臺【答案】C【詳解】螺母這個組合體的外部輪廓圖是六棱柱,由于螺母是旋擰在螺桿上的,則挖去的部分是圓柱,選項(xiàng)C表述準(zhǔn)確.故選:C8.(2023·全國·高一專題練習(xí))如圖,圓柱的軸截面ABCD是一個邊長為4的正方形.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)繞圓柱表面爬到BC的中點(diǎn)E,則螞蟻爬行的最短距離為(

)A. B. C. D.【答案】C【詳解】將圓柱側(cè)面展開半周,則展開矩形長為,,.故選:C.9.(2023上·遼寧沈陽·高二沈陽市第一二〇中學(xué)校考階段練習(xí))古希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里德在《幾何原本》一書中定義了圓錐與直角圓錐這兩個概念:固定直角三角形的一條直角邊,旋轉(zhuǎn)直角三角形到開始位置,所形成的圖形稱為圓錐;如果固定的直角邊等于另一直角邊時,所形成的圓錐稱為直角圓錐,則直角圓錐的側(cè)面展開圖(為一扇形)的圓心角的大小為(

)A. B.C. D.與直角圓錐的母線長有關(guān)【答案】B【詳解】

設(shè)直角圓錐底面半徑,直角圓錐母線,直角圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大小為,由直角圓錐的定義可得,,則,由可得,.故選:B10.(2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測)毛澤東在《七律二首?送瘟神》中有句詩為“坐地日行八萬里,巡天遙看一千河.”前半句的意思是:人坐在地面上不動,由于地球的自轉(zhuǎn),每晝夜會隨著地面經(jīng)過八萬里路程.詩中所提到的八萬里,指的是人坐在赤道附近所得到的數(shù)據(jù).設(shè)某地所在緯度為北緯(即地球球心和該地的連線與赤道平面所成的角為),且.若將地球近似看作球體,則某人在該地每晝夜隨著地球自轉(zhuǎn)而經(jīng)過的路程約為(

)A.萬里 B.萬里 C.萬里 D.萬里【答案】A【詳解】由題意可知,赤道周長為萬里,則地球半徑萬里.設(shè)某地隨著地球自轉(zhuǎn),所形成圓的半徑為,則萬里,則該圓的周長萬里.故選:A.二、多選題11.(2023下·廣東深圳·高一深圳市建文外國語學(xué)校校考期中)用一張長為8,寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面,則相應(yīng)圓柱的底面半徑可能是A. B. C. D.【答案】AD【詳解】設(shè)底面半徑為,若矩形的長恰好為圓柱的底面周長,則,所以;同理,若矩形的寬恰好為圓柱的底面周長,則,所以.故圓柱的底面半徑為或.故選:AD.12.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知圓錐底面半徑為,母線長為2,則(

)A.圓錐側(cè)面積為B.圓錐的側(cè)面展開圖中,扇形的圓心角為C.圓錐的體積為D.過頂點(diǎn)的截面三角形的面積最大值為【答案】AB【詳解】由題意可知,該圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為,弧長為,所以圓錐側(cè)面積為,故A正確;設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖中,扇形的圓心角為,又因?yàn)樯刃蔚拿娣e為,所以,故B正確;如圖所示,圓錐的高為,圓錐的體積為,故C錯誤;如圖,在中,,所以,所以軸截面三角形中,,設(shè)過過頂點(diǎn)的截面三角形,其中,如下圖所示:過頂點(diǎn)的截面三角形的面積為,當(dāng)時,過頂點(diǎn)的截面三角形的面積最大值為,故D錯誤.故選:AB.三、填空題13.(2023上·上海浦東新·高二??计谥校┤魣A錐的側(cè)面展開圖是半徑為,面積為的扇形,則由它的兩條母線所確定的該圓錐的截面面積的最大值為.【答案】【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,圓錐軸截面的頂角為,則,解得,由余弦定理可得,則為鈍角,故當(dāng)兩條母線垂直時,圓錐的截面面積取得最大值,且最大值為.故答案為:.14.(2023下·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中)已知圓柱體的底面半徑為,高為,一只蝸牛從圓柱體底部開始爬行,繞圓柱體4圈到達(dá)頂部,則蝸牛爬行的最短路徑長為.【答案】【詳解】根據(jù)題意,從圓柱底部點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面旋轉(zhuǎn)4圈到達(dá)頂部的點(diǎn),沿將側(cè)面展開后,最短路程,如圖所示,其中矩形的高等于圓柱的高,矩形的寬等于圓柱的底面圓的周長的4倍,即,所以蝸牛爬行的最短路徑為.故答案為:.15.(2023上·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)

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