2024年高考數(shù)學高頻考點題型總結(jié)一輪復(fù)習 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（精練：基礎(chǔ)+重難點）

2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(jié)

第24練平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用(精練)

刷真題明導(dǎo)向

一、單選題

1.(2022.全國?統(tǒng)考高考真題)已知向量。=(2,1),6=(-2,4),則以-彳()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】先求得然后求得:-才

【詳解】因為=(2,1)-(一2,4)=(4,-3),所以卜-g=,4?+(-3)2=5.

故選：D

2.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知向量￡=(3,1),6=(2,2),貝I]cos(a+b,a-8)=()

R拒「小「2小

A.D.----L.U.---------

171755

【答案】B

【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標表示分別求得卜+斗卜--力，從而利用平面向量余弦的運算

公式即可得解.

【詳解】因為”=(3,1),匕=(2,2),所以a+b=(5,3),a-b=(l,-l),

貝[||=個守+3。=-\/34,|?—Z?|=A/1+1=A/2,(q+6),(。-匕)=5x]+3x(-1)=2,

,...la+bj-la-b)7后

所以cos(a+6,o-6)=\_V_.

'/卜+型/后17

故選:B.

3.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知向量風匕滿足|々|=1,|切=道,|。-2>=3,則>2=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.

【詳解】解：；|a-2bl2=|。|2-44力+4斤，

又??,|4|=1,防|=國a-2b|=3,

二9=1-4〃力+4x3=13U，

??a-b=1

故選：c.

4.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知向量“=。,1）/=（1,一1）,若（。+樹，（。+聞，則（）

A.4+〃=1B.%+4=-1

C.即=1D.加=一1

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的坐標運算求出〃+勸，a+曲，再根據(jù)向量垂直的坐標表示即可求出.

【詳解】因為1=(1,1),〃二(1,一1),所以a+4Z?=(l+41-4),〃+〃6=(1+"1—4),

由(a+_L(a+可得，(Q+44.(a+W)=0,

即(l+2)(l+〃)+(l—4)(1—=0,整理得：4〃=—1.

故選：D.

5.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知向量a=（3,4）/=（l,0）,c=a+歷，若<a,c>=<b,c>,則仁（

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得

,、,、,、9+3/+163+/

【詳解】解：e=(3+t,4),cos〈a?=cos?,c),即一詞—=討，解得7=5,

故選：C

6.（2023?北京?統(tǒng)考高考真題）已知向量少。滿足“+6=（2,3）,a-b=（-2,1）,則|a『_|6|2=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標表示求解作答.

【詳解】向量且I滿足a+6=（2,3）,a=（-2,1）,

所以|a『-|/?|2=(?+/?).(?-&)=2x(-2)+3x1=-].

故選：B

7.（2021?浙江?統(tǒng)考高考真題）已知非零向量。，42,則，.c=6c”是"“=6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】如圖所示，。4=a,O3=b,OC=c,BA=a-6,當ASLOC時，a一。與c垂直，。，所以“，八；

成立，此時

???“「/；.；不是4=石的充分條件，

/Irrr

當q=b時，a—b=0，：.ya-byc=Q-c=Qa；?一八,成立，

???〃—是〃=6的必要條件，

8.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知向量兄兒。滿足同=網(wǎng)=1,同=后，且Q+Z?+C=0，則cos〈a-c,b-c〉=()

、42-2

A.—B.—C.一D

555-?

【答案】D

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】因為+e=0,所以5+8W,

即。2+。2+2〃.b=右2,即］+1+25.匕=2,所以=0.

如圖，設(shè)OA=a,O5=b,OC=c,

由題知,OA=OB=1,OC=V2,OAB是等腰直角三角形,

AB邊上的高0。=克,A0=變，

22

所以。。=。。+0。=后+受=逑，

22

tanZACD=—=-,cosZACD=3

CD3W'

cos(a-c,b-c)=cosZ.ACB=cos2ZAC￡)=2cos2ZACD-1

故選:D.

9.（2022.北京?統(tǒng)考高考真題）在ABC中，AC=3,5C=4,NC=90。.尸為ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC=1,

則尸5的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【分析】依題意建立平面直角坐標系，設(shè)尸（cos。,sin。），表示出出,PB，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式

及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；

【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則。（0,0）,A（3,0）,5（0,4）,

因為PC=1,所以P在以。為圓心，1為半徑的圓上運動,

設(shè)尸(cos3,sin夕)，夕￡［。,2句,

所以PA=(3-cosa-sin9),PB=(-cos4-sin,

所以PA-PB=(^-cos6)x(3-cos。)+(4-sin6)x(-sin

=cos23cos^—4sin^+sin20

=l—3cos9—4sin，

=1—5sin(9+°),其中sino=。，cos^?=—,

因為一所以TW1—5sin（9+0）?6,即PA-PBE[-4,6]；

故選：D

二、填空題

10.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知向量。=（人3）1=（1,根+1）.若則加=.

3

【答案】-4

4

【分析】直接由向量垂直的坐標表示求解即可.

3

【詳解】由題意知：a-b=m+3（m+l）=0,解得加=一二.

4

、?3

故答案為：.

4

n.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）已知向量1=（1,3）力=（3,4）,若伍-協(xié)，8，貝ljx=.

【答案】|3

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出.

【詳解】因為。―勸=（1,3）—4（3,4）=0—343—44，所以由（。-可得，

3（l-32）+4（3-4A）=0,解得2

3

故答案為：

【點睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標表示，設(shè)，=（/%）/=（%,%），

。_1人0〃為=00%%2+%%=。，注意與平面向量平行的坐標表示區(qū)分.

12.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）已知向量a=（3,l）,Z?=（l,0）,c=a+H?.若a，c，貝!U=.

【答案】

【分析】利用向量的坐標運算法則求得向量。的坐標，利用向量的數(shù)量積為零求得上的值

【詳解】。=（3,1）2=（l,o）,，e=d+防=（3+左,1）,

alc,.\a-c=3（3+Jc）+lxl=O,解得人=一?，

故答案為：-■.

【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量P=（占,*）應(yīng)=（々，%）垂

直的充分必要條件是其數(shù)量積為多+%%=。.

13.（2021?全國?高考真題）若向量a,b滿足卜|=3,卜-@=5,。?6=1,則"=.

【答案】3收

【分析】根據(jù)題目條件，利用a-萬模的平方可以得出答案

【詳解】??*-0=5

卜-@=a+b-2a-b=9+^-2=25

.?.忖=3夜.

故答案為：3亞.

14.（2022.全國.統(tǒng)考高考真題）設(shè)向量“，。的夾角的余弦值為:，且忖=1,1卜3,貝噌。+今6=.

【答案】11

【分析】設(shè)a與b的夾角為6,依題意可得cos0=g,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出°山，最后根據(jù)數(shù)量積的運算律計

算可得.

【詳解】解：設(shè)"與b的夾角為凡因為a與6的夾角的余弦值為g,即cos6=g,

又"=1,慟=3,所以am=?qcosd=lx3xg=l,

所以（2a+6）?b=2a.6+b?=2a.b+"=2x1+3?=11.

故答案為：11.

15.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知向量a,b滿足,一可=若，,+*W，則忖=.

【答案】V3

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令:=三-1，結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求

解.

【詳解】法一：因為上+司=忸一回,即,+42=（2”叫2,

則a+2a-b+b-4a-4a-b+b,整理得/-2a）=0，

又因為即（a-b『=3,

則？—2?+力2』2=3,所以忖=石.

1I.rirrrrrrrr

法二:^c=a-b，貝州=j3,a+Z?=c+2b,2a-b=2c+Z?,

/I*r\2/rr\2「rrr,r9rrr,

由題意可得:（c+2A）=（2c+6）,則0+4c-b+4b=4c+4c-b+b'

整理得：Un?,即M=1=G.

故答案為：V3.

16.(2021?全國?統(tǒng)考IWJ考真題)已知向量a+Z?+c=0,卜|=1，忖=，|=2,a-b+b-c+c-a=

【答案】-|

【分析】由已知可得(a+6+c『=0,展開化簡后可得結(jié)果.

【詳解】由已知可得(Q+Z?+C)=〃2+/+°2+2(Q.b+Z?.C+C.Q)=9+2(〃?Z?+b?C+C?Q)=0,

9

因出S,a，b+b，c+c，a=—.

2

故答案為：-g.

三、雙空題

17.(2021.天津.統(tǒng)考高考真題)在邊長為1的等邊三角形ABC中，。為線段BC上的動點，DE上AB且交AB于點

E.DF//AB且交AC于點￡則|2BE+DF\的值為；(DE+DF).DA的最小值為.

11

【答案】

20

【分析】設(shè)BE=x，由(23E+Z)產(chǎn)了=43￡2+43￡.。尸+￡)尸2可求出；將(OE+DF).ZM化為關(guān)于x的關(guān)系式即可求

出最值.

【詳解】設(shè)3E=x,,ABC為邊長為1的等邊三角形，DE±AB,

ZBDE=30,BD=2.x,DE=>j3x,DC=l-2x,

DF//AB,為邊長為l-2x的等邊三角形，DELDF,

.2，2

.*.(2BE+DF)2=4BE+4BEDF+DF=4x2+4x(1-2x)xcos0+(l-2x)2=b

2BE+DF|=1,

-2

(DE+DF)?DA=(DE+DF)?(DE+EA)=DE+DFEA

=(V3x)2+(1-2x)x(1-x)=5x2—3x+l=5(x—^)+[,

311

所以當％=而時，(。石+DBQ的最小值為云.

故答案為：1;1.

BD

【A組在基礎(chǔ)中考查功底】

一、單選題

1.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量d=（3,1）,6=（蒼-2）,若aub，貝小+%卜（）

A.75B.5C.V10D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)共線先求出心根據(jù)向量的模的坐標公式即可.

【詳解】因為a〃b,所以3X（—2）-X=0,解得X=-6.

所以a+b=（3,l）+（_6,_2）=（_3,T）,

\a+b\=J（-3y+（-1）2=y/l（j.

故選：C.

2.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)a也c都是單位向量，且a=b-c，則向量a力的夾角等于（

71_71_71_71

A.—B.-C.-D.一

6432

【答案】C

【分析】根據(jù)等式將c移到另一端,兩邊同時平方，由a,b,c都是單位向量可求出a,b的夾角.

【詳解】由a=6-c,可知c=b-a,故J=ci—2a?b+b9所以。

設(shè)“力的夾角為，，即cos0=：,又0W6W兀，所以6

故選：C.

3.（2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測）已知向量“在向量6上的投影向量是-58,且6=（1,1）,則。力=

A.一石B.班C.一逅D.如

22

【答案】A

【分析】根據(jù)向量“在向量6上的投影向量求出忖cos（a@,代入〃力的定義式即可.

【詳解】因為向量“在向量讓的投影向量是-46,所以Wcos(a?=-#W，

因此a.〃=Wos(a,6)=_1忖.忖=_今"2=_[x(l+l)=-G

故選：A.

4.(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第四中學校?？寄M預(yù)測)如圖，已知C的半徑為2,卜q=2,則Ag.AC=()

【答案】C

【分析】判斷ABC形狀可得/。然后根據(jù)數(shù)量積定義直接求解即可.

JTTT

【詳解】由題知，ABC為正三角形，所以NCAB=W，所以A?AC=2x2cos§=2.

故選：C

5.(2023?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知向量a=(4,-2),6=(x-l,2),^alb，貝5」|=()

A.3拒B.2君C.3D.5

【答案】D

【分析】依題意可得0/=0,即可求出尤的值，在求出a-6的坐標，從而求出其模.

【詳解】因為。=(4,一2),8=(x—1,2),Mal/,,所以a-6=4(x—l)—2x2=0,所以x=2,

所以6=(1,2),a-/7=(4,-2)-(1,2)=(3,-4),所以卜一0=擊?+(-4.=5.

故選：D.

6.(2023?山東濰坊三模)已知平面向量a與b的夾角是60°,且問=2,6=(1,2),則今(2a-6)=()

A.8+2岔B.4-V5C.8-遂D.4+2百

【答案】C

【分析】利用模的公式可得到忖=6,然后利用數(shù)量積的運算律即可得到答案

【詳解】由6=(1,2)可得忖=君，

因為平面向量a與b的夾角是60。，且問=2,

所以〃.(2〃-/?)=2忖-a-b=2|a|-|a|?|/?|cos60°=8-A/5

故選：c

7.（2023?人大附中校考三模）已知向量a=（1,2）6=（3,x）,a與a+b共線，貝（）

A.6B.20C.275D.5

【答案】C

【分析】運用平面向量共線及向量的模的坐標計算公式求解即可.

【詳解】由題意知，a+b=（4,2+x）

又?！?a+。)，所以lx(2+x)=2x4,所以x=6,

所以》=（3,6）,所以。一》=（一2,-4）,

所以|a—61=7(-2)2+(-4)2=2下.

故選：C

8.（2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知單位向量滿足％+6+e=0,其中e=（l,o）,則2a+6在e上的投影向量

是（）

"_3_y/3_

A.C.1°D.1°

【答案】D

【分析】根據(jù)投影向量的計算公式求值即可.

【詳解】因為單位向量〃力,。滿足a+b+c=0,

2.2-2

所以一c=〃+/?=>(-c)=(a+bI=a+2a-b+b=l^a-b=--

29

由投影向量計算公式可知2a+6在。上的投影向量是|2。+6|?cos(2〃+Z?,c).白

（2〃+。）.0

22

即丁xc=-2a-3a-b-bxc

/-2233

故I—2ct—3ci,b~bxc=--c,而3=(1,0),故-]C=-r°?

故選：D

9.（2023?浙江寧波?鎮(zhèn)海中學?？寄M預(yù)測）已知同=2,忖=1,卜-2可=25則向量a在向量6方向上的投影向

量為（）

A.bB.—bc.瓜D.-揚

【答案】B

【分析】先求出兩個向量的數(shù)量積，再根據(jù)公式可求投影向量.

【詳解】因為,一2。卜2百，故『一船-Z?+4Z?2=12，

/、

a-bba-b..

Hx.?I,Iu=T~^b=~b?

(同x用忖W

故選：B.

10.(2023春?海南?高三海南中學?？茧A段練習)已知向量滿足|a|=2,g|=5,且d與6夾角的余弦值為:，則

(a+26)?3a_6)=()

A.-28B.-18C.12D.72

【答案】A

【分析】運用平面向量的數(shù)量積運算可求得結(jié)果.

【詳解】因為|°|=2,|勿=5,且a與b夾角的余弦值為：，

^T^(a+2Z?).(3a-Z?)=3|fl|2+5?-Z?-2|z?|2=3x22+5x2x5x1-2x52=-28.

故選：A.

11.(2023?重慶?校聯(lián)考三模)在△ABC中，A8.AC=2，卜。=1且點。滿足BD=DC,則,4=()

A.y/5B.aC.73D.—

【答案】D

【分析】根據(jù)向量線性運算和題干條件得到AB2+AC?=5，從而得到卜|.

【詳解】由題意得A3-AC=C3,平方得AB?-2A3.AC+AC2=CB'=1，

22

故AB+AC=1+2ABAC=5，

因為點D滿足血=OC,所以AO=；（AB+AC）,

平方得AD-=#B+2,AB-AC+AC）=-x（5+4）=1,

故網(wǎng)=:

故選：D

12.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量入萬滿足忖=3,,=8,^a-b=7,則夕％=（）

A.-24B.-12C.12D.24

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律即可求解.

2

【詳解】由=-a2-—??/7+Z>2=25--<7?&+64=49,

3933

所以a-6=12.

故選：C.

13.（2023?遼寧?校聯(lián)考二模）已知向量力=（-2,1）,匕=（%2）,卜+可=卜-可，則實數(shù)機的值為（）.

A.—1B.——C.~D.1

【答案】D

【分析】先求得a+的坐標，再由卜+司=卜,求解.

【詳解】解：因為向量。=（-2,1）,6=（私2）,

所:以a+Z?=(—2+m,3),Q=(―2—祖,—1),

又因為卜+可=卜_可,

所以J（-2+/篦）2+32=不（-2-mf>

解得m=l,

故選：D

14.（2023?全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若平面向量”，6滿足|。|=0|加，且2a+應(yīng)。與6垂直，貝Ua與b的夾角為（）

A,至-2兀71

B.——C.-D.

4334

【答案】B

【分析】利用垂直的向量表示求出a包的表達式，再利用向量夾角公式求解作答.

【詳解】因為20+近5與6垂直，貝！|（2a+VI?I=0,即2a為+0/=0，化簡得人二-乎片，

_烏2…

而|°|=血|回，則cos〈.b）=。必=2=1.又〈a,b〉e[0,n],有〈a,6〉=T，

'\a\\b\0|邸2

所以a與萬的夾角為市27r.

故選：B

15.（2023?甘肅?模擬預(yù)測）平行四邊形ABCD中，AB=5,AD=3,ACBD=O,則ACBO等于（）

A.-8B.-4C.4D.8

【答案】A

【分析】利用轉(zhuǎn)化基底的方法進行平面向量數(shù)量積的運算即可求解.

【詳解】由題意知平行四邊形ABCD中，AB=5,AD=3,

得AC.8O=AC.gBO=：(A8+Ar?).(AO-A8)=g(M2-M|]=；x(9—25)=—8,

故選:A.

16.(2023?江西上饒?校聯(lián)考模擬預(yù)測)在矩形ABCD中，AB^2,8C=石，P為A3邊的中點，則CP8D=()

A.-IB.4C.1D.73

【答案】A

【分析】利用向量AB,AD表示CP,B。，結(jié)合數(shù)量積的定義求CPBD.

【詳解】由已知3=。2+2尸=-">-gag,BD=AD-AB，

-I,-I[—uimuum

h2,|AD|=V3,AB-AD=O

所以CPB￡>AB>(A￡>-AB)=-A￡).4￡>+gAB.AB=-3+2=-1.

所以CP8D=-L.

故選：A.

1?

17.(2023?全國?高三專題練習)己知向量〃2=(1,4),〃=(26-1,3)(〃>0,6>0),若“〃=1，則一+丁的最小值為()

ab

A.7B.—F2A/3

2

C.7+4^3D.4^/3

【答案】B

【分析】由數(shù)量積的運算公式求得。。+6=1,化簡工+/=4。+3(工+馬=1+2+當+2,結(jié)合基本不等式，即可

2ab2ablab

求解.

【詳解】因為向量m=(1,。),九=(2)一1,3)(°>0*>0),

,3

若加可得26-1+3a=1,即5。+/?=1,

貝!）!+2=（34+0）（工+2）

ab2ab

當且僅當2=當時，即6=耳=4-2后時，等號成立,

ab

所以，+］的最小值為:+26.

ab2

故選：B.

二、多選題

18.(2023?廣東梅州?大埔縣虎山中學?？寄M預(yù)測)已知平面向量4=(11)，b=(-3,4),則下列說法正確的是()

COS〈Q,b〉=

B.〃在a方向上的投影向量為立“

2

C.與6垂直的單位向量的坐標為

D.若向量4+與非零向量a-26共線，貝|4=0

【答案】AD

【分析】本題考查了平面向量的坐標運算，主要考查了兩向量的夾角、投影向量、向量的平行與垂直的基本知識,

一一驗證即可.

【詳解】由題意知|。|=5,3+4=1,

則cos〈d,，〉="也=空，因此A正確；

傳1聞10

人在a方向上的投影向量為

,,,，八aa-baa-b1EU3、門

Ib|cos(a,b)----=-------=-一=~^,因此B錯陜;

與b垂直的單位向量的坐標為

因此C錯誤;

因為a+例=(1-32,1+42),a-Ab=(1+32,1-4A),

若向量a+勸與向量”助共線，則(1-32)(1-44)=(1+34)(1+42),

解得4=0,因此D正確.

故選：AD.

19.(2023?廣東廣州?統(tǒng)考三模)已知向量a=(1,2),&=(-2,1),則()

A.(a-6)_L(a+6)B.(a-b)//(a+b)

C.\a-b\=^a+b\D.b-a在a上的投影向量是a

【答案】AC

【分析】根據(jù)與a+b的數(shù)量積為0可得A正確；根據(jù)向量平行的坐標表示可得B錯誤；根據(jù)模長公式可得C

正確；求出投影向量可得D錯誤.

【詳解】因為a-b=(3,l),a+b=(-l,3),

所以(a-b).(a+b)=3x(-l)+lx3=0,(a-B)_L(a+。)，故A正確；

因為3x3-lx(-l)=10w0,故B錯誤;

|a-Z?|=Vi0,\a+b\=4l0,故C正確;

因為八°=（_3T）在°上的投影向量是號產(chǎn)《-a,故D錯誤.

故選：AC.

20.（2023?湖南?校聯(lián)考二模）已知向量a=（2,-l）,〃/〃，慟=2卜，c=（l,2）,則（）

A.a-LcB.|a|=|c|C.6=（4,-2）D.b=a+c

【答案】AB

【分析】A選項根據(jù)向量的數(shù)量積運算判斷；

B選項根據(jù)模長公式計算；

C選項利用向量共線的關(guān)系結(jié)合模長公式計算；

D選項根據(jù)向量的加法進行判斷.

【詳解】因為小。=（2,-1）-（1,2）=0,所以au,則A正確；

|G|=|C|=V5,則B正確；

因為a〃6，所以設(shè)％=貓=4（2,-1）=（2；1,-孫因為|0=2口=2氐

所以）（2田2+（_田2=2際,解得幾=±2,所以6=（4,-2）或b=（T,2）,故C錯誤；

a+c=（3』）wb,故D錯誤.

故選：AB

21.（2023?山東濱州?統(tǒng)考二模）已知向量。=（1,m），人=（2,T）,則下列說法正確的是（）

A.^|o+i>|=V10,則〃z=5B.若a〃b,貝!b〃=-2

C.若a/b，貝"?=TD.若加=1,則向量a，〃的夾角為鈍角

【答案】BD

【分析】由向量模的計算公式判斷A；由共線向量的坐標運算判斷B；由向量垂直時數(shù)量積為0判斷C；由向量的

數(shù)量積判斷D.

【詳解】解：對于A,因為。b=（2,-4）,所以J+b=（3,/〃-4）,\a+b\=^9+（7?I-4）2=A/10?解得加=5

或機=3,故A錯誤；

對于B,因為?〃/7,所以2根=-4,解得根=-2,故B正確；

r11

對于C,因為所以=2-4根=0,解得機=/,故C錯誤；

對于D,當機=1時，”（U）,。力=2-4=-2<0,又因為此時a,匕不共線，所以向量匕的夾角為鈍角，故

D正確.

故選：BD.

22.(2023?全國?高三專題練習)已知向量i=(2,1),慟=劑，且“Lb，貝心=()

A.(2,T)B.(-2,-4)C.(-2,4)D.(2,4)

【答案】AC

【分析】設(shè)匕的坐標，利用向量模的坐標公式及a_16關(guān)系，建立方程組解出來即可.

【詳解】設(shè)6=(x,y),

因為||=2口，a1b＞

..\b2=4a2[x2+y2=20

所以｛,n，

a-b=0[2x+y=0

"2-[x=-2

解得/或，,

b=-4[y=4

故1=(2,T)或力=(-2,4).

故選：AC.

23.(2023?全國?模擬預(yù)測)有關(guān)平面向量的說法，下列錯誤的是()

A.若aHb，bile＞則?！?。B.若a與〃共線且模長相等，貝！la=b

C.若且a與b方向相同，則】＞[D.恒成立

【答案】ABC

【分析】取6=0,可判斷A選項；利用平面向量的概念可判斷B選項；利用向量不能比大小可判斷C選項；利用

平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，取〃=0,因為a//6，bile＞則“、c不一定共線，A錯；

對于B選項，若“與方共線且模長相等，則0=6或。=-方，B錯；

對于C選項，任何兩個向量不能比大小，C錯；

對于D選項，(彳a"=彳(°%)=(0)?.恒成立,D對.

故選：ABC.

三、填空題

24.(2023?四川成某中學?？寄M預(yù)測)已知向量a=?-2,3),6=(3,-1),且(a+20)〃b,則向=.

【答案】3標

【分析】利用向量共線的坐標運算即可求出結(jié)果.

【詳解】因為&=Q-2,3),)=(3,-1),所以。+26=。+4,1),又(a+2b)〃b,

所以(f+4)x(—l)—3x1=0,解得仁-7,所以a=(-9,3),故同=3廂.

故答案為：3回.

25.(2023.四川巴中.南江中學?？寄M預(yù)測)已知向量°=(1,2),。=(-2,3),若(而+山僅-@,則口=

【答案】-7

4

【分析】由數(shù)量積等于0并結(jié)合數(shù)量積的坐標運算公式即可求解.

【詳解】由題意可得3+6=化一2,2左+3),0—6=(3,-1),

因為（fe?+6）_L（a-b）,

貝［］（3+6卜（。-6）=3（%—2）—（2左+3）=0,解得k=9.

故答案為：

4

26.(2023?河南濮陽?濮陽一高?？寄M預(yù)測)若同=1,W=2,aV(a-2b),貝山+b卜.

【答案】瓜

【分析】根據(jù)給定條件，求出如人再利用數(shù)量積的運算律求解作答.

【詳解】因為卜|=1,卜|=2,a_L(a-26),則°.(。-26)=/—2"力=1一2。力=0，解得=

所以卜+0=J(a+b)2=yja+b+2,a-b=Jl?+22+2x-^-=底.

故答案為：V6

27.(2023?全國?高三專題練習)已知向量°,6滿足a=6=2,若?！啊?2可，貝hos<6,a+2^>=

【答案】昱

2

【分析】根據(jù)平面向量垂直的向量表示以及平面向量的夾角公式可求出結(jié)果.

【詳解】由2可可知a?a+26)=0,即卜［+2a-b=0,可得a.b=_2,

又b.(a+2b)=a.6+2W=6,1+20="|°|2+4|6『+4a/=J4+16-8=2叔

“,,"(a+26)6V3

故cos<b,a+2b>=-i—i—i------r=/==--.

瓦卜+2@2x2白2

故答案為：B

2

28.(2023?江西?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知單位向量a,滿足|2〃-同=2瓦則”力=.

【答案

【分析】將慳-同=2忖兩邊平方，根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.

【詳解】因為入〃為單位向量且滿足|2。-6卜2瓦

所以（2。一。了=仞2,即4/一4”0+萬2=462,

即4同2-4a-6+W=4|]，解得

故答案為：—

4

29.（2023?全國?高三專題練習）已知非零向量°,6的夾角為60。，忖=1,a\a-2b）=-l,則（a+2b>6=

【答案】9

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義結(jié)合數(shù)量積的運算律，即可求得答案.

【詳解】由>=1及a,b夾角為60?？芍?。力=忖,際60。=胴，

又a-（a-2b）=W-2分〃=1-忖=-1,解得忖=2,則4力=1，

故+=42+2忖=1+8=9,

故答案為：9

30.（2023?全國?高三專題練習）已知向量〃，A滿足，=（-2,4）,〃電=_5，貝也在〃上的投影向量C=

【答案】1-1）

【分析】根據(jù)方在。上的投影向量C=1bICOS0.三即可求解.

\a\

【詳解】設(shè)。與b的夾角為6,〃在a上的投影向量

c=\b\cos0■-=|a||b|cos0■—=---警-5-=--a=[—,-l|.

I?ll?|2|a|2（一2）2+4?4（2'）

故答案為：

31.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學校考模擬預(yù)測）已知菱形防G”中，河-網(wǎng)=2,則HG.FH=

【答案】-2

【分析】根據(jù)菱形對角線互相垂直，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式求出答案.

【詳解】設(shè)EG與F”交于。，則EG,9且。是線段F"的中點,

.'.IHF|=|EF-EH\=2,由平面向量數(shù)量積的幾何意義知,

12

HGFH=-HGHF=-|HG|-|HF|COSZFHG=-\HF\.|HO|==-2.

故答案為：-2

32.（2023?陜西西安??？寄M預(yù)測）若平面四邊形ABC。滿足AB+CD=O，（AB-AD）-AC=0,則該四邊形一定

是.

【答案】菱形

【分析】根據(jù)向量相等可證明四邊形為平行四邊形，再由向量數(shù)量積為0知對角線互相垂直可知為菱形.

【詳解】AB+CD=0,:.AB=DC,

所以四邊形ABCD為平行四邊形，

（AB-AD）-AC=0,.-.DBAC=0,

所以DB垂直AC,所以四邊形ABCD為菱形.

故答案為：菱形.

33.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考三模）在平行四邊形ABCD中，若AB=（1,3）,AC=（2,4）,則48必￡>=.

【答案】4

【分析】根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形可得AD，然后由數(shù)量積的坐標表示可解.

【詳解】因為四邊形ABCD為平行四邊形，

所以AC-A3

又AB=（1,3）,AC=（2,4）

所以AD=（2,4）—（L3）=（1,1）

所以AB40=1x1+3x1=4

故答案為：4

【B組在綜合中考查能力】

一、單選題

1.（2023?山西朔州?懷仁市第一中學校校考模擬預(yù)測）已知菱形ABCD的邊長為2,S.ZBAD=^,則（A2+AC>AD

的值為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式及運算律，結(jié)合菱形圖形特征，計算求解可得.

【詳解】由條件可知/BA￡>=m，所以=

在ABC中，由余弦定理AC2=4+4-2X2X2XCOS]=12,可得,。=26,

TTJT

ZBAD=-,菱形ABC。的對角線互相垂直，則向量AC與向量AD的夾角為1，

36

uunuumuunuimumnuumuuin冗冗

貝“zAB+AC〉xAr）=AB.Ar>+AC.AD=2x2xcosi+2x2j3xcosw=8.

故選：D.

2.（2023?河南鄭州?三模）若向量〃、B滿足M=W=|a+q,則向量b與向量a-b的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【分析】已知式平方得平方求得"6=川a,兩種方法計算b?（a-b）后可得結(jié)論.

【詳解】口=忖=w+@,所以,+4=(a+b)2=W+2a-Z>+|i>|=二,「=|『，又Q.b=WWcos（a,。），所以Q?b=_g忖

|a—Z?|='(a-b￥=—2a-Z?+|z?|=y/3小

/?.(〃-?=cos(4=若卜|cos(b,〃-。),

3^,Z??(q-b)=b?a-h=—-|(i|-=—-|tz|,

所以畫《cos^,a-Z?^=--||a|,cos(b,a-b)=-[,

又0。4(6,a-6)4180。，所以佯-3=150。,

故選：D.

3.(2023?湖北?校聯(lián)考三模)正，ABC的邊長為2,BM=2MC，則ARAM=（）

c10

A.2B.-C.-D.—

333

【答案】c

【分析】根據(jù)BM=2MC,表示出向量BC,再利用向量基本運算法則表示出向量AM,再利用向量額數(shù)量積運算

即可.

【詳解】設(shè)AB=a,AC=b,如圖所示：

B

A

L

A-------、c

因為BM=2MC

r\0

所以AM=AB+§BC=AB+§（AC-A8）=a+|（。）=十

/.Ab?AM=a---------------=---------------------

\3J3

_4+2x2x2xcos60°_8

==-9

33

故選：C.

4.（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，邊長為2的正三角形ABC中，=8A+gAC,AE=AC+；C3,則￡）石.A3=

（）

【答案】D

【分析】由BD=A4+gAC,AE=AC+^CB,用AB,AC表示。E，然后利用數(shù)量積的運算律和定義求解.

【詳解】解：因為3O=BA+gAC,AE=AC+^CB,

所以DE=AE-AD=AE-AB-3。，

=AC+-CB-AB-BA--AC,

33

=-AB+-AC,

33

所以O(shè)E.AB=gAB+gAc}AB,

121

=-AB+-ACAB,

33

=|AB2+||AC|-|AB|-COS60=2,

故選：D

5.(2023?湖北武漢?統(tǒng)考三模)已知。=(1,2),%為單位向量，若。力+卜卜忖4。，則6=()

2耳(石2君］

A.彳,丁B.一丁，丁

。曲考?管明

【答