2022-2023學(xué)年度東湖高新區(qū)八年級(jí)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

第第頁(yè)湖北省武漢市東湖高新區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若代數(shù)式有意義，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．下列二次根式中是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．3．下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．4．下列條件中，不能判斷為直角三角形的是（

）A．，， B．C． D．5．下列命題的逆命題是真命題的是（

）A．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 B．若，則C．兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 D．若兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，則它們的絕對(duì)值相等6．在下列給出的條件中，能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AB＝BC，CD＝DA B．ABCD，AD＝BCC．ABCD，∠A＝∠C D．∠A＝∠B，∠C＝∠D7．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系．“折竹抵地”問(wèn)題源自《九章算術(shù)》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，問(wèn)折高者幾何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈尺）一陣風(fēng)將竹子折斷，某竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部5尺遠(yuǎn)，則折斷處離地面的高度是（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺8．如圖，在菱形中，，對(duì)角線，若過(guò)點(diǎn)C作，垂足為E，則的長(zhǎng)為（

）A． B．7 C．14 D．9．如圖，陰影部分表示以的各邊為直徑的三個(gè)半圓所組成的兩個(gè)新月形，面積分別記作和．若，，則的周長(zhǎng)是（

）A．26 B．43 C．30 D．2810．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊與坐標(biāo)軸重合，，．將矩形ABCO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．二、填空題11．計(jì)算的結(jié)果是．12．小明從A地向正東方向走后，就向正北方向走了到達(dá)B處，則兩地相距．13．的對(duì)角線相交于點(diǎn)E，且F為的中點(diǎn)，則．14．在探索數(shù)學(xué)名題“尺規(guī)三等分角”的過(guò)程中，有下面的問(wèn)題：如圖，是平行四邊形的對(duì)角線，點(diǎn)在上，，，則的大小是．15．在矩形中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，且，，交于F，下列結(jié)論：①平分；②；③；④，其中正確的是．16．如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，將沿射線的方向平移，得到，連接，，，則的最小值為．三、解答題17．計(jì)算：(1)；(2)．18．如圖，將平行四邊形的對(duì)角線向兩個(gè)方向延長(zhǎng)，分別至點(diǎn)E和點(diǎn)F，且使．求證：四邊形是平行四邊形．19．已知x＝+2，y＝﹣2，求下列各式的值：（1）x2+2xy+y2；

（2）x2﹣y2．20．如圖，在四邊形中，，，對(duì)角線交于點(diǎn)O，平分，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．(1)求證：垂直平分；(2)若，，求的長(zhǎng)．21．在85的網(wǎng)格中建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列步驟完成畫圖，并回答問(wèn)題：(1)四邊形是．（請(qǐng)從中選擇：平行四邊形，矩形，菱形）(2)線段，且，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出對(duì)應(yīng)線段；(3)在線段上畫點(diǎn)E，使（保留畫圖過(guò)程的痕跡）；(4)連接，畫點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)F．22．某海域有一小島P，在以P為圓心，半徑r為海里的圓形海域內(nèi)有暗礁，一海監(jiān)船自西向東航行，它在A處測(cè)得小島P位于北偏東的方向上，當(dāng)海監(jiān)船行駛海里后到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)小島P位于B處北偏東方向上．(1)若過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)C，則；(2)求A，P兩點(diǎn)之間的距離；(3)若海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行是否有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．如果有觸礁危險(xiǎn)，那么海監(jiān)船由B處開始沿南偏東至多多少度的方向航行能安全通過(guò)這一海域？請(qǐng)直接寫出海監(jiān)船由B處開始沿南偏東至多的方向航行能安全通過(guò)這一海域．23．（1）如圖1，在中，，，垂足分別為E、F，求證：；探究：（2）如圖2，在中，AC、BD是兩條對(duì)角線，則，請(qǐng)?zhí)骄窟@個(gè)結(jié)論的正確性；遷移：（3）如圖3，AD是的中線，若，，，直接寫出邊長(zhǎng)．24．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)O，A，C的坐標(biāo)分別為，，，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線方向移動(dòng)，作關(guān)于直線的對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)時(shí)．①矩形的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是；②如圖2．當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，顯然是直角三角形，求此時(shí)的坐標(biāo)；(2)若直線與直線相交于點(diǎn)M，且時(shí)，．問(wèn)：當(dāng)時(shí)，的大小是否發(fā)生變化，若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：1．C【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵代數(shù)式有意義，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐一判斷即可．【詳解】解：A、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；B、，被開方數(shù)中含有分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；C、，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；D、，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的概念，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．3．D【分析】根據(jù)二次根式的四則運(yùn)算法則求解判斷即可．【詳解】解：A、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B、與不是同類二次根式，不能合并，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D、，原式計(jì)算正確，符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的四則運(yùn)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】用勾股定理的逆定理，即可判斷A、B；根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可判斷C、D．【詳解】解：A、∵，∴是直角三角形，不符合題意；B、設(shè)，∵，∴不是直角三角形，符合題意；C、∵，，∴，解得：，∴是直角三角形，不符合題意；D、設(shè)，則，解得：，∴，∴是直角三角形，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形那是直角三角形，以及三角形的內(nèi)角和為．5．C【分析】分別寫出各個(gè)命題的逆命題，再依次判斷真假即可．【詳解】解：A的逆命題為：對(duì)應(yīng)角相等的三角形全等，是假命題，故A不符合題意；B的逆命題為：若，則，∵，∴，∴該命題的逆命題為假命題，不符合題意；C的逆命題為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行，是真命題，符合題意；D的逆命題為：若兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，則它們相等；若兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，則它們相等或互為相反數(shù)，故該命題的逆命題為假命題，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了逆命題，判斷命題真假，解題的關(guān)鍵是掌握逆命題的定義和各個(gè)命題的具體內(nèi)容．6．C【分析】根據(jù)平行四邊形的判定進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，根據(jù)平行四邊形的判定A、根據(jù)AB＝BC，CD＝DA不能推出四邊形ABCD是平行四邊形，故A項(xiàng)錯(cuò)誤B、根據(jù)ABCD，AD＝BC不能推出四邊形ABCD是平行四邊形，故B項(xiàng)錯(cuò)誤D、∵∠A=∠B，∠C=∠D且∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，但不能推出其他條件，也不能推出四邊形ABCD是平行四邊形，故D項(xiàng)錯(cuò)誤C、∵AB//CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A=∠C，∴∠C+∠D＝180°，∴AB//CD，∴可以推出四邊形ABCD是平行四邊形，故C項(xiàng)正確故選：C．【點(diǎn)睛】平行四邊形的定義和判定定理．7．D【分析】根據(jù)題意可設(shè)折斷處離地面的高度是x尺，折斷處離竹梢是尺，結(jié)合勾股定理即可得出折斷處離地面的高度．【詳解】解：設(shè)折斷處離地面的高度是x尺，折斷處離竹梢是尺，由勾股定理可得：即：，解得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理．8．A【分析】連接交于O，，由菱形的性質(zhì)得出，由勾股定理求出，得出，再由菱形面積的兩種計(jì)算方法，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：連接交于O，如圖所示：∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴，∵，∴菱形的面積，即，解得：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、菱形面積的計(jì)算方法；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由菱形面積的兩種計(jì)算方法得出結(jié)果是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．C【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)扇形面積公式和完全平方公式計(jì)算出即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∵，∴，∴∴，∴，∴或（舍去），∴的周長(zhǎng)是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式的變形求值，熟練掌握如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么是解題的關(guān)鍵．10．D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，找到點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律即可．【詳解】解：∵，，∴將矩形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖可知：，，，，…，則：每旋轉(zhuǎn)4次則回到原位置，∵，即：第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，完成了505次循環(huán)，又旋轉(zhuǎn)了3次，∴的坐標(biāo)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，熟練根據(jù)旋轉(zhuǎn)的知識(shí)確定旋轉(zhuǎn)后的位置是解題的關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)，掌握二次根式的化簡(jiǎn)方法是解題的關(guān)鍵．12．【分析】設(shè)小明從A地向正東方向走后到達(dá)C地，然后畫出圖形利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)小明從A地向正東方向走后到達(dá)C地，∴如圖所示，在中，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．13．2【分析】只需要證明為的中位線，即可得到．【詳解】解：∵平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)E，∴點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∵F為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，熟知三角形中位數(shù)平行于第三邊且等于第三邊長(zhǎng)的一半是解題的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，而由三角形外角的性質(zhì)得到∠ACB＝2∠CAB，最后由三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°=75°，∴∠BAC＝25°，故答案為：25°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，運(yùn)用平行四邊形結(jié)合已知條件判定等腰三角形是解答本題的關(guān)鍵．15．①②③④．【分析】如圖所示，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于H，證明得到，再證明得到即可判斷①；如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于N，交延長(zhǎng)線于M，則四邊形是矩形，證明，得到，可證四邊形是正方形，得到，即可判斷②；設(shè)，則，則，求出，；利用勾股定理求出，，即可判斷③；先求出，進(jìn)而證明，得到，則，即可判斷④．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于H，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴平分，故①正確；如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于N，交延長(zhǎng)線于M，則四邊形是矩形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴四邊形是正方形，∴，故②正確；設(shè)，則，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴；∵，，∴，∴，故③正確；∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故④正確；故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．16．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，，推出四邊形是平行四邊形，得到，于是得到的最小值的最小值，根據(jù)平移的性質(zhì)得到點(diǎn)E在過(guò)點(diǎn)A且平行于的定直線上，作點(diǎn)D關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn)M，連接交定直線于E，通過(guò)證明得到，即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接交于點(diǎn)O，∵四邊形為菱形，∴，∵，∴，根據(jù)勾股定理可得，∴，整理得：，∵，∴，則為等邊三角形那個(gè)，∴，∵在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，∴，，∵將沿射線的方向平移得到∴，，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴的最小值的最小值，∵點(diǎn)E在過(guò)點(diǎn)A且平行于的定直線上，∴作點(diǎn)D關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn)M，連接交定直線于E，則的長(zhǎng)度即為的最小值，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：，∵，∴，∵，，∴，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱——最短路線問(wèn)題，菱形的性質(zhì)，勾股定理，平移的性質(zhì)，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵．17．(1)0(2)【分析】（1）先將二次根式化為最簡(jiǎn)，然后合并同類項(xiàng)即可；（2）先將二次根式化為最簡(jiǎn)，然后進(jìn)行乘除運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減乘除運(yùn)算．解題的關(guān)鍵在于正確的化簡(jiǎn)計(jì)算．18．見解析【分析】由四邊形是平行四邊形易知，，再證得，即可得出結(jié)論．【詳解】解：證明：連接，設(shè)與交于點(diǎn)．如圖所示：四邊形是平行四邊形，，，又，．四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，解題時(shí)要注意選擇適宜的判定方法．19．（1）12；（2）．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)平方差公式計(jì)算即可．【詳解】（1）原式＝（x+y）2＝（+2+﹣2）2＝12；（2）原式＝（x+y）（x﹣y）＝（+2+﹣2）（+2﹣+2）＝2×4＝．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式和平方差公式的運(yùn)用，熟記兩公式是解答此題的關(guān)鍵．20．(1)證明見解析(2)2【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明，得到，進(jìn)而證明四邊形是菱形，即可證明垂直平分；（2）設(shè)，則，由菱形的性質(zhì)可得，，在中，由勾股定理建立方程，解方程求出，再由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可得到．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，∴垂直平分；（2）解：設(shè)，則，∵四邊形是菱形，∴，，在中，由勾股定理得，∴，解得或（舍去），∴，∵，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，證明四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵．21．(1)菱形(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)，，，可得，，可得出是平行四邊形，再求出，即可得出結(jié)論；（2）構(gòu)造，即可得出點(diǎn)D的位置，連接，即為所求；（3）連接，利用網(wǎng)格的特點(diǎn)作出的中點(diǎn)G，延長(zhǎng)交于E，則點(diǎn)E即為所求；（4）連接，交于點(diǎn)F，根據(jù)可得，根據(jù)易得，即可得出，則，進(jìn)而可推出，則點(diǎn)F即為所求．【詳解】（1）解：∵，，，，∴，∵，，∴，∴四邊形是平行四邊形；∵，，∴，∴，∴四邊形是菱形；故答案為：菱形；（2）解：如圖，即為所求；（3）解：如圖所示：即為所求；（4）解：連接，，可得與的交點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求，如圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，格點(diǎn)作圖，綜合利用軸對(duì)稱變換、菱形和全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)畫圖是解題關(guān)鍵．22．(1)(2)海里(3)75【分析】（1）直接解即可得到答案；（2）：設(shè)海里，則海里，解得到海里，由此建立方程，求出海里，再解求出即可；（3）比較與的半徑大小可知有觸礁風(fēng)險(xiǎn)；如圖所示，設(shè)新航向?yàn)樯渚€的方向，過(guò)點(diǎn)P作于E，解中，求出海里，當(dāng)射線恰好與相切時(shí)，即此時(shí)海里，解，求出，則，即可得到海監(jiān)船由B處開始沿南偏東至多75度的方向航行能安全通過(guò)這一海域．【詳解】（1）解：由題意得，，在中，，故答案為：；（2）解：設(shè)海里，則海里，由題意得，，海里，在中，，∴海里，∴，解得，∴海里，在中，海里；（3）解：∵，∴海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行有觸礁危險(xiǎn)；如圖所示，設(shè)新航向?yàn)樯渚€的方向，過(guò)點(diǎn)P作于E，在中，海里，當(dāng)射線恰好與相切時(shí)，即此時(shí)海里，在中，，∴，∴，∴海監(jiān)船由B處開始沿南偏東至多75度的方向航行能安全通過(guò)這一海域，故答案為：75．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，切線的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．23．（1）證明見解析；（2）這個(gè)結(jié)論正確，證明見解析；（3）【分析】（1）只需要利用證明即可證明；（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作于H，過(guò)點(diǎn)D作交延長(zhǎng)線于G，先證明，得到，利用勾股定理得到，推出，，用即可推出；（3）如圖所示，延長(zhǎng)到E使得，連接，證明，得到，進(jìn)而證明四邊形是平行四邊形，得到，由（2）的結(jié)論可知，據(jù)此代值計(jì)算即可．【詳解】解：（1）