四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二年級上冊入學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023?2024學(xué)年度上期高中2022級入學(xué)聯(lián)考

數(shù)學(xué)

考試時(shí)間120分鐘，滿分150分

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、座位號、準(zhǔn)考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填

寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)

2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后

再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域

答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效.

3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.復(fù)數(shù)z=（2-3i）（l+2i）,則1的虛部為（）

A.-1B.1C.-iD.i

2.已知根，〃是非零向量，則■〃是機(jī)?〃=（）的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知偶函數(shù)/（X）在（-8,0］上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是（）

A./（-1）＞/（5）＞/（2）B./（2）＞/（-1）＞/（5）

C.〃-1）＞/（2）＞/⑸D./（5）＞/（2）＞/（-1）

4.設(shè)"BC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c,已知B=生力=12,c=60,則。=（）

4

717T〃-5〃〃32乃

A.B.C.二或二D.一或一

66633

5.己知。，尸是空間中兩個(gè)不同的平面，加，〃是空間中兩條不同的直線，下列說法正確的是（）

A.若a_1_/?,mJL/，則m//a

B.若加〃a,〃〃a,a〃夕，則［%〃〃

C.若ml0,m〃n,nua,則a_L尸

D.若m＞a,n〃da1（3,則“

6.某中學(xué)校園內(nèi)有一水塔，小明同學(xué)為了測量水塔的高度，在水塔底的正東方向的A處測得塔頂?shù)难鼋菫?0。,

在水塔底的南偏西6()。方向的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?5。，已知AB=91m,則水塔的高度為()

A.13V7mB.7\/13mC.125mD.8>/i3m

7.在四棱錐P-ABCD中，P￡>J_平面A8QD,四邊形ABCD為菱形，PD=AB,NZM5=60°,點(diǎn)E

為尸。的中點(diǎn)，則異面直線CE與P3所成角的余弦值為()

2V5V10Vio26

A.B.c.---D.一一—

5丁55

sin50oVl-cos80°

8.的值為()

由coslO。

V6c亞D.逅

A.B.旦

3462

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求；全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若集合4=卜卬-3=0},3={%*一2%-3=0},且4三5,則實(shí)數(shù)a的取值為()

A.0B.1C.3D.-3

10.已知機(jī)H-2sinx,6sinx),〃=(sinx,2cosX),函數(shù)/(%)=力〃+1,則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)/(力的初相是:

JT

B.x=j是函數(shù)/(x)圖象的一條對稱軸

C.是函數(shù)“X)圖象的對稱中心

rr

D.函數(shù)/(x)的圖象向左平移2個(gè)單位后關(guān)于y軸對稱

JTTT

11.如圖，在四面體ABCD中，平面ABC，平面BCD,ZABC=/BCD=-,ZCBD=-,AB=BD=2,

則下列結(jié)論正確的是()

J

A.四面體ABC。的體積為GB.ABVCD

/yr87r

C.二面角A—CD—3的余弦值為X—D.四面體ABC。外接球的體積為一

3

12.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,民C的對邊分別為。，4c,則下列結(jié)論正確的是()

A.若sinA>sinB,則

B.若，=屈,。=:，則AABC外接圓的半徑為典

__Q

C.若Q=2,Z?=3,c=,則AC,8C=—

2

D.若qsinA+bsiaB〉csinC,則△ABC為銳角三角形

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/(x)=,+L]>0,若〃a)=2,則。=____

x~—x,xK0

14.E!^Dee[o,'),l+cos2e=2sin2e,則cos6=.

15.已知等腰直角三角形的斜邊長為2cm,以該三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸將該三角形旋轉(zhuǎn)一周,

所得的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為cm2.

12

16.在八48。中，已知區(qū)4?8。=一。4?。8+—4。-48,則12e的最大值為_____.

33

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知加=(1,—=(1,2).

(1)加+2幾與〃一m的夾角為6,求6；

(2)若左〃一機(jī)與機(jī)+2〃垂直，求左.

18.（12分）如圖，在斜三棱柱ABC—45G中，AB，AG，A4,=48,"為BQi的中點(diǎn).

（1）證明：AG〃平面A8"；

（2）證明：平面A5|C1_L平面ABC.

19.（12分）如圖，在四邊形ABCD中，ZDA6與/DCB互補(bǔ)，A3=6,3C=4,Cr>=4,AZ）=2.

(1)求AC；

(2)求四邊形A5CD的面積.

71

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=6sin(2x+1^—2sin2一+X

4

（1）求函數(shù)/（x）的最小正周期和圖象的對稱軸方程;

,使得不等式〃Xo）W-3成立，求cos|2x0/

（2）若存在與eR

cosAsinA

21.（12分）已知ZVIBC的內(nèi)角A8,C的對邊分別為a,b,c,

sinA+sinCcosA+cosC

57r

⑴若C=4求角A；

3b—c

(2)求^——的取值范圍.

a

22.(12分)圖①是由矩形ABC。和梯形A5所組成的一個(gè)平面圖形，其中BE=石尸=2,A尸=4,

BE//AF,ZBEF=90°,AB=2BC,點(diǎn)G為。。邊上一點(diǎn)，且滿足陽=九(0</1<1),現(xiàn)將其沿著43折

兇

起使得平面ABCDJ_平面ABE尸，如圖②.

(1)在圖②中，當(dāng)X=’時(shí)，

2

(i)證明：AG_L平面BFG；

(ii)求直線4G與平面EFG所成角的正弦值；

(2)在圖②中，記直線AG與平面ERG所成角為耳，平面ABG與平面EFG的夾角為打，是否存在X使得

4=心？若存在，求出2的值；若不存在，請說明理由.

2023?2024學(xué)年度上期高中2022級入學(xué)聯(lián)考

數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

12345678

ACDACABC

1.解：由題意得：z=8+i,則1=8-i,故選A.

2.解：當(dāng)相，〃是非零向量時(shí)，_1_幾="2?〃=0,故選C.

3.解：由于函數(shù)“X)為偶函數(shù)，故〃5)=/(—5)J(2)=/(—2),且/(x)在(―8,0］上單調(diào)遞減，所以

/(-5)>/(-2)>/(-1),即/⑸>〃2)>/(—1),故選D.

bC126A/2Lt.—1「.ri—兀

4.解：由正弦定理得:----=-----,即nrI------=-----,則smC=—.又c〈b,則。=一,故選A.

sinBsinC-乃sinC26

scin

4

6.解：如圖：設(shè)水塔高為〃，則AC=?,3C=〃，則在zMBC中，912=/J2+(V3/?)2-2X/IX

J5/ZXCOS150。，化簡得：9儼=7/*g|J/z=13V7m,故選A.

7.解：如圖，連接AC,8。交于點(diǎn)。，連接E0,則NCEO(補(bǔ)角)是異面直線CE與依所成角.設(shè)

PD=AB=2a,在△EOC中，EO=?,0C=,EC=y5a,AE0C為直角三角形,則

cos/CEO=平，故選B.

sin50W-cos80。忘皿50。與1140。=拒sin80。=瓜

8.解：由題意得:故選c.

6cos100V3cosl0°-2&COS10°-6

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求；全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9101112

ABDACDBCAC

9.解：B={—1,3},又A=當(dāng)A=0,則a=0,當(dāng)4={—1},則a=-3,當(dāng)4={3},則a=l.故

選ABD.

10.解：由題意得：f(A:)=-2sin2x+2V3sinxcosx+1,f(x)=2sin|2x+?卜

易知函數(shù)/(x)的初相是?不是對稱軸，是其中一個(gè)對稱中心，

對于D選項(xiàng)：y=2sin2|%+—^+―=2sinf2x+—=2cos2x為偶函數(shù).

LI6j6jI2)

故選ACD.

11.平面ABCJ_平面5CDZBCD=—,故CDJ_平面ABC,則COLAB,

2

=15AfiCD，/1=|X1X1X^/3x2=-y-,A不正確,B正確；

/IT

二面角A—CD—3的平面角是NACB,易得cosNAC8=J,C正確；

7

AO

易得外接球的半徑R=夜，故丫=耳萬(、6)3='—乃，D錯(cuò)誤.故選BC.

12.解：由正弦定理sinA>sinB,則A>3,A正確；

由正弦定理2/?=三=半得，R=膽，B錯(cuò)誤；

smCV33

T

113

由余弦定理cosC=—,AC,CB=2x3x—=—,C正確；

442

由正弦定理asinA+OsinBAcsinC,則/。為銳角，但八45。不一定為銳角三角形，D錯(cuò)誤.

故選AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.-114.15.2血兀

V14

16.--

2

..1.-2.―-19

解：由8A?8C=-CAC3+—A。A8得〃CCOS8=-Q0COSC+—OccosA,

3333

即3QCCOSJB=abcosC+2/?ccosA,

_,.?,a1+C1-b1.a2+h2-c2_.h2+c2-a2

又由余弦定理Z得B：3ac--------------=ab---------------+2bc--------------，

lac2ah2bc

化簡得：2a2+。2=3必，

222a2+c2

222a+C22

na+c-b----3-a+2c2?c0

2ac2ac6ac6ac3

cosB有最小值，8為銳角，故tanB有最大值，最大值為丫

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）解：（1）m+2n=（3,3）,/?—m=（0,3）＞

（機(jī)+2〃）?（〃一機(jī)）=9,|加+2“=3及,卜一加|=3,cos6=---?。┊?dāng)

jr

又ee[o,乃],二。=1；

（2）-m=（1-1,2k+1）,加+2〃=（3,3）,

左〃一加與加+2〃垂直，二（左〃一〃4?（加+2nj=0,

即3（左一1）+3（2左+1）=0,得k=0.

18.（12分）解：（1）證明：設(shè)4B與A片交于點(diǎn)。，連接OM,如圖,

在斜三棱柱ABC—48cl中，四邊形ABgA是平行四邊形，則點(diǎn)。為的中點(diǎn),

,點(diǎn)。為AB1的中點(diǎn)，點(diǎn)〃為gG的中點(diǎn)，.?.OM〃AC「

OMu平面ABM,AG。平面AG〃平面ABM；

（2）證明：A4,=AB,.?.四邊形AB04是菱形，,AB_L,

又AB_LAG,A810=A,,A3_L平面ABtC,,

又A6u平面ABC,.?.平面AgGJ_平面ABC.

19.（12分）解：（1）連接AC,如圖，

NZMB與NDC3互補(bǔ)，ZADC與NABC互補(bǔ),

在AADC中，AC2=AD2+CD2-2ADCD-cosZADC，

即AC?=4+16—2x2x4xcosZAOC,得cosNA4c=20一4C

16

在AABC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC,

5?_

即=36+16-2X6X4XcosZABC,得cosZABC=

48

又ZADC與NABC互補(bǔ)，cosZADC+cosZABC=0,故AC=2不；

iRi

(2)由(1)得cosZAOC=——sinZADC=——,SAADr=—AD-CD-sinZAPC=2A/3,

222

iCi

由(1)得cosNABC=—,，sinNA8C=",SAAfir=-ABBC-sinZAfiC=673,

222

四邊形

S4BCD=5AAsc+S“C￡)=8G.

/(x)=V3sin(2x+9-2sin2(71

20.(12分)解：(1)-----FX

4

/(x)=V§cos2x+cos(2x+/J一1,

f(x)=V3cos2x-sin2x-1,/(x)=2c，OS12.X4—j—1)

??J（x）的最小正周期為乃,

又2%+工=^,%=--—GZ,/.對稱軸方程為X=/一2,女GZ;

6212212

JT1T

則2/H—=2k兀+",攵￡Z,故2%----=2ATTH------，攵￡Z,

663

COS/Ac1pA

21.(12分)解：(1)???--------------=---------------，...cos(A+C)=—cos2A,

sinA+sinCcosA+cosC

/.cos(>T-B)=一COS2A,cosB=cos2A,

0<B<7r,0<2A<2小5=2A或5+2A=2萬，

又0cA+3〈肛0v2A+Bv2),故6=2A,

<<a

A+B+C=^,C=3A+—=^,得A=上；

141414

、,L?±E，日3b-c3sinB-sinC3sin2A-sm(^-3A)3b-c3sin2A-sin3A

(z2)由正弦定理得：-----=-------------=------------*L------Ln即n-----

asinAsinAasinA

3b-c6sinAcosA一(sin2AcosA+cos2AsiFL4)

asinA

=6cosA-2cos2A-cos2A,

=Teos2A+6cosA+1,

/A3丫13

=-4cosA——+—，

I4j4

又二A+8+C=;r,B=2A,:.C=n—3A>0,

,八人乃?1人i.3b-c(13

..0<A<—,..—<cosA<1,..-------w3,—

32aI4

22.(12分)解：(1)當(dāng)4二一時(shí)，即點(diǎn)G為。。的中點(diǎn),

2

(i)證明：由題意得：A3=20,3C=后，則AG=