人教A數(shù)學必修二教案4.1.2 圓的一般方程

4.1.2圓的一般方程

(-)教學目標

.1.知識與技能

.(1)在掌握圓的標準方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般

方程確定圓的圓心半徑，掌握方程+V+Dr+Ey+P=0表示圓的條件.

.(2)能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標準方程，能用待定系數(shù)法求圓的

方程

,(3)培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力.

.2.過程與方法

,通過對方程x2+y2+Dx+Ey+F^O表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解

決問題的實際能力.

3.情感態(tài)度與價值觀

,滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法，提高學生的整體素質(zhì)，激勵學生創(chuàng)新，

勇于探索.

.(二)教學重點、難點

.教學重點：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標準方程間的互化，根據(jù)已知條件

確定方程中的系數(shù)，D、E、F.

,教學難點：對圓的一般方程的認識、掌握和運用.

.(H)教學過程

教

學環(huán)教學內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖

問題：求過三點A(0,0),B(1,

1),C(4,2)的圓的方程.

.利用圓的標準方程解決此問題顯

課題然有些麻煩，得用直線的知識解決又有設(shè)疑激趣

讓學生帶著問題進行思考

引入其簡單的局限性，那么這個問題有沒有導入課題.

其它的解決方法呢？帶著這個問題我

們來共同研究圓的方程的另一種形式

----圓的一般方程.

請同學們寫出圓的標準方程：(》-整個探索過程由學生完通過

^)2+(y-b)2-I2,圓心(a,b),半徑r.成，教師只做引導，得出圓的學生對圓

,把圓的標準方程展開，并整理：一般方程后再啟發(fā)學生歸納.的一般方

,『+y2-2ax-2by+(r+b2-r=0..圓的一般方程的特點：程的探究，

概念

.取。=-2a,E=-2b,F=a2+b2-.(1)①1和V的系數(shù)相使學生親

形成

,得了+f+Dx+Ey+尸=0①同，不等于0.身體會圓

與深

.這個方程是圓的方程..②沒有孫這樣的二次項.的一般方

化

,反過來給出一個形如/+y1+Dx(2)圓的一般方程中有程的特點，

+E)，+F=0的方程，它表示的曲線一三個特定的系數(shù)。、E、F,因及二元二

定是圓嗎？此只要求出這三個系數(shù)，圓的次方程表

：^xL+/+Dx+Ey+F=Q配方得方程就確定了.示圓所滿

2

,。、2，EgD2+E2-4F^..(3)與圓的標準方程相足的條件.

(x+-)2+(y+-)2=②(/a配fiy

比較，它是一種特殊的二元二

方過程由學生去完成)這個方程是不是次方程，代數(shù)特征明顯，圓的

表示圓？標準方程則指出了圓心坐標

(1)當。2+/-4月>0時，方程與半徑大小，幾何特征較明顯.

②表不以(-g,-5)為圓心，

22

-yjD2+E2-4F為半徑的圓；

2

?(2)當+尸=0時，方程

只有實數(shù)解》=-弓,)，=-|,即只表示

一個點(-2，-5)；

22

(3)當。2+E2-4F<0時，方程

沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形.

綜上所述，方程f+尸+”+￡>+尸=

0表示的曲線不一定是圓.

只有當￡>2+片2-4尸>0時，它表

示的曲線才是圓，我們把形如f+V+

Dx+Ey+F=0的表示圓的方程稱為圓

的一般方程.

例1判斷下列二元二次方程是否學生自己分析探求解決通過

表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓途徑：①用配方法將其變形化例題講解

心及半徑.成圓的標準形式.②運用圓的使學生理

..(1)4x2+4y1-4x+12)>+9=0一般方程的判斷方法求解.但解圓的一

“⑵4/+49-4工+12y+11=0是，要注意對于(1)4『+4產(chǎn)般方程的

解析：(1)將原方程變?yōu)?4x+12y+9=0來說，這里代數(shù)特征

99及與標準

x2+y2-x+3y+-=0的￡)二一1,E=3,/=—而不

4方程的相

9是O=E=12,F=9.互轉(zhuǎn)化更

￡>=-1,E=3,F=-.

4進一步培

應用―??￡>2+層-4b=1>0養(yǎng)學生探

舉例13索發(fā)現(xiàn)及

，，此方程表示圓，圓心(―，)，

22分析解決

問題的能

半徑

2力.

..(2)將原方程化為

J?+y2-x+3)'+?=0

D=-\,E=3,F=—.

4

刀2+爐-4尸=-1<。

」,.此方程不表示圓.

3

例2求過三點A(0,0),8(1,1),例2講完后

C(4,2)的圓的方程，并求這個圓的半.學生討論交流，歸納得出

徑長和圓心坐標.使用待定系數(shù)法的一般步驟：

,分析：據(jù)已知條件，很難直接寫出1.根據(jù)題設(shè)，選擇標準

圓的標準方程，而圓的一般方程則需確方程或一般方程.

定三個系數(shù)，而條件恰給出三點坐標，2.根據(jù)條件列出關(guān)于4、

不妨試著先寫出圓的一般方程.b、r或。、E、F的方程組；

.解：設(shè)所求的圓的方程為:f++3.解出a、b、r或。、E、

Dx+Ey+F,代入標準方程或一般方程.

：：A(0,0),8(1,1),C(4,2)在

圓上，所以它們的坐標是方程的解.把它

們的坐標代入上面的方程，可以得到關(guān)

于E、F的三元一次方程組：

F=0

.即，D+E+F+2=0

4D+2E+F+20=0

，解此方程組，可得：D=-8,E=6,

....所求圓的方程為:x2+/-8%+

6y=0

r=-VD2+E2-4F=5；

2

D.F.

,一萬=4,一萬=-3.

.得圓心坐標為(4,-3).

.或?qū)ⅲ?+9-8x+6y=0左邊配方

化為圓的標準方程，(x-4尸+。+3>=

25,從而求出圓的半徑r=5,圓心坐標

為(4,-3).

例3己知線段AB的端點B的坐標

是(4,3),端點A在圓上(x++y2=4

運動,求線段AB的中點M的軌跡方程.

教師和學生一起分析解

解：設(shè)點M的坐標是(x,y),點A

題思路，再由教師板書.

的坐標是(羽，泗)由于點B的坐標是(4,

分析：如圖點A運動引起

3)且M是線段AB中重點，所以

點M運動，而點A在已知圓

^ii,y^l,①

x=y=上運動，點A的坐標滿足方程

(尤+1)2+產(chǎn)=4.建立點河與點

于是有xo=2x-4,yo=2y-3

4坐標之間的關(guān)系，就可以建

因為點A在圓(x+l)2+y2=4上運

立點M的坐標滿足的條件，求

動，所以點A的坐標滿足方程1產(chǎn)+

出點M的軌跡方程.

y2=4,即(xo+I)2+yo2=4②

把①代入②，得

(2x-4+I)2+(2y-3)2=4,

4

整理得(x-|)2+(y-|)2=l

卜以，點M的軌跡是以號令為圓

心，半徑長為1的圓.

課堂練習：課堂練習P130第1、2、3題.

1.圓的一般方程的特征讓學

2.與標準方程的互化生更進一

3.用待定系數(shù)法求圓的方程步(回顧)

歸納

4.求與圓有關(guān)的點的軌跡教師和學生共同總結(jié)體會知識

總結(jié)

的形成、發(fā)

展、完善的

過程.

課后

布置作業(yè)：見習案4.1的第二課時學生獨立完成鞏固深化

作業(yè)

備選例題

例1下列各方程表示什么圖形？若表示圓，求出圓心和半徑.

(1)x2+y2+x+I=0；

(2)x2++2oc+次=o(qWO)；

(3)Zr2+2產(chǎn)+2ax-lay-0(a/O).

【解析】(1)因為。=1,E=0,F=1,

所以。2+序-4廣＜0方程(1)不表示任何圖形；

(2)因為。=2a,E=0,F=a2,

所以￡＞2+E2-4尸=4“2_4/=0,所以方程(2)表示點(-a,0)；

(3)兩邊同時除以2,得x2+y2+ax-ay=0,

所以O(shè)=a,E=-a,尸=0.所以+序一4尸＞0,

所以方程(3)表示圓，圓心為('：)，半徑-4尸=烏〃|.

2222

點評：也可以先將方程配方再判斷.

例2已知一圓過P(4,-2)、0(-1,3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4百，求圓

的方程.

【分析】涉及與圓的弦長有關(guān)的問題時，為簡化運算，則利用垂徑直徑定理和由半弦長、

弦心距、半徑所構(gòu)成的三角形解之.

【解析】法一：設(shè)圓的方程為：

+/+Dx+Ey+F^O①

將尸、Q的坐標分別代入①得

5

\4D-2E+F=-20②

\D-3E-F=\0③

令x=0,由①，^y2+Ey+F=O④

由已知協(xié)一絲|二4百，其中9，”是方程④的兩根.

**.(y\~yi)2=Cvi+yi)-4yly2二層一4尸二48⑤

解②③⑤聯(lián)立成的方程組，得

D=-2D=-10

E=0或.E=-8

F=-12F=4

故所求方程為：/+)?-2%-12=0或/+9-10x-8.y+4=0.

法二：求得尸。的中垂線