西南大學2018初等數(shù)論第2－4次作業(yè)答案

PAGEPAGE3計算題答案1.求45與60的最大公因數(shù)。解：因為，，所以45與60的最大公因數(shù)是，即15。2.求不定方程3x-8y=1的一切整數(shù)解。解：因為(3,8)=1，所以不定方程有整數(shù)解。顯然x=3，y=1是其一個特解，所以不定方程的一切整數(shù)解為x=3+8ty3.求60與28的最大公因數(shù)。解：因為，所有60與28的最大公因數(shù)是22，即4。4.解同余式3x2(mod5)。解：因為（3，2）=1，所以同余式有解，且有一個解。將0，1，2，3，4直接代入檢查知，4滿足同余式，所以同余式的解為x4(mod5)。5．求不定方程7x+2y=1的一切整數(shù)解。解：因為（7,2）=1,1|1，所以不定方程有解。觀察知其一個整數(shù)解是。于是其一切整數(shù)解為，t取一切整數(shù)。6．解同余式3x1(mod7)。解：因為（3,7）=1，所以同余式有解且有一個解。由3x-7y=1得，所以同余式的解為7．解同余式28x21(mod35)。解：因為（28，35）=7，而7|21，所以同余式28x21(mod35)有解，且有7個解。同余式28x21(mod35)等價于4x3(mod5)，解4x3(mod5)得x2(mod5)，故同余式28x21(mod35)的7個解為x2，7，12，17，22，27，32(mod35)。8．解同余式組：。解：由得，將其代入得，解得，即，所以，所以解為。9.求不定方程3x+2y=2的一切整數(shù)解。解：因為(3,2)=1，所以不定方程有整數(shù)解。顯然是其一個特解，所以不定方程的一切整數(shù)解為x=2ty10.解同余式。解：因為(4,5)=1，所以同余式有解，且只有1個解。將0,1,2,3,4代入檢查知4滿足，所以同余式的解為。

填空題1．9除28的商是3余1。2．11除23的余數(shù)是1。3．6的正因數(shù)是1、2、3、6。4．{4.5}=0.5。5．[8.3]+[-8.3]=17。6．30的最小質(zhì)因數(shù)是5。7．在所有質(zhì)數(shù)中，是偶數(shù)的是2。8．在所有質(zhì)數(shù)中，最小的奇質(zhì)數(shù)是3。9．大于4小于16的素數(shù)有_5、7、11、13___。10．不定方程有整數(shù)解的充分必要條件是(a,b)|c。11．模5的最小非負完全剩余系是0、1、2、3、4。12．模4的絕對最小完全剩余系是﹣2、﹣1、0、1或﹣1、0、1、2。13．的個位數(shù)是5。14．77的個位數(shù)是__3____。15．316的十進位表示中的個位數(shù)字是1。16．66的個位數(shù)是6。17．710被11除的余數(shù)是1。18．（1516，600）=4。19．6的所有正因數(shù)的和是12_。20．24與60的最大公因數(shù)是12。21．35的最小質(zhì)因數(shù)是5。22．46的個位數(shù)是6。23．8的所有正因數(shù)的和是15_。24．18的標準分解式為18=2×3^2。25．20的歐拉函數(shù)值=20。

證明題答案1.設(shè)m,n為整數(shù)，證明m+n,m-n與mn中一定有一個是3的倍數(shù)。證明：若m或n為3的倍數(shù)，則mn是3的倍數(shù)；若m是3的倍數(shù)加1，n是3的倍數(shù)加1，則m-n是3的倍數(shù)；若m是3的倍數(shù)加1，n是3的倍數(shù)加2，則m+n是3的倍數(shù)；若m是3的倍數(shù)加2，n是3的倍數(shù)加1，則m+n是3的倍數(shù)；若m是3的倍數(shù)加2，n是3的倍數(shù)加2，則m-n是3的倍數(shù)，結(jié)論成立。2.設(shè)n是整數(shù)，證明6|n(n+1)(2n+1)。證明：因為n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n–1)+n(n+1)(n+2)，而三個連續(xù)整數(shù)的積可被6整除，所以6|n(n+1)(2n+1)。3．設(shè)n是整數(shù)，證明：。證明：。由于是3個連續(xù)整數(shù)的積，所以。由于是2個連續(xù)整數(shù)的積，所以。又（2,3）=1，所以。4．證明：若，則。證明：因為3-3=0，而，所以。由，及同余