數(shù)字圖像處理幾何變換

關(guān)于數(shù)字圖像處理幾何變換本章主要內(nèi)容和基本要求數(shù)字圖像的基本代數(shù)運算數(shù)字圖像的幾何運算第2頁,共87頁，2024年2月25日，星期天5.1數(shù)字圖像處理基本運算的分類一、圖像處理算法的分類：單幅圖像————單幅圖像多幅圖像————單幅圖像多幅圖像或單幅圖像————數(shù)值/符號（圖像分析）二、根據(jù)基本運算分類點運算鄰域運算第3頁,共87頁，2024年2月25日，星期天5.2點運算一、數(shù)字圖像的代數(shù)運算1、基本代數(shù)運算基礎(chǔ)：設(shè)圖像其運算可以分為圖像自身的運算和圖像間的運算，從根本上而言可以看成對圖像位置的運算或?qū)υ撐恢蒙匣叶燃壍倪\算。第4頁,共87頁，2024年2月25日，星期天基本代數(shù)運算：圖像象素幾何位置不變圖像灰度級的加、減、乘、除等運算。幾何運算：圖像象素位置變換后，經(jīng)過計算，確定該象素灰度的運算。例如圖像f和g：第5頁,共87頁，2024年2月25日，星期天

代數(shù)運算就是二者點對點的加、減、乘、除運算。對f圖所有灰度加c級灰度可作如下處理：J=f+c第6頁,共87頁，2024年2月25日，星期天給整幅圖像增加灰度級會使圖像亮度得到提高整體偏亮，給個別象素加灰度值可以使目標景物突出，例如：第7頁,共87頁，2024年2月25日，星期天給一幅圖像乘以一個系數(shù)，可以改變圖像的灰度級范圍如：原來是20－200的灰度級范圍，乘以2則有40－400的灰度級范圍第8頁,共87頁，2024年2月25日，星期天第9頁,共87頁，2024年2月25日，星期天第10頁,共87頁，2024年2月25日，星期天兩幅連續(xù)的圖像運算可以有基本運算組合而成如：K＝af＋bg：第11頁,共87頁，2024年2月25日，星期天二、代數(shù)運算的用途可以對同一場景的多幅圖像求平均，以降低加性零值平穩(wěn)噪聲。兩幅圖像疊加達到二次曝光的效果。減去圖中不需要的加性噪聲。計算兩幅場景的變化。檢測輪廓，確定輪廓現(xiàn)。第12頁,共87頁，2024年2月25日，星期天5.3圖像的幾何運算幾何運算也叫幾何變換：包括圖象的平移，旋轉(zhuǎn)，鏡象變換，轉(zhuǎn)置，放縮等。一．平移(translation)

將圖像沿水平或垂直方向移動位置后，獲得新的圖像的變換方式。例如：圖像坐標中象素點（x0,y0)移動到（x1,y1)位置灰度不變。第13頁,共87頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共87頁，2024年2月25日，星期天（x0,y0)點，經(jīng)過平移（tx,ty），變?yōu)辄c（x1,y1）兩點之間的關(guān)系為：x1=x0+tx;y1=y0+ty.以矩陣的形式表示為:第15頁,共87頁，2024年2月25日，星期天我們更關(guān)心的是它的逆變換：因為：我們想知道的是平移后的圖象中每個像素的顏色。x0=x1-tx,y0=y1-ty第16頁,共87頁，2024年2月25日，星期天例如：新圖中左上角點的RGB值是多少？很顯然，該點是原圖中的某一點經(jīng)過平移后得到的，這兩點的顏色肯定是一樣的，所以只要知道了原圖那點的RGB值即可。那么到底新圖中的左上角點對應(yīng)原圖中的哪一點呢？將左上角點的坐標（0,0）代入公式(2)，得到x0=-tx；y0=-ty；所以新圖中的(0,0)點的顏色和原圖中（-tx,-ty）的一樣。設(shè)用表示新圖，用

表示原圖。第17頁,共87頁，2024年2月25日，星期天在新圖的坐標系中是左上角的象素，原圖中的象素在新坐標系中的位置變成了f（－tx,-ty)，新的坐標系中g(shù)(0,0)＝f(-tx,-ty)。例如：第18頁,共87頁，2024年2月25日，星期天平移后出現(xiàn)的問題1、如果新圖中有一點（x1,y1），按照公式(2)得到的(x0,y0)不在原圖中該怎么辦？通常的做法是，把該點的RGB值統(tǒng)一設(shè)成(0,0,0)或者(255,255,255)。2、平移后的圖象是否要放大？一種做法是不放大，移出的部分被截斷，如下圖所示，圖2為原圖，圖3為移動后的圖。這種處理，文件大小不會改變。

第19頁,共87頁，2024年2月25日，星期天平移前的圖第20頁,共87頁，2024年2月25日，星期天平移后的圖像第21頁,共87頁，2024年2月25日，星期天還有一種做法是：將圖象放大，使得能夠顯示下所有部分

移動后被放大圖像第22頁,共87頁，2024年2月25日，星期天這種處理，文件大小要改變。設(shè)原圖的寬和高分別是w1,h1則新圖的寬和高變?yōu)閣1+|tx|和h1+|ty|，加絕對值符號是因為tx,ty有可能為負

.下面給出Translation的源代碼。算法的思想是先將所有區(qū)域填成白色，然后找平移后顯示區(qū)域的左上角點(x0,y0)和右下角點(x1,y1)。分幾種情況：

第23頁,共87頁，2024年2月25日，星期天先看x方向(width指圖象的寬度)

1.tx≤-width

很顯然，圖象完全移出了屏幕，不用做任何處理

2．-width<tx≤0，如圖5所示圖像向左上方移動

圖象區(qū)域的x范圍從0到width-|tx|,對應(yīng)原圖的范圍從|tx|到width

第24頁,共87頁，2024年2月25日，星期天圖5第25頁,共87頁，2024年2月25日，星期天3．0<tx<width,如圖6所示,圖像向右下方平移0<tx<width,0<ty<height的情況圖象區(qū)域的x范圍從tx到width,對應(yīng)原圖的范圍從0到width-tx圖6第26頁,共87頁，2024年2月25日，星期天4．tx≥width,圖象完全移出了屏幕，不用做任何處理。y方向是對應(yīng)的（height表示圖象的高度1．ty≤-height，圖象完全移出了屏幕，不用做任何處理

2．-height<ty≤0，圖象區(qū)域的y范圍從0到height-|ty|,對應(yīng)原圖的范圍從|ty|到height

3．0<ty<height，圖象區(qū)域的y范圍從ty到height,對應(yīng)原圖的范圍從0到height-ty

4．ty≥height，圖象完全移出了屏幕，不用做任何處理）第27頁,共87頁，2024年2月25日，星期天

這種做法利用了位圖存儲的連續(xù)性，即同一行的像素在內(nèi)存中是相鄰的。利用memcpy函數(shù)，從(x0,y0)點開始，一次可以拷貝一整行（寬度為x1-x0），然后將內(nèi)存指針移到(x0,y0+1)處，拷貝下一行，這樣拷貝(y1-y0)行就完成了全部操作，避免了一個一個像素的計算，提高了效率。第28頁,共87頁，2024年2月25日，星期天二、旋轉(zhuǎn)(rotation)圖像旋轉(zhuǎn)是指圖像以某一點作為軸轉(zhuǎn)過一定的角度。通常的做法是以圖象的中心為圓心旋轉(zhuǎn)。例如：圖7旋轉(zhuǎn)30度（順時針方向）后的圖象如圖8所示.可以看出，旋轉(zhuǎn)后圖象變大了。

第29頁,共87頁，2024年2月25日，星期天圖－8旋轉(zhuǎn)后的圖圖－7原圖第30頁,共87頁，2024年2月25日，星期天若要使旋轉(zhuǎn)后保持原尺寸圖像就要進行裁切有些內(nèi)容就會損失。我們采用第一種做法第31頁,共87頁，2024年2月25日，星期天圖像旋轉(zhuǎn)變換矩陣

先來看一下，將一個點順時針旋轉(zhuǎn)a角后的坐標變換公式，如圖10所示，r為該點到原點的距離，在旋轉(zhuǎn)過程中，r保持不變。b為r與x軸之間的角度。x0=r*cos(b)；y0=r*sin(b)圖10第32頁,共87頁，2024年2月25日，星期天旋轉(zhuǎn)前：x0=r*cos(b)；y0=r*sin(b)

旋轉(zhuǎn)a角度后：第33頁,共87頁，2024年2月25日，星期天以矩陣的形式表示

第34頁,共87頁，2024年2月25日，星期天其逆矩陣的形式表示為第35頁,共87頁，2024年2月25日，星期天上面的公式中，坐標系I是以圖象的中心為原點，向右為x軸正方向，向上為y軸正方向。它和以圖象左上角點，向右為x軸正方向，向下為y軸正方向的坐標系II之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如何呢？

兩種坐標系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系第36頁,共87頁，2024年2月25日，星期天逆變換為：第37頁,共87頁，2024年2月25日，星期天按照上面的公式，我們可以把變換分成3步：第一：將坐標系II變成I；

第二：將該點順時針旋轉(zhuǎn)a角；

第三：將坐標系I變回II，這樣，我們就得到了變換矩陣，是上面三個矩陣的級聯(lián)。

第38頁,共87頁，2024年2月25日，星期天上面公式中Wold表示原圖的寬,Hold表示原圖的高,Wnew新圖的寬,Hnew新圖的高，可以看出

Wnew=max(|x4-x1|,|x3-x2|);Hnew=max(|y4-y1|,|y3-y2|).第39頁,共87頁，2024年2月25日，星期天可以根據(jù)以上公式，求出對應(yīng)的原圖中的點，得到它的灰度，如果超出原圖范圍則填成白色。要注意的是，由于有浮點運算，計算出來點的坐標可能不是整數(shù)，采用取整處理，即找最接近的點，這樣會帶來一些誤差（圖象可能會出現(xiàn)鋸齒），更精確的方法是采用插值。插值算法后面詳細介紹。第40頁,共87頁，2024年2月25日，星期天三、鏡象(mirror)

鏡象分水平鏡象和垂直鏡象兩種

原圖第41頁,共87頁，2024年2月25日，星期天水平鏡像第42頁,共87頁，2024年2月25日，星期天垂直鏡像第43頁,共87頁，2024年2月25日，星期天鏡象的變換矩陣很簡單，設(shè)原圖寬為w，高為h，變換后，圖的寬和高不變.

水平鏡象為：

垂直鏡象為

第44頁,共87頁，2024年2月25日，星期天四、轉(zhuǎn)置(transpose)

轉(zhuǎn)置是指將x,y坐標對換原圖轉(zhuǎn)制后的圖第45頁,共87頁，2024年2月25日，星期天要注意的是，轉(zhuǎn)置和旋轉(zhuǎn)90度是有區(qū)別的，不信你可以試試，你怎么轉(zhuǎn)，也轉(zhuǎn)不出圖15度來。另外，轉(zhuǎn)置后圖的寬高對換了。

轉(zhuǎn)置的變換矩陣很簡單:第46頁,共87頁，2024年2月25日，星期天五、縮放（zoom）

圖像比例縮放是指將給定的圖像在x軸方向按比例縮放fx倍，沿y軸方向比例縮放fy。當fx＝fy時，稱為圖像的全比例縮放。當fx?fy時，圖像象素間的相對位置會發(fā)生畸變。設(shè)原圖像中的點P(x0,，y0),比例縮放后在新的圖像中對應(yīng)點P(x,y)，P(x0,，y0)和P(x,y)之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示：第47頁,共87頁，2024年2月25日，星期天第48頁,共87頁，2024年2月25日，星期天比例縮放前后兩點之間的關(guān)系用矩陣表示為：第49頁,共87頁，2024年2月25日，星期天其逆矩陣為：第50頁,共87頁，2024年2月25日，星期天插值算法（Interpolation）

比例縮放所產(chǎn)生的圖像中有可能在原圖中找不到相應(yīng)的象素點,我們采用的做法是找與之最臨近的點，我們采用的做法是找與之最臨近的點。即利用鄰域的像素來估計新的像素值的處理方法就是插值算法。常用的插值算法有：最鄰近插值（NearestNeighbourInterpolation）。

線形插值(LinearInterpolation)。雙線形插值（BilinearIntrepolation）曲線插值（CurvilinearInterpolation）第51頁,共87頁，2024年2月25日，星期天（1）最臨近插值圖像變換后找不到相應(yīng)的象素點時，直接賦值為和它最相近的的象素值的插值算法。例如：在圖像的縮放中，將一幅6×6的圖像按比例縮小，fx＝fy＝1/2,圖像的長和寬均縮小到原來的一半，成為一幅3×3的圖像。原圖像的象素從（0，0）到（5，5），新圖像的象素從（0，0）到（2，2）。如下圖：第52頁,共87頁，2024年2月25日，星期天6×6的原圖f新圖中的灰度值利用縮放公式計算得到第53頁,共87頁，2024年2月25日，星期天X0=0/0.5=0y0=0X1=1/0.5=2y1=2X2=2/0.5=4y2=4g(0,0)=f(0,0),g(0,1)=f(0,2),g(0,2)=f(0,4),g(1,0)=f(2,0),g(1,1)=f(2,2),g(1,2)=f(2,4)g(2,0)=f(4,0),g(2,1)=f(4,2),g(2,2)=f4,4)3×3的新圖g6×6的原圖f第54頁,共87頁，2024年2月25日，星期天圖像縮小，可以在原圖像中挑選信息，縮小之后的圖與原圖像比較丟失了很多信息。圖像放大處理中，需要對放大后多出來的空格填入適當?shù)南笏刂?，采用最臨近插值法舉例如下：4×4的以原圖f第55頁,共87頁，2024年2月25日，星期天長和寬各放大2倍，利用公式得到8×8的新圖像。新圖像中各象素位置X0=0Y0=0X1=0.5Y1=0.5X2=1Y2=1X3＝1.5Y3=1.5X4=2Y4=2X5=2.5Y5=2.5X6=3Y6=3X7=3.5Y7=3.5g(0,0)=f(0,0)g(0,1)=f(0,0.5)g(0,2)=f(0,1)g(0,3)=f(0,1.5)g(0,4)=f(0,2)g(0,5)=f(0,2.5)g(0,6)=f(0,3)g(0,7)=f(0,3.5)g(1,0)=f(0.5,0)g(1,1)=f(0.5,0.5)g(1,2)=f(0.5,1)g(1,3)＝f(0.5,1.5)g(1,4)=f(0.5,2)g(1,5)=f(0.5,2.5)g(1,6)=f(0.5，3）g(1,7)=f(0.5,3.5)g(2,0)=f(1,0)g(2,1)=f(1,0.5)第56頁,共87頁，2024年2月25日，星期天g(2,2)=f(1,1）g(2,3)=f(1,1.5)g(2,4)=f(1,2)g(2,5)=f(1,2.5)g(2,6)=f(2,3）g(2,7)=f(1,3.5)g(3,0)=f(1.5,0)g(3,1)=f(1.5,0.5)g((3,2)=f(f(1.5,1)g(3,3)=f(1.5,1.5)g(3,4)=f(1.5,2)g(3,5)=f(1.5,2.5）g(3,6)=f(1.5,3)g(3,7)=f(1.5,3.5)g(4,0)=f(2,0)g(4,1)＝f(2,0.5)g(4,2)=f(2,1)g(4,3)=f(2,1.5）g(4,4)=f(2,2)g(4,5)=f(2,2.5)g(4,6)=f(2,3)g(4,7)=f(2,3.5)g(5,0)=f(2.5,0)g(5,1)＝f(2.5,0.5)g(5,2)=f（2.5,1)g(5,3)=f(2.5,1.5）g(5,4)=f(2.5,2)g(5,5)=f(2.5,2.5)g(5,6)=f(2.5,3)g(5,7)=f(2.5,3.5)g(6,0)=f(3,0)g(6,1)＝f(3,0.5)g(6,2)=f（3,1)g(6,3)=f(3,1.5）g(6,4)=f(3,2)g(6,5)=f(3,2.5)g(6,6)=f(3,3)g(6,7)=f(3,3.5)g(7,0)=f(3.5,0)g(7,1)f(3.5,0.5)g(7,2)=f(3.5,1)g(7,3)=f(3.5,1.5）g(7,4)=f(3.5,2)g(7,5)=f(3.5,2.5)g(7,6)=f(3.5,3)g(7,7)=f(3.5,3.5)

第57頁,共87頁，2024年2月25日，星期天放大后8×8的新圖第58頁,共87頁，2024年2月25日，星期天(2)線形插值線形插值是使用原圖中兩個值來構(gòu)造所求坐標處的值。例如：如圖所示，如果已經(jīng)知道了兩點x0,x2處的函數(shù)值f(x0),f(x2)，現(xiàn)在要求x1處的函數(shù)值f(x1)。我們假設(shè)函數(shù)是線性的，利用幾何知識可以知道:

第59頁,共87頁，2024年2月25日，星期天第60頁,共87頁，2024年2月25日，星期天雙線性插值在圖象處理中需要將線形插值擴展到二維的情況，即采用雙線形插值（BilinearIntrepolation）例如：已知四點f(x0,y0),f(x2,y2)，f(x2,y0),f(x2,y2)的灰度，要求g（x1,y1)點的灰度，可以先在水平方向上由f(x0,y0),f(x2,y2)線形插值求出g(x0,y1)，f(x2,y0),f(x2,y2)線形插值求出g(x2,y1)，然后在垂直方向上由g(x0,y1),g(x2,y1)線形插值求出g(x1,y1)

第61頁,共87頁，2024年2月25日，星期天第62頁,共87頁，2024年2月25日，星期天雙線性插值可以通過三次運算的到。處理效果比較滿意。這種處理具有低通濾波性質(zhì)，使高頻分量受到損失，圖像輪廓模糊。另外，圖像處理中還使用雙曲線插值，及三次內(nèi)插法解決圖像縮放及圖像旋轉(zhuǎn)后的灰度填充。第63頁,共87頁，2024年2月25日，星期天圖像幾何變換綜合訓(xùn)練1、已知3×3的圖像如圖所示A、將此圖以圖形中心為軸順鐘向旋轉(zhuǎn)30度B、將此圖放大2倍C、對此圖作水平鏡像第64頁,共87頁，2024年2月25日，星期天1、首先將此圖平移至以圖像中心為原點的坐標系中第65頁,共87頁，2024年2月25日，星期天新坐標系中任一點與原坐標系的點的對應(yīng)關(guān)系如下X1=X-2Y1=Y-2由新圖像找原圖像中的對應(yīng)點用擬矩陣第66頁,共87頁，2024年2月25日，星期天新圖像用g(u,y),表示，原圖像用f(x,y),表示有：u0=x2v0=y2u(-1）=x1v(-1)=y1u1=x3v1=y3g(-1,-1)=f(1,1)g(-1,0)=f(1,2)g(-1,1)=f(1,3)g(0,-1)=f(2,1)g(0,0)=f(2,2)g(0,,1)=f(2,3)g(1,-1)=f(3,1)g(1,0)=f(3,2)g(1,1)=f(3,3)平移后的圖像：第67頁,共87頁，2024年2月25日，星期天第68頁,共87頁，2024年2月25日，星期天第二、將圖像以坐標原點為軸順鐘向轉(zhuǎn)過30度第69頁,共87頁，2024年2月25日，星期天計算旋轉(zhuǎn)后的圖像大小寬度:w=w0×cos(a)+H0sin(a)高度:H=H0×cos(a)+w0sin(a)因此，旋轉(zhuǎn)后的圖像：第70頁,共87頁，2024年2月25日，星期天旋轉(zhuǎn)后的圖像與未旋轉(zhuǎn)圖之間的對應(yīng)關(guān)系如下：旋轉(zhuǎn)后的圖像坐標用x2,y2表示，未旋轉(zhuǎn)的圖像坐標用x1·,y1表示。第71頁,共87頁，2024年2月25日，星期天第72頁,共87頁，2024年2月25日，星期天由新圖像找原圖像中的對應(yīng)點用逆矩陣第73頁,共87頁，2024年2月25日，星期天新圖像用p(s,t,),表示，原圖像用g(u,v),表示有：S(-2)=u(-2.732)t(-2)=v(-2.732)s(-1)=u(-1.366)t(-1)=v(-1.366)S(0)=u(0)t(0)=v(0)s(1)=u(1.366)t(1)=v(1.366)s(2)=u(2.732)t(2)=v(2.732)p(-2,-2)=g(-2,-2)p(-2,-1)=g(-2,-1)p(-2,0)＝g(-2,1)p(-2,1)=g(-2,1)p(-2,2)=g(-2,2)p(-1,-2)=g(-1,-2)p(-1,-1)=g(-1,-1)p(-1,0)＝g(-1,0)p(-1,1)=g(-1,1)p(-1,2)=g(-1,2)第74頁,共87頁，2024年2月25日，星期天P(0,-2)=g(0,-2)p(0,-1)=g(0,-1)p(0,0)＝g(0,0)p(0,1)=g(0,1)p(0,2)=g(0,2)p(1,-2)=g(1,-2)p(1,-1)=g(1,-1)p(1,0)＝g(1,1)p(1,1)=g(1,1)p(1,2)=g(1,2)P(2,-2)=g(0,-2)p(2,-1)=g(0,-1)p(2,0)＝g(0,0)p(2,1)=g(0,1)p(2,2)=g(0,2)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)的圖像如下第75頁,共87頁，2024年2月25日，星期天用白色填充找不到的象素點得道的圖像A，用深色填充找不到的象素點得道的圖像BAB第76頁,共87頁，2024年2月25日，星期天2、將此圖放大2倍M*N=6*6用g(u,v)表示放大后的圖像，f(x,Y)表示原圖

u(0)=X(0)v(0)=y(0）u(1)=x(0.5)v(1)=y(0.5)u(2)=x(1)v(2)=y(1)u(3)＝X(1.5)v3=Y(1.5)u(4)=X(2)v(4)=Y(2)u(5)=X(2.5)v(5)=Y(2.5)第77頁,共87頁，2024年2月25日，星期天g(0,0)=f(0,0)g(0,1)=f(0,0.5)g(0,2)=f(0,1)g(0,3)=f(0,1.5)g(0,4)=f(0,2)g(0,5)=f(0,2.5)g(1,0)=f(0.5,0)g(1,1)=f(0.5,0.5)g(1,2)=f(0.5,1)g(1,3)＝f(0.5,1.5)g(1,4)=f(0.5,2)